Aulas 2 e 3 - Modelos de Programação Linear

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1 Aulas 2 e 3 - Modelos de Programação Linear Pesquisa Operacional I Prof. Marcos Roboredo [email protected]

2 Programação Matemática Um modelo de programação matemática é definido por um sistema de equações/inequações. As variáveis representam as decisões a serem tomadas. As equações/inequações representam as restrições que existem sobre essas decisões, refletindo as características do sistema real. Uma função objetivo indica qual dentre as possíveis decisões é a mais desejável (solução ótima). 2

3 Tipos de Modelos de Programação Matemática Programação Linear: todas as restrições e a FO são funções lineares Um número razoável de sistemas reais podem ser bem modelados como PLs Métodos de solução extremamente eficazes, problemas com milhões de variáveis e restrições podem ser resolvidos num laptop 3

4 Tipos de Modelos de Programação Matemática Programação Inteira: todas as restrições e a FO são funções lineares, mas algumas variáveis podem ser obrigadas a terem valores inteiros. Um número enorme de sistemas reais podem ser bem modelados como Pis. Métodos de solução bem menos eficazes, problemas com alguns milhares de variáveis e restrições já podem ser intratáveis. 4

5 Problema da Dieta Em 1945, o economista George Stigler propôs o problema de calcular o custo mínimo anual de sobrevivência nos EUA. 5

6 Problema da Dieta Segundo os nutricionistas da época, as necessidades de um homem de 70 Kg são: Nutriente Calorias Proteína Cálcio Ferro Vit. A Vit. B1 Vit. B2 Niacina Vit. C Mínimo/dia 3000 kcal 70 g 0,8 g 12 mg 5000 UI 1,8 mg 2,7 mg 18 mg 75 mg 6

7 Problema da Dieta Stigler pesquisou a quantidade desses nutrientes em 77 diferentes alimentos, bem como o custo desses alimentos no atacado. Nutriente Calorias Proteína Cálcio Ferro Vit. A Vit. B1 Vit. B2 Niacina Vit. C Mínimo/dia 3000 kcal 70 g 0,8 g 12 mg 5000 UI 1,8 mg 2,7 mg 18 mg 75 mg 7

8 Problema da Dieta Depois de sucessivas tentativas, Stigler encontrou a seguinte possível dieta: Alimento Quant. Custo Farinha de trigo 167,8 kg $13,33 Leite Condensado 57 latas $3,84 Repolho 50,3 kg $4,11 Espinafre 10,4 kg $1,85 Feijão 129,3 kg $16,80 Total $39,93 8

9 Problema da Dieta Esse custo de $39,93 equivale a cerca de $600 em valores atuais. Em 1947 Dantzig imediatamente percebeu que esse problema poderia ser modelado por PL e encontrou a solução ótima com um custo de $39,69. Essa modelagem logo foi adotada na indústria de rações para animais 9

10 Exemplo - problema da dieta Uma nutricionista de empresa quer montar porções de salada de frutas que contenham pelo menos 3000 UI de vitamina A e 50 mg de vitamina C. As frutas disponíveis no dia são: abacaxi, banana, maçã e melancia. 10

11 Custo por kg e quantidade de nutrientes ,00 3, A C 11

12 Custo por kg e quantidade de nutrientes ,00 3, A C Variáveis: x j : Quantidade do alimento j que deve ser incluída na dieta; j=1,2,3,4 12

13 Programa Linear Min 1,50 x 1 + 2,00 x 2 + 3,00 x 3 + 0,80 x 4 S.a 7 x x x x x x x 4 5 x 3 A C 13

14 Programa Linear Min 1,50 x 1 + 2,00 x 2 + 3,00 x 3 + 0,80 x 4 S.a 7 x x x x x x x 4 5 x 3 A C Solução ótima: 88g de maçã e 60g de melancia. Custo: R$ 0,31/ porção 14

15 Dados do Modelo Genérico N: Número de alimentos considerados M: Número de nutrientes considerados C j : Custo por unidade do alimento j; j=1,...,n Min i : Necessidade mínima do nutriente i; i=1,...,m a ij : quantidade do nutriente i por unidade do alimento j; i=1,...,m, j=1,...,n Os dados de um modelo são conhecidos a priori, ou seja, antes de resolver o modelo. 15

16 Variáveis do Modelo Genérico x j : Quantidade do alimento j que deve ser incluída na dieta; j=1,...,n As variáveis de um modelo representam as decisões a serem tomadas, seus valores só serão conhecidos após a resolução do modelo. 16

