Programação Hidrotérmica de Curto Prazo

Transcrição

1 Programação Hidrotérmica de Curto Prazo Antonio Simões Costa Grupo de Sistemas de Potência - UFSC A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 1 / 29

2 Programação H-T de Curto Prazo Neste caso, capacidade hidráulica < potência da carga ) térmicas devem operar durante todo o horizonte de tempo; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 2 / 29

3 Programação H-T de Curto Prazo Neste caso, capacidade hidráulica < potência da carga ) térmicas devem operar durante todo o horizonte de tempo; Volume d água disponível para a UHE utilizado para minimizar custo térmico; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 2 / 29

4 Programação H-T de Curto Prazo Neste caso, capacidade hidráulica < potência da carga ) térmicas devem operar durante todo o horizonte de tempo; Volume d água disponível para a UHE utilizado para minimizar custo térmico; Hipóteses: A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 2 / 29

5 Programação H-T de Curto Prazo Neste caso, capacidade hidráulica < potência da carga ) térmicas devem operar durante todo o horizonte de tempo; Volume d água disponível para a UHE utilizado para minimizar custo térmico; Hipóteses: ausência de vertimento; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 2 / 29

6 Programação H-T de Curto Prazo Neste caso, capacidade hidráulica < potência da carga ) térmicas devem operar durante todo o horizonte de tempo; Volume d água disponível para a UHE utilizado para minimizar custo térmico; Hipóteses: ausência de vertimento; altura de queda constante ) potência gerada pela UHE depende apenas da vazão turbinada ou, equivalentemente, q = f (P H ). A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 2 / 29

7 Formulação do Problema: Considerações adicionais: A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 3 / 29

8 Formulação do Problema: Considerações adicionais: V tot : volume disponível para ser turbinado durante o horizonte de T max horas; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 3 / 29

9 Formulação do Problema: Considerações adicionais: V tot : volume disponível para ser turbinado durante o horizonte de T max horas; horizonte discretizado em j max intervalos, e intervalo j com duração de h j horas, A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 3 / 29

10 Formulação do Problema: Considerações adicionais: V tot : volume disponível para ser turbinado durante o horizonte de T max horas; horizonte discretizado em j max intervalos, e intervalo j com duração de h j horas, carga constante ao longo de cada intervalo, A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 3 / 29

11 Formulação do Problema: Considerações adicionais: V tot : volume disponível para ser turbinado durante o horizonte de T max horas; horizonte discretizado em j max intervalos, e intervalo j com duração de h j horas, carga constante ao longo de cada intervalo, Formulação da Programação H-T de Curto Prazo: min s.a F T (P T ) = j max F (P T,j ) h j j=1 j max h j q (P H,j ) = V tot j=1 P L,j + P perdas,j = P H,j + P T,j, j = 1,..., j max A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 3 / 29

12 Função Lagrangeana: onde L(P T, P H, λ,γ) = j max j=1 F (P T,j ) h j + j max [λ j (P L,j + P perdas,j P H,j P T,j )] + j=1! γ j max h j q (P H,j ) V tot j=1 λ j, j = 1,..., j max : mult. de Lagrange das restr. de balanço de potência; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 4 / 29

13 Função Lagrangeana: onde L(P T, P H, λ,γ) = j max j=1 F (P T,j ) h j + j max [λ j (P L,j + P perdas,j P H,j P T,j )] + j=1! γ j max h j q (P H,j ) V tot j=1 λ j, j = 1,..., j max : mult. de Lagrange das restr. de balanço de potência; γ : mult. de Lagrange da restrição de volume; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 4 / 29

14 Função Lagrangeana: onde L(P T, P H, λ,γ) = j max j=1 F (P T,j ) h j + j max [λ j (P L,j + P perdas,j P H,j P T,j )] + j=1! γ j max h j q (P H,j ) V tot j=1 λ j, j = 1,..., j max : mult. de Lagrange das restr. de balanço de potência; γ : mult. de Lagrange da restrição de volume; Restrição de volume é uma só, mas envolve as potências geradas na UHE em cada intervalo de tempo j (restrição intertemporal). A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 4 / 29

