Programação Hidrotérmica de Curto Prazo

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1 Programação Hidrotérmica de Curto Prazo Neste caso, capacidade hidráulica < potência da carga térmicas devem operar durante todo o horizonte de tempo; Volume d água disponível para a UHE utilizado para minimizar custo térmico; Hipóteses: ausência de vertimento; altura de queda constante potência gerada pela UHE depende apenas da vazão turbinada ou, equivalentemente, q = f(p H ).

2 Formulação do problema: Supondo que: V tot o volume disponível para ser turbinado durante o horizonte de T max horas; horizonte discretizado em j max intervalos, e intervalo j com duração de h j horas, carga constante ao longo de cada intervalo j, a Programação H-T de Curto Prazo éformulada como: min F T (P T )= j Pmax s.a PN T j=1 j=1 F (P T,j ) h j h j q (P H,j ) = V tot P L,j + P perdas,j = P H,j + P T,j, j =1,...,j max

3 Função Lagrangeana: L(P T, P H, λ,γ) = j Pmax onde j=1 F (P T,j ) h j + jp max [λ j (P L,j + P perdas,j P H,j P T,j )] + j=1 Ã! jp max γ h j q (P H,j ) V tot j=1 λ j, j =1,...,j max : mult. de Lagrange das restr. de balanço de potência; γ : mult. de Lagrange da restrição de volume; Restriçãodevolumeéumasó,mas envolve as potências geradas na UHE em cada intervalo de tempo j (restrição intertemporal).

4 Condições de otimalidade: Equações de coordenação hidrotérmica para um dado intervalo k: ³ L df (P P T,k = h T,k ) k dp T,k λ k 1 P perdas,k P T,k =0,k=1,...,j max e L P H,k = h k γ dq(p H,k) dp H,k λ k ³ 1 P perdas,k P H,k =0,k=1,...,j max que podem ser re-escritas como: 1 df (P T,k ) 1 P h perdas,k k = λ k,k=1,...,j max dp T,k P T,k e 1 1 P perdas,k P H,k h k γ dq(p H,k) dp H,k = λ k,k=1,...,j max

5 Perdas de Transmissão Desconsideradas - I: Considere agora que: Perdas de transmissão podem ser desprezadas, ou seja P perdas,j =0, j =1,...,j max Intervalos de tempo são de igual duração, isto é h j = h, j =1,...,j max As equações de coordenação tornam-se: = λ k h df (P T,k) dp T,k hγ dq(p H,k) dp H,k = λ,k=1,...,j max k

6 Perdas de Transmissão Desconsideradas - II: Se considerarmos q(p H,j )=β 0 + β 1 P H,j em h df (P T,k) dp T,k = λ k hγ dq(p H,k) dp H,k = λ k veremos que: λ k será constante sobre todos os intervalos; térmicas devem operar com custos incrementais constantes, e potências geradas pelas térmicas também serão constantes durante todo o horizonte de tempo.

7 Interpretação de γ: Comparando as eqs. de coordenação no caso sem perdas: hf dh(p T,k) dp T,k = λ k hγ dq(p H,k) dp H,k = λ k H e q traduzem as taxas de entrada de energia para a UTE e para a UHE, respectivamente γ ($/dam 3 ) tem papel análogo a f ($/M Btu). Avariávelγ éovalor marginal da água; Para dois valores de volume a ser turbinado por uma UHE sob as mesmas condições, V tot1 e V tot2, V tot1 >V tot2, podemos esperar que, γ 1 <γ 2.

8 Exemplo 3: Uma carga deve ser alimentada durante 24 horas por uma UHE e uma UTE cujas características são: UHE: q(p H )=330+4, 97 P H dam 3 /h, 0 P H 1000 MW UTE: F (P T ) = , 2 P T + 0, PT 2 MBtu/h, 150 P H 1500 MW Os efeitos das perdas de transmissão são considerados desprezíveis, o máximo volume d água a ser turbinadoéde dam 3 eacargavariaconforme abaixo: 00 : : MW 12 : : MW Determine os despachos da UHE e da UTE ao longo do período, bem como os custos marginais de energia do sistema e custos marginais da água.

