AULA DE HOJE Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas Introdução Modelagem matemática: conceitos básicos Construção de um modelo matemático

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1 AULA DE HOJE Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas Introdução Modelagem matemática: conceitos básicos Construção de um modelo matemático Prof. Silvio Alexandre de Arauo Modelos de otimização Sistemas computacionais de modelagem e resolução Exercícios PROGRAMA. Introdução aos problemas de otimização linear 2. Construção de modelos de otimização linear 3. Ferramentas computacionais: linguagens de modelagem e sistemas de otimização 4. Conceitos de Álgebra Linear e Análise Convexa 5. Método simplex 6. Teoria da Dualidade 7. Análise de Sensibilidade 8. Aplicação: Problema do transporte, Problema da Designação, Outros BIBLIOGRAFIA BÁSICA. ARENALES, M., ARMENTANO, V., MORABITO, R. E YANASSE, H.-Pesquisa Operacional-2007 Editora Campus. 2. Bazaraa, M.S. & Jarvis, J.J., Linear Programming and Network Flows. John Wiley & Sons Inc,. New York, Goldbarg, M. C. e Luna, H. P. Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos. Editora Campus. Rio de Janeiro, Maculan, N. e Fampa, M. H. C., Otimização Linear, Editora UnB, Willians, H.P. - Model Bulding in Mathematical Programming, John Wiley & Sons, 990.

2 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR. Campelo, R.E e N. Maculan, Algoritmos e Heuristicas, Editora da Universidade Federal Fluminebse, Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, 3a ed., CHVÁTAL, V. - Linear Programming, W.H. Freeman and Company, DANTZIG. G.B. e TAPPA,M.N. - Linear Programming - : Introduction, Springer, Gonzaga, Algoritmos de Pontos Interiores para Programação Linear, 7o Colóquio Brasileiro de Matemática, LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões, Ed. Campus, PRADA, D. Programação Linear, Editora DG, PUCCINI, A.L. e PIZZOLATO, N.D. - Programação Linear, LTC, Schriver, Theory of Linear and Integer Programming, Wiley RANGEL, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira.. ed. São Carlos-SP SBMAC, v. único. 82 Critério de Avaliação VERIFICAÇÕES DA APRENDIZAGEM Avaliações ª (7/2/4) 2ª (04/02/5) PESO Média Final (MF): MF = (P + P2) / 2 Se MF>= 5 Aprovado Se MF<5 Prova de Recuperação (PR)-dia /02/5 Introdução - Neste curso veremos aplicações de Pesquisa Operacional (Operations Research) Definição de Pesquisa Operacional (PO): A PO é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões; Aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção, planeamento ou operação de sistemas. Introdução Como surgiu a PO: O termo Pesquisa Operacional: invenção do radar na Inglaterra em 934 (Operações Militares) Segunda Guerra Mundial: para lidar com problemas de natureza logística, tática e de estratégia militar. Criaram-se grupos multidisciplinares de matemáticos, físicos e engenheiros e cientistas sociais. Desenvolve-se a ideia de criar modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que permitisse perceber os problemas em estudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias ou decisões alternativas.

