Geração de Colunas Aplicada a uma Decomposição do Problema de Programação Quadrática Binária Irrestrita

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1 Geração de Colunas Aplicada a uma Decomposição do Problema de Programação Quadrática Binária Irrestrita Geraldo R. Mauri Universidade Federal do Espírito Santo - UFES mauri@cca.ufes.br Luiz A. N. Lorena Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE lorena@lac.inpe.br Resumo: Este trabalho apresenta uma nova alternativa, baseada na técnica de geração de colunas (GC), para resolver uma decomposição lagrangeana proposta recentemente para o problema de programação quadrática binária irrestrita (PQ). O problema é representado por meio de um grafo, que é dividido em clusters de vértices. Para cada cluster, é formado um subproblema gerador de colunas e, um problema coordenador, formado por restrições referentes a arestas relaxadas do grafo original, é formado para guiar todo o processo. Resultados computacionais são comparados a outros métodos recentes encontrados na literatura. Palavras-chave: Geração de Colunas, Decomposição Lagrangeana, Programação Quadrática 1 Introdução O problema de programação quadrática binária irrestrita (PQ) é um dos problemas clássicos em otimização não linear que consiste em maximizar(ou minimizar) uma função objetivo quadrática por meio da escolha de valores apropriados para as variáveis de decisão binárias. O PQ é um problema NP-Hard [2], e apresenta uma grande quantidade de aplicações em diversas áreas, além de abordar inúmeros problemas modelados por meio de grafos, como clique máximo, máximo conjunto independente, e outros. Atualmente, os métodos exatos existentes para resolução do PQ são restritos a problemas com até 200 variáveis. Já os métodos heurísticos têm apresentado bons resultados para instâncias com até 6000 variáveis [9]. Glover et al. [3] apresentam várias heurísticas para resolução do PQ. Essas heurísticas são testadas por meio de várias instâncias com até 2500 variáveis. Billionnet e Elloumi [2] aplicam técnicas de convexificação da função objetivo do PQ, e apresentam resultados para instâncias com até 200 variáveis. Mauri e Lorena [6] propõem duas abordagens baseadas na relaxação lagrangeana com divisão emclustersparaobtençãodelimitantesparaopq.em[7], éapresentadoummétododegcpara resolver a melhor abordagem obtida em [6] e, em [8], são apresentadas diferentes alternativas de decomposição lagrangeana, além de outros métodos para obtenção de limitantes para o PQ. Este trabalho propõe uma nova alternativa, baseada na técnica de geração de colunas (GC), para resolver uma decomposição lagrangeana proposta recentemente para o PQ. Como base para este trabalho, foi utilizada a decomposição lagrangeana que obteve os melhores resultados entre as várias alternativas descritas em [8]. Ao invés de utilizar um algoritmo de subgradientes para resolver o dual associado à decomposição do problema, como em [8], propõe-se a utilização da GC, por meio da utilização das variáveis duais obtidas de um problema coordenador formado pelas restrições relaxadas na decomposição. 171

2 2 Decomposição Lagrangeana Apresentada em [8] Considerando uma matriz de números reais Q = [q ij ] m m, o PQ é escrito da seguinte forma: m m PQ : v(pq) = max q ij x i x j (1) x {0,1} i=1 j=1 OPQpodeserlinearizadopormeiodasubstituiçãodostermosquadráticosx i x j pelavariável contínuaw ij eporrestriçõesquegarantamquew ij =x i x j. Logo, tem-seumaversãolinearinteira mista de PQ (2)-(7). Por convenção, esse modelo será chamado PQL. Sujeito a: m PQL : v(pql) = max ii x i i=1q + q ij w ij (2) i j w ij x i 0 i j, q ij > 0 (3) w ij x j 0 i j, q ij > 0 (4) x i +x j w ij 1 i j, q ij < 0 (5) w ij 0 i j, q ij < 0 (6) x i {0,1} i = 1,...,m (7) A partir da matriz Q, pode-se criar um grafo G = (V,E) com V = {1,...,m} e uma matriz de adjacências E = [e ij ] m m, e ij = 1 se q ij 0 e e ij = 0 se q ij = 0. Particionando o grafo G em n (n m) clusters