Universidade Federal de Itajubá

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1 Universidade Federal de Itajubá Engenharia Econômica II Pesquisa Operacional Introdução sobre PO 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1 Que decisão tomar? A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. Qual a carteira que maximiza o VPL da empresa? Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 2

2 Que decisão tomar? receitas VR VPL = n Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 3 Objetivo Esta parte do curso se propõe à apresentação e à discussão de uma técnica para tomada de decisão. Desta forma, o objetivo básico é a abordagem de um método matemático essencial à Pesquisa Operacional chamada de Programação Linear. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 4

3 Objetivo Max Z = 3000X X X 3 Sujeito a: 5X X 2 +8X X X 2 +7X X X X 3 50 X 1,X 2 ex /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 5 Terminologia encontrada para PO Operational Research (europeus); Operations Research (americanos); Investigação Operacional (Portugal); Investigación Operativa (países hispânicos) MS Management Science; DS Decision Science; QAM Quantitative Analysis for Management; PO Pesquisa Operacional. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 6

4 Notas Históricas O termo Pesquisa Operacional foi usado pela primeira vez em 1938 para designar o estudo sistemático de problemas estratégicos e táticos decorrentes de operações militares. Um grupo de especialistas (entre eles: Patrick Blackett, Cecil Gordon, C. H. Waddington, Owen Wansbrough Jones e Frank Yates) foi designado para avaliar e reposicionar adequadamente os radares do sistema de defesa aérea da Grã Bretanha antes e durante a Segunda Guerra Mundial. Outras aplicações militares incluíram o planejamento de operações de comboios, bombardeios e de guerra anti submarina. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 7 Notas Históricas O desenvolvimento metodológico mais importante do período pós guerra foi o Método Simplex, por George Bernard Dantzig, em 1947, para a resolução de problemas de Programação Linear, isto é, de problemas de planejamento nos quais são utilizados modelos de otimização lineares. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 8

5 Notas Históricas Os caminhos da PO podem ser traçados a muitas décadas atrás, quando foi aplicada a administração cientifica às organizações. Como a tendência natural é aumentar a complexidade e a especialização das organizações, torna-se mais e mais difícil alocar seus recursos disponíveis pelas suas várias atividades de maneira a obter a melhor eficiência para a organização. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 9 Complexidade Várias partes são construídas por toda a Europa: asas: Broughton, Inglaterra fuselagem: Hamburg, Alemanha cauda: Stade, Alemanha leme: Puerto Real, Espanha nariz: Saint Nazaire, França fuselagem e pré-montagens do cockpit: Meaulte, França leme horizontal: Getafe, Espanha montagem final: Toulouse, França pintura e instalação da cabine: Hamburg, Alemanha Outras partes são feitas ao redor do mundo, incluindo alguns lugares nos Estados Unidos. As partes maiores são transportadas por navio. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 10

6 Notas Históricas Assim, o termo PO é geralmente atribuído aos serviços militares durante a Segunda Grande Guerra Mundial (1939). Os dirigentes militares chamaram equipes de cientistas para estudar problemas estratégicos e táticos associados com a defesa aérea e terrestre do país. Seu objetivo era determinar a melhor utilização efetiva dos recursos militares limitados. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 11 Notas Históricas No Brasil, a PO iniciou, basicamente, na década de O primeiro Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO) foi realizado em 1968 no ITA. Em seguida, foi criada a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO) 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 12

7 Diversos conceitos tentam explicar a PO 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 13 Conceito 1 Aplicação do método científico, a problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados. Tem como finalidade obter soluções que melhor satisfazem aos objetivos da organização. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 14

8 Conceito 1 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 15 Conceito 2 A PO se esforça ao máximo para discutir a incerteza, mas não a pode eliminar. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 16

9 Conceito 2 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 17 Conceito 3 Uma atividade que pode colocar a serviço da gerência, novas atitudes, conceitos e técnicas; ajudando a resolver problemas complexos e tomar decisões importantes. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 18

10 Conceito 3 Ativo Retorno Risco esperado Ação A 35% 50% Ação B 12% 13% Como investir? 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 19 Conceito 3 Ativo Retorno Risco esperado Ação A 35% 50% Ação B 12% 13% E o risco? Rentabilidade 40,00% 35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% Rentabilidade da carteira 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 20

11 Conceito 3 retorno minima variância do portfólio Ações individuais P 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 21 Conceito 4 Aplicação de análises quantitativas dos problemas gerenciais. O objetivo da análise é encontrar as melhores soluções dos problemas. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 22

12 Conceito 4 Max Z = 3000X X X 3 Sujeito a: 5X X 2 +8X X X 2 +7X X X X 3 50 X 1,X 2 ex /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 23 Conceito 5 Preparação científica das decisões, visando a modificação do binômio "Experiência - Intuição" pela "Informação - Racionalidade". 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 24

13 Conceito 5 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 25 Conceito 6 Conjunto de métodos, que recorre a diversas disciplinas cientificas, com a finalidade de preparar as decisões que se devem tomar, determinar racionalmente as soluções mais eficientes ou as mais econômicas, recorrendo a procedimentos estatísticos e/ou matemáticos cuja aplicação exige na maioria das vezes o emprego de computadores. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 26

14 Conceito 6 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 27 O processo de modelagem Mundo simbólico Modelo análise Resultados abstração interpretação Situação Gerencial intuição Decisões Mundo Real 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 28

15 O julgamento no processo de modelagem Mundo simbólico Modelo análise Resultados abstração Julgamento gerencial interpretação Situação Gerencial intuição Decisões Mundo Real 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 29 Exemplo inicial 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 30

16 A batalha do Atlântico 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 31 A Batalha do Atlântico Vários escritórios de Pesquisa Operacional foram implantados no exercito inglês. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 32

17 A Batalha do Atlântico Um dos esforços empreendidos pelas equipes eram relativos as ameaças dos submarinos inimigos, que atacavam os navios mercantes que atravessavam o atlântico. Esta disputa entre submarinos alemães e navios que protegiam os navios mercantes, ficou conhecida como Batalha do Atlântico. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 33 A questão era: como garantir um suprimento de necessidades através do atlântico, desde os EUA até a Inglaterra? 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 34

18 O problema 1. Navios navegando sozinhos eram alvos fáceis. 2. A solução encontrada foi o deslocamento em comboios. 3. Para protegê-los, navios de guerra acompanhavam a viagem. 4. Mas, um número não adequado para esta proteção, significou muitas vezes, perdas enormes. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 35 Os comboios Em 42, para um comboio de 40 navios mercantes, eram necessários cerca de 6 navios de guerra para a sua proteção. O problema era que o número destes navios de proteção era limitado. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 36

19 O problema O desafio que se colocava era: pode-se diminuir o número de perda de navios mercantes, sem um aumento demasiado nos navios de proteção? A única variável que podia ser alterada era o número de navios no comboio. Uma equipe estudou o problema e verificou que o tamanho do comboio tinha a ver com o número de perdas. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 37 Dados de 41 a 42 < 45 navios no comboio, a perda média era de 2,6%; > 45 navios no comboio, a perda média era de 1,7%; O número de navios afundados continuava praticamente o mesmo, para um número praticamente igual de navios de proteção. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 38

20 Qual a explicação? 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 39 Qual a explicação? Comboio 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 40

21 Qual a explicação? Perímetro = 2 r Raio O que conheço desta forma? Área = r 2 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 41 Explicação Raio 40 Número de navios Comboio 1 Área 1 = 100 Raio 1 = 5,64 Comboio 1 Perímetro Perímetro 1 = 35,45 80 Perímetro = 2 r Área = r 2 Comboio 2 Área 2 = 200 Raio 2 = 7,87 Comboio 2 Perímetro 2 = 50,13 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 42

22 Explicação 40 Comboio 1 80 Comboio 2 Comboio 1 Área 1 = 100 Raio 1 = 5,64 Perímetro 1 = 35,45 Comboio 2 Área 2 = 200 Raio 2 = 7,87 Perímetro 2 = 50,13 Relações importantes Área 2/Área 1 = 2 Perímetro 2/Perímetro 1 = 1,41 A razão do perímetro do circulo (região a ser defendida) e sua área (navios a serem protegidos) diminui com o aumento do raio. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 43 Modelagem Mundo simbólico Modelo MinZ=X 1 +X 2 +X 3 +X 4 +X 5 +X 6 Sujeito a: X 1 +X 2 5 X 2 +X 3 9 X 3 +X 4 7 X 4 +X 5 11 X 5 +X 6 8 X 6 +X 1 3 X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 0 análise X i =? Resultados abstração interpretação? Situação Gerencial intuição Decisões Mundo Real 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 44

23 Pesquisa Operacional Sem dúvida nenhuma a Programação Linear (PL) é uma de suas técnicas mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 45 Programação Linear (PL) Os problemas de PL buscam a distribuição eficiente de recursos limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear, denominada de função objetivo. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 46

24 Programação Linear (PL) É necessário também que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são apresentadas em forma de equações, as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou inequações, denomina-se Restrições do modelo. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 47 Programação Linear (PL) Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre diversas atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes com as restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL, é a função objetivo, isto é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. A esta solução dá-se o nome de solução ótima. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 48

25 Programação Linear (PL) Assim, a Programação Linear se incube de achar a solução ótima de um problema, uma vez definido o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições lineares. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 49 Exemplo para conceituação sobre formulação de problemas de PL 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 50

26 Programação Linear (PL) Obtendo a abstração matemática Giapetto fabrica 2 tipos de brinquedo de madeira: soldados e trens. Os valores de venda, matéria prima e mão de obra são os seguintes: 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 51 Valores por unidade Soldado Trem $ venda $ matéria prima 10 9 $ mão de obra /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 52

27 Mão de obra necessária para os brinquedos: carpintaria e acabamento (em horas) Soldado Trem Tempo acabamento Tempo carpintaria /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 53 Disponibilidades Carpintaria Acabamento Tempo disponível 80 horas 100 horas Trens Soldados Demanda ilimitada 40/semana (máximo) 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 54

28 Definindo o objetivo Sabendo que a matéria prima necessária é obtida sem problemas, Giapetto tem como objetivo maximizar o lucro semanal (receitas - custos). Vamos então formular matematicamente a situação de Giapetto com o objetivo de maximizar o lucro semanal. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 55 Primeiro passo importante: Variáveis de decisão Em qualquer modelo de PL, as variáveis de decisão devem descrever completamente as decisões a serem feitas. Caso de Giapetto: quantos soldados e trens devem ser feitos na semana? 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 56

29 Variáveis de decisão X 1 = número de soldados produzidos cada semana; X 2 = número de trens produzidos a cada semana. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 57 Segundo passo importante: Função objetivo Em qualquer modelo de PL, o decisor quer maximizar ou minimizar alguma função das variáveis de decisão. Caso de Giapetto: custos fixos (aluguel, seguro) não depende dos valores de X 1 e X 2, assim ele pode se concentrar em maximizar a venda da semana. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 58

30 Função objetivo Receitas e custos: podem ser expressos em termos das variáveis X 1 e X 2. Seria tolice Giapetto produzir mais soldados que ele possa vender, assim assumimos que todos brinquedos produzidos podem ser vendidos. Receita da semana = receita dos soldados + receita dos trens Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana Receita por semana = 27*X *X 2 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 59 Também podemos escrever: Custos de M.P. = 10*X 1 + 9*X 2 Custos de M.O. = 14*X *X 2 Então Giapetto quer maximizar: (27X X 2 ) - (10X 1 + 9X 2 ) - (14X X 2 ) = 3X 1 + 2X 2 Assim o objetivo de Giapetto é escolher X 1 e X 2 para maximizar 3X 1 + 2X 2 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 60

31 Função objetivo maximizar Z = 3X 1 + 2X 2 ou Max Z = 3X 1 + 2X 2 Variável usualmente utilizada 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 61 Terceiro passo importante: restrições Se X 1 e X 2 aumentam, a função objetivo de Giapetto será sempre maior. Mas infelizmente X 1 e X 2 são limitados pelas seguintes restrições: 1. cada semana, não mais que 100 horas de acabamento; 2. cada semana, não mais de 80 horas de carpintaria; 3. limitação de demanda, não mais de 40 soldados por semana. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 62

32 Restrições M.P. ilimitada, portanto não há restrições. Como, próximo passo, é necessário expressar as restrições 1, 2 e 3, em termo das variáveis de decisão: X 1 e X 2. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 63 Restrição 1 não mais de 100 h de acabamento Total de h de acab./semana = horas de aca./sold. * sold. feitos/semana + horas de acab./trem * trens feitos/semana Total de horas de acab./semana = 2*X 1 + 1*X 2 Restrição 1: 2X 1 + X /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 64

33 Restrição 2 não mais de 80 h de carpintaria Total de h de carp./semana = horas de carp./sold. * sold. feitos/semana + horas de carp./trem * trens feitos/semana Total de horas de carp./semana = 1*X 1 + 1*X 2 Restrição 2: X 1 + X /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 65 Restrição 3 venda máxima de soldados: 40 Restrição 3: X /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 66

34 Conjunto das restrições: 1. 2X 1 + X X 1 + X X 1 40 Restrições para o problema de PL de Giapetto Coeficientes tecnológicos: refletem a quantia usada para diferentes produtos. Usualmente representam a quantidade de recursos disponíveis. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 67 Quarto passo importante: Restrições adicionais Para completar a formulação do problema: X 1 0 X /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 68

35 Significa que X 1 e X 2 precisam satisfazer todas as restrições Max Z = 3X 1 + 2X 2 sujeito a: 2X 1 + X Resumindo P.L. - todos os termos X são de expoente 1 e as restrições são inequações lineares X 1 + X 2 80 X 1 40 X 1 0 X 2 0 O problema de Giapetto é típico de muitos outros, onde precisa-se maximizar lucros sujeitos a recursos limitados 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 69 Modelagem Mundo simbólico Modelo Max Z = 3X 1 + 2X 2 sujeito a: 2X 1 + X X 1 + X 2 80 X 1 40 X 1 0 X 2 0 análise X 1, X 2 =? Z =? Resultados abstração interpretação Situação Gerencial intuição Decisões Mundo Real 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 70

36 Universidade Federal de Itajubá Pesquisa Operacional Formulação de Problemas Interessantes Exemplo 01 Problema de orçamento de capital 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi Exemplo 1: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir: Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 72

37 Problema de orçamento de capital Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 73 Problema de orçamento de capital A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1. VPL = (1/5)*16 = 3,2 milhões. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 74

38 Problema de orçamento de capital A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema. Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 75 Qual o melhor investimento? Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 76

39 Discussão Grupos de 2 participantes; Discutir no grupo como equacionar o problema; Apresentar sugestões. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 77 Primeiro passo: Variáveis de decisão Para este caso: A empresa precisa determinar a fração de cada investimento para comprar. X i = fração do investimento i comprado pela empresa (i = 1; 2; 3; 4 e 5) 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 78

40 Segundo passo: Função objetivo Objetivo: Maximizar o VPL dos investimentos VPL total = VPL 1 + VPL 2 + VPL 3 + VPL 4 + VPL 5 Exemplo VPL 1 = 13X 1 Max Z = 13X X X X X 5 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 79 Terceiro passo: restrições Restrição 1 - a empresa não pode investir mais de $ 40 milhões hoje; Restrição 2 - a empresa não pode investir mais de $ 20 milhões no primeiro ano; Restrições 3 a 7 - a empresa não pode comprar mais que 100% de cada investimento. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 80

41 Terceiro passo: restrições 11X X 2 + 5X 3 + 5X X X 1 + 6X 2 + 5X 3 + X X 5 20 X 1 1 X 2 1 X 3 1 X 4 1 X /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 81 Quarto passo: Restrições adicionais Para completar a formulação do problema: X i 0 i = 1; 2;...; 5. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 82

42 Resumindo Max Z = 13X 1 +16X 2 +16X 3 +14X X 5 sujeito a: 11X X 2 + 5X 3 + 5X X X 1 + 6X 2 + 5X 3 + X X 5 20 X 1 1 X 2 1 X 3 1 X 4 1 X 5 1 X i 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 83 Solução do problema X 1 = X 3 = X 4 = 1 X 2 = 0,201 X 5 = 0,288 Z = 57,449 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 84

43 Solução do problema Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL Resposta: X 1 = X 3 = X 4 = 1 X 2 = 0,201 X 5 = 0,288 Z = 57,449 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 85 Universidade Federal de Itajubá Pesquisa Operacional Uso de softwares 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 86

44 Uma formulação Max Z = 3000X X X 3 Sujeito a: 5X X 2 +8X X X 2 +7X X X X 3 50 X 1,X 2 ex /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 87 Resolver o problema da empresa de petróleo pelo Simplex Eu não aguento todo o algebrismo! 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 88

45 Opção para evitar o Simplex manualmente Calma existem softwares para o problema! O Lindo é um deles. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 89 LINDO 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 90

46 O solver é outra opção 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 91 Outras opções Linprog; QM for windows; DS for windows; Matlab; Etc... Vejamos alguns destes... 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 92

47 Softwares para auxiliar a solução dos problemas LINPROG 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 93 Softwares para auxiliar a solução dos problemas rtutorial/install/iordownload.html 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 94

48 O solver do Excel também é uma boa opção 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 95 Solver do Excel O Microsoft Excel Solver usa o código de otimização não linear Generalized Reduced Gradient (GRG2), desenvolvido por Leon Lasdon, da University of Texas em Austin, e Allan Waren, da Cleveland State University. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 96

49 Solver do Excel Os problemas lineares e de inteiros usam o método simplex com limites sobre as variáveis e o método de desvio e limite, implementado por John Watson e Dan Fylstra, da Frontline Systems, Inc. Site da Web: Planilhas com exemplos: arquivos de programas\microsoft office\office\exemplos\solver\exemsolv.xls 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 97 Solver do Excel Exemplos da planilha: Guia rápido Combinação de produtos Rotas de transporte Planejamento de pessoal Maximizar a renda Carteira de ações Design de engenharia 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 98

50 Vamos resolver o problema do Giapetto no Solver do Excel 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 99 O problema de Giapetto Max Z = 3X 1 + 2X 2 Sujeito a: 2X 1 + X X 1 + X 2 80 X 1 40 X 1 0 X /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 100

51 Formular no Solver o problema 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 101 Exemplo 1: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir: Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data Investimento data VPL /08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 102

52 Exemplo 1: Problema de orçamento de capital A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1. VPL = (1/5)*16 = 3,2 milhões. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 103 Problema de orçamento de capital A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema. Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1. 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 104

53 Formulação Max Z = 13X 1 +16X 2 +16X 3 +14X X 5 Sujeito a: 11X X 2 + 5X 3 + 5X X X 1 + 6X 2 + 5X 3 + X X 5 20 X 1 1 X 2 1 X 3 1 X 4 1 X 5 1 X i 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 105 Solução problema X 1 = X 3 = X 4 = 1 X 2 = 0,201 X 5 = 0,288 Z = 57,449 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 106

54 Formulação/resposta Max Z = 13X 1 +16X 2 +16X 3 +14X X 5 Sujeito a: 11X X 2 + 5X 3 + 5X X X 1 + 6X 2 + 5X 3 + X X 5 20 X 1 1 X 1 = X 3 = X 4 = 1 X 2 1 X 2 = 0,201 X 3 1 X X = 0,288 Z = 57,449 X 5 1 X i 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 21/08/2012 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 107