15 Condições de Otimalidade: Equações de coordenação hidrotérmica para um dado intervalo k: e L df (P P T,k = h T,k ) k dp T,k λ k 1 L P H,k = h k γ dq(p H,k ) dp H,k λ k 1 P perdas,k P T,k = 0, k = 1,..., j max P perdas,k P H,k = 0, k = 1,..., j max A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 5 / 29

16 Condições de Otimalidade: Equações de coordenação hidrotérmica para um dado intervalo k: e L df (P P T,k = h T,k ) k dp T,k λ k 1 L P H,k = h k γ dq(p H,k ) dp H,k λ k 1 P perdas,k P T,k = 0, k = 1,..., j max P perdas,k P H,k = 0, k = 1,..., j max Podem ser re-escritas como: e 1 P perdas,k P T,k 1 P perdas,k P H,k A h k df (P T,k ) dp T,k 1 A h k γ dq(p H,k ) dp H,k = λ k, k = 1,..., j max = λ k, k = 1,..., j max A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 5 / 29

17 Perdas de Transmissão Desconsideradas - I: Considere agora que: Perdas de transmissão podem ser desprezadas, ou seja P perdas,j = 0, j = 1,..., j max A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 6 / 29

18 Perdas de Transmissão Desconsideradas - I: Considere agora que: Perdas de transmissão podem ser desprezadas, ou seja P perdas,j = 0, j = 1,..., j max Intervalos de tempo são de igual duração, isto é h j = h, j = 1,..., j max A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 6 / 29

19 Perdas de Transmissão Desconsideradas - I: Considere agora que: Perdas de transmissão podem ser desprezadas, ou seja P perdas,j = 0, j = 1,..., j max Intervalos de tempo são de igual duração, isto é h j = h, j = 1,..., j max As equações de coordenação tornam-se: h df (P T,k ) dp T,k h γ dq(p H,k ) dp H,k = λ k = λ k 9 >= >;, k = 1,..., j max A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 6 / 29

20 Perdas de Transmissão Desconsideradas - II: Se considerarmos q(p H,j ) = β 0 + β 1 P H,j em h df (P T,k ) dp T,k = λ k veremos que: h γ dq(p H,k ) dp H,k = λ k λ k será constante sobre todos os intervalos; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 7 / 29

21 Perdas de Transmissão Desconsideradas - II: Se considerarmos q(p H,j ) = β 0 + β 1 P H,j em h df (P T,k ) dp T,k = λ k h γ dq(p H,k ) dp H,k = λ k veremos que: λ k será constante sobre todos os intervalos; térmicas devem operar com custos incrementais constantes, e A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 7 / 29

22 Perdas de Transmissão Desconsideradas - II: Se considerarmos q(p H,j ) = β 0 + β 1 P H,j em h df (P T,k ) dp T,k = λ k h γ dq(p H,k ) dp H,k = λ k veremos que: λ k será constante sobre todos os intervalos; térmicas devem operar com custos incrementais constantes, e potências geradas pelas térmicas também serão constantes durante todo o horizonte de tempo. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 7 / 29

23 Interpretação do multiplicador de Lagrange γ: Comparando as eqs. de coordenação no caso sem perdas: h f dh (P T,k ) dp T,k = λ k h γ dq(p H,k ) dp H,k = λ k H e q traduzem as taxas de entrada de energia para a UTE e para a UHE, respectivamente ) γ ($/dam 3 ) tem papel análogo a f ($/MBtu). A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 8 / 29

24 Interpretação do multiplicador de Lagrange γ: Comparando as eqs. de coordenação no caso sem perdas: h f dh (P T,k ) dp T,k = λ k h γ dq(p H,k ) dp H,k = λ k H e q traduzem as taxas de entrada de energia para a UTE e para a UHE, respectivamente ) γ ($/dam 3 ) tem papel análogo a f ($/MBtu). A variável γ é o valor marginal da água; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 8 / 29