3 Introdução O desenvolvimento da PO: Após a guerra, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia se transferiram para as empresas. Destaque para George Dantzig com o Método Simplex para problema de otimização linear No Brasil a partir de 960 O desenvolvimento da PO: Introdução Em alguns países, em que prevaleceu a preocupação com os fundamentos teóricos, a PO se desenvolveu sob o nome de Ciência da Gestão ou Ciência da Decisão; Em outros, em que predominou a ênfase nas aplicações, com o nome de Engenharia Industrial ou Engenharia de Produção. Hoe, com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação, permite-se trabalhar em praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à Medicina, passando pela Economia e a Gestão Empresarial. Introdução Algumas aplicações práticas Roteirização de Veículos Problema: entrega de mercadoria aos clientes. Decisão: qde de carga a ser colocada em cada caminhão; quais caminhões irão atender quais clientes. Decisão: otimizar as rotas dos veículos considerando eventual necessidade de reabastecimento. Aplicações: entrega de correspondência, empresas atacadistas, coleta de lixo urbano, etc. Ensalamento em Escolas e Universidades (Timetabling) Problema: alocação de horários de aulas para os docentes e alocação de salas para as disciplinas, Decisão: gerar uma tabela de horários, visando minimizar os conflitos, maximizar preferências, compactar horários de professores e alunos Aplicações: instituições de ensino Introdução Corte de Materiais Problema: cortar peças grandes em pedaços menores de acordo com as demandas dos clientes. Decisão: otimizar a maneira de cortar as peças grandes de modo que o desperdício sea minimizado e que as demandas dos clientes seam atendidas. Aplicações: industrias de fabricação de vidro, metal, madeira, rolos de papel, colchões, etc. Empacotamento Problema: empacotar itens de modo que o espaço necessário para guardá-los sea o menor possível (inverso do problema de corte) Decisão: otimizar a maneira de empacotar itens minimizando o espaço necessário. Aplicações: paletização de cargas, carregamento de caminhões, etc. Escalonamento de Trabalho Humano Problema: alocar funcionários às tarefas. Decisão: otimizar tais alocações considerando restrições trabalhistas e restrições operacionais de forma que todas as tarefas seam cumpridas e os gastos com mão-de-obra seam minimizados Aplicações: companhias aéreas, centrais telefônicas, hospitais, transporte coletivo, etc.

4 Introdução Localização de Facilidades Problema: desea-se determinar quais os melhores locais para instalação das facilidades Decisão: otimizar as decisões sobre as localizações de forma que todos os clientes seam atendidos a um custo mínimo. Aplicações: instalação de depósitos industriais, pronto-socorro, corpo de bombeiros. Proeto de Redes Problema: proetar redes com algumas restrições de conectividade. Decisão: otimizar as ligações da rede com o menor custo possível de forma que nós importantes tenham a comunicação assegurada (inclusive com rotas alternativas para o caso de problemas de conectividade) enquanto outros menos importantes e podem servir apenas como um nó intermediário Aplicações: construção de redes em geral, energia, telefonia, computadores, etc. Introdução Dimensionamento de Lotes (Planeamento de Produção) Problema: planear a produção para um determinado horizonte de tempo. Decisão: decidir quanto deve produzir a cada período de forma a atender toda a demanda e minimizar os custos. Pode-se considerar restrições de capacidade de produção. Aplicações: industrias em geral; Sequenciamento de Tarefas em Máquinas Problema: fabricar determinado produto final a partir da execução de tarefas operacionais. Decisão: otimizar a ordem em que as tarefas devem ser processadas em cada máquina de forma a minimizar o tempo de produção. As tarefas podem ter regras de precedência entre si. Aplicações: industrias em geral;. Construção de um modelo matemático. Construção de um modelo matemático Um Exemplo Simples: da Prática para Matemática Uma empresa de consultoria financeira tem um capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 6 bons investimentos com diferentes níveis de risco e de retorno. A decisão a ser tomada consiste em escolher ou não determinado investimento. Matematicamente podemos considerar esta decisão utilizando uma variável binária: para =,...,6 w = se o investimento for selecionado 0 caso contrário

5 . Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w =. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w = b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros proetos deve ser escolhido 8 w = b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 w 3 = 9

6 . Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w = b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 = 9 w 3 c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w = b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 = 9 w 3 c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado w 4 + w 9 =. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w = b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 = 9 w 3 c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado w 4 + w 9 = d) o investimento pode ser selecionado só se o 2 também for. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w = b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 = 9 w 3 c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado w 4 + w 9 = d) o investimento pode ser selecionado só se o 2 também for w w 2