independentes, tem-se V = V 1 V 2... V n, e V i V j =, para i,j = 1,...,n, i j; G i = (V i,e i ), i = 1,...,n, e X i = V V i, i = 1,...,n. Logo, o modelo PQL pode ser reescrito da seguinte forma: PQL n : v(pql n ) = max q ii x i + k=1 i V k Sujeito a: i V k ; j V k ; i j q ij w ij + i V k ; j X k ; i j q ij w ij w ij x i 0 i V k, j V k, i j, q ij > 0, k = 1,...,n (9) w ij x j 0 i V k, j V k, i j, q ij > 0, k = 1,...,n (10) x i +x j w ij 1 i V k, j V k, i j, q ij < 0, k = 1,...,n (11) w ij 0 i V k, j V k, i j, q ij < 0, k = 1,...,n (12) w ij x i 0 i V k, j X k, i j, q ij > 0, k = 1,...,n (13) w ij x k j 0 i V k, j X k, i j, q ij > 0, k = 1,...,n (14) x i +x k j w ij 1 i V k, j X k, i j, q ij < 0, k = 1,...,n (15) w ij 0 i V k, j X k, i j, q ij < 0, k = 1,...,n (16) x j x k j = 0 j X k, k = 1,...,n (17) w ij w ji = 0 i V k, j X k, j > i, k = 1,...,n (18) x i {0,1} i V k, k = 1,...,n (19) As variáveis x k j representam as cópias do vértice j (j ) no cluster k, e as variáveis w ij representam as arestas entre os vértices i e j (cópia de j). As restrições (9)-(12) tratam apenas as arestas (i, j) cujos vértices são internos ao cluster (sub-grafo) k. Já as restrições (13)-(16) (8) 172

3 tratam as arestas (i, j) cujos vértices estão em clusters distintos. As restrições (17) e (18) são as restrições de cópia, que garantem a igualdade entre as variáveis originais e suas cópias. Relaxando as restrições (17) e (18) no sentido lagrangeano, por meio dos vetores de multiplicadores α e β ( α e β irrestritos), o problema PQL n pode ser dividido em n subproblemas independentes. Assim, cada subproblema k (k = 1,...,n) é formulado da seguinte forma: DC αβ PQL k : v(dc αβ PQL k ) = max ( q ii ) αi d x i + αj kxk j + q ij w ij + i V k d k j X k i V k j V k ; j i (q ij β ij )w ij + (q ij +β ji )w ij i V k j X k ; i V k j X k ; j>i j<i Sujeito a: (9),(10),...,(15) e (19) (retirando o termo k = 1,...,n) (20) w ij {0,1} i V k, j X k, i j, q ij < 0 (21) x k j {0,1} j X k (22) As restrições (21) e (22) são inseridas no modelo para manter a viabilidade das soluções dos subproblemas. Por fim, a decomposição do problema PQL em n subproblemas é dada pela expressão (23), e o seu dual lagrangeano é apresentado na expressão (24). DC αβ PQL n : v(dc αβ PQL n ) = v(dc αβ PQL k ) (23) DL αβ PQL n : v(dl αβ PQL n ) = min{v(dc αβ PQL n ), α, β irrestritos} (24) k=1 Mauri e Lorena[8] utilizaram um algoritmo de subgradientes para resolver o dual lagrangeano e o CPLEX para resolver os k subproblemas. Para a divisão do grafo G, os autores utilizaram a heurística METIS [5], que consiste em: dado um grafo G = {V,A}, e um número pré-definido n de partições, dividir o grafo G em n clusters de tamanhos semelhantes (mesmo número de vértices) com o objetivo de minimizar o número de arestas com terminações em clusters distintos. 3 Geração de Colunas Proposta A partir das ideias de Mauri e Lorena [8], a geração de colunas é proposta como alternativa para determinar os multiplicadores lagrangeanos, e consequentemente resolver a decomposição do problema original PQ. Assim, com o intuito de facilitar a compreensão do método proposto, o modelo descrito pelas expressões (8) a (19) pode ser representado matricialmente da seguinte forma: PQL n : v(pql n ) = max Sujeito a : k=1 A 1 A 2 A n B B B n ( q k xx k +0x k +q k ww k +q k w w k) (25) x 1 x 1 w 1 w 1. x n x n w n w n [ ] b A b B (26) 173

