Formulações Multifluxo de Problemas de Otimização Combinatória

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1 Formulações Multifluxo de Problemas de Otimização Combinatória Henrique Pacca L. Luna Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional Escuela Latino Americana de Verano de Investigacion Operativa - XII ELAVIO Petrópolis

2 Geradora Dirigida de Mínima Distância Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e parâmetros d ij distância entre os nós i e j O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor comprimento total que ligue o nó origem a todos os nós do grafo.

3 Geradora Dirigida de Mínima Distância Variáveis Binárias x ij variável booleana que vale 1 se o arco (i,j) é escolhido para compor a árvore geradora e vale 0 em caso contrário Variáveis de Fluxo f ijk fluxo através do arco (i,j) do produto destinado ao nó k

4 Geradora Dirigida de Mínima Distância Modelo de Programação Linear Inteira Mista Função Objetivo Minimizar (1) (i,j) ε A sujeito a d ij x ij

5 Geradora Dirigida de Mínima Distância f ojk = 1 para o nó o e para todo k ε V - {o} (2) (o,j) ε A f ikk = 1 para todo nó k ε V - {o} (3) (i,k) ε A

6 Geradora Dirigida de Mínima Distância f ijk - f jlk = 0 para todo j e k ε V- {o} (i,j) ε A (j,l) ε A com j k (4) 0 f ijk x ij para todo (i, j) ε A, k ε V- {o} (5) x ij ε {0,1}, para todo (i, j) ε A (6)

7 Geradora Dirigida de Mínima Distância Referência Maculan, Nelson., A New Linear Programming Formulation for the Shortest s-directed Spanning Tree Problem, Journal of Combinatorics, Information & System Sciences, Vol. 11, Nos. 2-4, (1986)

8 Geradora Dirigida de Mínimo Custo Fixo Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e o parâmetro b ij custo fixo da ligação entre os nós i e j O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor custo fixo de instalação que ligue o nó origem a todos os nós do grafo

9 Geradora Dirigida de Mínimo Custo Fixo Variáveis Binárias x ij variável booleana que vale 1 se o arco (i,j) é escolhido para compor a árvore geradora e vale 0 em caso contrário Variáveis de Fluxo f ijk fluxo através do arco (i,j) do produto destinado ao nó k

10 Geradora Dirigida de Mínimo Custo Fixo Modelo de Programação Linear Inteira Mista Função Objetivo b ij x ij Minimizar (7) (i,j) ε A sujeito a (2), (3), (4), (5) e (6).

11 Vencer Distâncias é Custoso Custo fixo em função da distância no arco (i,j) b ij b ij = + d b ij = + ij d ij d ij

12 Geradora Dirigida de Mínimo Custo Fixo Sendo a relação entre o custo fixo e a distância no arco (i, j) dada por b ij = α + β d ij Observa-se que, quando α = 0, o problema se reduz ao problema da árvore geradora de mínima distância. Quandoα= 1 e β = 0 o problema se reduz, trivialmente, ao problema da árvore geradora.

13 Geradora Dirigida de Mínimo Custo Variável Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e os parâmetros c ijk custo de uma unidade de fluxo do produto k através do arco (i,j) q k quantidade requisitada de produto k no nó de demanda k ε V {o} O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor custo total de transporte dos produtos que ligue o nó origem a todos os nós de demanda da rede.

14 Geradora Dirigida de Mínimo Custo Variável Modelo de Programação Linear Inteira Mista Função Objetivo Minimizar (8) sujeito a c ijk f ijk k ε V {o} (i,j) ε A

15 O Problema da Árvore Geradora Dirigida de Mínimo Custo Variável f ojk = q k para o nó o e para todo k ε V - {o} (2 ) (o,j) ε A f ikk = q k para todo nó k ε V - {o} (3 ) (i,j) ε A

16 O Problema da Árvore Geradora Dirigida de Mínimo Custo Variável f ijk - f jlk = 0 para todo j e k ε V- {o} (i,j) ε A (j,l) ε A com j k (4) 0 f ijk q k x ij para todo (i, j) ε A, k ε V- {o} (5 ) x ij ε {0,1}, para todo (i, j) ε A (6)

17 Levar Carga Longe é Custoso c ijk Custo de uma unidade de fluxo do produto k em função da distância no arco (i,j) A c ijk = k d ij k d ij

18 Custo de Transporte Proporcional à Carga de cada Produto Custo do fluxo de k Custo variável do fluxo do produto k no arco (i,j) A c ijk f ijk

19 de Steiner em Grafo Dirigido Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o que precisa ser ligado a um sub-conjunto K de nós de demanda e parâmetros d ij distância entre os nós i e j O problema consiste em encontrar uma árvore Steiner de menor comprimento total que ligue o nó origem a todos os nós do conjunto K contido em V

20 de Steiner em Grafo Dirigido Variáveis Binárias x ij variável booleana que vale 1 se o arco (i,j) é escolhido para compor a árvore geradora e vale 0 em caso contrário Variáveis de Fluxo f ijk fluxo através do arco (i,j) do produto destinado ao nó k ε K

21 de Steiner em Grafo Dirigido Modelo de Programação Linear Inteira Mista Função Objetivo Minimizar (11) (i,j) ε A sujeito a d ij x ij

22 de Steiner em Grafo Dirigido f ojk = 1 para o nó o e para todo k ε K (12) (o,j) ε A f ikk = 1 para todo nó k ε K (13) (i,k) ε A

23 de Steiner em Grafo Dirigido f ijk - f jlk = 0 para pares j V- {o}, (i,j) ε A (j,l) ε A k ε K com j k (14) 0 f ijk x ij para todo (i, j) ε A, k ε K (15) x ij ε {0,1}, para todo (i, j) ε A (16)

24 Tempo é Dinheiro Atrazo Custo do tempo de espera para o fluxo total do arco (i,j) A C - capacidade b ij = + d ij C g ij

25 Geradora Congestionada de Mínimo Custo Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e os parâmetros c ijk custo de uma unidade de fluxo do produto k através do arco (i,j) q k quantidade requisitada de produto k no nó de demanda k ε V {o} O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor custo total de transporte dos produtos que ligue o nó origem a todos os nós de demanda da rede.

26 Geradora Congestionada de Mínimo Custo Variáveis Binárias x ij variável booleana que vale 1 se o arco (i,j) é escolhido para compor a árvore geradora e vale 0 em caso contrário Variáveis de Fluxo f ijk fluxo através do arco (i,j) do produto destinado ao nó k g ij fluxo total de todos os produtos que passam pelo arco (i,j)

27 Geradora Congestionada de Mínimo Custo Modelo de Programação Linear Inteira Mista Função Objetivo Minimizar [(b ij x ij +τ ij (g ij ) + c ijk f ijk ] (18) (i,j) ε A k ε V {o} sujeito a

28 O Problema da Árvore Geradora Congestionada de Mínimo Custo f ijk - f jlk = 0 para todo j e k ε V- {o} (i,j) ε A (j,l) ε A com j k (4) 0 f ijk q k x ij para todo (i, j) ε A, k ε V- {o} (5 ) x ij ε {0,1}, para todo (i, j) ε A (6)

29 O Problema da Árvore Geradora Congestionada de Mínimo Custo f ijk - g ij 0, para todo (i,j) e A (19) k ε V {o} g ij 0 para todo (i, j) ε A (20)