Um método ótimo para um problema de projeto de redes em anel com custos de congestionamento

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1 Um método ótimo para um problema de projeto de redes em anel com custos de congestionamento João Fernando Machry Sarubbi 1, Henrique Pacca Loureiro Luna 2, Philippe Mahey 3 1 Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Belo Horizonte MG Brasil 2 Instituto de Computação Universidade Federal de Alagoas (UFAL) Maceió AL Brasil 3 Laboratoire d Informatique, Modélisation et Optimisation des Systèmes (LIMOS) Université Blaise Pascal Clermont-Ferrand França jsarubbi@dcc.ufmg.br, pacca@tci.ufal.br, mahey@isima.fr Abstract. In this paper we introduce a problem named Ring Network Design Problem(RNDP). The RNDP is a general problem that has the costs of the Traveling Salesman Problem and the costs of the Minimum Latency Problem. Besides this two costs, the RNDP also has a nonlinear cost related to the Kleinrock function. We work with a multi-commodity flow formulation for this problem. The nonlinear multi-commodity flow model is solved by a generalized Benders decomposition algorithm. We presented optimal results to instances up to 20 nodes and compare the influence of each cost in the final solution. Resumo. Neste artigo é introduzido um problema denoado de Problema de Projeto de Redes em Anel(PPRA). O PPRA é um problema geral que engloba tanto os custos relativos ao Problema do Caixeiro Viajante como os custos do Problema de Mínima Latḙncia. Além destes dois custos, o PPRA possui também um custo de congestionamento não-linear baseado na função de Kleinrock. Para este problema uma formulação não-linear inteira mista e um algoritmo baseado na decomposição de Benders foram desenvolvidos para solucionar de forma ótima o problema. Apresentamos neste artigo resultados exatos de até 20 nós analisando os resultados comparando a influḙncia de cada um dos trḙs custos na solução final. [ 1713 ]

2 1. Introdução Nesse trabalho será apresentado um novo problema denoado Problema de Projeto de Redes em Anel (PPRA). Ele consiste em achar um caho Hamiltoniano de menor custo que, saindo de uma origem, percorra todas as localidades, passando exatamente uma vez em cada localidade e depois voltando para a origem, exatamente como o Problema do Caixeiro Viajante (PCV) [Dantzig et al. 1954]. O PPRA possui 3 custos distintos que são responsáveis pela escolha do caho. O primeiro custo é um custo fixo associado à passagem nos trechos, o mesmo custo do PCV. O segundo custo é um somatório dos custos unitários para se transportar cada unidade de um tipo de produto em cada trecho. Existe um parâmetro de demanda assciado à cada localidade. Este segundo custo está associado ao Problema de Mínima Latência(PML)[Conway et al. 1967] [Lucena 1990] [Fischetti et al. 1993] [Sarubbi and Luna 2005]. Não necessariamente a menor distância (ou o menor tempo total) é a melhor solução. O custo relacionado ao PML prioriza produtos e/ou clientes mais importantes, assim como tende a entregar mais mercadorias no início do circuito com o intuito de deixar o veículo mais vazio e economizar no custo de transportar os demais produtos às localidades subseqüentes. O terceiro e último custo é um custo de congestionamento não-linear que aumenta exponencialmente a medida que a capacidade do arco se aproxima do seu limite. Neste problema de entrega, o tipo e a quantidade dos produtos são, além das distâncias e da capacidades dos arcos, importantes para o cálculo total do custo. A quantidade dos produtos de um deterado tipo que é transportada por um arco é multiplicada pelo custo de se transportar uma unidade desse produto pelo arco. Este problema, que é uma generalização do PCV, também pode ser visto como um problema de telecomunicações. Por exemplo: muitas aplicações multimedia como áudio e vídeo conferência e