Resolver os problemas do item 4.5 pelo simplex

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1 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Exemplo Uso de softwares Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Resolver os problemas do item 4.5 pelo simplex Eu não aguento todo aquele algebrismo! 1

2 Opção para evitar o simplex manualmente Calma existem softwares para o problema! O Lindo é um deles. O solver é outra opção 2

3 Outras opções Linprog; QM for windows; DS for windows; Matlab; Etc... Vejamos alguns destes... Softwares para auxiliar a solução dos problemas LINPROG 3

4 O problema de Giapetto Max Z = 3X1 + 2X2 2X1 + X2 100 X1 + X2 80 X1 40 X1 0 X2 0 Solução pelo simplex 4

5 Resolva o problema abaixo usando o linprog max Z = 5X1 + 2X2 X1 3 X2 4 X1 + 2X2 9 X1 0 X2 0 Solução pelo linprog 5

6 Procedimentos para minimizar Z Item Exemplo 1 min Z = 2x1-3x2 x1 + x2 4 x1 - x2 6 x1 0 x2 0 Dá para resolver diretamente pelo Simplex? 6

7 Converter o problema de PL na forma canônica min Z = 2x1-3x2 x1 + x2 + x3 = 4 x1 - x2 + x4 = 6 x1 0 x2 0 Trabalhando a FO min Z = 2x1-3x2 Z = -2x1 + 3x2 Para minimizar a Função (-Z): max (-Z) = -2x1 + 3x2 7

8 Nova formulação Max (-Z) = - 2x1 + 3x2 x1 + x2 + x3 = 4 x1 - x2 + x4 = 6 x1 0 x2 0 Solução básica inicial Max (-Z) = - 2x1 + 3x2 x1 + x2 + x3 = 4 x1 - x2 + x4 = 6 x1 0 x2 0 Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0 Variáveis básicas: X3 = 4 X4 = 6 8

9 O problema pode ser representado assim: X2 entra na base Z X1 X2 X3 X4 b Razão Base X /1=4 X /-1 Pivô Solução parcial: (0, 0, 4, 6) Indica que X2 entra no lugar de X3 Próximo quadro - Base: X2 e X4 Devem se colocadas na forma canônica Segunda iteração solução é ótima Valor máximo possível para a função objetivo Z X1 X2 X3 X4 b Razão Base X X Solução ótima: (0, 4, 0, 10) 9

10 Solução do problema pelo simplex min Z = 2x1-3x2 x1 + x2 4 x1 - x2 6 x1 0 x2 0 Solução ótima: (0, 4, 0, 10) Z = 2*0-3*4 = -12 Exercício Resolver o problema da 2 do item da apostila; Usar o linprog. 10

11 Exemplo 2 min Z = 4x1 - x2 2x1 + x2 8 x2 5 x1 - x2 4 x1 0 x Exemplo 2 Z X1 X2 X3 X4 X5 b razão Base X X X Z X1 X2 X3 X4 X5 b razão Base X X X

12 Solução pelo linprog O método BIG M 12

13 Item Exemplo 1 min Z = 2x1 + 3x2 1/2x1 + 1/4x2 4 x1 + 3x2 20 x1 + x2 = 10 x1 0 x2 0 Dá para resolver pelo Simplex? Solução pelo linprog 13

14 Exercício Resolver o problema da 2 do item da apostila; Usar o linprog. Item Exemplo 2 min Z = 2x1 + 3x2 2x1 + x2 4 x1 - x2-1 x1 0 x2 0 14

15 Solução pelo linprog Outro software Lindo? Vamos ver outra opção de software! O Lindo! 15

16 LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optmizer) Software desenvolvido pela Lindo Systems Inc. de Chicago Illinois, EUA. Resolve modelos de programação linear, quadrática ou inteira. No quadro a seguir encontra-se as versões disponíveis. Site da Web: LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optmizer) Limites máximos Versão Linhas Colunas * Demonstração Super Hiper Industrial Extended * Versão utilizada no curso 16

17 Vamos resolver o problema do Giapetto no Lindo O problema de Giapetto Max Z = 3X1 + 2X2 2X1 + X2 100 X1 + X2 80 X1 40 X1 0 X2 0 17

18 Formular no Lindo o problema Exemplo 2: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir: Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL

19 Exemplo 2: Problema de orçamento de capital A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1. VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões Exemplo 2: Problema de orçamento de capital A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema. Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1. 19

20 Formulação Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 20 X1 1 X2 1 X3 1 X4 1 X5 1 Xi 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 Solução problema X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 20

21 Problema Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 20 X1 1 X2 1 X3 1 X4 1 X5 1 Xi 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 Resposta: X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 O QM for windows é outra opção 21