7 . Construção de um Modelo Matemático Exemplo com Números: da Prática para a Matemática Elementos Conhecidos: Uma empresa tem $4.000 de capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 4 bons investimentos cuos respectivos lucros esperados são $6.000, $22.000, $2.000 e $8000. Cada investimento só pode ser feito uma única vez e necessita um desembolso de $5000, $7000, $4000 e $3000, respectivamente. Formule um modelo matemático que determine os investimentos que maximizam o lucro esperado. Para construir um modelo matemático devemos considerar: Elementos Desconhecidos: o que queremos determinar? Função Obetivo: qual o obetivo que queremos otimizar? Restrições: quais são as restrições que devem ser consideras?. Construção de um Modelo Matemático Elementos Desconhecidos: Variáveis de decisão (para =,...,4) x = se o investimento for escolhido 0 caso contrário Modelo matemático: Função Obetivo: max z = 6 x + 22 x x x 4 Restrições: sueito a 5 x + 7 x x x 4 <= 4 x = 0 ou ; =,2,3,4. Construção de um Modelo Matemático Considere agora as restrições adicionais:. Se se decidir pelo investimento 2, então tem-se que fazer também o 2. Se se decidir pelo investimento 2, então não se pode fazer o 4. Exercício: Modele estas novas situações:. x 2 x 2. x 2 + x 4. Construção de um Modelo Matemático Modelo Final: max z = 6 x + 22 x x x 4 sueito a 5 x + 7 x x x 4 <= 4 x 2 <= x x 2 + x 4 <= x = 0 ou ; =,2,3,4

8 . Construção de um modelo matemático. Construção de um modelo matemático Descrição do Problema: uma fundição deve produzir 30 toneladas de um tipo liga a partir de quantidades variadas de diversos produtos de forma a minimizar o custo de produção desta liga Ingredientes Composição % Descrição do Problema: dados Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Carbono 0.43 Silício 0.9 Manganês 0.2

9 Matéria-prima: ingredientes Liga Metálica (Mistura) Fabricação da Peça Ingredientes Composição % Descrição do Problema: dados Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Carbono 0.43 Silício 0.9 Manganês 0.2

10 . Construção de um modelo matemático Construindo um modelo para o Problema da Mistura Neste problema temos: elementos conhecidos: composição e custo dos ingredientes elementos desconhecidos: quanto colocar de cada ingrediente na mistura obetivo a ser alcançado: obter uma mistura de baixo custo restrições: a mistura deve ter uma quantidade mínima de componentes Variáveis de decisão: - A mistura deve ser feita a partir mistura de 4 itens (=,2,3,4) - x : quantidade (em kg) do ingrediente a ser colocada na mistura - Função Obetivo: Minimizar 90 x + 80 x x x 4 - Restrições de Composição Mínima: 0.50 x x x x 4 30 (0.43) :C 0.20 x x x x 4 30 (0.9) :Si 0.23 x x x x 4 30 (0.2) :Mn - Restrições de Atendimento da Demanda: x + x 2 + x 3 + x 4 = 30 Modelo Matemático Minimizar 90 x + 80 x x x 4 Sueito a: 0.50 x x x x 4 30 (0.43) 0.20 x x x x 4 30 (0.9) 0.23 x x x x 4 30 (0.2) x + x 2 + x 3 + x 4 = 30 x 0; x 2 0; x 3 0; x Restrições de Não Negatividade das Variáveis: x 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0

11 . Construção de um modelo matemático Modelo Matemático Minimizar 90 x + 80 x x x 4 Sueito a: 0.50 x x x x 4 30 (0.43) 0.20 x x x x 4 30 (0.9) 0.23 x x x x 4 30 (0.2) x + x 2 + x 3 + x 4 = 30 x 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 Solução Mistura: x = 9,3333; x 2 = 0; x 3 = 4,66667; x 4 =6 Valor do f.o.=2066, Modelo Matemático Minimizar 90 x + 80 x x x 4 Sueito a: C: 0.50x x x x 4 30 (0.43) Si: 0.20x x x x 4 30 (0.9) Mn: 0.23x x x x 4 30 (0.2) => 4, ,745+0,3=5,492 3,6 x + x 2 + x 3 + x 4 = 30 x 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 Solução Mistura: x = 9,3333; x 2 = 0; x 3 = 4,66667; x 4 =6 Valor do f.o.=2066, Revisão : gerente percebe que a quantidade de manganês está excessiva e informa que também existe um limite máximo para cada componente. No caso do manganês 0.8*30=5.4 Ingredientes Composição % Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Composição Máxima Carbono Silício Manganês

