Método geração de colunas e heurísticas para o Problema da Mochila Compartimentada. Resumo

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1 Método geração de colunas e heurísticas para o Problema da Mochila Compartimentada Aline Aparecida de Souza Leão Maristela Oliveira dos Santos Marcos Nereu Arenales Universidade de São Paulo-USP Av Trabalhador São-carlense, Centro Caixa Postal: CEP: São Carlos - SP {aasleao, mari, arenales}@icmcuspbr Resumo O problema da mochila compartimentada é uma extensão do problema da mochila Entretanto os itens são divididos em classes, de modo que a mochila deve ser subdividida em compartimentos Cada compartimento tem capacidade limitada e é preenchido com itens da mesma classe Além disso, a construção de um compartimento tem um custo fixo e ocasiona perda no espaço da mochila O objetivo consiste em maximizar a soma dos valores dos itens e minimizar o custo de inclusão de compartimentos Neste trabalho, o modelo não-linear da mochila compartimentada é reformulado por decomposição Para resolver a relaxação linear do problema mestre foi utilizado o método geração de colunas Uma heurística baseada na resolução do problema mestre restrito é analisada Os resultados computacionais mostram que a heurística pode encontrar a maioria das soluções ótimas com baixo esforço computacional PALAVRAS CHAVE Programação Matemática Problemas da Mochila Problemas de Corte Abstract The compartmentalized knapsack problem is an extension of the knapsack problem However, the items are divided in different classes so that the knapsack is divided in compartments Each compartment has limited capacity and should be loaded with items from same class Moreover, the building of a compartment has a fixed cost and introduces a fixed loss in the original knapsack capacity The objective is to the total value of the items in the knapsack and to minimize the cost of the compartments In this paper we present a reformulation by decomposition of a nonlinear mathematical formulation of the problem To solve the linear relaxation of the master problem was used the column generation method A heuristic based on the resolution of the restricted master problem is investigated Computational results show that the heuristic can find the most of the optimal solution with low computational effort KEYWORDS Mathematical Programming Knapsack Problems Cutting Problems XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2958

2 1 Introdução Para definir o Problema da Mochila Compartimentada considere que existem n itens a serem alocados a uma mochila, cada item possui um peso, um valor utilidade e um limitante superior (isto é, o número de itens de um tipo é limitado) Se não houver um limitante superior para os itens o problema é chamado irrestrito Esses itens estão particionados em classes (itens de características em comum pertencem a uma mesma classe) O espaço da mochila é organizado em compartimentos, no qual, apenas itens de mesma classe podem ser alocados no mesmo compartimento Existem também, itens que não precisam ser compartimentados, formando uma classe de itens livres A mochila possui uma capacidade limitada e a capacidade dos compartimentos é flexível, porém, são limitadas inferiormente e superiormente Os compartimentos possuem um custo fixo e uma perda fixa para serem incluídos, que variam de acordo com as classes Além disso, pode existir diferentes compartimentos com itens de uma determinada classe Deste modo, o Problema da Mochila Compartimentada consiste em definir os compartimentos e carregá-los com itens de mesma classe, visando a maximização do valor utilidade, subtraídos os custos dos compartimentos O Problema da Mochila Compartimentada pode ser utilizado em problemas de corte em duas fases, em que os