EEL 7100 Despacho Econômico de Unidades Térmicas Parte 1

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1 EEL 7100 Despacho Econômico de Unidades Térmicas Parte 1 Antonio Simões Costa UFSC - LABSPOT A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 1 / 25

2 Introdução Importância da consideração da eficiência econômica na operação de sistemas de potência; Despacho de unidades térmicas: Características das unidades geradoras térmicas; Representação simplificada da rede elétrica; Consideração das perdas de transmissão. O Despacho Econômico (DE) é um problema de otimização com restrições. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 25

3 Modelagem da Rede no DE Clássico Rede elétrica real A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 3 / 25

4 Modelagem da Rede no DE Clássico Rede elétrica real A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 3 / 25

5 Modelagem da Rede no DE Clássico Rede elétrica real Modelo em Barra única A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 3 / 25

6 Modelagem da Rede no DE Clássico Rede elétrica real Modelo em Barra única A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 3 / 25

7 Diagrama Esquemático de uma Central Térmica A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 25

8 Configuração Esquemática Entrada de Combustível para o GV GV T G Pot. saída bruta Pot. saída líquida Serv. Aux (2 a 6 %) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 5 / 25

9 Características das Unidades Térmicas Taxa de entrada de calor para a unidade Saída ĺıquida de potência elétrica: H : F : Taxa de entrada de calor para a unidade, MBtu/h Custo operacional da unidade, $/h Se f é o custo unitário de combustível, em $/MBtu, então: F = f H F pode ser encarado como custo operacional (incluindo mão-de-obra para operação da unidade); Tanto H quanto F são funções da potência elétrica ĺıquida gerada, P A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 6 / 25

10 Curva típica entrada-saída Curva entrada-saída (ou função de produção) de uma unidade térmica. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 7 / 25

11 Potências Máxima e Mínima Potência mínima, P: depende da estabilidade da combustão no GV ( 30% da capacidade nominal, para unidades supercríticas); Potência máxima, P : 5% da capacidade com válvulas totalmente abertas. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 8 / 25

12 Curva de Custo Incremental df dp dh dp Curva aprox. Pmín Pmáx P A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 25

13 Representação das Unidades Geradoras F(P) 1 1 F(P) 2 2 F(P) N N N A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 10 / 25

14 Formulação matemática do Problema de Despacho Econômico min F T (P 1, P 2,..., P N ) = N F i (P i ) i=1 sujeito a P L N P i = 0 i=1 P i P i P i, i = 1,..., N A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 11 / 25

15 Revisão de Otimização com Restrições Otimização Irrestrita Otimização com Restrições de Igualdade Otimização com Restrições de Igualdade e Desigualdade A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 12 / 25

16 Otimização Irrestrita Formulação matemática: min f (x) x onde a função-objetivo f (x) é uma função convexa de x = [x 1, x 2,..., x N ] T ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 13 / 25

17 Otimização Irrestrita Formulação matemática: min f (x) x onde a função-objetivo f (x) é uma função convexa de x = [x 1, x 2,..., x N ] T ; Condição de otimalidade: x f (x) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 13 / 25

18 Otimização Irrestrita Formulação matemática: min f (x) x onde a função-objetivo f (x) é uma função convexa de x = [x 1, x 2,..., x N ] T ; Condição de otimalidade: x f (x) = 0 A condição de otimalidade acima fornece os pontos estacionários; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 13 / 25

19 Otimização Irrestrita Formulação matemática: min f (x) x onde a função-objetivo f (x) é uma função convexa de x = [x 1, x 2,..., x N ] T ; Condição de otimalidade: x f (x) = 0 A condição de otimalidade acima fornece os pontos estacionários; O mínimo de f (x) é necessariamente um ponto estacionário. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 13 / 25

20 Caso Irrestrito: Exemplo min x f (x 1, x 2 ) = 0, 25 x x 2 2 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 14 / 25

21 Caso Irrestrito: interpretação gráfica A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 15 / 25

22 Otimização com restrições de igualdade Formulação matemática: min sujeito a f (x) ω(x) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 25

23 Otimização com restrições de igualdade Formulação matemática: min f (x) sujeito a ω(x) = 0 Neste caso, forma-se a Função Lagrangeana: L(x,λ) = f (x) + λω(x) onde a variável escalar λ é chamada multiplicador de Lagrange; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 25

24 Otimização com restrições de igualdade Formulação matemática: min sujeito a f (x) ω(x) = 0 Neste caso, forma-se a Função Lagrangeana: L(x,λ) = f (x) + λω(x) onde a variável escalar λ é chamada multiplicador de Lagrange; As condições de otimalidade são: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 25