centros de download requerem qualidade de serviço (QoS) para funcionar corretamente [Boujelben et al. 2003]. Uma forma de garantir qualidade de serviço é trabalhar com uma rede protegida contra falhas (survivable). Uma rede pode ser dita protegida contra falhas se ocorrer uma falha em uma das suas ligações (links) e a rede continuar funcionando corretamente. É possível definir falha como um evento qualquer que diui a capacidade de uma ligação para zero. Como em redes de telecomunicações a probabilidade de duas ligações falharem simultaneamente é muito pequena, é possível considerar que uma rede protegida contra a falha de uma só ligação é dita ser survivable. Um exemplo é uma rede em anel. Nesse trabalho será estudado um problema de projeto de redes em anel em uma única direção com custos de congestionamento. O PPRA tem como objetivo constuir um anel de telecomunicações. Este anel levará em conta o custo de instalação e também garantirá a qualidade de serviço onde clientes ou serviços mais importantes terão prioridades. Serão exploradas características de projeto de topologia, roteamento e capacidade dos arcos [Gavish 1983]. Randazzo e Luna [Randazzo and Luna 2001] desenvolveram uma formulação de programação linear para um problema de projeto de redes de acesso local. Nesse modelo eles trabalharam com uma estrutura em árvore e com dois custos distintos que deviam ser imizados: o custo fixo (estrutural) de instalação dos arcos e um custo variável (operacional) relativo ao fluxo das mercadorias. Nesse problema nem todos os nós deveriam ser visitados. Em 2003, Miranda, Luna e Ferreira [Miranda et al. ] trabalharam em uma extensão do problema anterior. Nesse problema foi acrescentado um terceiro custo na função objetivo. Este custo estava relacionado ao congestionamento da rede utilizando uma função não-linear para representar este custo. Além disto, o problema trabalhava com expansão de capacidades. Um modelo de fluxos não-linear e um algoritmo baseado no método de Benders foram apresentados. Será estudado nesse trabalho uma extensão do trabalho de [Sarubbi 2003] que acrescenta um custo não-linear, da mesma forma que fizeram Miranda, Luna e Ferreira [Miranda et al. ], no trabalho de Randazzo e Luna [Randazzo and Luna 2001]. As diferenças entre o PPRA e o problema de Miranda et al. é que eles trabalharam com um problema de redes em árvore e com expansão de [ 1714 ]

3 capacidades e o PPRA trabalhará com redes em anel sem expansão de capacidades. 2. Apresentação do problema Considere o grafo G(V,E), onde V representa um conjunto de nós e E um conjunto de arcos representando pares de nós no qual uma ligação direta pode ser instalada. Suponha que exista um nó origem o (o local hub ou switching center) e um conjunto de nós K onde K = V e, para cada nó k K, uma demanda d k do serviço k deve ser entregue por um circuito que imize a soma do custo fixo (estrutural), variável (operacional) e um custo de congestionamento nos arcos selecionados para pertencerem à solução ótima. Para este problema uma formulação não-linear inteira mista foi desenvolvida. É definido: x ij = { 1 se uma ligação (link) direta é instalada no arco(i,j), 0 caso contrário. b ij : Custo fixo (estrutural) de instalar uma ligação direta em um arco (i,j). Suponha b ij = δd ij ser a distância (em metros) entre i e j, e δ é o custo, por metro, para se fazer a ligação entre os nós i e j. c ijk : Custo variável (operacional) para transmitir uma unidade do serviço k através do arco (i,j); supõe-se c ijk = γ k d ij, k V. f ijk : Fluxo através do arco (i,j) destinado ao nó de demanda k. g ij : Fluxo total que passa através do arco (i,j). C ij : Capacidade do arco (i,j). O modelo permite que os custos variáveis sejam dependentes tanto por serviço como por arco. Se o custo variável é independente por serviço tem-se γ k = γ k K. É também assumido