objetos em estoque são cortados em objetos intermediários (compartimentos), que por sua vez são cortados novamente obtendo os itens encomendados Poucos trabalhos na literatura lidam com problemas de corte com duas ou mais fases, sendo que em geral, eles consideram apenas uma classe de itens Diversas indústrias utilizam o corte em duas fases, tais como, indústrias de papel (Haessler, 1971; Correia et al 2004; Zak 2002a,b), filme (Haessler, 1979) e aço (Ferreira et al, 1990; Carvalho e Rodrigues 1994, 1995; Hoto et al 2007; Marques e Arenales 2007) A necessidade de mais de uma fase pode surgir devido às restrições dos processos de produção e às características de itens encomendados, como por exemplo, a limitação do número de facas, revestimento do material (papel e lâminas de aço revestido), laminação (bobinas de aço) entre outros tipos de processamento A maior dificuldade para a resolução desses problemas é que não conhecemos a priori os objetos intermediários Além disso, essa dificuldade pode ser ainda maior quando as características dos itens encomendados exigem agrupá-los em diversas classes, no qual apenas os itens pertencentes à mesma classe devem estar presentes em um mesmo objeto intermediário O Problema da Mochila Compartimentada foi modelado para determinar padrões de corte para problemas de corte de bobinas de aço Neste problema os itens encomendados são agrupados de acordo com a espessura, isto é, itens da mesma classe têm a mesma espessura Um primeiro corte na bobina original em estoque produz várias bobinas intermediárias, então, a espessura de cada bobina intermediária é reduzida para a espessura dos itens de uma classe Uma perda fixa ocorre para eliminar as irregularidades das bordas de cada bobina intermediária, que significa uma perda da capacidade da mochila Existe um custo relevante de redução de espessura que depende da porcentagem de redução Finalmente, as bobinas intermediárias, cuja espessura foram reduzidas, são cortadas em itens (bobinas finais) Em Marques e Arenales (2007) o Problema da Mochila Compartimentada é modelado como um problema de otimização não linear inteiro Neste trabalho, este modelo é reformulado em um problema mestre linear e subproblemas e se utiliza de geração de colunas para resolvê-lo Após obtida a solução ótima para o problema mestre restrito relaxado, este foi resolvido novamente, porém definindo as variáveis associadas às colunas como inteiras, obtendo assim uma solução factível Uma heurística baseada nas heurísticas de Marques e Arenales (2007) é apresentada e os resultados são analisados O trabalho está organizado como segue Na seção 2 é apresentada a formulação matemática não linear inteira do Problema da Mochila Compartimentada Na seção 3 este XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2959

3 problema é reformulado em problema mestre e subproblemas e, também, apresentado o limitante superior proposto em Marques e Arenales (2007) Na seção 4 é apresentada a heurística baseada nas heurísticas de Marques e Arenales (2007) Os resultados computacionais são apresentados na seção 5 2 Modelagem Matemática Considere um conjunto de n tipos de itens a serem alocados a uma mochila, que estão divididos em K classes, o conjunto de índices dos itens é dado por: N = {n 0 + 1,, n 1, n 1 + 1,, n 2,, n K 1 + 1,, n K }, em que, n 0 = 0 e n K = n Assim, as classes são definidas por: A 1 = {n 0 + 1,, n 1 }, A 2 = {n 1 + 1,, n 2 },, A K = {n K 1 + 1,, n K } De forma que N = A 1 A 2 A K e A i A j = para i j Deste modo, podemos definir os seguintes dados: L: capacidade da mochila; l i : peso do item tipo i, i N; v i : valor utilidade do item tipo i, i N; σ i : número máximo de itens tipo i permitido na mochila, i N; c k : custo de incluir um compartimento para itens