TÍTULO DO PROJETO: O problema de empacotamento de figuras usando suas equações. Área do Conhecimento (Tabela do CNPq):

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1 INSTITUCIONAL/IFSP PROJETO DE PESQUISA TÍTULO DO PROJETO: O problema de empacotamento de figuras usando suas equações Área do Conhecimento (Tabela do CNPq): RESUMO O problema de empacotamento trata-se de alocar objetos de iguais ou diferentes formatos e tamanhos em uma determinada região. No plano cartesiano as aplicações são diversas, como otimizar o corte de figuras em uma chapa para fazer embalagens e alocar o número máximo de cilindros em pé em um container. O objetivo pode ser maximizar a quantidade de objetos que cabem naquela região ou a minimizar a área que sobra após a inclusão dos objetos. Esta alocação deve ser feita respeitando a não sobreposição dos objetos e a delimitação da região. Cada figura deve ser incluída na região de interesse através de um ponto de referência (abcissa e ordenada), que pode ser o centro da circunferência ou o baricentro do triângulo e são geralmente consideradas características das figuras como raio da circunferência, lados dos quadrados e triângulos, e não as equações das figuras (quando as figuras podem ser representadas por equações). Neste projeto propõese o estudo e resolução do problema de empacotamento de objetos bidimensionais usando suas equações. Portanto, os objetos a serem tratados são lugares geométricos e as equações serão utilizadas para a verificação da não sobreposição de objetos. 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA O empacotamento de objetos é um problema de otimização com aplicação comercial e industrial. Trata-se de alocar objetos de iguais ou diferentes formatos ou tamanhos em uma determinada região. Em três dimensões, os objetos podem ser esferas, cilindros ou paralelepípedos e a região pode ser, por exemplo, uma esfera ou um paralelepípedo, como um container. No plano cartesiano, as aplicações também são muitas, como otimizar o corte de figuras em uma chapa para fazer embalagens e alocar o número máximo de cilindros em pé em um container. Cada problema possui as suas particularidades. Birgin, Martínez e Ronconi (2005), por exemplo, resolveram o problema de verificar a possibilidade de alocação de uma quantidade de círculos de igual tamanho em uma região convexa que pode assumir diversos formatos. Zheng et. al (2015) resolvem o problema de alocar círculos de diferentes tamanhos em uma região circular. Chen e He (2005) propuseram uma metodologia para alocar triângulos de diferentes tamanhos.

2 Birgin, Lobato e Morabito (2010) se preocupam com a alocação de retângulos iguais. Dependendo dos objetos da aplicação, o problema pode assumir diferentes formulações ou resoluções. Se os objetos forem círculos, a comparação de não sobreposição entre eles é geralmente feita através da comparação da distância entre os centros das circunferências e os raios. Tratando-se de retângulos, existem metodologias que tratam o problema como um problema de corte e a decisão a realização de cortes sequenciais verticais e horizontais. Todos estes problemas são de otimização, área que consiste no conjunto de métodos para a resolução de problemas que envolvam objetivo e restrições. O objetivo é definido através de uma ou mais funções e as restrições, através de equações de desigualdade e de igualdade. A forma geral de um problema de otimização (LUEMBERGER e YE, 2008) é do tipo: Min f(x) s.a. hi (x) = 0 i = 1, 2,..., m gj (x) 0 j = 1, 2,..., r x S Sendo que f(x) é a função objetivo a ser minimizada (ou maximizada) sujeito às restrições de igualdade ( h(x) = 0 ) e de desigualdade ( g(x) 0 ). As variáveis são definidas pelo vetor x. No caso do problema de empacotamento, o objetivo pode ser maximizar a quantidade de objetos que cabem em uma região, ou a minimizar a área que sobra após a inclusão dos objetos, entre outras. As restrições são a de não sobreposição dos objetos, a limitação da região e outras restrições que dependem do problema específico. A função objetivo e restrições podem ser lineares ou não lineares. No caso apenas de funções lineares, o problema é definido como de programação linear. No caso da formulação envolver alguma não linearidade, o problema é de programação não linear. Para estes dois casos, as variáveis podem assumir valores reais. Se todas as variáveis de decisão forem restritas a valores inteiros, o problema passa a ser de programação inteira. E caso parte das variáveis forem inteiras e parte contínuas, o problema será de programação inteira mista (no caso do problema envolver apenas funções e equações lineares) ou não linear inteira mista (se envolver não linearidades). Para cada tipo de problema, uma classe diferente de métodos é aplicada. O problema de empacotamento é, geralmente, um problema que envolve variáveis inteiras, que é a decisão de um objeto ser ou não alocado na região, ou a quantidade de objetos a ser incluída. No entanto, dependendo da particularidade, o problema pode ser tratado apenas como um problema de otimização não linear, como Birgin, Martínez e Ronconi (2005) fizeram.

