Aula 01: Introdução Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo

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1 Aula 01: Introdução Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo BCC464/PCC /2 Slides baseados no material de Haroldo Gambini

2 Aula de Hoje 1 Otimização 2 Pesquisa Operacional 3 Exemplo: O Problema da Dieta 4 Método Gráfico 1 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

3 Aula de Hoje 1 Otimização 2 Pesquisa Operacional 3 Exemplo: O Problema da Dieta 4 Método Gráfico 1 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

4 Introdução Selecionar a melhor entre um conjunto de alternativas Ramo da matemática aplicada: teoria; algoritmos; aplicações. 2 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

5 Introdução Exemplo de problema: Objetivo: encontrar o maior número primo. Restrição: com 3 casas decimais. Solução ótima: / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

6 Introdução Formato Função objetivo: f : R n R Restrições que definem o conjunto de soluções válidas: S R n (normalmente um conjunto de equações/desigualdades) Resolvendo... Encontrar x S, uma solução ótima, que minimiza/maximiza o valor da função objetivo f 4 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

7 Otimização... Linear x 1 + 3x 2... Não Linear seno(x 1 ) + 3x 2... Contínua x R n Discreta x Z n Multicritério... 5 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

8 Aula de Hoje 1 Otimização 2 Pesquisa Operacional 3 Exemplo: O Problema da Dieta 4 Método Gráfico 5 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

9 Pesquisa Operacional Ramo da Ciência que lida com a otimização do desempenho de sistemas. Otimizar... maximizar lucro; maximizar satisfação; minimizar custos; minimizar riscos;... 6 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

10 Pesquisa Operacional: Origens Históricas Início formal: II Grande Guerra Mundial Exército britânico: Cerca de 1000 cientistas de Pesquisa Operacional. Grupo altamente interdisciplinar. Problemas resolvidos pelo grupo: Localização de radares. Determinação do tamanho de frotas de navios. Detecção de submarinos. Rapidamente implementado pelos países aliados. 7 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

11 Pesquisa Operacional: Definição Pesquisa Operacional (PO) ou Ciência do Gerenciamento estuda as operações de uma organização e utiliza modelos matemáticos e/ou computacionais ou outras abordagens analíticas para encontrar maneiras melhores de realizá-las. The Science of Better 8 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

12 Construindo um Modelo Interesse em modelar matematicamente o processo de decisão: Parar com o: E começar a formalizar: x 1 + x 4 + x 7 10 x 3 x / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

13 O Modelo Variáveis de Decisão variáveis cujos valores serão escolhidos. Exemplo Planejamento de produção de combustíveis: x 1 quantidade em milhares de litros de gasolina que será produzida; x 2 quantidade em milhares de litros de diesel que será produzido. 10 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

14 O Modelo Dados de Entrada valores fixos (decididos a priori); também chamadas variáveis não controladas. Exemplo Planejamento da Produção: custos de matéria prima; custos trabalhistas; disponibilidade de matéria prima. 11 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

15 Programação Linear: breve histórico George Dantzig 1939: teoria matemática por Kantorovich (lhe rendeu um Nobel) 1940: algoritmo Simplex (por Dantzig) baseado em operações elementares sobre matrizes; tedioso de resolver a mão. felizmente: nascimento do computador eletrônico também nos anos 40! 12 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

16 Programação Linear Utilização Pós-Guerra Crescente utilização no comércio e indústria Moscow, 1958: Planejamento do transporte de areia para construção: 10 pontos de origem 230 pontos de destino 10 dias de um computador Strena 11% de economia 13 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

17 Programação Linear Utilização Pós-Guerra Rijkswaterstaat da Noruega, 1986: definição da política de gerenciamento de água 15 milhões economizados anualmente Eletrobrás, CEPEL, 1986: alocação de recursos térmicos e hidráulicos no sistema nacional gerador de energia 43 milhões economizados anualmente 14 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