da classe k, k = 1,, K; L k mim : capacidade mínima do compartimento para itens da classe k, k = 1,, K; L k max: capacidade máxima do compartimento para itens da classe k, k = 1,, K; S k : perda na mochila devido à inclusão de um compartimento para itens da classe k, k = 1,, K; N k : número de compartimentos da classe k, k = 1,, K As variáveis são dadas por: a is : número de itens do tipo i da classe k no compartimento s, k = 1,, K, i A k e s = 1,, N k ; β sk : número de vezes que o compartimento s para itens da classe k é repetido na mochila, k = 1,, K e s = 1,, N k Para evitar infactibilidades, supomos que para k = 1,, K: l i < L k max, i A k e L k min < Lk max L O modelo matemático proposto em Marques e Arenales (2007) pode ser escrito da seguinte forma: L k min K N k ( k=1 s=1 K N k ( k=1 s=1 v i a is c k )β sk (1) l i a is + S k )β sk L (2) N k a is β sk σ i, k = 1,, K, i = n k 1 + 1,, n k (3) s=1 l i a is + S k L k max, k = 1,, K, s = 1,, N k (4) a is 0, inteiro, k = 1,, K, i = n k 1 + 1,, n k, s = 1,, N k (5) β sk 0, inteiro, k = 1,, K, s = 1,, N k (6) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2960

4 Neste modelo, a função objetivo maximiza o valor utilidade total menos o custo de incluir os compartimentos A restrição (2) refere-se à repetição dos compartimentos dentro da mochila de capacidade L, os tamanhos de compartimentos são definidos por (4) As restrições (3) limitam o total de itens a compor a mochila 3 Limitantes Superiores Nesta seção são apresentados dois limitantes superiores para o Problema da Mochila Compartimentada O primeiro limitante consiste em um problema de programação linear inteira, proposto por Marques e Arenales (2007) Em seguida, é proposto um novo limitante superior 31 Primeiro Limitante Superior Para a formulação matemática considere x i o número de vezes que o item do tipo i (i = 1,, n) e y k o número de compartimentos preenchidos por itens da classe k(k = 1,, K) são incluídos na mochila, o modelo é dado por: n K v i x i c k y k (7) i=1 k=1 n K l i x i L ( S k y k ) (8) i=1 L k min y k k=1 i A k l i x i + S k y k L k maxy k, k = 1,, K (9) 0 x i σ i, inteiro, i = 1,, n (10) y k 0, inteiro, k = 1,, K (11) Note que, as restrições (9) consideram para cada classe k um compartimento de tamanho entre L k min y k e L k maxy k, o qual não necessariamente pode ser divido em y k compartimentos que possam conter o itens selecionados, construindo assim super compartimentos Em Marques e Arenales (2007) é demonstrado que este problema fornece um limitante superior para o problema (1) - (6) 32 Segundo Limitante Superior: Método Geração de Colunas O método Geração de Colunas foi inicialmente usado por Manne (1958), Dantzig e Wolfe (1960) e Gilmore e Gomory (1961) Estes últimos autores aplicaram esta técnica para resolver problemas de corte de estoque, que consiste em relaxar a condição de integralidade das variáveis do problema e resolver o problema resultante pelo método simplex Para selecionar uma coluna (ou padrão de corte) para o problema são analisados os custos relativos, para isso é resolvido um subproblema Se for encontrado um custo relativo negativo (caso o problema seja de minimização) a coluna é adicionada Caso contrário a solução atual é ótima para o problema relaxado Para aplicar o método geração de colunas para o Problema da Mochila Compartimentada, o modelo não linear (1) - (6) foi reformulado em um problema mestre linear, com tantas colunas quantos forem os possíveis compartimentos, e subproblemas que geram colunas para o problema mestre, dados por problemas da mochila restrita Para a descrição do método, considere que todos os possíveis compartimentos para a classe k(k = 1,, K) é dado por N k, isto é todas as soluções que satisfazem: XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2961