que, para cada arco (i,j), existe uma função crescente τ ij (g ij ) do total de fluxo que passa pelo arco. A função de congestionamento é assumida ser separável com respeito aos arcos, e cada parcela τ ij (g ij ) é usada para avaliar a qualidade de serviço em termos de custo. Qualidade de serviço é tipicamente uma função crescente que mede o congestionamento no arco onde serviços são requisitados por usuários que competem por um deterado recurso. Para aumentar as características combinatórias do problema todas as capacidades são escolhidas aleatoriamente entre 0.7 k K d k e 1.2 k K d k Formulação não-linear inteira mista O modelo matemático é: [b ij x ij + τ ij (g ij ) + k K c ijk f ijk ] (1) [ 1715 ]

4 sujeito a (o,j) E x ij = 1 j V (2) x ij = 1 i V (3) x ij {0,1} (i,j) E (4) f ijk d k x ij (i,j) E, k K (5) f ojo = d o (6) (o,j) E f ojk + f jok = d k k V o (7) f ikk (i,k) E f ijk (j,o) E (i,o) E (k,i) E (j,l) E f ioo = d o (8) f kik = d k k K o (9) f jlk = 0 k K,j k (10) f ijk 0 (i,j) E, k V (11) f ijk g ij 0 (i,j) E (12) g ij C ij x ij (i,j) E (13) g ij 0 (i,j) E (14) A função objetivo (1) soma os custos para todos os arcos da rede. O fato da função objetivo ser separada em arcos e produtos é a chave para a estratégia de decomposição que será usada para resolver problemas de grande escala. As restrições (2) e (3) são as restrições de atribuição introduzidas em 1954 por Dantzig, Fulkerson e Johnson. Estas restrições garantem que existe somente um arco saindo e um arco chegando em cada nó. O fato que todas as variáveis x ij são binárias é assegurado pelas restrições (4). As restrições que acoplam as variáveis x e f (5) asseguram que não existe fluxo no arco (i,j) ao menos que seja pago o custo fixo b ij para instalar este arco. Estas restrições são redundantes mas são usadas na estratégia de decomposição que será mostrada posteriormente. As equações (6) e (7) garantem que o fluxo total do serviço k que é originado do nó fonte o é igual à demanda d k do consumidor localizado no nó k. A restrição (6) é relativa ao caso especial onde k = o. De outra forma, as restrições (8) e (9) impõem que a específica demanda d k do serviço k é igual ao fluxo total desse serviço que chega no nó k. Da mesma forma, a restrição (8) é relativa ao caso especial onde k = o. Restrições (10) garantem a conservação de fluxo de qualquer serviço através dos vértices de Steiner destes serviços. Isto é, para qualquer nó que não seja destino final para este serviço. O fato que o fluxo de qualquer serviço por qualquer arco não ser negativo é garantido pelas equações (11). As restrições (12) asseguram que as variáveis g ij representam o fluxo total que passa pelo arco (i,j). As restrições (13) asseguram que a restrição de capacidade de cada arco será respeitada. E finalmente, as restrições (14) forçam a não negatividade das variáveis g ij. Observe que as restrições (5)- (11) possuem dois objetivos. O primeiro é armazenar o fluxo em cada arco. Este fluxo é usado para calcular o custo variável linear e o custo não-linear [ 1716 ]

5 de congestionamento. O segundo objetivo é evitar subciclos ilegais. Estas restrições eliam a necessidade de se incluir um número exponencial de restrições de ciclos presentes do modelo original do PCV [Dantzig et al. 1954]. Em relação a tradicional formulação de Dantzig, Fulkerson e Johnson de 1954, que é limitada ao espaço das variáveis x ij, a inclusão das variáveis de fluxo f ijk e g ij aumentam de forma polinomial o número de variáveis do problema. Ao invés de trabalhar com somente uma variável binária para cada arco (i, j), a formulação (1)- (14) também opera com K +1 variáveis continuas para cada arco (i,j). É importante salientar que o PPRA é assimétrico. 