Benemar Alencar de Souza

Transcrição

1 Benemar Alencar de Souza

2 Métodos de Otimização Aplicados Questões introdutórias O que é otimização? i Por que otimização é importante? Como tratar a otimização i como um problema? Quais objetivos são usuais? O que esperar deste curso?

3 O que é otimização? Um processo visando alcançar da melhor maneira possível objetivo(s) estabelecido(s) Um problema Modelo Métodos Uma solução A ser implementada Para servir de referência

4 Formulação do Problema Minimizar i i f(x) ) Sujeito a g(x) 0 h(x) 0 x 0

5 Por que otimização é importante? As pessoas otimizam: Companhias aéreas definem suas rotas com base nas reservas para maximizar seus lucros; Investidores criam carteiras que visam aumentar o rendimento ou reduzir o risco; Engenheiros buscam minimizar erros ao desenvolverem modelos, dispositivos, processos...

6 Por que otimização é importante? A natureza otimiza: Sistemas físicos tendem a um estado td de energia mínima (cristais); Raios de luz seguem caminhos que minimizem seus tempos de trânsito; Seres vivos evoluem: vivem, competem e se reproduzem tentando se adaptar da melhor maneira ao meio ambiente; As formigas formam trilhas que são os caminhos mais curtos entre o formigueiro e as fontes de alimento.

7 Otimização como um problema Estabelecer objetivo; Identificar restrições iõ ou limites; i Encontrar um modelo (matemático); Escolher um método

8 Objetivos Típicos Lucro, potência, estabilidade (maximizar) Perdas, gastos, erros, tempo, consumo (minimizar) i i Recursos Humanos Financeiros Naturais Água, carvão, petróleo, etc.

9 Dualidade O tipo de problema de otimização é determinado pela natureza do objetivo. Todo problema de maximização pode ser convertido em um problema de minimização e vice versa. versa A muitos problemas de otimização corresponde um sistema de equações e vice versa. versa

10 Um Problema na Grécia Antiga Como os gregos despertaram para a irracionalidade dos números? Eles tinham noção de área: quadrado d de lado 1m, área de 1m 2 ; quadrado de lado 2m área de 4m 2 ; Mas se o quadrado d é de 2m 2, qual o comprimento de seu lado? Como resolver? O lado do quadrado teria comprimento x, tal que x 2 =2 ou x 2 2 = 0.

11 Um Problema na Grécia Antiga Inicialmente os gregos acreditaram que encontrariam um valor racional (razão entre dois números inteiros) para x. Depois se convenceram que não haveria esse valor racional que satisfizesse a equação x 2 2 = 0. então refizeram o problema: Mininizar (x 2 2) 2 sujeito a x > 0 e x R df/dx = 4x (x 2 2)=0

12 Modelo Matemático Variáveis Incógnitas ou variáveis i de controle Parâmetros Função objetivo Restrições De igualdade De desigualdade De não negatividade Outras

13 Escolha do Modelo O primeiro e mais importante passo Se o modelo dl for: Muito simples, possivelmente não terá utilidade. Muito sofisticado, haverá dificuldade df d de funcionar.

14 Denominações Otimização Programação matemática ái Pesquisa operacional

15 Classificação Os problemas de otimização são classificados conforme o modelo matemático empregado: Contínua Linear, quadrática, convexa Não linear Discerta ou Combinatória Inteira, binária Mista

16 Método Universal Existe? Se existe, por que temos que estudar tantos? Por que o método universal não é eficiente? Que método é esse?

17 Otimização Unidimensional e Multidimensional Otimização, no escopo deste curso, se refere ao estudo de métodos para resolver problemas do tipo: Encontrar o valor de x tal que alguma quantidade F, que depende de x seja mínima. Há um problema equivalente que é maximizar F (problema dual). Se a quantidade x, a variável independente ou de controle, for um escalar a otimização é unidimensional. Do contrário, se x for um vetor, a otimização é multidimensional.

18 Ótimo Global e Ótimo Local Mínimizador local é o valor de x*, que F(x*) < F(x), qualquer que seja x, tal que x x x* < ε, para algum valor positivo ε, eventualmente existente. Minimizador global é o valor de x* que F(x*) < F(x), para todo valor permitido de x. mínimo global mínimo local

19 O Que Esperar deste Curso? 1. Criação de algoritmos. 2. Criação de programas de computador. 3. Habilitação em usar softwares existentes. 4. Análise numéricas de algoritmos existentes. 5. Fundamentos matemáticos dos algoritmos mais populares. 6. Aplicação e algoritmos ou softwares existentes a problemas conhecidos. 7. Formulação de novos problemas de modo a ser resolvidos lid empregando métodos existentes ou adaptações de tais métodos.