5 L k min n k l i a i + S k L k max 0 a i σ i, inteiro, i = n k 1 + 1,, n k Sejam para cada k: â is, s = 1,, N k, i = n k 1 + 1,, n k todas as possíveis soluções do sistema acima O problema (1) - (6) pode ser equivalentemente escrito como o seguinte Problema Mestre: K N k ( k=1 s=1 K N k ( k=1 s=1 v i â is c k )β sk (12) l i â is + S k )β sk L (13) N k â is β sk σ i, k = 1,, K, i = n k 1 + 1,, n k (14) s=1 β sk 0, inteiro, k = 1,, K, s = 1,, N k (15) Para k = 1,, K e s = 1,, N k, sejam L ks = n k a estrutura matricial do problema (12) - (15) é dada na Tabela 1 l i â is + S k e V ks = n k v i â is, Tabela 1: Estrutura matricial do Problema Mestre V 11 c 1 V 1N1 c 1 V 21 c 2 V 2N2 c 2 V K1 c K V KNK L 11 L 1N1 L 21 L 2N2 L K1 L KNK â (n0 +1)1 â (n0 +1)N â n1 1 â n1 N â (n1 +1)1 â (n1 +1)N â n2 1 â n2 N â (nk 1 +1)1 â (nk 1 +1)N K â nk 1 â nk N K Existem K subproblemas, um para cada classe de itens Para determinar quais colunas entrarão na base, os custos relativos são analisados, para isso consideremos as seguintes observações 1 O vetor das variáveis duais é dado por: (λ, π) = (λ, π 1, π 2,, π K ) = (λ, π n0 +1,, π n1, π n1 +1,, π n2,, π nk 1 +1,, π nk ) A variável λ está associada a restrição (13) e π as restrições (14) 2 A j-ésima coluna do modelo (12) - (15) associada à classe k, omitindo-se o índice j, é dada por: α k = (L k, 0,, 0, a nk 1 +1,, a nk, 0, 0), que tem um custo associado C k 3 Como o problema é de maximização, deseja-se determinar o maior custo relativo Para obter a expressão dos custos relativos considere o seguinte desenvolvimento para cada classe k, k = 1,, K (o índice j é omitido): XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2962

6 C k Π t α k = max{c k (λ, π) t α k } = max{(v k c k ) ( λ, (π 1,, π k,, π K ) ) L k 0 a nk 1 +1 a nk 0 C k Π t α k = max{(v k c k ) λl k (π nk 1 +1,, π nk ) Como V k = substituindo, tem-se: C k Π t α k = max{ C k Π t α k = max{ v i a i e L k = n k v i a i c k λ( l i a i + S k, } a nk 1 +1 a nk l i a i + S k ) (v i λl i π i )a i (c k + λs k )} } π i a i } Logo, para k = 1,, K, tem-se o seguinte subproblema, dado por um Problema da Mochila Restrita: L k min (v i λl i π i )a i (16) l i a i + S k L k max (17) 0 a i σ i, i = n k 1 + 1,, n k, inteiro (18) Em resumo, o subproblema (16) - (18) fornece os elementos para a construção de uma coluna associada de maior custo relativo para a classe k, k = 1,, K Se (v i λl i π i )a i (c k + λs k ) 0, k = 1,, K, então a solução atual é ótima para a relaxação linear do problema mestre (12) -(15) 4 Heurística para o Problema da Mochila Compartimentada As heurísticas apresentadas nesta seção podem ser interpretadas como uma aplicação da decomposição descrita na seção 32 Entretanto, ao invés de determinarmos uma única solução para cada subproblema é determinado um conjunto de soluções Neste caso, é feita uma geração estática de colunas e a função objetivo dos subproblemas não depende das variáveis duais Para cada classe k a função objetivo é dada por: v i a i Estas heurísticas estão divididas em duas estapas Na primeira etapa são resolvidos os subproblemas Na segunda estapa é resolvido o problema mestre restrito inteiro, obtendo XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2963