3. Algoritmo de Benders O método de particionamento de Benders [Benders 1962], também chamado método de decomposição de Benders, foi publicado em 1962 e foi inicialmente desenvolvido para resolver problemas de programação inteira mista. O sucesso computacional do método para resolver modelos de projetos de sistema de distribuição multiproduto de grande escala tem sido confirmado desde o artigo pioneiro de Geoffrion e Graves [Geoffrion and Graves 1974]. Randazzo e Luna usaram Benders em [Randazzo and Luna 2001]. Sarubbi também usou Benders em [Sarubbi 2003] e Miranda, Luna e Ferreira também o usaram em [Miranda et al. ]. O método será especializado para o modelo (1)-(14) Manipulação do Problema O método de particionamento de Benders usa projeção como estratégia básica de manipulação do problema que é, então, seguida pelas estratégias de dualização, linearização e relaxação [Randazzo and Luna 2001]. Do ponto de vista de programação matemática, é possível conceber uma projeção do modelo (1)-(14) no espaço das variáveis topológicas x que são as variáveis binárias do problema. A projeção resulta no seguinte problema implícito a ser resolvido no nível superior: x X b ij x ij + v(x) (15) onde X = {x para um x fixado existem fluxos viáveis satisfazendo (5)-(11)} e onde v(x) é calculado pelo seguinte problema a ser resolvido no nível inferior: v(x) = ij (g ij ) + f,g G [τ c ijk f ijk ] sujeito a (5) para um x fixado. (16) onde G = {(f,g) f 0 ; e g 0 satisfazendo (6) (10)e(12)} A exigência da viabilidade dos fluxos relacionados com a variável topológica x X implica que o conjunto de arcos para os quais x ij = 1 forma um anel com origem no nó o e destinado a todo nó de demanda k K. Além disto, não existe necessidade de outras restrições viáveis no domínio da projeção (15), e a existência de um mínimo no subproblema (16) é assegurada uma vez que se está imizando uma função convexa em um espaço não vazio. Uma vez que o subproblema tem uma função objetivo diferenciável e convexa e restrições lineares, as condições de Karush-Kunh-Tucker são necessárias e suficientes para garantir a otimalidade e técnicas de dualização podem ser usadas para este problema. Com um vetor de variáveis duais associado α 0 a idéia é dualizar o subproblema com respeito as restrições de acoplamento (5). Uma vez que não existe Gap de dualidade, para nenhum x X o valor ótimo do subproblema (16) pode ser dado por: v(x) = max α 0 [ f,g G [τ ij (g ij ) + c ijk f ijk ] + α ijk (f ijk d k x ij )] (17) [ 1717 ]

6 ou v(x) = max [ α 0 α ijk d k x ij + ij (g ij ) + f,g G [τ c ijk f ijk ]] (18) O problema completo (15) é então equivalente a b ij x ij + max [ α ijk d k x ij + ij (g ij ) + x X α 0 f,g G [τ (c ijk + α ijk )f ijk ]] (19) ou, usando o fato que o supremum é o menor limite superior, o problema (1)-(14) é equivalente ao problema mestre t sujeito a: x,t X b ij + t (20) α ijk d k x ij + ij (g ij ) + f,g G [τ (c ijk + α ijk )f ijk ] α 0 (21) O método de decomposição de Benders Generalizado resolve o problema (20)- (21) pela estratégia de relaxação, isto é, ignorando tudo menos algumas poucas restrições (21). Se num certo ciclo h, o subproblema tem sido resolvido por um dado anel x h e um vetor ótimo de multiplicadores α h foi recuperado, então de (19) o valor ótimo v(x h ) ocorre para α = α h e é dado por v(x h ) = α h ijk d kx h ij + ij (g ij ) + f,g G [τ (c ijk + α h ijk )f ijk] (22) De (21) segue que, associado com α h, existe a restrição t v(x h ) + α h ijk d k(x h ij x ij) (23) No nível inferior, o lado direito do problema primal (16) é dependente dos valores de x, mas o conjunto de soluções viáveis do problema dual correspondente é sempre o mesmo para qualquer x fixado. Usando-se os pontos extremos gerados deste conjunto dual é possível, no nível superior de cada ciclo de Benders, ter uma melhor sub-estimativa do custo operacional relacionado ao anel gerado pelas variáveis x [Randazzo and Luna 2001]. A idéia é escolher para cada ciclo h uma solução x h que imize a soma do custo