12 Modelo Matemático Minimizar 90 x + 80 x x x 4 Sueito a: 30 (0.43) 0.50 x x x x 4 30 (0.65) :C 30 (0.9) 0.20 x x x x 4 30 (0.30) :Si 30 (0.2) 0.23 x x x x 4 30 (0.8) :Mn x + x 2 + x 3 + x 4 = 30 x 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 Modelo Matemático Minimizar 90 x + 80 x x x 4 Sueito a: 30 (0.43) 0.50 x x x x 4 30 (0.65) :C 30 (0.9) 0.20 x x x x 4 30 (0.30) :Si 30 (0.2) 0.23 x x x x 4 30 (0.8) :Mn x + x 2 + x 3 + x 4 = 30 x 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 Solução Mistura: x = 8,9573; x 2 = 0,234543; x 3 = 4,45009; x 4 =6,26805 Valor do f.o.=208, Construção de um modelo matemático Modelo Matemático Minimizar 90 x + 80 x x x 4 Sueito a: 30 (0.43) 0.50 x x x x 4 30 (0.65) :C 30 (0.9) 0.20 x x x x 4 30 (0.30) :Si 30 (0.2) 0.23 x x x x 4 30 (0.8) :Mn x + x 2 + x 3 + x 4 = 30 x 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 Solução Mistura: x = 8,9573; x 2 = 0,234543; x 3 = 4,45009; x 4 =6,26805 Valor do f.o.=208,26047

13 Revisão 2: existe uma política nova da empresa de limitar a quantidade de matéria prima estocada Ingredientes Composição % Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Estoque (ton) Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Composição Máxima Carbono Silício Manganês Modelo Matemático Minimizar 90 x + 80 x x x 4 Sueito a: 30 (0.43) 0.50 x x x x 4 30 (0.65) :C 30 (0.9) 0.20 x x x x 4 30 (0.30) :Si 30 (0.2) 0.23 x x x x 4 30 (0.8) :Mn x + x 2 + x 3 + x 4 = 30 0 x 5; 0 x 2 20; 0 x 3 2; 0 x 4 0 Modelo Matemático. Construção de um modelo matemático Minimizar 90 x + 80 x x x 4 Sueito a: 30 (0.43) 0.50 x x x x 4 30 (0.65) :C 30 (0.9) 0.20 x x x x 4 30 (0.30) :Si 30 (0.2) 0.23 x x x x 4 30 (0.8) :Mn x + x 2 + x 3 + x 4 = 30 0 x 5; 0 x 2 20; 0 x 3 2; 0 x 4 0 Solução Mistura: x = 5; x 2 = 2,70297; x 3 = 3,20792; x 4 =9,089 Valor do f.o.=2234,85485

14 Tela Inicial Composição de cada Liga Composição de cada Ingrediente Composição de cada Liga

15 Cálculo da Liga Diferença para algumas ligas em uma fornada 360 kg Sol. Ind Sol. Prog. % CF-8 725,55 554,2 3, CF-8M 066,78 736,89 44,7 HH 984,90 748,0 3,6 CA-5 227,48 95,87 6, Diferença Significativa considerando que a indústria produz 0 cargas por dia Dificuldades Encontradas Durante o Desenvolvimento Durante o desenvolvimento do programa foram detectados vários problemas - Composição Química dos Ingredientes Incorreta; - Peso de uma Compra de Ingredientes Incorretos; - Informações de Estoques Incorretas; - Custos de Estocagem Imprecisos, etc. Possíveis Melhorias Obtidas Possíveis Problemas Resolvidos Após o Desenvolvimento do Programa - Melhoria na Qualidade de Informações Básicas; - Melhoria na Qualidade de Compra dos Fornecedores; - Melhoria da Qualidade da Liga Feita; - Redução nos Custos das Ligas; - Melhoria no Armazenamento de Novas Informações