3 O problema de empacotamento envolve a geometria analítica, pois cada figura deve ser incluída na região de interesse através de um ponto de referência, que pode ser o centro da circunferência ou o baricentro do triângulo, por exemplo. Muitas são as abordagens adotadas em diversos trabalhos e neste projeto propõe-se a alocação de objetos que possam ser representados através de figuras que são lugares geométricos. Iezzi (2005) define lugar geométrico como toda figura cujos pontos, e apenas eles, têm uma certa propriedade em comum. Exemplos de lugares geométricos são a circunferência (pontos que possuem a mesma distância raio - com relação a um único ponto - centro), elipse (pontos que possuem a mesma soma das distâncias do ponto a dois pontos fixos focos. Lugares geométricos são caracterizados por possuírem equação. Um quadrado, por exemplo, não pode ser definido por uma equação e, portanto, não é um lugar geométrico. Mas ele pode ser aproximado por x 2 +y 2 +x 2 y 2 =k, cuja figura está abaixo, ou rotações desta forma. Assim, o problema foco deste trabalho é a alocação de figuras no plano que possam ser representadas por equações (lugares geométricos). 3. OBJETIVOS Objetivo principal: Desenvolver formulação matemática para o problema de empacotamento de figuras geométricas que podem ser definidas através de equações (lugares geométricos). Objetivos específicos: Estudo do problema de empacotamento bidimensional Estudo de modelagem usando otimização Estudo das equações de diversas formas geométricas (geometria analítica) Estudo de programação de solver de otimização 4. MATERIAIS E MÉTODOS Os recursos necessários à pesquisa são computador com softwares instalados para a edição de textos, leitura de materiais e programação de problemas de otimização (Word, Excel, Geogebra, GLPK, Scilab, R) e artigos científicos, livros e outros materiais encontrados na internet. A pesquisa será realizada nas dependências do IFSP Cubatão, principalmente em laboratórios de informática para a busca de artigos científicos, programação do problema de otimização, análise dos resultados, confecção dos relatórios e reuniões entre orientador e aluno bolsista, podendo utilizar outras

4 salas para etapas que não exijam o uso de computador, como a leitura de livros e artigos ou reuniões de discussão. Para a realização deste projeto, é imprescindível a participação do bolsista e do corpo docente do campus e do grupo de pesquisa (que o docente responsável participa) nas discussões, além do corpo técnico-administrativo para auxiliar em questões específicas como o uso de salas, instalação de softwares e demais questões técnicas. 5. PLANO DE TRABALHO Tabela 5.1 Metas estabelecidas para a pesquisa. METAS DESCRIÇÃO 1 Estudo do problema de empacotamento bidimensional 2 Estudo dos princípios de otimização e aplicações 3 Estudo de Solver de otimização e programação de aplicações 4 Confecção do relatório parcial 5 Entrega do relatório parcial (até 07/07/17) 6 Revisão equações de formas geométricas (geometria analítica) 7 Formulação e resolução do problema de otimização com as equações das formas geométricas 8 Análise dos resultados finais e conclusões 9 Confecção e entrega do relatório final (entrega 30/11/2017) Tabela 5.2 Cronograma proposta para cumprimento das metas. MESES METAS MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV 1 X X 2 X X X 3 X X 4 X 5 X 6 X X 7 X X 8 X X 9 X 6. VIABILIDADE DE EXECUÇÃO Os recursos necessários à pesquisa são computador com softwares instalados (Word, Excel, Geogebra, GLPK, Scilab, R), artigos científicos, livros e outros materiais encontrados na internet. A pesquisa será realizada nas dependências do IFSP Cubatão, principalmente em laboratórios de informática para a busca de artigos científicos,

5 programação do problema de otimização, análise dos resultados, confecção dos relatórios e reuniões entre orientador e aluno bolsista, podendo utilizar outras salas para etapas que não exijam o uso de computador, como a leitura de livros e artigos ou reuniões de discussão. Para a realização deste projeto, é imprescindível a participação do bolsista e do corpo docente do campus e do grupo de pesquisa (que o docente responsável participa) nas discussões das aplicações, além do corpo técnico-administrativo para auxiliar em questões específicas como o uso de salas, instalação de softwares e demais questões técnicas. 7. RESULTADOS ESPERADOS E DISSEMINAÇÃO Neste projeto será obtida uma ou mais formulações matemáticas para o problema de otimização chamado de problema de empacotamento bidimensional, considerando as equações ou aproximações das equações de figuras geométricas. Além disto, outros produtos serão relatórios parcial e final do projeto, apresentações, artigos, resumos e outros trabalhos em eventos internos e externos, como congressos de iniciação científica. A divulgação do trabalho será feita mediante apresentações, artigos, resumos, pôsteres ou outros possíveis meios em congressos internos do campus ou externos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIRGIN, E. G.; LOBATO, R. D.;MORABITO, R. An effective recursive partitioning approach for the packing of identical rectangles in a rectangle. Journal of the Operational Research Society 61, pp , BIRGIN, E. G.; MARTÍNEZ, J. M.; RONCONI, D. P. Optimizing the Packing of Cylinders into a Rectangular Container: A Nonlinear Approach. European Journal of Operational Research, 160(1) 19-33, CHEN, Chuan-Bo; HE, Da-Hua. A Heuristic Method for Solving Triangle Packing Problem. Journal of Zhejiang University. 64(6) , IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar: Volume 7 Geometria Analítica. 5 ed, Editora Atual, LUENBERGER, David G.; YE, Yinyu. Linear and Nonlinear Programming. 3 ed, New York, Springer, ZENG, Zhizhong; YU, Xinguo; HE, Kun; HUANG, Wenqi; FU, Zhanghua. Iterated Tabu Search and Variable Neighborhood Descent for packing unequal circles into a circular container. European Journal of Operational Research , 2015.