fixo conhecido b ijx ij mais a melhor sub-estimativa conhecida do custo operacional relativo à topologia x h. Será analisado agora o subproblema para prover mais detalhes das características de implementação Subproblemas Para um ciclo fixo C h, associado com o vetor x h, a computação do fluxo de custo mínimo t(x h ) pode ser separada em uma série de problemas triviais de fluxos em redes. Seja Pok h o conjunto de arcos pertencentes ao caho do nó origem até o nó de demanda k, que foi definido pelo problema mestre do ciclo h na iteração h. Para cada produto k é preciso resolver o seguinte subproblema: g 0,f 0 [τ ij (g ij ) + c ijk f ijk ] (24) [ 1718 ]

7 sujeito as restrições de acoplamento do fluxo nos arcos (12) que são f ijk g ij 0 (i,j) E e as restrições (5)- (11) para um vetor binário fixado x = x h. Uma vez que τ ij (g ij ) é uma função crescente, as restrições (12) são satisfeitas na igualdade na solução ótima. Um fluxo único f ijk = d k pode ser associado para cada arco pertencente ao caho P h ok do nó fonte o até o nó de demanda k, resultando em uma única solução ótima (fh,g h ) associada com o anel x h. A construção de um vetor de multiplicadores ótimos associados pode ser construída dualizando o subproblema em respeito as restrições de acoplamento (12). Com as variáveis duais correspondentes β 0, o valor ótimo v(x h ) pode ser computado como v(x h ) = max d(β) (25) β 0 onde a função dual d(β) é avaliada induzindo a separabilidade natural de cada fluxo de serviços, d(β) = g 0,f 0 ij (g ij ) + [τ c ijk f ijk ] + β( f ijk g ij ) (26) De forma que d(β) = f k 0 (c ijk + β ij )f ijk + (τ ij(g ij ) β ij g ij ) (27) g ij 0 onde cada f k refere-se ao vetor de serviços k que é viável nas restrições correspondentes (5) - (11) para x = x h. É observado que, para uma solução ótima (f h,g h ) do problema primal (24) e (11) uma solução ótima associada β h para o problema dual (25) deve imizar, para cada g ij E, a correspondente parcela da função Lagrangeana em (27), na qual implica β h ij = τ ij (g ij) (28) Como uma conseqüência de fixar este único vetor ótimo β h, é possível agora deterar em detalhes o par primal dual para ser resolvido separadamente por cada serviço k K para qualquer x h dado. [ 1719 ]

8 Subproblema primal para o serviço k quando x=x h (o,j) E (i,k) E (i j ) E (c ijk + β ij )f h ijk (29) sujeito a fijk h d kx h ij (i,j) E, k V (30) fojo h = d o (31) (o,j) E f h ojk + f h ikk f h ijk (j,o) E (i,o) E (k,i) E (j,l) E f h jok = d k k V o (32) f h ioo = d o (33) f h kik = d k k V o (34) f h jlk f h ijk A única e trivial solução para este problema é: = 0 k V o,j k (35) 0 (i,j) E, k V (36) f h ijk = { dk se (i,j) P h ok Ch, 0 caso contrário Subproblema dual para o serviço k quando x=x h O problema dual associado ao subproblema dado pela função objetivo (29) e pelas restrições (30)- (36) é: max d k (ρ h ρ h,α h kk ρh ok 0 x h ijα h ijk ) (37) sujeito a ρ h jk ρh ik αh ijk c ijk + βij h, k V (38) O problema dual tem muitas soluções viáveis ao contrário do problema primal que tem somente uma única solução trivial. Desde f h ijk = d k > 0, (i,j) P h ok Ch tem-se pelo teorema da complementaridade de folga que: ρ h jk ρh ik αh ijk = c ijk + β h ij, (i,j) P h ok Ch (39) de uma forma que é possível construir, associado com a solução primal x h, a seguinte solução dual viável. ρ h ok = 0, k K, para o nó origemo, (40) ρ h jk = ρ h ik + c ijk + βij h, (i,j) P ok h Ch, (41) α h ijk = 0, (i,j) Pok h Ch, (42) α h ijk = ρ h jk ρh ik c ijk βij h, (i,j) E\Ch ρ h jk ρh ik > c ijk + βij h, (43) α h ijk = 0, (i,j) E\C h ρ h jk ρh ik c ijk + βij h, (44) [ 1720 ]