25 Interpretação do multiplicador de Lagrange γ: Comparando as eqs. de coordenação no caso sem perdas: h f dh (P T,k ) dp T,k = λ k h γ dq(p H,k ) dp H,k = λ k H e q traduzem as taxas de entrada de energia para a UTE e para a UHE, respectivamente ) γ ($/dam 3 ) tem papel análogo a f ($/MBtu). A variável γ é o valor marginal da água; Para dois valores de volume a ser turbinado por uma UHE sob as mesmas condições, V tot1 e V tot2, V tot1 > V tot2, podemos esperar que, γ 1 < γ 2. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 8 / 29

26 Exemplo 3: Uma carga deve ser alimentada durante 24 horas por uma UHE e uma UTE cujas características são: UHE: q(p H ) = , 97 P H dam 3 /h, 0 P H 1000 MW UTE: F (P T ) = , 2 P T + 0, PT 2 $/h, 150 P T 1500 MW Os efeitos das perdas de transmissão são considerados desprezíveis, o máximo volume d água a ser turbinado é de dam 3 e a carga varia conforme abaixo: 00 : : MW 12 : : MW Determine os despachos da UHE e da UTE ao longo do período, bem como os custos marginais de energia do sistema e custos marginais da água. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 9 / 29

27 Solução: Com h 1 = h 2 e perdas desprezadas, temos que P T,1 = P T,2 = P T. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 10 / 29

28 Solução: Com h 1 = h 2 e perdas desprezadas, temos que P T,1 = P T,2 = P T. Das equações de balanço de potência: P H,1 + P T = 1200 ) P H,1 = 1200 P T P H,2 + P T = 1500 ) P H,2 = 1500 P T A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 10 / 29

29 Solução: Com h 1 = h 2 e perdas desprezadas, temos que P T,1 = P T,2 = P T. Das equações de balanço de potência: P H,1 + P T = 1200 ) P H,1 = 1200 P T P H,2 + P T = 1500 ) P H,2 = 1500 P T Já a equação de restrição de volume fornece h 1 q(p H,1 ) + h 2 q(p H,2 ) = V tot A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 10 / 29

30 Solução: Com h 1 = h 2 e perdas desprezadas, temos que P T,1 = P T,2 = P T. Das equações de balanço de potência: P H,1 + P T = 1200 ) P H,1 = 1200 P T P H,2 + P T = 1500 ) P H,2 = 1500 P T Já a equação de restrição de volume fornece ou, como h 1 = h 2 = 12, h 1 q(p H,1 ) + h 2 q(p H,2 ) = V tot 12 [ , 97 (1200 P T ) , 97 (1500 P T )] = A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 10 / 29

31 Solução: Com h 1 = h 2 e perdas desprezadas, temos que P T,1 = P T,2 = P T. Das equações de balanço de potência: P H,1 + P T = 1200 ) P H,1 = 1200 P T P H,2 + P T = 1500 ) P H,2 = 1500 P T Já a equação de restrição de volume fornece ou, como h 1 = h 2 = 12, h 1 q(p H,1 ) + h 2 q(p H,2 ) = V tot 12 [ , 97 (1200 P T ) , 97 (1500 P T )] = cuja solução fornece P T,1 = P T,2 = P T = 577, 9 MW A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 10 / 29

32 Solução: Com h 1 = h 2 e perdas desprezadas, temos que P T,1 = P T,2 = P T. Das equações de balanço de potência: P H,1 + P T = 1200 ) P H,1 = 1200 P T P H,2 + P T = 1500 ) P H,2 = 1500 P T Já a equação de restrição de volume fornece ou, como h 1 = h 2 = 12, h 1 q(p H,1 ) + h 2 q(p H,2 ) = V tot 12 [ , 97 (1200 P T ) , 97 (1500 P T )] = cuja solução fornece e conseqüentemente P T,1 = P T,2 = P T = 577, 9 MW P H,1 = 1200 P H,2 = 1500 P T = 622, 1 MW P T = 922, 1 MW A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 10 / 29