16 Melhorias Inesperadas pelo Gerente Obtidas por meio de Simulações Passos para Resolução do Problema - Simular para Estabelecer Preço de Venda - Simular para Discutir Preço de Compra - Simular para Prazo de Entrega aos Clientes - Simular para Prazo de Recebimento de Matéria-prima Modelagem Matemática Organização dos dados Implementação computacional: Método Simplex Desenvolvimento da Interface.2 Modelos de Otimização.2 Modelos de Otimização Algumas Classes de Modelos de Otimização Modelos de Otimização Linear Contínua Modelos de Otimização Inteira Modelos de Otimização Inteira Mista Modelos de Otimização Não linear

17 . Modelos de Otimização Linear Contínua (OL): - Se a função-obetivo e as restrições forem lineares. - Se variáveis puderem assumir qualquer valor real, temos um modelo de otimização linear contínuo (OL). T Exemplo OL: max z=0x +6x 2 sueito a: min z = c sueitoa : Ax b x x 0, x R 9x + 5x x + 5x 2 5 -x - x 2 - x 0, x R 2 Observe que, neste exemplo: c T =(0, 6), n onde: c R n, A R m x n, b R m 9 A = b = 5 7 z = 5 3 (OI): - Se no Modelo anterior restringirmos as variáveis de forma que só possam assumir valores inteiros, teremos um modelo de otimização linear inteira (OI). - Em alguns modelos os valores inteiros que as variáveis podem assumir são 0 e (variáveis binárias).. Modelos de Otimização Inteira min z = c sueito a : Ax b Exemplo OI: max z=0x +6x 2 sueito a: T x x 0, x Ζ 9x + 5x x + 5x 2 5 -x - x 2 - x 0, x Z 2 Solução ótima x=(5,0) e z=50 - Solução do exemplo OL está bem distante da solução do exemplo OI. - A solução arredondada (3, 3) também está distante;. Modelos de Otimização Inteira Mista (OIM): Em determinadas circunstâncias interessa que apenas um subconunto de variáveis estea restrito a assumir valores inteiros. Neste caso, temos um modelo de otimização inteira mista (OIM). T min z = c sueito a : Ax b x 0, x Exemplo OIM: max z=0x +6x 2 sueito a: x Ζ, =,..., p ( p < n) 9x + 5x x + 5x 2 5 -x - x 2 - x 0, x R, x 2 Z. solução ótima x = (3,3) 3 e z = 5 3 Modelos de Otimização não Linear (ONL): Modelos tais que a função-obetivo é não linear e/ou o conunto de restrições é formado por equações ou inequações não lineares são chamados de modelos de otimização não-linear (ONL). - Situações que envolvam modelos não-lineares e que não possam ser representadas por modelos lineares fogem do escopo deste curso e não serão discutidas

18 .3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Tipos de Ferramentas Específicas Modelagem: LINGO, MPL, AMPL, OPL, XPRESS-MOSEL, ZIMPL Resolução LINGO, CPLEX, GUROBI XPRESS-MP, LPSOLVE, CLP Gerais Planilhas de cálculo EXCEL, LOTUS 23 Simulação.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Sistemas Algébricos de Modelagem: Obetivos Interface com sistemas de resolução Separar o modelo dos dados Facilitar a construção de um modelo Documentar Facilitar a manutenção do modelo.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Comerciais Sistemas de Resolução CPLEX, XPRESS-MP Problema de otimização: contínua, inteira, quadrática Arquivos no formato:mps, próprio (algébrico) Possuem linguagem de modelagem Não-Comerciais CLP (COIN-OR Linear Program Solver) LPSOLVE.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Sistemas Algébricos de Modelagem: Estrutura Geral Conuntos e índices locais:{rio, SP, Goiânia}, códigos:{a, B45}, mês:{an, fev,...} dados, parâmetros, tabelas separa o modelo de um exemplar do mesmo fornecidos em arquivos de dados; retirados de planilhas de cálculo ou banco de dados variáveis de decisão agrupar por tipos, definir para subconuntos de índices função obetivo linear ou não linear Restrições agrupar por tipos e expandir, definir para subconuntos de índices

