Programação linear aplicada a problemas da área de saúde*

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1 107 Santoro S, Velhote MCP, Malzoni CE, Mechenas ASG, Strassmann V, Scheinberg M ARTIGO ORIGINAL Programação linear aplicada a problemas da área de saúde* Linear programming applied to healthcare problems Frederico Rafael Moreira 1 ABSTRACT Objective and Method: To present a mathematical modeling technique by means of linear programming as an efficient tool to solve problems related to optimization in healthcare. Two applications are approached: formulation of a balanced diet at a minimum cost and optimal allocation of resources for a set of medical interventions that comply with cost and medical visit restrictions. Results: The balanced diet proposed would comprise 1.4 glasses of skimmed milk/day and 100 g of salad/day (/10 of a 500 g portion) at a total minimum cost of R$.55/day. The optimal solution for the allocation model among the five types of medical intervention programs maximizing quality-adjusted life year was established as follows: use of 100% of intervention type 4 and 50% of intervention type, determining a maximum value of 0.5 QALY. Conclusion: In a world with increasingly scarce resources and every day more competitive, linear programming could be used to search optimized solutions for healthcare problems. Keywords: Resource allocation; Linear programming; Operations research; Optimization RESUMO Objetivo e Método: Apresentar a técnica de modelagem matemática via programação linear como eficiente ferramenta para soluções de problemas que envolvam otimização para a área de saúde. Duas aplicações foram tratadas: a formulação de uma dieta balanceada a custo mínimo e a alocação ótima de recursos para um conjunto de intervenções médicas satisfazendo restrições de custo e visitas médicas. Resultados: A dieta balanceada proposta seria composta por 1,4 copos de leite desnatado/dia e 100 g de salada/dia (/10 de porção de 500 g) a um custo mínimo total de R$,55/dia. A solução ótima para o modelo de alocação entre cinco tipos de programas de intervenção médica maximizando os anos de vida ajustados para a qualidade foi assim determinada: utilização de 100% da intervenção tipo 4 e 50% da intervenção tipo determinando valor máximo de 0,5 AVAQ s. Conclusão: Frente a um mundo competitivo e com recursos cada vez mais escassos, a programação linear pode ser utilizada na busca de soluções otimizadas para problemas da área de saúde. Descritores: Alocação de recursos; Programação linear; Pesquisa operacional; Otimização INTRODUÇÃO A Pesquisa Operacional é uma ciência que objetiva fornecer ferramentas quantitativas ao processo de tomada de decisão. É constituída por um conjunto de métodos e modelos matemáticos de otimização e simulação, como: Programação Linear, Programação Não-Linear, Otimização Combinatória, Teoria das Filas, Programação Dinâmica, Teoria das Decisões, etc. Atualmente, a implementação de soluções otimizadas via programação linear tem reduzido custos, da ordem de centenas ou até milhares de dólares em muitas empresas de porte médio a grande em vários países industrializados (1). Muitos pesquisadores apontam o desenvolvimento do método de programação linear como um dos mais importantes avanços científicos da metade do século 0. Infelizmente, ainda é pequeno o número de empresas brasileiras que utilizam em seus processos, sejam eles produtivos ou não, alguma técnica de otimização. Programação linear tem-se mostrado uma solução alternativa para planejamento de tratamentos por braquiterapia, em substituição às soluções tradicionais baseadas em tentativa e erro (). A formulação de dietas balanceadas a custo mínimo satisfazendo um conjunto de restrições nutricionais tem sido efetuada com programação linear (3,4). O objetivo principal deste trabalho é divulgar e apresentar o método programação linear, para obtenção de soluções otimizadas de problemas da área de saúde envolvendo economia e nutrição. Inicialmente, será apresentada a formulação de uma dieta de custo mínimo utilizando somente duas restrições nutricionais, com intuito maior de familiarizar os * Centro de Pesquisa Clínica do Hospital Israelita Albert Einstein. 1 Estatístico do Centro de Pesquisa Clínica do Instituto de Ensino e Pesquisa. Endereço para correspondência: Frederico Rafael Moreira - Hospital Israelita Albert Einstein - Av. Albert Einstein, 67/701 - Morumbi - Prédio Joseh Feher (Bloco A) - Piso Chinuch - CEP São Paulo (SP). Tel.: (11) Fax: (11) fredericorm@einstein.br Recebido em julho de 003 Aceito em 0 de novembro de 003 einstein 003; 1:99-104