22 Vamos resolver o problema do Giapetto no QM O problema de Giapetto Max Z = 3X1 + 2X2 2X1 + X2 100 X1 + X2 80 X1 40 X1 0 X2 0 22

23 Formular no QM o problema Exemplo 2: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir: Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL

24 Exemplo 2: Problema de orçamento de capital A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1. VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões Exemplo 2: Problema de orçamento de capital A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema. Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1. 24

25 Formulação Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 20 X1 1 X2 1 X3 1 X4 1 X5 1 Xi 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 Solução problema X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 25

26 Problema Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 20 X1 1 X2 1 X3 1 X4 1 X5 1 Xi 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 Resposta: X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 O solver do excel também é uma boa opção 26

27 Solver do Excel O Microsoft Excel Solver usa o código de otimização não linear Generalized Reduced Gradient (GRG2), desenvolvido por Leon Lasdon, da University of Texas em Austin, e Allan Waren, da Cleveland State University. Solver do Excel Os problemas lineares e de inteiros usam o método simplex com limites sobre as variáveis e o método de desvio e limite, implementado por John Watson e Dan Fylstra, da Frontline Systems, Inc. Site da Web: Planilhas com exemplos: arquivos de programas\microsoft office\office\exemplos\solver\exemsolv.xls 27

28 Solver do Excel Exemplos da planilha: Guia rápido Combinação de produtos Rotas de transporte Planejamento de pessoal Maximizar a renda Carteira de ações Design de engenharia Vamos resolver o problema do Giapetto no Solver do Excel 28

29 O problema de Giapetto Max Z = 3X1 + 2X2 2X1 + X2 100 X1 + X2 80 X1 40 X1 0 X2 0 Formular no solver o problema

30 Exemplo 2: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir: Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL Exemplo 2: Problema de orçamento de capital A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1. VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões. 30

31 Exemplo 2: Problema de orçamento de capital A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema. Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1. Formulação Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 20 X1 1 X2 1 X3 1 X4 1 X5 1 Xi 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 31

32 Solução problema X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 Problema Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5 11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 40 3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 20 X1 1 X2 1 X3 1 X4 1 X5 1 Xi 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 Resposta: X1 = X3 = X4 = 1 X2 = 0,201 X5 = 0,288 Z = 57,449 32

33 Formular no Lindo, QM e no solver o problema Exemplo 1: Problema de programação do trabalho Uma empresa de entregas necessita de diferentes números de funcionários durante os diferentes dias da semana. Os números de funcionários necessários é mostrado na tabela a seguir. 33

34 Exemplo 1: Problema de programação do trabalho Número de funcionários necessários Dia 1 = Segunda-feira 17 Dia 2 = Terça-feira 13 Dia 3 = Quarta-feira 15 Dia 4 = Quinta-feira 19 Dia 5 = Sexta-feira 14 Dia 6 = Sábado 16 Dia 7 = Domingo Exemplo 1: Problema de programação do trabalho As leis do sindicado asseguram que os funcionários devem trabalhar 5 dias consecutivos e 2 de folga. Por exemplo, um funcionário que trabalhou de Segunda a Sexta folga Sábado e Domingo. O escritório quer funcionar apenas com funcionários de tempo integral. Formular o problema de tal modo que a empresa possa minimizar o número de empregados de tempo integral que precisam ser contratados. 34

35 Formulação min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 X1 + X4 + X5 + X6 + X7 17 (SEG) X1 + X2 + X5 + X6 + X7 13 (TER) X1 + X2 + X3 + X6 + X7 15 (QUAR) X1 + X2 + X3 + X4 + X7 19 (QUIN) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 14 (SEX) X2 + X3 + X4 + X5 + X6 16 (SAB) X3 + X4 + X5 + X6 + X7 11 (DOM) Xi 0 (i = 1; 2;...; 7) Solução problema X1 = 4/3 X2 = 10/3 X3 = 2 X4 = 22/3 X5 = 0 X6 = 10/3 X7 = 5 Z = 67/3 X1 = 2 X2 = 4 X3 = 2 X4 = 8 X5 = 0 X6 = 4 X7 = 5 Z = 25 Exemplo típico para programação inteira! Será visto oportunamente. 35

36 Problema min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 X1 = 4/3 X1 + X4 + X5 + X6 + X7 17 (SEG) X2 = 10/3 X1 + X2 + X5 + X6 + X7 13 (TER) X3 = 2 X1 + X2 + X3 + X6 + X7 15 (QUAR) X4 = 22/3 X1 + X2 + X3 + X4 + X7 19 (QUIN) X5 = 0 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 14 (SEX) X6 = 10/3 X2 + X3 + X4 + X5 + X6 16 (SAB) X7 = 5 X3 + X4 + X5 + X6 + X7 11 (DOM) Z = 67/3 Xi 0 (i = 1; 2;...; 7) 36