9 Solução: Dos dados do problema, vemos que h 1 = h 2 =12h. Como as perdas são desprezadas,concluímos que P T,1 = P T,2 = P T Das equações de balanço de potência, temos que P H,1 + P T = 1200 P H,1 = 1200 P T P H,2 + P T = 1500 P H,2 = 1500 P T Jáaequaçãoderestriçãodevolumefornece h 1 q(p H,1 )+h 2 q(p H,2 )=V tot ou, como h 1 = h 2 =12, 12 [ , 97 (1200 P T ) , 97 (1500 P T )] = cuja solução fornece P T,1 = P T,2 = P T = 577, 9 MW e conseqüentemente P H,1 = 1200 P T =622, 1 MW P H,2 = 1500 P T =922, 1 MW

10 Os multiplicadores de Lagrange das equações de balanço de energia podem ser calculados como λ 1 = λ 2 = h df (P T,k) dp T,k =12 (9, 2+0, , 9) ou λ 1 = λ 2 = 135, 92 $/M W Finalmente, o custo marginal da água é dado por γh dq(p H,k) dp H,k = λ 12 4, 97 γ = 135, 92 e portanto γ =2, 28 $/dam 3.

11 Solução Computacional da Prog. H-T de Curto Prazo: Perdas não-desprezadas problema de coord. H-T forma um conjunto de (3 j max +1)equações não-lineares; Principal dificuldade: restrição de volume é intertemporal, dificultando desacoplamento do problema por intervalo de tempo; Algoritmos de solução: Iteração λ γ (clássico), Pontos Interiores, Programação Quadrática, Relaxação Lagrangeana, etc.

12 Algoritmo da Iteração λ γ: Consiste de três laços iterativos: Laço interno: ajusta os multiplicadores de Lagrange λ j para reesolver equações de coordenaçãohidrotérmicaedebalançode potência; Laço intermediário: incrementa os intervalos de tempo até esgotar o horizonte de tempo de estudo; Laço externo: ajusta iterativamente o multiplicador de Lagrange da restrição de volume, γ, até que esta restrição seja cumprida.

13 1. Inicializar λ k,γe P T,k ; 2. Inicializar contador de intervalos de tempo: j =1; 3. Resolver eqs.de coord. para P T,j e P H,j : h j df (P T,j ) dp T,j h j γ dq(p H,j) dp H,j P + λ perdas,j j P T,j P + λ perdas,j j P H,j = λ j = λ j 4. Verificar eq. de balanço de carga: P L,j + P perdas,j P H,j P T,j ε 1 Se satisfeita, ir para o passo 5. Senão,projetar novo λ j e retornar ao passo 3; 5. Calcular q j = q(p H,j ); 6. Se j = j max, ir para passo 7. Se não, fazer j j +1e retornar ao passo 3; 7. Verificar a restrição de volume: max Pj j=1 h j q (P H,j ) V tot ε 2 Se satisfeita, FIM. Senão, projetarnovoγ e retornar ao passo 3.

14 Exemplo 4: Reconsidere o Exemplo 3, agora supondo que a UHE está localizada a uma certa distância da carga, de modo que as perdas de transmissão são significativas e dependem apenas de P H,sendo dadas por P perdas,j = P 2 H,j, j =1,...,j max. Encontre os novos despachos da UHE e da UTE, bem como os multiplicadores de Lagrange e as perdas de transmissão.

15 Solução: A aplicação do Algoritmo da Iteração λ γ fornece: Período P T,j P H,j λ j P perdas,j q j , 4 668, 3 135, 46 35, , , 7 875, 6 140, 68 61, , 7 Além disso, γ =2, 028 $/dam 3.As seguintes observações aplicam-se a este exemplo: Na presença de perdas, os multiplicadores λ j eas potências geradas pelas térmicas, P T,j, não são mais constantes ao longo dos intervalos de tempo; O fato das perdas serem produzidas apenas pela potência gerada pela UHE tem o efeito de desvalorizar a água, como pode ser verificado comparando-se o valor de γ calculado neste exemplocomoobtidonoexemplo3.