33 Solução Ex. 3 (cont.): Os multiplicadores de Lagrange das equações de balanço de energia podem ser calculados como ou λ 1 = λ 2 = h df (P T,k ) dp T,k = 12 (9, 2 + 0, , 9) λ 1 = λ 2 = 135, 92 $/MW A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 11 / 29

34 Solução Ex. 3 (cont.): Os multiplicadores de Lagrange das equações de balanço de energia podem ser calculados como ou λ 1 = λ 2 = h df (P T,k ) dp T,k = 12 (9, 2 + 0, , 9) λ 1 = λ 2 = 135, 92 $/MW Finalmente, o custo marginal da água é dado por γ h dq(p H,k ) dp H,k = λ ) 12 4, 97 γ = 135, 92 A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 11 / 29

35 Solução Ex. 3 (cont.): Os multiplicadores de Lagrange das equações de balanço de energia podem ser calculados como ou λ 1 = λ 2 = h df (P T,k ) dp T,k = 12 (9, 2 + 0, , 9) λ 1 = λ 2 = 135, 92 $/MW Finalmente, o custo marginal da água é dado por γ h dq(p H,k ) dp H,k = λ ) 12 4, 97 γ = 135, 92 Portanto, γ = 2, 28 $/dam 3. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 11 / 29

36 Solução Computacional da Prog. H-T de Curto Prazo: Perdas não-desprezadas ) problema de coord. H-T forma um conjunto de (3 j max + 1) equações não-lineares; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 12 / 29

37 Solução Computacional da Prog. H-T de Curto Prazo: Perdas não-desprezadas ) problema de coord. H-T forma um conjunto de (3 j max + 1) equações não-lineares; Principal di culdade: restrição de volume é intertemporal, di cultando desacoplamento do problema por intervalo de tempo; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 12 / 29

38 Solução Computacional da Prog. H-T de Curto Prazo: Perdas não-desprezadas ) problema de coord. H-T forma um conjunto de (3 j max + 1) equações não-lineares; Principal di culdade: restrição de volume é intertemporal, di cultando desacoplamento do problema por intervalo de tempo; Algoritmos de solução: Iteração λ γ (clássico), Pontos Interiores, Programação Quadrática, Relaxação Lagrangeana, etc. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 12 / 29

39 Descrição geral do algoritmo: Consiste de três laços iterativos: Laço interno: ajusta os multiplicadores de Lagrange λ j para reesolver equações de coordenação hidrotérmica e de balanço de potência; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 13 / 29

40 Descrição geral do algoritmo: Consiste de três laços iterativos: Laço interno: ajusta os multiplicadores de Lagrange λ j para reesolver equações de coordenação hidrotérmica e de balanço de potência; Laço intermediário: incrementa os intervalos de tempo até esgotar o horizonte de tempo de estudo; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 13 / 29

41 Descrição geral do algoritmo: Consiste de três laços iterativos: Laço interno: ajusta os multiplicadores de Lagrange λ j para reesolver equações de coordenação hidrotérmica e de balanço de potência; Laço intermediário: incrementa os intervalos de tempo até esgotar o horizonte de tempo de estudo; Laço externo: ajusta iterativamente o multiplicador de Lagrange da restrição de volume, γ, até que esta restrição seja cumprida. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 13 / 29

42 Passos do Algoritmo da Iteração λ γ: 1 Inicializar λ k, γ, P T,k e contador j = 1; 2 Resolver eqs.de coord. para P T,j e P H,j : 3 Veri car eq. de balanço de carga: df (P h T,j ) P j dp T,j + λ perdas,j j P T,j = λ j h j γ dq(p H,j ) P dp H,j + λ perdas,j j P H,j = λ j P L,j + P perdas,j P H,j P T,j ε 1 Se satisfeita, ir para 4. Se não, projetar novo λ j e voltar para 2; 4 Calcular q j = q(p H,j ); 5 Se j = j max, ir para 6. Se não, fazer j j + 1 e voltar para 2; 6 Veri car a restrição de volume: j max j=1 h j q (P H,j ) V tot ε2 Se satisfeita, FIM. Se não, projetar novo γ e retornar para 2. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 14 / 29