17 Formulação do Modelo Genérico M in s.a N j 1 N j 1 x c a j j ij x x j j Min 0 i i 1,..., M j 1,..., N A formulação é o sistema de equações/inequações montado sobre os dados e as variáveis e que deve ser resolvido matematicamente 17

18 Todo modelo de PO deve ser criticado antes de ser adotado! Suponha que você é o gerente de uma granja de frangos e vai usar o modelo do problema da dieta para determinar a composição ótima da ração nesse mês. Você analisa todos os 73 possíveis ingredientes disponíveis no mercado com respeito a todos os 40 nutrientes considerados importantes para as aves. 18

19 Todo modelo de PO deve ser criticado antes de ser adotado! Mesmo assim, que críticas ainda poderiam ser levantadas sobre a validade do seu modelo? Em outras palavras, que elementos do sistema real ignorados no modelo poderiam fazer com que a solução ótima do modelo fique distante da solução ótima real? 19

20 Hipóteses de modelos de PL que podem levar a críticas Proporcionalidade: o efeito de uma variável na FO e nas restrições é proporcional a seu valor. Aditividade: o efeito total de duas (ou mais) variáveis é a soma dos seus efeitos individuais. Divisibilidade: as variáveis podem assumir valores fracionários. 20

21 Exemplo de crítica e possíveis ações Crítica: os ingredientes só são vendidos em sacas de 60kg Ações: A granja é grande e as compras são da ordem de dezenas de toneladas? Sim => Manter o modelo como está 21

22 Exemplo de crítica e possíveis ações Não, a granja é pequena e as compras são da ordem de centenas de quilos. O excesso comprado em um mês pode ser estocado para o seguinte? Sim => Manter o modelo Não, os ingredientes são perecíveis => Transformar em um modelo de PI 22

23 Todo modelo de PO deve ser criticado antes de ser adotado! É possível que surjam críticas relevantes que não tem como ser rebatidas ou facilmente contornadas. Nesses casos pode ser preciso repensar todo o modelo. 23

24 Exercício 1: Problema do Transporte Considere uma companhia distribuidora de bebidas que tem m centros de produção e n mercados consumidores principais. O custo unitário de se transportar uma unidade do produto do centro de produção i ao mercado consumidor j é denotado por c ij. A demanda de cada centro consumidor j é denotada por a j enquanto a capacidade máxima de fornecimento do centro de produção j é denotada por b j. Faça um modelo de PL que indique como deve ser feita a distribuição minimizando o custo total.

25 Exercício 1: Problema do Transporte Instância: m = 2 (Araraquara e São José dos Campos) e n = 3 (São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro). Os custos unitários c ij, as demandas a i e as capacidades b j são dadas na Tabela. Mercado Consumidor Capacidade (b i ) Centro de produção São Paulo Belo Horizonte Rio de Janeiro Araraquara S. J. dos Campos Demanda (a i )

26 Exercício 2: Problema do Transbordo Considere uma companhia distribuidora de bebidas que tem 2 centros de produção (Araraquara e São José dos Campos) e 3 mercados consumidores principais (São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro). O transporte não pode ser feito diretamente pois deve antes passar por um dos dois centros de distribuição (CD1 e CD2). O custo unitário de se transportar uma unidade do produto de cada centro de produção a cada centro de distribuição e de cada centro de distribuição para cada mercado consumidor são dados nas Tabelas. Nessas tabelas, são também apresentadas as demandas de cada mercado e a quantidade máxima disponível do produto em cada centro de produção no próximo período. Faça um modelo de PL que indique como deve ser feita a distribuição minimizando o custo total.

27 Exercício 2: Problema do Transbordo Centros de Distribuição Centro de produção CD1 CD2 Suprimento Disponível Araraquara São josé dos Campos Mercado Centro de distribuição São Paulo Belo Horizonte Rio de Janeiro CD CD Demanda

28 Exercício 3: Gestão de estoques Considere que é conhecida a demanda de um determinado produto para os próximos m meses. A demanda de cada mês i é denotada por d i. Esta demanda pode ser atendida das seguintes maneiras: 1) Produção do próprio mês em horário normal custo de c x por unidade. 2) Produção do próprio mês em hora extra - custo de c y por unidade. 3) Estoque do mês anterior O custo de estocagem é de c e por unidade por um mês. O limite de produção em horário normal, hora extra é de respectivamente B x e B y unidades. Existe ainda uma capacidade máxima de B e unidades em estoque por mês. Faça um modelo de PL indicando qual deve ser a política de estoque ao menor custo total.