4 q k x é um vetor linha com os coeficientes das variáveis x i, i V k ; q k w é um vetor linha com os coeficientes das variáveis w ij, i V k e j V k ; q k w é um vetor linha com os coeficientes das variáveis w ij, i V k e j X k ; B k é uma matriz com os coeficientes das variáveis presentes nas restrições (9) a (16); A k é uma matriz com os coeficientes das variáveis presentes nas restrições de cópia (17) e (18); x k é um vetor coluna com os valores das variáveis de decisão x i, i V k ; x k é um vetor coluna com os valores das variáveis de decisão x k j, j X k; w k é um vetor coluna com os valores das variáveis de decisão w ij, i V k e j V k ; w k é um vetor coluna com os valores das variáveis de decisão w ij, i V k e j X k ; Por fim, representa os operadores relacionais (, ou =), e b A e b B são vetores coluna com os valores do lado direito das restrições (17)-(18) e (9)-(16), respectivamente. Considerando R k como sendo as restrições associadas ao subproblema k (k = 1,...,n), o modelo referente a cada subproblema pode ser reescrito da seguinte forma: DC αβ PQL k : v(dc αβ PQL k ) = max [ [ ] T α q k x 0 q k w q k w ] β x k x k w k w k : xk,x k,w k,w k satisfazendo Rk A implementação clássica da técnica de geração de colunas utiliza um problema coordenador, ou Problema Mestre Restrito (PMR), e subproblemas geradores de colunas para formá-lo. O PMR, por meio de suas variáveis duais, direciona os subproblemas na busca de novas colunas. Assim, aplicando a decomposição Dantzig-Wolfe no modelo PQL n, tem-se: PMR : v(pmr) = max λ sk k=1s S k (27) ( q k xx sk +0x sk +q k ww sk +q k w w sk) (28) Sujeito a: λ sk A k k=1s S k x sk x sk w sk w sk ba (29) s S k λ sk = 1 k {1,...,n} (30) λ sk 0 k {1,...,n}, s S k (31) O conjunto de pontos extremos do subproblema k é dado por S k. x sk, x sk, w sk e w sk são vetores que definem os pontos extremos s S k, ou seja, as soluções viáveis do subproblema definido pelo cluster k. λ sk é a variável de decisão correspondente ao ponto extremo s S k. Para cada subproblema k (27), pode-se considerar (substituir) os vetores de multiplicadores lagrangeanos α e β como sendo vetores com as variáveis duais associadas à restrição (29). Considerando ainda µ k como sendo a variável dual para a k-ésima restrição de convexidade (30), uma nova coluna referente ao subproblema k é inserida no PMR se o seu custo reduzido θ k for positivo (θ k = v(dc αβ PQL k ) µ k > 0). Assim, o PMR direciona as soluções dos subproblemas por meio das variáveis duais na busca por boas soluções para o problema original. A Figura 1 apresenta um resumo para execução da GC proposta: um conjunto de colunas é gerado pela busca local descrita em [1], formando assim o PMR inicial; a partir de então, novas colunas são geradas até que um critério de parada seja alcançado e, em seguida, o PMR final, formado por todas as colunas geradas, é resolvido de forma inteira (λ sk {0,1}). As soluções inteiras serão viáveis para o PQL, e indiretamente para o PQ. O PMR final (inteiro) será tratado adiante como PMR int. 174

5 A solução inteira do PMR (PMR int ) será viável para o PQ, e a relaxação linear do PMR poderá ser um limitante superior válido para o PQ após a inserção de um número suficiente de colunas. Por fim, a solução do dual lagrangeano referente à decomposição lagrangeana (DL αβ PQL n ) sempre será um limitante superior para o PQ. 1. Aplicar a heurística METIS para particionar o grafo e definir os clusters; 2. Decompor o problema original (determinar as cópias) e montar os subproblemas; 3. Encontrar um conjunto de colunas inicias para formar o PMR; 4. Otimizar o PMR (via CPLEX) para encontrar um conjunto de variáveis duais; 5. Atualizar e resolver os subproblemas (27) via CPLEX; 6. se ( k, k 0) ouv(dl PQL n ) = v(pmr) então 7. Parar: uma solução ótima para o PMR foi encontrada; 8. Resolver o PMR de forma inteira (PMR int ) via CPLEX; 9. senão 10. Inserir todas as colunas k com k > 0 no PMR; 11. Voltar ao passo 4; 12. fim-se; Figura 1: Resumo da GC proposta 4 Resultados Computacionais Os resultados apresentados a seguir foram obtidos por meio de um conjunto de 45 instâncias disponíveis na OR-Library. Essas instâncias são separadas em 6 classes (A, B, C, D, E e F) com diferentes características, e estão entre as mais difíceis encontradas na literatura [4]. Assim como apresentado em [8], a divisão do grafo G foi realizada via heurística METIS [5]. Já o PMR e os subproblemas foram resolvidos via CPLEX, ambos com o tempo limite de 1 hora de processamento para cada