7 uma solução factível para o Problema da Mochila Compartimentada 41 Heurísticas da literatura Em Marques e Arenales(2007) são propostas algumas heurísticas para resolver o Problema da Mochila Compartimentada, entre elas estão: a heurística da decomposição, heurística dos Z melhores compartimentos e heurística do melhor compartimento para W capacidades Para a descrição dos algoritmos a classe K é considerada como a classe de itens livres, isto é, itens que não precisam ser compartimentados, assim foram considerados apenas no problema mestre, cujas variáveis são definidas como γ i, i = n K 1 + 1,, n K Heurística dos Z melhores compartimentos Nesta heurística são determinados os Z melhores compartimentos para cada classe k(k = 1,, K 1), que são dados pelas Z melhores soluções do problema da mochila restrita (19) - (21): v i a i (19) l i a i + S k L k max (20) 0 a i σ i, i = n k 1 + 1,, n k, inteiro (21) Obtendo assim os valores: â iz, L zk = n k l i â iz + S k e V zk = n k v i â iz, em que z corresponde a z-ésima solução, tal que V zk é o z-ésimo melhor valor da função objetivo da classe k, isto é, V 1k V 2k V Zk Se L zk < L k min então a solução é descartada Caso seja encontrada uma solução que tem o mesmo valor do Z-ésimo melhor compartimento, ela não é armazenada Em seguida, o problema mestre restrito (22) - (26) é resolvido para determinar quais são os compartimentos e itens livres a serem alocados a mochila K 1 k=1 z=1 K 1 Z (V zk c k )β zk + k=1 z=1 Z L zk β zk + n K i=n K 1 +1 n K i=n K 1 +1 v i γ i (22) l i γ i L (23) Z â iz β zk σ i, k = 1,, K 1, i = n k 1 + 1,, n k (24) z=1 0 γ i σ i, inteiro, i = n K 1 + 1,, n K (25) β zk 0, inteiro, k = 1,, K 1, z = 1,, Z (26) A heurística da decomposição é um caso particular da heurística dos Z melhores compartimentos, no qual Z = 1 Neste caso, o problema mestre a ser resolvido consiste num problema da mochila restrita Heurística do melhor compartimento para W capacidades Nesta heurística é determinado o melhor compartimento para cada classe considerando W capacidades diferentes, dado pela solução do problema (19) - (21) A capacidade inicial da XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2964

8 mochila é dada por L k max (k=1,,k), o próximo compartimento a ser gerado tem a capacidade do último compartimento obtido decrementado por uma unidade No segundo passo, o problema mestre restrito (27) - (31) é resolvido Os valores â iw, L wk e V wk correspondem o compartimento obtido com a w-ésima capacidade K 1 k=1 w=1 K 1 W (V wk c k )β wk + k=1 w=1 W L wk β wk + n K i=n K 1 +1 n K i=n K 1 +1 v i γ i (27) l i γ i L (28) W â iw β wk σ i, k = 1,, K 1, i = n k 1 + 1,, n k (29) w=1 0 γ i σ i, inteiro, i = n K 1 + 1,, n K (30) β wk 0, inteiro, k = 1,, K 1, w = 1,, W (31) 42 Uma nova heurística: heurística híbrida A heurística proposta nesta seção combina as idéias das heurísticas Z melhores compartimentos e melhor compartimento para W capacidades Assim, para cada classe de itens são determinadas as Z melhores soluções para o problema da mochila restrita, considerando W capacidades diferentes Para a descrição da heurística, considere βk zw o número de vezes que o compartimento formado por itens da classe k, com a w-ésima capacidade da z-ésima melhor solução, é incluído na mochila A estratégia pode ser descrita como segue 1 Geração de compartimentos alternativos 11 Para k = 1,, K 1 faça: 12 w = 1 e L k w = L k max 13 Enquanto w W e L k w L k min faça: 14 Determine as Z melhores soluções do seguinte Problema da Mochila: v i a iw (32) l i a iw + S k L k w (33) 0 a iw σ i, inteiro i = n k 1 + 1,, n k, k = 1,, K 1 (34) 15 Redefina: L k w+1 = L 1, sendo L = min{l zw, z = 1,, Z}; faça: w = w + 1 Obtendo â zw i, Vk zw = e z = 1,, Z Observação: Se L zw k n k v i â zw i, L zw k = k n k < L k min então a solução é descartada l i â zw i +S k, para k = 1,, K 1 XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2965