29 Exercício 3: Gestão de estoques Instância: Nos próximos 6 meses, uma malharia deve atender os seguintes compromissos: Janeiro 4000 peças, Fevereiro 2000 peças, Março 5000 peças, Abril 1000 peças, Maio 4000 peças, Junho 2000 peças. Ao final de Dezembro, há 500 peças em estoque e a empresa só tem capacidade para produzir 3000 peças mensais. Entretanto, usando horas extras, a empresa pode produzir 600 peças a mais do que sua capacidade normal. O custo variável de produzir uma peça é $3,00 em horário normal e $3,40 em hora extra. O custo de estoque de uma peça por um mês é de $0,25 por peça. O máximo que se pode estocar de um mês para outro são 500 peças. Qual deve ser a política de produção desta empresa de modo a minimizar os custos?

30 Exercício 4: Problema das Fazendas Uma cooperativa agrícola opera 3 fazendas que possuem produtividades aproximadamente iguais entre si. A produção total por fazenda depende fundamentalmente da área disponível para o plantio e da água de irrigação. A cooperativa procura diversificar sua produção, de modo que vai plantar este ano três tipos de cultura em cada fazenda, a saber: milho, arroz e feijão. Cada tipo de cultura demanda por específica quantidade de água. Para reduzir o conflito no uso das colheitadeiras, que são alugadas pela cooperativa, estabeleceram-se limites de área de produção dentro de cada tipo de cultura. Para evitara concorrência entre os cooperados, acordou-se que a proporção de área cultivada seja a mesma para cada uma das fazendas. As Tabelas a seguir resumem os dados tecnológicos. Pede-se um modelo PL que defina a área de cada cultura que será plantada em cada fazenda, de modo a otimizar o lucro total da produção da cooperativa..

31 Exercício 4: Problema das Fazendas

32 Exercício 5: Investimentos Seja um investidor que dispõe de $ e várias opções de investimento. O investidor pretende maximizar seu capital ao final de um ano, levando em conta os investimentos potenciais. No investimento A cada real aplicado hoje produz uma renda trimestral de $ 0,04 e devolve o principal ao final de um ano. No investimento B cada real aplicado hoje retorna $ 1,40 ao final de um ano. O investimento C estará disponível ao início do 3o trimestre e cada real aplicado retornará $ 1,25 ao final do ano. Sabe-se que qualquer real não investido pode ser mantido em fundos de renda fixa que remuneram o investidor em $ 0,03 por trimestre. Por outro lado, o investidor deseja diversificar e evitar concentrar suas aplicações no melhor investimento. Assim, nenhuma alternativa deverá aplicar mais do que $

33 Exercício 6: Investimentos (maxmin) Um investidor deseja investir uma quantidade de capital K em projetos de n tipos com um prazo de T meses. Para i = 1,, n e t = 1,, T, o retorno no mês t de um projeto do tipo i por unidade de capital investido é dado por a it. Quanto o investidor deve investir em projetos de cada tipo de modo a ter um retorno total o mais uniforme possível, ou seja, maximizando o retorno total mínimo de um mês? Instância: K = 100, n = 3, T = 3 a 11 = 2 a 12 = 3 a 13 = 0 a 21 = 2 a 22 = 1 a 23 = 4 a 31 = 3 a 32 = 0 a 33 = 2

34 Exercício 7: Processos Químicos A empresa Petro dispõe de duas fontes de petróleo bruto, denominadas Óleo A e Óleo B, vendidos em barris (bbl), que ela pode adquirir para processamento. O óleo A custa $28,00/bbl e o óleo B, $22,00/bbl; as quantidades disponíveis são de bbl/dia e bbl/dia, respectivamente. Esses óleos podem passar por dois processos sucessivos, nos quais não há perdas em volume: primeiro uma destilação que agrupa os óleos em suas frações leves e pesadas, das quais podem ser vendidas ou processadas novamente. O segundo processo é craqueamento que os transforma em dois produtos finais: gasolina e diesel. As Tabelas indicam as proporções resultantes dos dois processos. Sabe-se que as frações leves podem ser vendidas a $30/bbl e as pesadas, por $27/bbl; a gasolina é vendida por $35/bbl, enquanto o diesel é vendido a $30/bbl. Formular o modelo de maximização do lucro.

35 Exercício 7: Processos Químicos