9 A avaliação sistemática das variáveis duais com valores que tenham sentido é a chave para uma eficiente implementação. As duas séries de variáveis duais podem ser interpretadas como informação de preço. Cada variável ρ h ik representa o preço de se estabelecer a comunicação k(k K) do nó origem o até o nó i (i V ) na iteração h (h = 1,...,H). Por outro lado, cada variável α h ijk informa para cada produto k o valor de uma unidade adicional de capacidade no arco (i,j) E. A variável dual α h ijk avalia para o produto k a máxima redução no custo operacional que pode ser obtida com a inclusão do arco (i,j) na solução. No caso de sistemas de transporte a variável α h ijk também pode ser entendida como a taxa a ser paga com o uso do arco (i,j) com o intuito de manter os agentes de distribuição sem lucro. Observe que a solução dual em (38) representa preços espaciais nos quais não existe lucro para nenhum dos agentes que pagam o custo c ijk para transportar o produto k através do arco(i,j) [Randazzo and Luna 2001] Problema Mestre O objetivo do problema Mestre é gerar um ciclo C h a cada iteração h. Na primeira iteração nenhum corte de Benders está disponível e a solução do problema mestre é a solução do PCV para este problema. Como citado anteriormente, as variáveis f ijk presentes no modelo são responsáveis por construir o custo variável e também para evitar subciclos ilegais. Estas variáveis são usadas no subproblema mas como inexistem no problema mestre é preciso outra forma para evitar subciclos ilegais. Para isso serão adicionadas algumas restrições e as variáveis y ij. Estas variáveis, assim como as variáveis g ij no modelo original representam o fluxo global que passa através de um arco (i,j). O modelo matemático do problema mestre é constituído pela seguinte função objetivo. x X sujeito as restrições (2),(3), (4) e pelas restrições (i,k) E e pelo corte de Benders: y ik (o,j) E (k,j) E t v(x h ) + b ij x ij + t (45) y oj = k K d k k K (46) y kj = 1 k K (47) y ij C ij x ij (i,j) E (48) y ij 0 (i,j) E (49) (α h ijk d kx ij ) h = 1,...,H (50) O parâmetro h é um contador de ciclos que indica o número de cortes de Benders que foram usados até o momento. Para um dado h e k, o valor correspondente do lado direito das restrições (50) provêem um limite inferior no custo do fluxo que deixa o nó de origem para o dó de demanda k. A variável t que aparece na função objetivo (45) é o melhor limite inferior conhecido do custo operacional Algoritmo A seguir é apresentada a implementação da decomposição de Benders. Os passos do algoritmo são os seguintes. [ 1721 ]

10 1. Encontre a solução de relaxação linear para o modelo (1)-(14) atribuindo zero ao custo de congestionamento. Armazene esta solução em SL.Inicialize o contador de ciclos com zero(h = 0).Inicialize o Limite Inferior LB = + 2. Resolva o problema composto pela função objetivo (45) e pelas restrições (2)-(4), (46)-(49) e (50). Gera o Limite Superior UB para o problema. Se UB LB < ǫ então pare. Após calcule as variáveis duais usando as expressões (40)-(44). Adicione o corte de Benders (50) no problema mestre. Se LB < SL e h = 0 então adicione um novo corte t SL LB. Adicione uma unidade na variável h. Vá para o passo Resultados Computacionais Os testes foram executados em um Pentium IV com 2.4 GHz e 1 Gbyte de memória RAM. Foi utilizado o sistema operacional Linux. O algoritmo de decomposição de Benders foi implementado em C++ usando a biblioteca Concert Technology 2.0 do Cplex 9.0. O limite de tempo total do algoritmo foi de 7200 segundos. O campo V da tabela (1) representa o número de nós do grafo usado como base. O campo Max Custo Fixo é um número inteiro que representa o máximo custo b ij para a respectiva instância. O custo fixo mínimo para esta instância é igual a (Max Custo Fixo/2) + 1. Isto é, os valores de b ij relacionados ao custo de se estabelecer a comunicação entre os pares de nós estão compreendidos entre (M ax Custo F ixo/2) + 1 e Max Custo Fixo assegurando assim a satisfação da propriedade de desigualdade triangular. Cada nó k V tem uma demanda entre 1 e o valor contido no campo Max