instância. O número de clusters (n) utilizado para cada instância foi similar ao apresentado em [8]. A Tabela 1 apresenta os gaps médios obtidos para cada classe de instância. Esses gaps são referentes aos limitantes superiores obtidos em relação às melhores soluções conhecidas [4]. A coluna m apresenta a variação no tamanho das instâncias, e a coluna Dsde. apresenta a variação das densidades da matriz Q. Em seguida, são apresentados os gaps encontrados por diferentes métodos descritos nos trabalhos de Mauri e Lorena [6, 7, 8]. Por fim, as duas últimas colunas apresentam os gaps obtidos pela GC proposta. Os melhores gaps médios são destacados em negrito. Vale destacar que, para a classe F, os resultados apresentados nessa tabela se referem apenas à primeira instância (1f), pois o método proposto, assim como outros listados nessa tabela, não foi capaz de obter soluções para as demais instâncias em uma hora de processamento. A Tabela 2 apresenta os gaps referentes às soluções inteiras obtidas para as instâncias das classes B, D e F. Os resultados obtidos pela GC proposta são comparados aos resultados apresentados pelas diferentes heurísticas apresentadas em [3], pelo método descrito em [2], pela relaxação apresentada em [7] e pelo CPLEX. A geração de colunas proposta apresentou tempos médios de 96,42, 4522,32 e 4455,33 segundos para as instâncias das classes B, D e F, respectivamente. O método descrito em [2] não foi capaz de resolver as instâncias da classe F e, para as instâncias da classe D, foi utilizado um tempo médio de 600 segundos. Além disso, segundo os autores, todas as soluções ótimas foram encontradas para as instâncias da classe B com um limite de tempo de 7200 segundos. A relaxação apresentada em [7] utilizou tempos médios de 0,18, 3595,74 e 6323,98 segundos, para as classes B, D e F. O CPLEX utilizou 3600 segundos para cada instância das classes D e F, e 3 segundos para a classe B. Os métodos apresentados em [6] e [8] não foram inseridos na Tabela 2 pois os mesmos apresentam apenas limitantes superiores para o PQ, ou seja, não fornecem soluções inteiras. Por fim, para as instâncias das classes A e C, o método proposto em [2] obteve as soluções ótimas em um tempo limite de 7200 segundos por instância, porém não foi capaz de resolver os problemas da classe E. O CPLEX foi capaz de encontrar as soluções ótimas para as instâncias das classes A e C em um tempo médio de 3,28 segundos, e apresentou um gap médio de 176,86% para as instâncias da classe E, em 3600 segundos. A relaxação apresentada em [7] utilizou tempos médios de 17,96, 2426,56 e 3731,85 segundos para as instâncias das classes A, C e E. 175

6 Inst. m Dsde. Mauri e Lorena [6] Mauri e Lorena [8] Mauri e Lorena [7] GC proposta (%) LC αβλ LC αβ LQP LQPC Best Lag Dec1 Dec2 Dec3 Dec3* LC αpql n PMR PL DL αβ PQL n PMR A , ,12 0,12 9,99 6,16 2,98 0,04 0,06 0,00 0,04 0,11 0,11 2,22 0,17 B ,04 51,04 656,34 404,22 657,66 29,85 29,86 10,33 15,43 51,04 51,04 323,72 3,44 C ,56 3,54 33,31 15,11 9,71 0,00 0,00 0,00 0,00 3,90 3,28 3,41 0,03 D ,18 83,52 155,37 85,35 111,40 98,78 21,54 4,76 8,32 192,01 33,06 109,87 0,11 E ,87 118,58 160,56 95,43 136,72 92,91 69,33 78,52 81,81 265,58 58,31 713,29 0,05 F ,42 132,90 159,28 126,12 124,66 95,68 93,44 92,52 98,46 359,56 0, ,40 0,38 Tempo médio (seg.) 2091, ,34 173,96 371, , , , , , , ,81 Tabela 1: Gaps médios (%) obtidos pelos limitantes superiores para cada classe de instância Inst. m Dsde. Melhor Glover et al. [3] Billionnet e Mauri e GC CPLEX (%) conhecida DDT A2n A2t V3n V3t Elloumi [2] Lorena [7] proposta 1b ,30 0,00 21,10 89,50 89,50 0,00 0,00 0,00 0,00 2b ,00 24,80 13,20 95,00 95,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3b ,50 13,60 19,50 100,00 100,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4b ,30 21,70 21,70 100,00 100,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5b ,00 0,00 40,00 99,30 99,30 0,00 0,00 0,00 0,00 6b ,80 22,60 27,40 97,30 97,30 0,00 0,00 8,90 