19 MPL Modelagem: otimização contínua, inteira, não linear Formato de arquivos (MPS, CPLEX,...) Conexão com EXCEL, Banco de dados Gráfico da Estrutura da matriz de restrições Conexão com sistemas de resolução (CPLEX, FORTMP,...) XPRESS-MOSEL Linguagem Procedural Integração com Linguagens de Programação (C, Java, Visual Basic) AMPL Linguagem Procedural Modelagem otimização contínua, inteira, quadrática Interface gráfica com poucos recursos Permite a criação de subrotinas Linguagens de Modelagem: Principais Comandos MPL TITLE INDEX DATA VARIABLES MODEL MIN (ou MAX) SUBJECT TO END XPRESS-MOSEL MODEL nome do model Instruções para compilação Definição de parâmetros Definição do modelo Definição de algoritmos END-MODEL AMPL SET define um índice; PARAM define uma estrutura (vetor ou matriz) que irá armazenar os elementos conhecidos do exemplar, fornecidos no arquivo nomemodelo.dat; VAR define variáveis de decisão; MINIMIZE (ou MAXIMIZA) define a função-obetivo e o critério de otimização SUBJECT TO define um conunto de restrições.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Endereços na WWW Comerciais (versão de estudante ou Licença Acadêmica gratuita) MPL: XPRESS: AMPL: GUROBI: Sistemas computacionais de modelagem e resolução Exemplo, usando o AMPL e o Excel, de resolução do problema da mistura na fundição Não Comerciais CLP (COIN-OR Linear Program Solver) LPSOLVE -

20 Exercícios Exercícios Produção de rações: Uma agro-indústria produz rações para dois tipos de animais Essas rações são preparadas fazendo-se uma mistura de farinhas de quatro ingredientes básicos: milho, osso, soa e resto de peixe Cada um desses ingredientes contém diferentes quantidades de dois nutrientes necessários à uma boa dieta nutricional: proteína e cálcio O nutricionista especifica que as rações devem atender às exigências mínimas e máximas de composição desses nutrientes O mercado define os custos unitários de cada tipo de ingrediente A produção deve ser baseada nas disponibilidades em estoque das matérias-primas e a demanda de mercado deve ser atendida. Ingredientes Nutrientes % Exercício Milho Osso Soa Peixe Proteína Cálcio Estoque (ton) Custo R$/ton Considerações sobre o Exercício Duas misturas devem ser produzidas a partir dos mesmos ingredientes em quantidades diferentes: As quantidades Mínimas e Máximas de cada componente dependem da mistura que está sendo feita As limitações de estoque devem ser consideradas para as duas misturas Rações Composição Ração Animal Ração Animal 2 Proteína Cálcio Demanda (ton) 9 2 Determinar as quantidades de cada ingrediente que devemos misturar para que satisfaça às restrições nutricionais, de disponibilidade e de consumo, com o mínimo custo. Sugestão: Ingredientes: misturas: x E x 2 2 E 2 Variáveis: x k =qde. do ingrediente na mistura k. 2 E n x n n x n2