2 108 Moreira FR pesquisadores da área de saúde com os termos e potencialidades do método abordado. Em seguida será apresentada uma solução otimizada para problemas de alocação de intervenções médicas satisfazendo um conjunto de restrições orçamentárias e visitas médicas. Árvores de decisão têm sido aplicadas em análises econômicas do tipo custo-efetividade para a escolha das melhores estratégias de tratamento. Elas podem indicar quais intervenções utilizam os menores recursos e representam maior qualidade de vida. Entretanto, estas técnicas não mostram como alocar recursos de forma efetiva entre vários programas de intervenção médica, pois não são modelos de otimização. Desta forma, a segunda aplicação pretende apresentar a modelagem algébrica via programação linear como uma fer-ramenta complementar aos tradicionais métodos análise de econômica em saúde. MÉTODOS Descrição de método de programação linear Modelos de otimização são definidos por uma função objetivo composta de um conjunto de variáveis de decisão, sujeitas a um conjunto de restrições na forma de equações matemáticas. O objetivo da otimização é encontrar um conjunto de variáveis de decisão que geram um valor ótimo para a função objetivo, valor máximo ou valor mínimo, dependendo do problema, satisfazendo um conjunto de restrições impostas pelo modelo. Estas restrições são condições que limitam as variáveis de decisão e suas relações para assumirem valores factíveis. Em modelos de programação linear, a função objetivo é linear, ou seja, definida como uma combinação linear das variáveis de decisão e um conjunto de constantes, restritos a um conjunto de equações lineares de igualdade ou desigualdade. Teremos portanto modelo composto de: função objetivo, restrições, variáveis de decisão e parâmetros. O diagrama representado na figura 1 apresenta definições e interações entre estes componentes. A solução para o problema é dita ótima quando as variáveis de decisão assumem valores que correspondem ao máximo ou mínimo da função objetivo, satisfazendo a todas as restrições do modelo. Uma representação algébrica da formulação genérica de um modelo de programação linear pode ser apresentada como segue: Figura 1. Componentes do modelo de programação linear Componentes Variáveis de decisão Variáveis desconhecidas que serão determinadas pela solução do modelo. São variáveis contínuas e não-negativas. Função objetivo Medida de efetividade como uma função matemática das variáveis de decisão. Maximiza ou minimiza uma medida de performance. Sujeito a Restrições Conjunto de equações lineares de igualdade ou desigualdade que as variáveis de decisão devem satisfazer. Parâmetros Constantes ou coeficientes previamente conhecidos. Maximizar ou minimizar a função do objetivo: Z = c 1 + c +... c n (a) Sujeito às restrições: a 11 + a a 1n r 1 (b) a 1 + a +... a n r (c) a m1 + a m +... a m n r m (d) x j 0 (j = 1,,...,n) (e) onde: (a) representa a função matemática que codifica o objetivo do problema e é denominada função objetivo(z). Na programação linear esta função deve ser linear. (b)-(e) representam as funções matemáticas lineares que codificam as principais restrições identificadas. (e) restrição de não-negatividade, o que equivale a dizer que as variáveis de decisão podem assumir qualquer valor positivo ou zero. x j são as variáveis decisórias que representam as quantidades que se quer determinar para otimizar o resultado global. c i são os coeficientes de ganho ou custo que cada variável é capaz de gerar. r j representa a quantidade disponível de cada recurso. a i j representa a quantidade de recursos que cada variável decisória consome.

3 Programação linear aplicada a problemas da área de saúde 109 Problema da Dieta Descrição Para ilustrar a aplicação da programação linear na formulação de dietas, suponha que, por motivos justificáveis, uma dieta alimentar esteja restrita a leite desnatado e uma salada de composição bem conhecida. Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitamina A e cálcio controlados por suas quantidades mínimas (em miligramas). A tabela 1 resume a quantidade de cada nutriente em disponibilidade nos alimentos e sua necessidade diária para a boa saúde de uma pessoa, bem como o custo unitário dos alimentos. O objetivo é minimizar o custo total da dieta de forma a satisfazer as restrições nutricionais. Tabela1. Custos, nutrientes e limitantes nutricionais previstos Nutriente Leite (copo) Salada (500 mg) Requisito Nutricional Mínimo Vit. A mg 50 mg 11 mg Calcio 50 mg 10 mg 70 mg Custo/unidade R$1.50 R$3.00 Variáveis de decisão: X 1 = quantidade de leite (em copos) por dia X = quantidade de salada (em porções de 500 g) por dia Função objetivo (z): A função a ser minimizada, o custo total para a dieta, é a função objetivo deste problema. Está definida pela combinação dos alimentos X 1 (leite) (salada) e de seus custos unitários, R$1.5 (um real e cinqüenta centavos) e R$3 (três reais), respectivamente. A função custo é uma função linear de X 1, ou seja: Z=1.5X X Restrições: O total de vitamina A da dieta deve ser maior ou igual a 11 mg. A formulação alimentar deve contemplar no mínimo 70 mg de cálcio. Não podemos considerar quantidades negativas de alimentos, desta forma X 1 devem ser quantidades não-negativas (X 1 >=0 ; X >=0) Modelo matemático para o problema da dieta Minimizar Z = 1.5X 1 + 3X, Sujeito a: X X 11 (Restrição de Vitamina A) 50X X 70 (Restrição de Cálcio) X 1 0; X 0 (Restrição de Não-Negatividade) Descrição do problema de alocação de recursos na área de assistência à saúde: Pesquisadores desejam alocar recursos entre cinco tipos de programas de