18 Programa Linear - Formato Função Objetivo Minimizar custo, tempo, risco, poluição,... ou Maximizar lucro, qualidade, segurança,... ou Encontrar qualquer solução viável Restrições Disponibilidade: recursos finitos,... Operacionais: horários de trabalho, tempo de máquina,... Limites: venda em escala, / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

19 Aula de Hoje 1 Otimização 2 Pesquisa Operacional 3 Exemplo: O Problema da Dieta 4 Método Gráfico 15 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

20 Exemplo: O Problema da Dieta Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 8 unidades de vitamina e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 4 unidades de vitamina e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custo 2,5 unidades monetárias. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com menor custo possível 16 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

21 Exemplo: O Problema da Dieta Variáveis de Decisão x 1 quantidade de carne x 2 quantidade de ovos Custo de uma solução Preço da carne: 3 unidades monetárias Preço dos ovos: 2,5 unidades monetárias Custo total = 3x 1 + 2, 5x 2 17 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

22 Exemplo: O Problema da Dieta A solução tem que satisfazer os requerimentos nutricionais: Nutriente Quantidade Mínima Vitaminas 32 Proteínas 36 Restrições Carne Ovos Vitaminas 8x 1 4x 2 32 Proteínas 6x 1 6x / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

23 Exemplo: O Problema da Dieta Minimizar: 3x 1 +2, 5x 2 (1) Sujeito a: 8x 1 + 4x 2 32 (2) 6x 1 + 6x 2 36 (3) x 1 0 (4) x 2 0 (5) 19 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

24 Aula de Hoje 1 Otimização 2 Pesquisa Operacional 3 Exemplo: O Problema da Dieta 4 Método Gráfico 19 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

25 O Método Gráfico Trabalhando com 2 variáveis, podemos visualizar um Programa Linear no plano cartesiano: Soluções representadas por pontos no gráfico. Restrições indicadas por regiões do gráfico onde as soluções são válidas. 20 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

26 Método Gráfico - Restrições x x 1 Exemplo: considere a restrição x 1 + 2x / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

27 Exemplo de Método Gráfico: A Roça Um pequeno agricultor está decidindo quantos sacos de sementes irá plantar de soja e de milho. Ele dispõe de 350 reais. O custo do saco de sementes de soja é 70 reais e o custo do saco de sementes de milho é de 50 reais. Para buscar as sementes o agricultor tem uma picape capaz de carregar 400 kilos. Cada saco de sementes de soja pesa 50 quilos e cada saco de sementes de milho pesa 80 kilos. Consultando o vendedor, ele verificou que o vendedor dispõe de 4 sacos de soja e uma grande quantidade de sacos de milho. O agricultor calculou que irá lucrar na época da colheita 300 reais por saco de soja e 280 reais por saco de milho plantados. Quantos sacos de soja/milho ele deve plantar para maximizar o lucro? 22 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

28 O Gráfico x , x 1 Variáveis: x 1 : qtde de soja x 2 : qtde de milho Restrições: Dinheiro (máx: 350) soja: 70 milho: 50 70x x Peso (máx: 400) soja: 50 milho: 80 50x x Disponibilidade soja: 4 x 1 4 Lucro (Objetivo): Max. 300x x 2 23 / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

29 Espaço de Soluções Exemplo 2 1 desenhe no gráfico a região factível (região de soluções) que satisfaz as restrições abaixo: x 1 + 3x x 1 + x 2 16 x 1 0 e x / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

30 x 2 16 x 1 +3x 2 apple x 1 + x 2 16 x 1, x x 1 Túlio / Toffolo / 26 Túlio Otimização Toffolo Otimização Linear e Inteira: LinearApresentação e Inteira Aula 01: Introdução

31 Espaço de Soluções Exercício 1 desenhe no gráfico a região factível (região de soluções) que satisfaz as restrições abaixo: 5x 1 + 2x x 1 3x 2 3 x 1 0, x 1 2 x / 26 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 01: Introdução

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