21 Resposta do Exercício Minimizar 27x + 35x 2 + 5x 3 + 4x x x x x 42 Sueito a: 9 (0.4) 0.5x x x x 4 9(0.5) :Proteína 9 (0.3) 0.6x x x x 4 9(0.6) :Cálcio 2 (0.3) 0.5x x x x 42 2(0.5) :Proteína 2 (0.5) 0.6x x x x 42 2(0.8) :Cálcio x + x 2 + x 3 + x 4 = 9 x 2 + x 22 + x 32 + x 42 = 2 0 x + x 2 0; 0 x 2 + x 22 0; 0 x 3 + x 32 4; 0 x 4 + x 42 2 Solução Animal : x = ; x 2 = 0; x 3 = 0; x 4 = Animal 2: x 2 = ; x 22 =0 ; x 32 = ; x 42 = Valor do f.o.= Formulação Genérica: exercício (casa) minimizar f(x, x 2,, x n ; x 2, x 22,, x n2 ;.;x k x 2k,, x nk ) = c x + c 2 x c n x n + c x 2 + c 2 x c n x n2 + + c x k + c 2 x 2k + + c n x nk sueito a: l Q a x + a 2 x a in x n Q u l 2 Q a 2 x + a 22 x a 2n x n Q u 2 : l m Q a m x + a m2 x a mn x n Q u m Repetir k vezes (uma para cada mistura) x + x x n = Q x 2 + x x n2 = Q 2.. x k + x 2k x nk = Q k 0 x +x 2 + +x k E ; 0 x 2 +x x 2k E 2 ;...; 0 x n + x n2 + + x nk E n Desafio (Programação Linear) - Considere o Problema: A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são: Cidade Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4 Sub Sub Sub Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico? Fazendo uso de indexação e somatórios é possível escrever modelos matemáticos compactos usando a forma literal Capacidade das subestações Demanda das Cidades s =35 Sub s 2 =50 Sub2 s 3 =40 Sub3 Desafio (Programação Linear) x x 2 x 3 x 4 x 2 x22 x 23 x 24 x 3 x 32 x 33 x 34 Cid d =45 Cid d 2 =20 Cid d 3 =30 Cid d 4 =30

22 Modelagem Matemática Elementos Presentes na Modelagem Matemática dados do problema: são constantes conhecidas função obetivo: qualifica as soluções restrições do problema: limitam as decisões a serem tomadas variáveis de decisão: são incógnitas do problema Modelagem Matemática: forma geral Minimizar ou Maximizar Função obetivo sueito a Restrições do Problema - equações ou inequações Restrições sob as Variáveis de Decisão Construção de Modelos: exercício Variável de decisão: x i = quantidade de energia enviada da subestação i à cidade Modelo Matemático: min z = 8x + 6x 2 + 0x x 4 + 9x 2 + 2x x x x 3 + 9x x x 34 sueito a: x + x 2 + x 3 + x 4 = 35 x 2 + x 22 + x 23 + x 24 = 50 Restrições de capacidade x 3 + x 32 + x 33 + x 34 = 40 x + x 2 + x 3 = 45 x 2 + x 22 + x 32 = 20 x 3 + x 23 + x 33 = 30 x 4 + x 24 + x 34 = 30 x i 0 i=,2,3 e =,2,3,4 Restrições de demanda Variáveis de Decisão Construção de Modelos: exercício Modelo de Transporte em forma literal: possibilita a representação compacta de modelos com muitas variáveis e restrições min z = n = m i= i i i m sueito a : n i= = i c x x = s i =,...,m x = d =,...,n i x 0 i =,...,m =,...,n i Função Obetivo Restrições de capacidade Restrições de demanda Variáveis de Decisão Resposta (Programação Linear) - Considere o Problema: A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são: Resp. Cidade Cidade 2 Cidade 3 Cidade Sub Sub Sub Observe que: c i, s i e d são os: Dados do Problema Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico?

23 Resposta (Programação Linear) Capacidade das subestações Demanda das Cidades s =35 s 2 =50 s 3 =40 Sub Sub2 Sub3 x =0 x 2 =0 x 4 =0 x 2 =45 x22 =0 x 24 =0 x 23 =5 x 3 =25 x 3 =0 x 32 =0 x 33 =0 x 34 =30 Cid d =45 Cid d 2 =20 Cid d 3 =30 Cid d 4 =30