intervenção médica para uma determinada população com o objetivo de maximizar os anos de vida ajustados para a qualidade (AVAQ). AVAQ é uma medida que leva em conta quantidade e qualidade de vida devido a intervenção médica aplicada. Estima-se que sejam gastas no máximo unidades monetárias e deseja-se manter número de visitas médicas em no máximo Supõe-se ainda que cada paciente receba somente uma única intervenção, e valores fracionários de AVAQs, custos de intervenção e número de visitadas médicas sejam permitidos. O objetivo é maximizar AVAQ total acumulado pelas intervenções de forma a satisfazer restrições orçamentárias e de visitas médicas descritas na tabela. Tabela. Valores de AVAQ, custo intervenção e visitas médicas Identificação de programas de Custo de intervenção N. de visitas intervenção AVAQs (0 3 unid. monetárias) médicas (0 3 ) Valor Maximo Formulação de modelo matemático Variáveis de decisão X i = fração de cada intervenção i a ser designada pelo modelo. Função objetivo Maximizar a função Z definida como os anos de vida totais ajustados para a qualidade devido às intervenções: 10X X + 15X X 4 + 9X 5 Os parâmetros desta equação representam o número de AVAQs adquiridos como resultado da intervenção i. Restrições Orçamentárias: 100X X + 50X + 40X X 5 <= 300. O custo com todas as intervenções não deve ultrapassar unidades monetárias. Visitas: 40X X + 50X + 15X + 30X <= X i >=0; X i <=1 i=1,,3,4,5 Variáveis de decisão podem assumir qualquer valor entre 0 e 1.

4 110 Moreira FR Modelo matemático Maximizar Z = 10X X + 15X + 13X + 9X 3 4 5,, x 3, x 4, x 5 Sujeito ao conjunto de restrições: 100X X + 50X + 40X + 10X X X + 50X + 15X + 30X X 1 1; 0 X 1; 0 X 3 1; 0 X 4 1; 0 X 5 1 RESULTADOS Solução gráfica para problema da dieta Quando lidamos com duas variáveis decisão (dois alimentos), uma representação geométrica é possível e conveniente do ponto de vista didático. Para explorar a geometria do problema, primeiramente as restrições foram representadas no plano cartesiano (figura ), localizando a região factível, região do plano cartesiano que satisfaz o conjunto de restrições do modelo. Resta agora minimizar o custo. Ora, o custo é uma constante para cada uma das combinações da X 1. Assim, custos diferentes geram retas paralelas onde o custo é constante em cada reta. Em seguida, foram traçadas Salad Calcium a Z x = Vitamin A Milk Figura. A região factível é delimitada pelas retas X X =11 (Vitamina A) e 50X X =70 (Cálcio) e identificada pelas setas em destaque. As linhas retas em vermelho (linhas z) representam a função objetivo a ser minimizada para obter a dieta de custo mínimo. O ponto em preto (letra a) determina a solução ótima X 1 =1.4 X =0. correspondendo a um custo mínimo de R$,55 (reta vermelha em negrito). no gráfico as retas de custo e obtida a que corresponde ao custo mínimo, satisfazendo as restrições nutricionais. Observe que o custo (z) diminui à medida que move-se em direção à intersecção das retas que identificam as restrições de cálcio e vitamina A. O ponto exato em que custo é minimizado corresponde a intersecção destas retas. Este ponto é encontrado facilmente determinando a solução das equações simultaneamente: X X =11 e 50X X =70. Esta solução, X 1 =1.4 =0. corresponde a um custo mínimo total de Z= R$.55. Ou seja, a solução ótima corresponde a uma dieta de 1.4 copos de leite desnatado/dia e 100 gramas de salada/dia (/10 de porção de 500g) a um custo mínimo de R$.55. Solução analítica para o problema da dieta O Método Simplex é um algoritmo criado para se obter a solução algebricamente. Um algoritmo é um conjunto de regras que devem ser seguidas passo a passo para se obter, no final, o resultado desejado. O Método Simplex foi criado por George Dantzig e outros cientistas do Departamento da Força Aérea Americana em 1947 (5). O Microsoft Excel Solver utiliza uma implementação básica do Método Simplex para resolver problemas de programação linear. A solução ótima obtida através do Microsoft Excel Solver para este problema aponta para uma dieta composta por 1.4 copos de leite desnatado/dia e 100 gramas de salada/ dia (X 1 =1.4; X =0. de porção de 500g) correspondendo a um custo mínimo total de R$,55. Solução para problema de alocação de recursos A solução otimizada para o modelo de alocação de programas de intervenção médica calculada pelo Microsoft Excel Solver corresponde à utilização completa (100%) do programa intervenção número 4 e uma fração de utilização de 50% para o programa de intervenção de número não utilizar as intervenções de números 1,3 e 5 (X 1 =1; X =0.5; X 3 =0; X 4 =1; X 5 =0). Esta solução numérica fornece o valor máximo de 0.5 AVAQs para a função objetivo deste modelo. A solução gráfica é facilmente obtida quando temos duas variáveis de decisão (exemplo dieta apresentado). Quando temos três variáveis de decisão, ainda é possível solução gráfica, apesar da dificuldade de localizar as intersecções entre os planos definidos no espaço tridimensional. Para quatro ou mais variáveis de decisão, a solução gráfica torna-se impossível e a única alternativa é a solução analítica via Método Simplex.