43 Exemplo 4: Reconsidere o Exemplo 3, agora supondo que a UHE está localizada a uma certa distância da carga, de modo que as perdas de transmissão são signi cativas e dependem apenas de P H,sendo dadas por P perdas,j = P 2 H,j, j = 1,..., j max. Encontre os novos despachos da UHE e da UTE, bem como os multiplicadores de Lagrange e as perdas de transmissão. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 15 / 29

44 Solução: A aplicação do Algoritmo da Iteração λ γ fornece: Período P T,j P H,j λ j P perdas,j q j , 4 668, 3 135, 46 35, , , 7 875, 6 140, 68 61, , 7 γ = 2, 028 $/dam 3 A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 16 / 29

45 Solução: A aplicação do Algoritmo da Iteração λ γ fornece: Período P T,j P H,j λ j P perdas,j q j , 4 668, 3 135, 46 35, , , 7 875, 6 140, 68 61, , 7 γ = 2, 028 $/dam 3 As seguintes observações aplicam-se a este exemplo: A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 16 / 29

46 Solução: A aplicação do Algoritmo da Iteração λ γ fornece: Período P T,j P H,j λ j P perdas,j q j , 4 668, 3 135, 46 35, , , 7 875, 6 140, 68 61, , 7 γ = 2, 028 $/dam 3 As seguintes observações aplicam-se a este exemplo: Na presença de perdas, os λ j e P T,j não são mais constantes ao longo dos intervalos de tempo; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 16 / 29

47 Solução: A aplicação do Algoritmo da Iteração λ γ fornece: Período P T,j P H,j λ j P perdas,j q j , 4 668, 3 135, 46 35, , , 7 875, 6 140, 68 61, , 7 γ = 2, 028 $/dam 3 As seguintes observações aplicam-se a este exemplo: Na presença de perdas, os λ j e P T,j não são mais constantes ao longo dos intervalos de tempo; O fato das perdas serem produzidas apenas por P H,j tem o efeito de desvalorizar a água: o valor de γ neste exemplo é menor do que no Exemplo 3 (γ = 2, 28 $/dam 3 ). A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 16 / 29

48 Inclusão de Restrições Hidráulicas: Representação explicita de variáveis hidráulicas da Coord. H-T; Restr. de volume especi cadas por intervalo; Consideram-se limites sobre variáveis hidráulicas. r j : vazão a uente para reserv. durante o interv. j; q j : vazão turbinada (engolimento) no interv. j; u j : taxa de vertimento no interv. j; V j : volume armazenado no reserv. no interv. j. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 17 / 29

49 Balanço Hídrico: Ainda supondo H cte. ) q j = q(p H,j ), temos: V j = V j 1 + (r j q j u j ) h j A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 18 / 29

50 Balanço Hídrico: Ainda supondo H cte. ) q j = q(p H,j ), temos: V j = V j 1 + (r j q j u j ) h j Formulação do Problema considerando balanço hídrico: min sujeito a: F T = j max h j F (P T,j ) j=1 P L,j + P perdas,j P T,j P H,j = 0 V j V j 1 (r j q j u j ) h j = 0 V V j V P T P T,j P T P H P H,j P H 0 u j 9 >=, j = 1,..., j max >; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 18 / 29

51 Observações: 1 Restrição de balanço hídrico (RBH) é versão mais detalhada da restrição de volume única (RVU) da abordagem anterior; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 19 / 29

52 Observações: 1 Restrição de balanço hídrico (RBH) é versão mais detalhada da restrição de volume única (RVU) da abordagem anterior; 2 Volume inicial V 0 deve ser especi cado; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 19 / 29

53 Observações: 1 Restrição de balanço hídrico (RBH) é versão mais detalhada da restrição de volume única (RVU) da abordagem anterior; 2 Volume inicial V 0 deve ser especi cado; 3 Se volume nal V jmax também for especi cado, RBH e RVU são essencialmente equivalentes, com a diferença que RBH permite levar em conta limites sobre cada V j ; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 19 / 29