12,30 7b ,70 0,00 0,00 99,40 99,40 0,00 0,00 0,00 0,00 8b ,60 19,30 19,30 100,00 100,00 0,00 0,00 0,00 0,00 9b ,90 7,30 24,10 100,00 100,00 0,00 0,00 1,43 2,90 10b ,40 21,40 21,40 100,00 100,00 0,00 0,00 4,55 4,50 1d ,10 0,00 0,00 0,00 2d ,00 5,21 0,00 0,00 3d ,60 3,54 0,00 0,00 4d ,10 6,25 0,00 0,00 5d ,70 17,82 0,19 0,19 6d ,20 9,90 0,35 0,35 7d ,30 14,02 0,00 0,00 8d ,10 17,48 0,00 0,00 9d ,70 14,65 0,06 0,06 10d ,90 11,99 0,00 0,00 1f ,80 22,10 23,10 7,10 7,20-42,50 0,38 0,38 2f ,70 19,60 19,20 7,30 9,60-84,00 0,32-3f ,30 21,40 20,30 7,30 7,90-76,40 0,23-4f ,30 18,00 16,10 5,60 5,60-84, f ,10 12,20 22,50 4,60 5,80-89, Tabela 2: Gaps (%) obtidos pelas soluções inteiras obtidas para as instâncias das classes B, D e F 176

7 Já a GC proposta obteve as soluções ótimas para todas as instâncias das classes A, C e E, com o tempo médio de 6,95, 226,18 e 62,76 segundos para as instâncias das classes A, C e E. Glover et al. [3] não apresentam os tempos computacionais utilizados pelas heurísticas propostas para as instâncias das classes B e F, e os resultados para as demais. 5 Conclusões Este trabalho apresentou uma nova estratégia para resolver uma decomposição lagrangeana do problema de programação quadrática binária irrestrita (PQ). O método proposto, baseado na técnica de geração de colunas (GC), além de encontrar bons limitantes superiores, também apresenta soluções viáveis para o PQ. Instâncias de difícil solução e com diferentes características foram utilizadas para avaliar o método proposto. Os resultados mostram que a GC proposta melhora o tempo de convergência da decomposição lagrangeana, ou seja, a substituição do algoritmo de subgradientes na decomposição proposta por Mauri e Lorena [8] pela GC proposta neste trabalho, por meio da decomposição Dantzig-Wolfe, produz melhores soluções em tempos computacionais inferiores. Já em relação à GC aplicada à relaxação lagrangeana com clusters, apresentada em [7], percebe-se que os gaps referentes às soluções inteiras são praticamente os mesmos, porém os gaps referentes aos limitantes superiores, e o tempo computacional, são melhores na GC proposta neste trabalho. Por fim, a geração de colunas proposta foi comparada diretamente com outros métodos similares propostos recentemente, e apresentou bons resultados para praticamente todas as instâncias. Agradecimentos: Os autores agradecem à FAPES (processo /09) e ao CNPq (processo /2008-3) pelo apoio financeiro. Referências [1] J.E. Beasley, Heuristic algorithms for the unconstrained binary quadratic programming problem, Relatório Técnico, Management School - Imperial College, London (UK), [2] A. Billionnet; S. Elloumi, Using a mixed integer quadratic programming solver for the unconstrained quadratic 0-1 problem, Mathematical Programming, 109(1) (2007) [3] F. Glover; B. Alidaee; C. Rego; G. Kochenberger, One-pass heuristics for large-scale unconstrained binary quadratic problems, European Journal of Operational Research, 137(2) (2002) [4] F. Glover; G. Kochenberger; B. Alidaee, Adaptative memory tabu search for binary quadratic programs, Management Science, 44(3) (1998) [5] G. Karypis; V. Kumar, Multilevel k-way partitioning scheme for irregular graphs, Journal of Parallel and Distributed Computing, 48(1) (1998) [6] G.R. Mauri; L.A.N. Lorena, Novos limitantes para o problema de programação quadrática binária irrestrita, Anais do XL SBPO - Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, (2008) [7] G.R. Mauri; L.A.N. Lorena, Geração de colunas com divisão em clusters para o problema de programação quadrática binária irrestrita, Gestão & Produção, 16(4) (2009a) [8] G.R. Mauri; L.A.N. Lorena, Lagrangean decompositions for the unconstrained binary quadratic programming problem, International Transactions in Operational Research (2009b). DOI: /j x [9] G. Palubeckis, Multistart tabu search strategies for the unconstrained binary quadratic optimization problem, Annals of Operations Research, 131 (2004)