25 Otimização com restrições de igualdade Formulação matemática: min sujeito a f (x) ω(x) = 0 Neste caso, forma-se a Função Lagrangeana: L(x,λ) = f (x) + λω(x) onde a variável escalar λ é chamada multiplicador de Lagrange; As condições de otimalidade são: Factibilidade dual: x L =0 f (x ) + λ ω(x ) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 25

26 Otimização com restrições de igualdade Formulação matemática: min sujeito a f (x) ω(x) = 0 Neste caso, forma-se a Função Lagrangeana: L(x,λ) = f (x) + λω(x) onde a variável escalar λ é chamada multiplicador de Lagrange; As condições de otimalidade são: Factibilidade dual: Factibilidade primal: x L =0 f (x ) + λ ω(x ) = 0 λ L =0 ω(x ) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 25

27 Caso restrito: Função-objetivo e Restrições min f (x 1, x 2 ) = 0, 25 x x 2 2 sujeito a ω(x 1, x 2 ) = 5 x 1 x 2 = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 17 / 25

28 Caso com restrições: ilustração A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 18 / 25

29 Condições de Otimalidade Função Lagrangeana: L(x, λ) = f(x) + λ ω(x) Factibilidade dual: x L(x, λ ) = 0 = x f (x ) + λ x ω(x ) = 0 Factibilidade primal: λ L(x, λ ) = 0 = ω(x ) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 19 / 25

30 Interpretação das Condições de Otimalidade A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 20 / 25

31 Exemplo 1 de Despacho Econômico: Enunciado Considere o problema de três unidades térmicas alimentando uma carga total de 800 MW. Os dados das unidades são: Unidade 1: P 1 = 150 MW P 1 = 550 MW F 1 = P 1 + 0, 0016 P 2 1 Unidade 2: P 2 = 50 MW P 2 = 200 MW F 2 = P 2 + 0, 0048 P 2 2 Unidade 3: P 3 = 80 MW P 3 = 230 MW F 3 = , 5 P 3 + 0, 003 P 2 3 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 21 / 25

32 Exemplo 1 de Despacho Econômico: Formulação O problema de DE para as 3 unidades é formulado como: min F T (P 1, P 2, P 3 ) = F 1 (P 1 ) + F 2 (P 2 ) + F 3 (P 3 ) sujeito a P L (P 1 + P 2 + P 3 ) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 22 / 25

33 Exemplo 1 de Despacho Econômico: Formulação O problema de DE para as 3 unidades é formulado como: min F T (P 1, P 2, P 3 ) = F 1 (P 1 ) + F 2 (P 2 ) + F 3 (P 3 ) sujeito a P L (P 1 + P 2 + P 3 ) = 0 A função Lagrangeana neste caso é: L(P 1, P 2, P 2, λ) = 3 F i (P i ) + λ(p L N P i ) i=1 i=1 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 22 / 25

34 Exemplo 1 de Despacho Econômico: Formulação O problema de DE para as 3 unidades é formulado como: min F T (P 1, P 2, P 3 ) = F 1 (P 1 ) + F 2 (P 2 ) + F 3 (P 3 ) sujeito a P L (P 1 + P 2 + P 3 ) = 0 A função Lagrangeana neste caso é: L(P 1, P 2, P 2, λ) = 3 F i (P i ) + λ(p L N P i ) i=1 i=1 As condições de otimalidade são: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 22 / 25

35 Exemplo 1 de Despacho Econômico: Formulação O problema de DE para as 3 unidades é formulado como: min F T (P 1, P 2, P 3 ) = F 1 (P 1 ) + F 2 (P 2 ) + F 3 (P 3 ) sujeito a P L (P 1 + P 2 + P 3 ) = 0 A função Lagrangeana neste caso é: L(P 1, P 2, P 2, λ) = 3 F i (P i ) + λ(p L N P i ) i=1 i=1 As condições de otimalidade são: Factibilidade dual: x L(P, λ ) = 0 = L P i = F i (P i ) λ = 0, i = 1, 2, 3 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 22 / 25

36 Exemplo 1 de Despacho Econômico: Formulação O problema de DE para as 3 unidades é formulado como: min F T (P 1, P 2, P 3 ) = F 1 (P 1 ) + F 2 (P 2 ) + F 3 (P 3 ) sujeito a P L (P 1 + P 2 + P 3 ) = 0 A função Lagrangeana neste caso é: L(P 1, P 2, P 2, λ) = 3 F i (P i ) + λ(p L N P i ) i=1 i=1 As condições de otimalidade são: Factibilidade dual: x L(P, λ ) = 0 = L P i = F i (P i ) λ = 0, i = 1, 2, 3 Factibilidade primal (equação de balanço de potência): λ L(P, λ )=0 P L = P 1 + P 2 + P 3 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 22 / 25