5 Programação linear aplicada a problemas da área de saúde 111 Discussão A demanda por decisões eficientes na área de assistência à saúde abre espaço para aplicação de técnicas de otimização em problemas de alocação de recursos apresentando se como uma ferramenta complementar aos modelos de avaliação econômica. Os resultados numéricos apresentados na modelagem para alocação de programas de intervenção médica apontam para esta aplicabilidade potencial (X 1 =0; X =50%; X 3 =0; X 4 =100%; X 5 =0).A dieta proposta no segundo modelo contempla um número reduzido de restrições, de variáveis de decisão (leite e salada), o tipo de restrição utilizada, pois tem o objetivo didático de exemplificar a eficiência deste tipo de modelagem algébrica e divulgá-la para a área médica. Populações de baixa renda poderiam ser beneficiadas com a formulação de dietas balanceadas de custo mínimo formuladas a partir dos alimentos disponíveis e/ou acessíveis, satisfazendo dezenas ou até centenas de restrições. Aplicações potenciais para métodos de otimização podem incluir: avaliação do impacto econômico em várias terapias através de vários estados de doença, avaliação de preços de produtos. Por exemplo, preços otimizados dos componentes do produto poderiam ser avaliados considerando restrições como gastos com pesquisa e desenvolvimento, custo de terapias alternativas, estratégias de marketing e estimativas para projeções de vendas. Modelagem matemática utilizando programação linear tem aplicação em problemas de alocação otimizada de recursos em saúde cujo objetivo seja, por exemplo, maximizar AVAQs, anos de vida ou minimizar número de indivíduos que desenvolvem complicação, custo de tratamento, bem como definir componentes para formulação de dietas, medicamentos. Informações técnicas sobre a construção destes modelos podem ser encontradas em Bazarra (6) e Hillier & Lieberman (7). Modelos de grande porte envolvendo centenas de restrições e variáveis podem ser resolvidos através de softwares de modelagem algébrica como AIMMS (Advanced Interactive Mathematical Modeling System), GAMS (General Algebraic Modeling System), AMPL (Algebraic Mathematical Programming Language), LINDO( Linear Interactive and Discrete Optimizer). Informações técnicas comparando estes softwares podem ser encontradas na publicação OR/ MS Today edição Agosto 001 (8). Conclusão O tipo de modelagem algébrica abordado neste artigo, conhecido como programação linear, pode ser considerado um instrumento útil no suporte a tomada de decisão na área de saúde. Diante de um mundo com recursos cada vez mais escassos, e a cada dia mais competitivo, a busca por soluções otimizadas em substituição dos tradicionais métodos baseados em bom senso e tentativa e erro, pode se transformar em uma questão de sobrevivência para muitas unidades empresariais. REFERÊNCIAS 1. Lieberman G, Hillier F. Introduction to mathematical programming. New York: McGraw-Hill; D Souza WD, Meyer RR, Thomadsen BR, Ferris MC. An iterative sequential mixed-integer approach to automated prostate brachytherapy treatment plan optimization. Phys Med Biol 001; 46: Colavita, C & D Orsi, R. Linear programming and pediatric dietetics. Br J Nutr. 1990;64: Henson S. Linear programming analysis of constraints upon human diets. J Agric Econ 1991;4: Dantzig GB Origins of the simplex method In: Nash SG, editor. A history of scientific computing. New York: ACM Press; Bazaraa MS, Jarvis J, Sherali HD. Linear programming and network flows. nd ed. New York: Wiley, Hiller FS, Lieberman GJ. Introduction to operations research. New York: Mc- Graw Hill, Fourer R. 001 Software Survey: linear programming. OR/MS Today 001; 8: