APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA OTIMIZAÇÃO DO PROCESSO PRODUTIVO EM UMA EMPRESA TÊXTIL

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1 APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA OTIMIZAÇÃO DO PROCESSO PRODUTIVO EM UMA EMPRESA TÊXTIL Isak Francisco Dias (IFMG ) isakdias22@gmail.com Lucas Pimenta Silva Paiva (IFMG ) lucas.paiva.aguanil@gmail.com Jader Fabricio Ribeiro de Paula (IFMG ) jader.f.ribeiro@gmail.com Gabriel da Silva (IFMG ) gabriel.silva@ifmg.edu.br O presente trabalho propõe um modelo de otimização para o planejamento agregado da produção de uma indústria Têxtil. Este modelo se baseia nos modelos clássicos de programação linear para representar o sistema de produção têxtil, incluindo decisões das fases de preparação, montagem, e acabamento. Para resolver o modelo de programação linear, utilizou-se um instrumento encontrado em planilhas eletrônicas chamado solver. A análise foi realizada em uma indústria têxtil no estado de Minas Gerais, que confecciona calças, bermudas e shorts, todos feitos com a mesma matéria prima, Jeans. Nesta etapa foi possível verificar a adequação do modelo proposto quando aplicado para auxiliar nas tomadas de decisões envolvidas no planejamento de produção da empresa. Palavras-chaves: (Otimização, Programação linear, Planejamento, Solver)

2 1.Introdução O cenário atual do mercado faz emergir nas empresas a necessidade de se adotarem estratégias para manter sua competitividade, tanto em nível externo quanto interno, a fim de programar sua linha de produção, e rearranjá-la para atender com eficiência e eficácia o mercado, sendo este cada vez mais competitivo. Para que a empresa consiga manter-se competitiva, ela deve desenvolver seu próprio sistema de controle de despesas e suprimentos, formação de custos e administração de investimento, ou seja, obter um modelo que satisfaça as suas exigências internas e externas. Espera-se que esse modelo abranja desde o planejamento da produção de seus produtos até a entrada dos mesmos no mercado. Tendo em mente que a missão de toda empresa é atender com eficiência o mercado, para cumpri-la, ela deve se organizar com base nos resultados obtidos. Assim, a otimização dos resultados compõe, com diversos elementos, um fator de extrema relevância, uma vez que se consideram as diversas exigências da empresa, as limitações dos recursos empregados e do mercado no qual ela está inserida. O presente artigo tem a finalidade de demonstrar como a programação linear pode tornar-se uma ferramenta de apoio à tomada de decisão em uma empresa Têxtil, a fim de atingir melhores resultados no seu mix de produtos. A empresa onde foi desenvolvida a pesquisa está localizada no Sudoeste de Minas Gerais. A mesma possui uma filial no estado da Bahia. Essas duas fábricas são responsáveis pelo abastecimento de produtos nas três lojas da empresa. Essas lojas estão localizadas em Minas Gerais, São Paulo SP e no estado da Bahia. 2.Referencial teórico 2.1 Otimização de processos Segundo Colin et al (1996), a modelagem matemática em sistemas de produção vem se tornando frequente, pois a classe empresarial está interessada na eficácia operacional, ou seja, está sendo forçada a se interessar nela, devido aos efeitos da competição mais acirrada e mais profissional. Martinez et al (2011) reforça essa ideia, quando ressalta que a Pesquisa 2

3 Operacional tem tido um grande impacto crescente na administração de empresas nos anos recentes. Tanto o número quanto a variedade de suas aplicações continuam a crescer rapidamente. Martínez e Santos (1998), explicam que otimização consiste num problema matemático que tem muitas aplicações no mundo real. Encontrar a solução para este tipo de problema seria identificar os mínimos e os máximos que satisfaçam os valores que as variáveis disponíveis podem assumir dentro de uma região de soluções viáveis. Têm sido desenvolvidos muitos procedimentos para determinar as soluções ótimas. A solução ótima em um problema de maximização corresponde ao ponto no espaço de soluções em que o valor da função objetivo é máximo e em uma função de minimização é o ponto em que a função objetivo é mínima, ou seja, uma solução ótima é aquela que fornece a quantidade de produção de cada produto para obter o maior lucro ou o menor custo possível. Como mostra Martinez et al(2011), as técnicas de programação se classificam em oito, sendo elas: Programação linear: tem sido usada com sucesso na solução de problemas relativos à alocação de pessoal, mistura de materiais, distribuição, transporte, carteira de investimento, avaliação da eficiência; Programação dinâmica: tem sido aplicada também com sucesso a áreas como planejamento de despesas de publicidade, distribuição do esforço de vendas e programação de produção; Teoria das filas: tem tido aplicação na solução de problemas relativos a congestionamento de tráfego, máquinas de serviços sujeitas à quebra, determinação do nível de uma força de serviço, programação do tráfego aéreo, projetos de represas, programação de produção e operação de hospitais; Programação inteira: que é uma forma de programação linear onde as variáveis podem apenas apresentar números inteiros. Tem sido utilizada na resolução de problemas de investimento dentre outros; Programação mista: que é uma forma de programação linear onde as variáveis podem assumir valores binários, inteiros e contínuos, este modelo também é 3

4 definido como otimização combinatória, enquadrando-se em problemas de dificuldades não polinomiais NP-HARD; Programação não linear: modelo matemático onde a função objetivo, as restrições ou ambas, apresentam não linearidade em seus coeficientes. Programação multiobjetivo: é uma forma de programação linear e não linear onde se analisa múltiplas funções objetivos; Goal programming: que é uma extensão dos modelos de programação multiobjetivos, contendo vários modelos específicos para cada problema de decisão; Outras técnicas de pesquisa operacional, tais como teoria de estoque, teoria dos jogos, teoria dos grafos e simulação, também tem sido aplicadas com sucesso em diversos contextos. Para a solução do problema apresentado é usado o modelo de otimização linear, pois resolve a solução de problemas relativos à alocação de pessoal, mistura de materiais, distribuição, transporte, carteira de investimento, avaliação e eficiência (MARTINEZ et al,2011). 2.2 Programação linear A programação linear, para Gonçalves e Koprowinski (1995), é uma técnica que vem se constituindo como uma das mais poderosas, na maioria dos ramos da atividade humana. Os benefícios que ela oferece são aqueles que se enquadram a qualquer empresa: diminuição dos custos e aumento de lucros. Kuhnen (2002) também reforça esta idéia, quando ele diz que a programação linear busca a distribuição eficiente de recursos limitados para atender a um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Este objetivo é representado através de uma função linear denominada função objetivo. Este método foi criado no ano de 1946 e tem sido aplicado nas mais diversas áreas. Em algumas organizações ele está incluído em suas rotinas informatizadas de planejamento diário dos processos de operação. Algumas aplicações da técnica de programação linear são mais comuns, dentre elas estão, para o problema em estudo, as aplicações em transporte e alocação de recursos. 4

5 2.3 Solver O Solver é um recurso disponível nos Editores de Planilhas Eletrônica, tanto no Microsoft Excel, como no OpenOffice Calc. A principal diferença entre as duas ferramentas é que a última, Calc, não fornece os relatórios de análise de sensibilidade. Por este motivo o Excel se adéqua melhor devido à necessidade de demonstração de resultados. O Solver no Excel é capaz de gerar três relatórios para programas lineares, são eles: Relatório de Resposta, Relatório de Sensibilidade e Relatório de Limites. O Relatório de Resposta (Figura 1) fornece os valores originais e finais da Célula de Destino e de todas as Células Ajustáveis, bem como uma lista de cada restrição e seu status. Figura 1 Relatório de Resposta O Relatório de Sensibilidade (Figura 2) fornece o valor final de cada célula ajustável, seu custo reduzido, o coeficiente da função objetivo, o acréscimo e o decréscimo do coeficiente da função objetivo para o qual a solução atual permanecerá ótima. 5

6 Figura 2 Relatório de Sensibilidade O relatório de Limites (Figura 3) fornece os limites inferiores e superiores de cada célula 6

7 ajustável, mantendo todas as outras células em seus valores atuais e satisfazendo as restrições. Figura 3 Relatório de Limites 3. Materiais e métodos Este trabalho pode ser caracterizado como quantitativo, pelo fato de seu método de abordagem estabelecer uma relação entre quantidades, tais como, oferta e demanda, podendo ser também quantidades internas como disponibilidades de recursos, horas de trabalho, despesas, etc. No estudo de caso, o levantamento de dados foi realizado através da coleta de dados e medição de tempos e movimentos no processo produtivo da indústria. Para resolução do problema optou-se por usar a planilha do Excel, pois o Solver neste programa fornece relatórios finais que facilitam na compreensão e demonstração dos resultados. Os dados foram coletados no mês de outubro de 2013, e seu consolidado, analisado com base no referencial teórico estudado. 4.Resultados e discussão 4.1 Descrição do problema 7

8 A empresa em estudo deseja estabelecer uma programação mensal de produção que é feita para quatro tipos de modelos: (Calças Masculina e Feminina, Bermudas Masculina e Shorts Feminino), todos feitos com a mesma matéria prima (Jeans). Salienta-se que todos os modelos são tradicionais. Para confeccionar as peças são necessários três recursos: Mão de Obra, Jeans e Fios de costura para os quais a empresa apresenta uma limitação conforme a Tabela 1: Tabela 1 Disponibilidade de recursos. Recurso Disponibilidade Mão de Obra (minutos)/mês Jeans (metro²)/mês Fios (metro)/mês As quantidades necessárias para confeccionar cada modelo estão representadas na Tabela 2: Tabela 2 Disponibilidade de matéria prima e mão de obra Modelo Jeans (metro²) Fios (metro) Mão de Obra (minutos) Calça Masc. 1,80 185,00 37,50 Calça Feminina 1,60 170,00 29,00 Bermuda Masc. 1,30 130,00 25,00 Short Feminino 1,10 110,00 22,50 Estão listados na Tabela 3 os custos destes recursos: Tabela 3 Custos dos recursos. 8

9 Recurso Preço Jeans (metro²) R$ 12,00 Fios (metro) R$ 0,02 Mão de Obra (minuto) R$ 0,14 Pelo fato de cada loja estar localizada em estados diferentes, observou-se uma variação no preço de venda de cada modelo. Sendo necessário fazer uma média destes preços. Após os cálculos, organizou-se esse o preço médio na Tabela 4: Tabela 4 Preço médio de venda Modelo Preço/Unidade Calça Masculina R$ 69,00 Calça feminina R$ 59,90 Bermuda Masculina R$ 37,90 Short Feminino R$ 32,90 A empresa opera com uma demanda mínima de 4300 calças femininas, 1500 Bermudas e 1800 shorts e que são vendidas no máximo 1600 calças masculinas, objetiva-se estabelecer uma programação mensal e diária de produção para se obter o maior lucro possível, respeitando as suas limitações de matéria prima e mão de obra. 4.2 Modelagem do problema de programação linear Após a análise dos dados fornecidos pela empresa, pode-se calcular o custo total de cada modelo. E, com esse custo, obteve-se também o lucro que cada peça retorna para a empresa. Esses resultados foram organizados na Tabela 5: Tabela 5 Lucro obtido por unidade Modelo Custo Total/unidade Lucro/unidade Calça Masculina R$ 30,55 R$ 38,45 9

10 Calça feminina R$ 26,66 R$ 33,24 Bermuda Masculina R$ 21,70 R$ 16,20 Short Feminino R$ 18,55 R$ 14,35 Com os dados obtidos, montou-se o seguinte modelo matemático(figura 4): Sendo: (Calça Masculina = x1; Calça Feminina = x2; Bermuda = x3; Short = x4) Figura 4 Modelo canônico Função objetivo: Maximizar Z = 38,45 x1 + 33,42 x2 + 16,20 x3 + 14,35 x4 (Lucro mensal) Sujeito às Restrições: 1,80 x1 + 1,60 x2 + 1,30 x3 + 1,10 x4 <= (Jeans) 185,00 x ,00 x ,00 x ,00 x4 <= (Fios) 37,50 x1 + 29,00 x2 + 25,00 x3 + 22,50 x4 <= (Mão de obra) x1 <= 1600 (Demanda Calça Masculina) x2 <= 4300 (Demanda Calça Feminina) x3 <= 1500 (Demanda Bermuda) x4 <= 1800 (Demanda Short) Sendo: x1, x2, x3, x4 => 0 (Não negatividade) A partir do modelo Canônico e com a ajuda de uma planilha eletrônica, construíram-se fórmulas para moldar o problema, para que o mesmo possa ser resolvido com o programa Solver, que utiliza programação linear, usando o Algoritmo Simplex. Após a resolução obtida pelo Solver e obedecendo todas as restrições, a quantidade que deverá ser produzida de cada modelo para se obter o maior lucro possível está mostrada na Tabela 6: 10

11 Tabela 6 Quantidade que deverá ser produzida de cada modelo Quantidade que deverá ser produzida Calça Masculina Calça Feminina Bermuda Short A Tabela 7 mostra a quantidade que foi gasta de cada recurso: Tabela 7 Quantidade gasta de recursos Quantidade gasta de cada recurso Mão de Obra (minuto) Fios (metro) Jeans (metro²) Com essa quantidade produzida, a empresa terá um lucro de R$ ,00, com uma produção mensal total de peças e uma produção diária de 536 peças. Observou-se também que foi gasto todo Jeans e Mão de obra disponível, mas sobrou uma quantia significativa de fios ( metros), isso significa que está havendo um desperdício deste recurso. O Solver também gerou a planilha de análise de sensibilidade para ver o quanto poderia aumentar ou diminuir de cada recurso. Esses dados foram organizados na Tabela 8: Tabela 8 Análise de sensibilidade 11

12 Análise de sensibilidade Recurso Permissível Decréscimo Permissível Acréscimo Mão de Obra (min) Fios (m) Jeans (m²) Esse intervalo de acréscimo e decréscimo significa que se pode aumentar ou diminuir os valores das variáveis em questão, que o comportamento da função objetivo não se altera. 4.3 Análise do transporte A empresa estudada tem duas fabricas que distribui para três lojas. Os custos unitários de transporte para cada loja estão representados na Tabela 9: Tabela 9 Custo unitário de transporte São Paulo Minas Gerais Bahia Matriz R$ 1,05 R$ 0,80 R$ 1,35 Filial R$ 0,70 R$ 1,00 R$ 1,28 A empresa deseja saber quanto deverá distribuir para cada loja, gastando o mínimo possível. A capacidade total de produção das duas fábricas é de peças por mês. A capacidade de estocagem de cada loja é a seguinte: Loja de São Paulo 9500 peças por mês, Minas Gerais 5700 por mês e a da Bahia 3800 peças por mês. Com o auxilio de uma planilha eletrônica, e utilizando programação Linear(Solver), encontrou-se, quanto ao arranjo de distribuição, os resultados mostrados na Tabela 10: Tabela 10 - Arranjo de distribuição São Paulo Minas Gerais Bahia Matriz Filial

13 De acordo com os custos unitários estabelecidos na Tabela 9, e a configuração de distribuição da Tabela 10, a empresa gastará R$ ,00 com transporte. 5.Conclusão Após a obtenção dos resultados no processo de validação, pode-se afirmar que o modelo proposto pode auxiliar de forma significativa no planejamento da linha de produção Têxtil, proporcionando agilidade, facilidade e confiabilidade nas análises realizadas, abrindo portas para uma melhor compreensão das variáveis inerentes ao problema, propiciando análises quantitativas eficazes, que apóiam o planejamento da produção e propiciando uma melhoria dos resultados financeiros da empresa. REFERÊNCIAS COLIN, E. C.; CIPPARRONE, F. A. M.; SHIMIZU, T. Otimização do Custo de Transporte na Distribuição- Amazenagem de Açucar. São Paulo : Escola Politécnica da USP, GONÇALVES, A.; KOPROWINSKI, S. O. Pequena empresa no Brasil. São Paulo: Imprensa Oficial do Estado, Editora da Universidade de São Paulo, KUHNEN, Osmar Leonardo. Métodos quantitativos. Erechim: Apostila da Pós-Graduação em Auditoria e Perícia, LASDON, L. S.; WAREN, A. D.; JAIN, A.; RATNER, M. Design and testing of a generalized reduced gradient code for nolinear programming. ACM Transactions on Mathematical Sofware, New York, v. 4, n. 1, p , MARTÍNES, J. M.; SANTOS, S. A. Métodos Computacionais de Otimização. IMECC-UNICAMP: Departamento de Matemática Aplicada, SILVA, A. F. da; MARTÍNS, F. A. S.; SILVA, G. M.; LOPES, P. R. M. de A. Desenvolvimento e Otimização de Modelos Matemáticos por meio da Linguagem GAMS, Disponível em: Acesso em 13 de dezembro de