Demanda. O nó 1 é o nó de origem e todas as demandas são inteiras. A demanda da origem é sempre unitária representando que uma informação deve retornar a origem. O campo θ representa, em porcentagem, a possível relação entre o custo variável de transportar um serviço k em um arco (i,j) e o valor de b ij. Cada nó tem um parâmetro η, escolhido aleatoriamente entre 0.5θ e 1.5θ. O valor de θ varia entre 0 e 1000 onde 0 representa que o custo variável é nulo e 1000 representa que o custo variável é igual ao custo fixo para cada informação. Para cada nó um tipo de informação deve ser entregue. Quanto mais importante a informação, ou mais importante o cliente, maior será o valor de η. Por exemplo, para aplicações como áudio e vídeo conferência e outras aplicações de tempo real, o valor de η deve ser maior. Todas as instâncias são completas. A principal dificuldade nesta fase do trabalho é que não estão disponíveis métodos populares para se resolver problemas de programação não-linear mista. Esta característica faz com que métodos de comparação sejam difíceis de se obter. Foi decidido então analisar as versões linear e não-linear para efeitos de comparação. A versão linear foi obtida forçando o custo de congestionamento para zero. Através do seguinte exercício é possível mostrar as diferenças entre as soluções linear e não-linear. Gap Nlinear geral = 100( Optimum nonlinear Optimum linear Optimum nonlinear ) (51) Os resultados são mostrados na tabela (1). O campo Gap Não-Linear(%) mostra o valor calculado na expressão (52), isto é, o valor do Gap não linear. Outra medida de comparação é representada pelo campo L/NL. Esta relação mostra, para a solução ótima, quanto representa a parte linear e quanto representa a parte não-linear da solução. Esta relação é calculada por: L/NL = 100( Otimo naolinear Parcela linear Otimo naolinear ) (52) onde Parcela linear corresponde a soma de todos os custos lineares. Outro parâmetro de comparação na tabela (1) é o campo FC/VC. FC representa o custo fixo e VC representa o custo variável. O custo variável é a soma do custo de se transportar os serviços [ 1722 ]

11 Tabela 1. Tabela de dados e solução para o PPRA Problema V Max Custo Max θ L/NL Gap FC/VC Benders Benders Benders Ciclo Ciclo Fixo Demanda Não-Linear Ciclos Tempo Gap Ótimo Ótimo (%) (%) (s) (%) Tempo (s) P5A P8A P10A P10B P10C P10D P10E P10F P12A P12B P12C P12D P12E P12F P14A P14B P14C P14D P14E P16A P16B P20A pelos arcos e do custo não-linear. O parâmetro mostra a relação entre o FC e o VC. Isto é, quantas vezes o custo fixo é maior que o custo variável. O campo Ciclos Benders, Benders tempo (s) e Benders Gap (%) mostram, respectivamente, o número dos ciclos de Benders, o tempo (segundos) e o Gap do algoritmo. O Gap de Benders é calculado por Benders Gap = 100( UB LB ) (53) O campo Ciclo Ótimo mostra o número de ciclos de Benders que o algoritmo usa para encontrar a solução ótima. E, finalmente, o campo Ciclo Ótimo Tempo (s) mostra o tempo (segundos), que o algoritmo necessita para encontrar a solução ótima Análise dos Resultados Foram realizados 22 experimentos com grafos completos e resolvidos problemas de até 20 nós. Em 5 destas instâncias não foram encontradas a solução ótima no tempo estipulado, mas em todos os casos é sabido que a solução ótima não está mais de 5% da solução encontrada. Uma análise foi feita no campo FC/FV. Quanto maior for esta relação entre o custo fixo e os custos variáveis mais facilmente o algoritmo resolve a instância. Isso acontece pois se o custo fixo for eliado tem-se o PCV. Como o PCV é mais fácil que o PML quão próxima for a instância do PCV mais fácil será para resolve-la. De outra forma, quanto menor for a relação FC/FV mais difícil será para resolve-la. Nas 22 instâncias presentes nesse trabalho, somente a primeira, a menor, o custo variável é maior que o custo fixo. O maior problema, P20A, o custo fixo é vezes superior que a soma dos custos variáveis. Foi notado que para instâncias maiores é difícil resolvelas se o FC/FV for pequeno. Isso explica o por quê de serem criados problemas de dificuldades diferentes para instâncias de tamanhos diferentes. Isso foi feito utilizando parâmetros diferentes de entrada. Quanto menor for o campo Max Demand e θ mais fácil será a instância. Isso acontece porque em cada arco uma parcela do custo variável é multiplicado pelo número de informações que passam através deste arco. [ 1723 ]