37 Exemplo 1 de Despacho Econômico: solução As condições de factibilidade dual fornecem: F 1 (P 1) = 8 + 0, 0032 P 1 = λ F 2 (P 2) = 9 + 0, 0096 P 2 = λ F 3 (P 3) = 8, 5 + 0, 006 P 3 = λ P 1 = (λ 8)/0, 0032 P 2 = (λ 9)/0, 0096 P 3 = (λ 8, 5)/0, 006 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 23 / 25

38 Exemplo 1 de Despacho Econômico: solução As condições de factibilidade dual fornecem: F 1 (P 1) = 8 + 0, 0032 P 1 = λ F 2 (P 2) = 9 + 0, 0096 P 2 = λ F 3 (P 3) = 8, 5 + 0, 006 P 3 = λ P 1 = (λ 8)/0, 0032 P 2 = (λ 9)/0, 0096 P 3 = (λ 8, 5)/0, 006 Substituindo P 1, P 2 e P 3 na equação de balanço de potência com P L = 800 MW : λ 8 0, λ 9 0, λ 8,5 0,006 = 800 λ = 9, 693 $/MWh A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 23 / 25

39 Exemplo 1 de Despacho Econômico: solução As condições de factibilidade dual fornecem: F 1 (P 1) = 8 + 0, 0032 P 1 = λ F 2 (P 2) = 9 + 0, 0096 P 2 = λ F 3 (P 3) = 8, 5 + 0, 006 P 3 = λ P 1 = (λ 8)/0, 0032 P 2 = (λ 9)/0, 0096 P 3 = (λ 8, 5)/0, 006 Substituindo P 1, P 2 e P 3 na equação de balanço de potência com P L = 800 MW : λ 8 0, λ 9 0, λ 8,5 0,006 = 800 λ = 9, 693 $/MWh Com este valor de λ obtemos as potências geradas: P 1 = 529, 02 MW P 2 = 72, 17 MW P 3 = 198, 81 MW A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 23 / 25

40 Exemplo 1 de Despacho Econômico: solução As condições de factibilidade dual fornecem: F 1 (P 1) = 8 + 0, 0032 P 1 = λ F 2 (P 2) = 9 + 0, 0096 P 2 = λ F 3 (P 3) = 8, 5 + 0, 006 P 3 = λ P 1 = (λ 8)/0, 0032 P 2 = (λ 9)/0, 0096 P 3 = (λ 8, 5)/0, 006 Substituindo P 1, P 2 e P 3 na equação de balanço de potência com P L = 800 MW : λ 8 0, λ 9 0, λ 8,5 0,006 = 800 λ = 9, 693 $/MWh Com este valor de λ obtemos as potências geradas: P 1 = 529, 02 MW P 2 = 72, 17 MW P 3 = 198, 81 MW Como todas elas obedecem os limites mínimos e máximos das respectivas unidades, este é o despacho ótimo. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 23 / 25

41 Exemplo 2 de Despacho Econômico Reconsidere o problema de três unidades térmicas, cujos dados são os mesmos do Exemplo 1. Entretanto, a carga total é agora aumentada para 950 MW. Recalcule o despacho ótimo das unidades. Solução: Como apenas P L muda em relação ao Exemplo 1, o novo valor de λ é obtido de que fornece λ 8 0, λ 9 0, λ 8,5 0,006 = 950 λ = 9, 95 $/MWh P 1 = 609, 37 MW P 2 = 98, 96 MW P 3 = 241 MW A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 24 / 25

42 Exemplo 2 de Despacho Econômico Reconsidere o problema de três unidades térmicas, cujos dados são os mesmos do Exemplo 1. Entretanto, a carga total é agora aumentada para 950 MW. Recalcule o despacho ótimo das unidades. Solução: Como apenas P L muda em relação ao Exemplo 1, o novo valor de λ é obtido de que fornece λ 8 0, λ 9 0, λ 8,5 0,006 = 950 λ = 9, 95 $/MWh P 1 = 609, 37 MW P 2 = 98, 96 MW P 3 = 241 MW Observa-se que P 1 > P 1 e P 3 > P 3. Portanto esta solução é inviável. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 24 / 25

43 Observações sobre o Exemplo 2 A não consideração dos limites de geração na formulação do problema pode conduzir a soluções inviáveis; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 25 / 25

44 Observações sobre o Exemplo 2 A não consideração dos limites de geração na formulação do problema pode conduzir a soluções inviáveis; É possível modificar a solução obtida de modo a torná-la viável, mas não haverá garantias sobre a otimalidade da nova solução encontrada; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 25 / 25

45 Observações sobre o Exemplo 2 A não consideração dos limites de geração na formulação do problema pode conduzir a soluções inviáveis; É possível modificar a solução obtida de modo a torná-la viável, mas não haverá garantias sobre a otimalidade da nova solução encontrada; Fica evidente a necessidade da consideração dos limites de geração, sob a forma de restrições de desigualdade, na formulação e solução do problema de otimização. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 25 / 25