Objetivo da Programação Inteira

Transcrição

1 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Programação inteira Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Objetivo da Programação Inteira Max Z = 20X1 + 10X2 ST: X1 + 0,45X2 5 X1 + 1,7X2 12 X1, X2 0 Resultado (solução ótima) X1 = 2,48 X2 = 5,60 Z = 105,60 2 1

2 Objetivo da Programação Inteira Resultado (solução ótima) X1 = 2,48 X2 = 5,60 Z = 105,60 Valores contínuos - variáveis contínuas Variáveis contínuas variáveis inteiras 3 Objetivo da Programação Inteira Resultado (solução ótima)? X1 = 2,48 X2 = 5,60 Z = 105,60 4 2

3 Objetivo da Programação Inteira Resultado (solução ótima) 3? X1 = 2,48 X2 = 5,60 Z = 105,60 O arredondamento pode não levar a solução ótima! 6? 5 Objetivo da Programação Inteira O problema resolvido por técnica de Programação Inteira, pode levar a resultados bastante diferentes do arredondamento. Se o resultado implicar em valores grandes, o arredondamento normalmente pode ser utilizado. 6 3

4 Objetivo da Programação Inteira A Programação Inteira possui uma técnica particular de solução, chamada de Método Branch and Bound, que se baseia na montagem de um diagrama tipo árvore, em que cada ramo é uma opção de solução inteira. Apenas alguns ramos são testados e para cada tentativa, o Método Simplex é utilizado. O computador é indispensável! 7 Solução de um problema Max Z = 20X1 + 10X2 ST: X1 + 0,45X2 5 X1 + 1,7X2 12 X1, X2 0 X1 = 2,48 X2 = 5,60 Z = 105,60 8 4

5 Solução de um problema X1 = 2,48 X2 = 5,6 Região de solução 12 X X1 = 3 X2 = 6 Fora da Região de solução Restrição 1 Restrição X1 9 Solução de um problema Região de Solução 12 X Dentro deste polígono encontram-se os pontos candidatos a solução do problema X1 10 5

6 Solução do problema pela Programação Inteira Max Z = 20X1 + 10X2 ST: X1 + 0,45X2 5 X1 + 1,7X2 12 X1, X2 0 X1 = 3 X2 = 4 Z = Solução de um problema Região de Solução X X1 = 3 X2 = 4 Dentro da Região de solução X1 12 6

7 Por que programação inteira? Vantagem de restringir variáveis para obter valores inteiros: Mais realista Desvantagens: Mais difícil de modelar Pode ser bem mais difícil de solucionar 13 O mistério da programação inteira Alguns programas de inteiros são fáceis (é possível resolver os problemas com milhões de variáveis); Alguns programas de inteiros são difíceis (até mesmo 100 variáveis podem ser difíceis); Expertise e experiência são essenciais para saber o que é o que! É uma área de pesquisa ativa em várias Universidades. 14 7

8 Tipos de programação inteira Todos os programas de inteiros possuem igualdades e desigualdades lineares e algumas ou todas as variáveis devem ser inteiras. Se todas as variáveis devem ser inteiras, então pode-se esse programa pode ser chamado de programa puro de inteiros. Se todas as variáveis devem ser 0 ou 1, o programa é chamado de programa binário de inteiros ou um programa de inteiros 0-1. Se algumas variáveis forem números fracionários e outras números inteiros, então o problema é chamado programação inteira mista (PIM). 15 Como modelar restrições lógicas Exemplos: São selecionados exatamente 3 estoques. Se o estoque 2 for selecionado, o estoque 1 também o será. Se o estoque 1 for selecionado, então o estoque 3 não será selecionado. O estoque 4 ou 5 é selecionado, mas não os dois. 16 8

9 São selecionados exatamente 3 estoques Imaginando um exemplo com 6 variáveis de decisão, e todas binárias, a restrição pode ser a seguinte: x 1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3 17 Se o estoque 2 for selecionado, o estoque 1 também o será A restrição da programação inteira: x1 x 2 Estoque 2 Uma representação bidimensional Estoque

10 Se o estoque 1 for selecionado, então o estoque 3 não será selecionado A restrição da programação inteira: Uma representação bidimensional x 1 + x3 1 Estoque 3 Estoque 1 19 O estoque 4 ou 5 é selecionado, mas não os dois A restrição da programação inteira: Uma representação bidimensional x 4 + x5 = 1 Estoque 5 Estoque

11 Solução pelo Lindo 21 Solução pelo Lindo Comando apropriado 22 11

12 Solução pelo Solver 23 Solução pelo Solver 24 12

13 Solução pelo Solver Restrição adicional 25 Exercício Resolver o exemplo da apostila; Usar o Lindo e o solver; Inicialmente resolver admitindo as variáveis contínuas. Arredondar a resposta. Resolver usando a Programação Inteira e comparar o resultado com o arredondamento

14 Formulação min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 sujeito a: X1 + X4 + X5 + X6 + X7 17 (SEG) X1 + X2 + X5 + X6 + X7 13 (TER) X1 + X2 + X3 + X6 + X7 15 (QUAR) X1 + X2 + X3 + X4 + X7 19 (QUIN) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 14 (SEX) X2 + X3 + X4 + X5 + X6 16 (SAB) X3 + X4 + X5 + X6 + X7 11 (DOM) Xi 0 (i = 1; 2;...; 7) 27 Solução anterior do problema X1 = 4/3 X2 = 10/3 X3 = 2 X4 = 22/3 X5 = 0 X6 = 10/3 X7 = 5 Z = 67/3 X1 = 2 X2 = 4 X3 = 2 X4 = 8 X5 = 0 X6 = 4 X7 = 5 Z = 25 Arredondamento a partir da solução real

15 Solução do problema programação inteira X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 MIN Restrições segunda terça quarta quinta sexta sábado domingo Resultado Solução Solução do problema programação inteira Acrescentar esta restrição! 30 15