12 Outra análise que foi realizada diz respeito ao campo Ciclo Ótimo. Na maioria das instâncias Benders encontrou a solução ótima em poucos ciclos, mas na sua maioria não foi possível provar esta otimalidade. Em 5 instâncias Benders encontrou a solução ótima no primeiro ciclo de Benders. Nesse caso a solução do problema é a solução do PCV. Apesar dos custos serem diferentes dos custos do PCV, os arcos escolhidos na solução são os mesmos arcos que seriam escolhidos caso fosse resolvido o PCV para esta instância. Outros pontos de comparação são os campos L/NL e Gap Não-linear. Na tabela (1) é possível ver que na maioria das instâncias a parcela não-linear, L/LN, não é muito significativa. Além disto, quando o L/LN e o Nonlinear Gap são iguais significa que o custo variável (linear e não-linear) não é importante. Nesse caso a solução ótima foi encontrada no primeiro ciclo de Benders e é a solução do PCV. 5. Conclusão Nesse trabalho foi introduzido um novo modelo e foi criado um novo algoritmo exato para um novo problema de projeto de redes em anel. Além disto, foi mostrado a relação entre o problema de projeto de rede em anel e outros problemas clássicos da literatura como o PCV e o PML. Também foi mostrado as similiaridades entre o PPRA e outros problemas de projeto não-lineares. Para o PPRA foi resolvido, de forma ótima, problemas de 20 nós usando o algoritmo de Benders. Foi notado que quanto maior o custo fixo mais fácil será para resolver o problema usando o algoritmo de Benders. Além disto, foi realizada uma análise dos Gap e mostrada a influência dos custos na solução ótima. Referências Benders, J. F. (1962). Partitioning algorithm for solving mixed integer variables programg problems. Numerische Mathematik, 4: Boujelben, Y., Girard, A., and Gregoive, J., editors (2003). Telecommunications network design and management, chapter Delay-Constrained Mult Ring Construction for Ordered multipointto-multipoint comunications, pages Kluwer Academic Publishers. Conway, R., Maxwell, W., and Miller, L. (1967). Theory of Scheduling. Addison-Wesley. Dantzig, R., Fulkerson, R., and Johnson, S. (1954). Solution of a large-scale traveling-salesman problem. Operations Research, 2: Fischetti, M., Laporte, G., and Martelo, S. (1993). methods. Operations Research, 6: The delivery man problem and cumulative Gavish, B. (1983). Topological design of centralized computer networks. Networks, 12: Geoffrion, A. M. and Graves, G. W. (1974). Multicomodity distribution system design by Benders decomposition. Management Science, 20: Lucena, A. (1990). Time-dependent traveling salesman problem - the deliveryman case. Networks, 20: Miranda, G., Luna, H., and Ferreira, R. An optimal method for tree network design with congestion costs. Submetido para publicação. Randazzo, C. D. and Luna, H. P. L. (2001). A comparison of optimal methods for local access uncapacitated network design. Annals of Operations Research, 106: Sarubbi, J. and Luna, H. (2005). Um novo modelo de fluxos para o problema da mínima latência. XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional-Gramado-RS. Sarubbi, J. F. M. (2003). Um modelo linear para o problema do caixeiro viajante com demandas heterogêneas. Master s thesis, Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Ciência da Computação. [ 1724 ]