54 Observações: 1 Restrição de balanço hídrico (RBH) é versão mais detalhada da restrição de volume única (RVU) da abordagem anterior; 2 Volume inicial V 0 deve ser especi cado; 3 Se volume nal V jmax também for especi cado, RBH e RVU são essencialmente equivalentes, com a diferença que RBH permite levar em conta limites sobre cada V j ; 4 Não-negatividade sobre os vertimentos é necessária. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 19 / 29

55 Função Lagrangeana: L = j max j=1 j max j=1 j max j=1 j max j=1 j max j=1 F (P T,j ) h j + j max j=1 γ j [V j V j 1 (r j q j u j )h j ] + h i α j (V V j ) + α j (V j V ) + λ j (P L,j + P perdas,j P H,j P T,j )+ πt,j (P T P T,j ) + π T,j P T,j P T + πh,j (P H P H,j ) + π H,j P H,j j max P H + j=1 Por simplicidade, será desconsiderado o vertimento: u j = 0, j = 1,..., j max π u,j u j A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 20 / 29

56 Condições de Otimalidade: As condições de factibilidade dual são: L P T,k = 0 L P H,k = 0 L V k = 0 A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 21 / 29

57 Condições de Otimalidade: As condições de factibilidade dual são: L P T,k = 0 L P H,k = 0 L V k = 0 cuja aplicação fornece: h k df (P T,k ) dp T,k λ k 1 γ k h k dq(p H,k ) dp H,k λ k 1 P perdas,k P T,k P perdas,k P H,k π T,k + π T,k = 0 π H,k + π H,k = 0 γ j γ j+1 α j + α j = 0 9 >= j = 1,..., j max >; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 21 / 29

58 Análise das condições de otimalidade ( L/ V k = 0) - I: L V k = γ j γ j+1 α j + α j = 0 (?) Limite de volume não atingido em nenhum intervalo: A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 22 / 29

59 Análise das condições de otimalidade ( L/ V k = 0) - I: L V k = γ j γ j+1 α j + α j = 0 (?) Limite de volume não atingido em nenhum intervalo: Pelas condições de folga complementar: α j = α j = 0 A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 22 / 29

60 Análise das condições de otimalidade ( L/ V k = 0) - I: L V k = γ j γ j+1 α j + α j = 0 (?) Limite de volume não atingido em nenhum intervalo: Pelas condições de folga complementar: portanto, de (?): α j = α j = 0 γ j = γ j+1, j = 1,..., j max 1 A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 22 / 29

61 Análise das condições de otimalidade ( L/ V k = 0) - I: L V k = γ j γ j+1 α j + α j = 0 (?) Limite de volume não atingido em nenhum intervalo: Pelas condições de folga complementar: portanto, de (?): α j = α j = 0 γ j = γ j+1, j = 1,..., j max 1 Conclusão: valor da água γ constante ao longo de todo o horizonte de tempo. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 22 / 29

62 Análise das condições de otimalidade ( L/ V k = 0) - II: L V k = γ j γ j+1 α j + α j = 0 (?) Lim. superior de volume atingido no interv. k apenas: A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 23 / 29

63 Análise das condições de otimalidade ( L/ V k = 0) - II: L V k = γ j γ j+1 α j + α j = 0 (?) Lim. superior de volume atingido no interv. k apenas: Usando Eq (?): γ k = γ k +1 α k A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 23 / 29

64 Análise das condições de otimalidade ( L/ V k = 0) - II: L V k = γ j γ j+1 α j + α j = 0 (?) Lim. superior de volume atingido no interv. k apenas: Usando Eq (?): γ k = γ k +1 α k Como α k > 0, então γ k < γ k +1. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 23 / 29

65 Análise das condições de otimalidade ( L/ V k = 0) - II: L V k = γ j γ j+1 α j + α j = 0 (?) Lim. superior de volume atingido no interv. k apenas: Usando Eq (?): γ k = γ k +1 α k Como α k > 0, então γ k < γ k +1. Conclusão: maior oferta de água intervalo k ) (valor da água no interv. k) < (valor da água no interv. k + 1). A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 23 / 29

66 Programação de Curto Prazo em Sistemas Reais: Reservatórios em cascata: Balanço hídrico para reserv. i: V i,j+1 = V i,j + h j r i,j h j (q i,j + u i,j ) + `2Ω i h j (q`,j ω` + u`,j ω`) A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 24 / 29

67 Potência Ativa em função de q e H - I: Potência ativa produzida por uma usina hidráulica: P Hi,j = K i η i H li q i,j onde P Hi,j : potência ativa gerada pela usina i no intervalo j (MW ); H li : altura líquida de queda da usina i (m); q i,j : vazão turbinada pela usina i no intervalo j (m 3 /s); η i : rendimento do conjunto turbina-gerador da usina i. K i : constante que depende do sist. de unidades, ρ e g, onde: ρ : densidade da água (kg/m 3 ); g : aceleração da gravidade (m/s 2 ); A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 25 / 29

68 Potência Ativa em função de q e H - I: Potência ativa produzida por uma usina hidráulica: P Hi,j = K i η i H li q i,j onde P Hi,j : potência ativa gerada pela usina i no intervalo j (MW ); H li : altura líquida de queda da usina i (m); q i,j : vazão turbinada pela usina i no intervalo j (m 3 /s); η i : rendimento do conjunto turbina-gerador da usina i. K i : constante que depende do sist. de unidades, ρ e g, onde: ρ : densidade da água (kg/m 3 ); g : aceleração da gravidade (m/s 2 ); Altura de queda líquida é dada pela diferença entre a altura de queda bruta e as perdas devidas ao atrito da água: H li = H v (V i,j ) H w (q i,j + u i,j ) pc i A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 25 / 29

69 Potência Ativa em função de q e H - II: De ne-se a vazão de uente como: w i,j = qi,j + u i,j A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 26 / 29

70 Potência Ativa em função de q e H - II: De ne-se a vazão de uente como: w i,j = qi,j + u i,j Relações entre a altura a montante e volume, e altura a juzante e vazão de uente: H v (V ) = a 0 + a 1 V + a 2 V 2 + a 3 V 3 + a 4 V 4 H w (w) = c 0 + c 1 w + c 2 w 2 + c 3 w 3 + c 4 w 4 A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 26 / 29

71 Potência Ativa em função de q e H - II: De ne-se a vazão de uente como: w i,j = qi,j + u i,j Relações entre a altura a montante e volume, e altura a juzante e vazão de uente: H v (V ) = a 0 + a 1 V + a 2 V 2 + a 3 V 3 + a 4 V 4 H w (w) = c 0 + c 1 w + c 2 w 2 + c 3 w 3 + c 4 w 4 Finalmente, devem ser considerados os limites das variáveis hidráulicas: V i V i,j V i q i q i,j q i 0 u i,j A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 26 / 29

72 Variação do Rendimento: curvas-colina Em estudos mais detalhados, é importante levar em conta também as variações do rendimento da turbina hidráulica em função da vazão turbinada e da altura de queda líquida. Veri ca-se que podem ocorrer variações signi cativas de rendimento quando q e h variam; Estes efeitos podem ser considerados a partir das chamadas curvas-colina; Há ainda a possibilidade da ocorrência de zonas proibidas (regiões onde a unidade não deve operar por conta de cavitação, vibrações mecânicas, oscilações de pressão no tubo de sucção, etc. A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 27 / 29

73 Exemplo de Curva-Colina A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 28 / 29

74 Formulação da Programação H-T com detalhamento das variáveis hidráulicas min s. a: com: F T = j max h j F (P T,j ) j=1 P L,j + P perdas,j P T,j P H,j = 0 V i,j+1 = V i,j + h j (r i,j w i,j ) + `2Ωi h j w`,j ω`, i = 1, n H V V j V P T P T,j P T q H q H,j q H 0 u j P Hi,j = K i H v (V i,j ) H w (q i,j + u i,j ) pc i q i,j V 0 e V j max especi cados. 9 >=, j = 1,..., j max >; A. Simões Costa (Institute) Programação H-T de Curto Prazo 29 / 29