16 Inclusão de Restrições Hidráulicas: Representação explicita de variáveis hidráulicas da Coord. H-T; Restr. de volume especificadas por intervalo; Consideram-se limites sobre variáveis hidráulicas. r V 1 u q ~ P H r j : vazão afluente para reserv. durante o interv. j; q j : vazão turbinada (engolimento) no interv. j; u j : taxa de vertimento no interv. j; V j : volume armazenado no reserv. no interv. j.

17 Balanço Hídrico: Ainda supondo H cte. q j = q(p H,j ),temos: V j = V j 1 +(r j q j u j ) h j Formulação do Problema considerando balanço hídrico: sujeito a: min F T = j Pmax j=1 h j F (P T,j ) P L,j + P perdas,j P T,j P H,j =0 V j V j 1 (r j q j u j ) h j =0 V V j V P T P T,j P T P H P H,j P H 0 u j,j=1,...,j max

18 Observações: 1. Restrição de balanço hídrico (RBH) é versão mais detalhada da restrição de volume única (RVU) da abordagem anterior; 2. Volume inicial V 0 deve ser especificado; 3. Se volume final V jmax também for especificado, RBH e RVU são essencialmente equivalentes, com a diferença que RBH permite levar em conta limites sobre cada V j ; 4. Não-negatividade sobre os vertimentos é necessária.

19 Função Lagrangeana: L = j Pmax j=1 jp max j=1 jp max j=1 jp max F (P T,j ) h j + j Pmax j=1 γ j [V j V j 1 (r j q j u j )h j ]+ h i α j (V V j )+α j (V j V ) + λ j (P L,j + P perdas,j P H,j P T,j )+ πt,j (P T P T,j )+π T,j PT,j P T + j=1 jp max j=1 jp max πh,j (P H P H,j )+π H,j PH,j P H + j=1 π u,j u j Por simplicidade, será desconsiderado o vertimento: u j =0,j=1,...,j max

20 Condições de otimalidade: As condições de factibilidade dual são: que fornecem: L L P T,k =0 P H,k =0 L V k =0 h k df (P T,k ) dp T,k λ k ³ 1 P perdas,k P T,k π T,k + π T,k =0 γ k h k dq(p H,k ) dp H,k λ k ³ 1 P perdas,k P H,k π H,k + π H,k =0 γ j γ j+1 α j + α j =0 j =1,...,j max

21 Análise das condições ( L/ V k )=0-I: L V k = γ j γ j+1 α j + α j =0 ( ) 1. Limite de volume não atingido em nenhum intervalo: Pelas conds. de folga complem.: portanto, de ( ): α j = α j =0 γ j = γ j+1,j=1,...,j max 1 Conclusão: valor da água γ constanteaolongode todo o horizonte de tempo.

22 Análise das condições ( L/ V k )=0- II: L V k = γ j γ j+1 α j + α j =0 ( ) 2. Lim. superior de vol. atingido no interv. k apenas: Usando Eq ( ): γ k = γ k+1 α k Como α k > 0, então γ k <γ k+1. Conclusão: maior oferta de água intervalo k (valor da água no interv. k) < (valor da água no interv. k +1).

23 ProgramaçãodeCurtoPrazoemSistemasReais: Reservatórios em cascata: Balanço hídrico para reserv. i: V i,j+1 = V i,j +h j r i,j h j (q i,j +u i,j )+ X Ω i h j (q,j ω +u,j ω )

24 Potência gerada em função da vazão e da altura líquida de queda: Potência ativa produzida por uma usina hidráulica: P Hi,j = K i H li q i,j onde P Hi,j : potência ativa gerada pela usina i no intervalo j (MW); H li : altura líquida de queda da usina i (m); K i : produtividade específica da usina i. K i = ρgη i ; ρ : densidade da água (kg/m 3 ); g : aceleração da gravidade (m/s 2 ); η i : rendimento do conjunto turbina-gerador da usina i. Altura de queda líquida é dada pela diferença entre aalturadequedabrutaeasperdasdevidasao atrito da água: H li = H v (V i,j ) H w (q i,j + u i,j ) pc i