9 2 Solução para a mochila compartimentada Z W z=1 w=1 Z W K 1 (Vk zw k=1 z=1 w=1 K 1 Z W k=1 z=1 w=1 L zw k β zw c k )β zw k + k + n K i=n K 1 +1 n K i=n K 1 +1 v i γ i (35) l i γ i L (36) â zw i βk zw σ i, k = 1,, K 1, i = n k 1 + 1,, n k (37) 0 γ i σ i, inteiro, i = n K 1 + 1,, n K (38) β zw k 0, inteiro, k = 1,, K 1, z = 1,, Z (39) O Passo 15 da Heurística Híbrida pode ser substituído pelo seguinte passo: 15 : L k w+1 = L1w k 1 e w = w + 1, isto é, o próximo compartimento a ser gerado é decrementado uma unidade do tamanho do melhor compartimento obtido, ao invés do menor tamanho obtido 5 Experimentos Computacionais 51 Gerador de Dados O comprimento da mochila foi fixado em 1200mm e largura mínima e máxima para os compartimentos foram fixadas em: [L k min, Lk max] = [154mm, 456mm], k = 1,, K 1 A perda fixa por incluir um compartimento foi fixado em S k = 4 mm, k = 1,, K 1 e S K = 0 mm Os parâmetros gerados aleatorimente seguiram os critérios do gerador descrito em Marques e Arenales (2007), o qual considera: Número de classes (NC): (i) número pequeno de classes (P): K [3, 10]; (i) número médio de classes (M): K [11, 20] Número de itens por classe (NIC): (i) número pequeno de itens (P): A k [1, 6], k = 1,, K 1; (ii) número médio de itens (M): A k [7, 15], k = 1,, K 1 Número de itens livres(nil): (i) número pequeno de itens livres (P): A K [1, 7]; (ii) número médio de itens livres (M): A K [8, 20] Limitantes para o número de itens a serem incluídos na mochila(d): (i) limitante pequeno (P): σ i [1, 3], i A k, k = 1,, K; (ii) limitante médio (M): σ i [4, 15], i A k, k = 1,, K Assim foram obtidos 16 classes de problemas distribuídos de acordo com a Tabela 2 Para cada classe foram gerados 20 problemas, obtendo assim 320 problemas testes 52 Geração de Colunas Nesta seção são apresentados os resultados computacionais obtidos com o método Geração de Colunas para o Problema da Mochila Compartimentada Os testes computacionais foram realizados em um computador Pentium 4 com processador de 3GHz e 1GB de memória RAM Para resolver o problema (16) - (18) foi utilizado um método de enumeração implícita, baseado no método proposto por Gilmore e Gomory (1963) para o problema da mochila Este método determina a solução exata e é extremamente rápido para problemas com dezenas de itens Para a resolução do problema (7) - (11) e o problema mestre relaxado XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2966

10 (durante as iterações do método simplex) foi utilizado o software ILOG CPLEX 110 Com os compartimentos obtidos, no final do método Geração de Colunas, o problema mestre (12) - (15) foi resolvido fixando as variáveis associadas às colunas como inteiras, obtendo assim uma solução factível para o Problema da Mochila Compartimentada Tabela 2: Arranjo dos problemas Classe NC NI NIL D Classe NC NI NIL D 1 P P P P 9 M P P P 2 P P P M 10 M P P M 3 P P M P 11 M P M P 4 P P M M 12 M P M M 5 P M P P 13 M M P P 6 P M P M 14 M M P M 7 P M M P 15 M M M P 8 P M M M 16 M M M M A Tabela 3 mostra os valores médios da função objetivo para cada classe com o método geração de colunas e o problema (7) - (11), colunas 2 e 3 respectivamente A coluna 4 compara o método Geração de Colunas com o limitante superior dado pelo Problema Inteiro (7) - (11) A última coluna mostra o gap médio da solução inteira obtida com as colunas f f geradas pelo método geração de colunas O gap é dado por: f, em que f corresponde o valor ótimo da função objetivo (7) e f o valor da solução inteira Tabela 3: Valores médios da função objetivo Classe Geração de Problema Aumento Gap: solução Colunas (7) - (11) inteira , ,45 2,27% 2,36% , ,55 1,35% 3,04% , ,20 1,46% 0,63% , ,25 1,62% 1,57% , ,40 1,29% 4,89% , ,05 1,27% 8,00% , ,15 1,22% 1,43% , ,45 1,61% 1,61% , ,60 1,57% 1,59% , ,85 1,64% 1,59% , ,40 1,16% 1,04% , ,20 1,11% 0,94% , ,30 0,93% 2,60% , ,80 0,84% 6,02% , ,25 0,96% 1,29% , ,35 0,97% 0,72% Média 2279, ,70 1,33% 2,36% A partir dos testes realizados podemos observar que o limitante superior obtido pela Geração de Colunas é um pouco pior que o limitante superior obtido pelo problema linear inteiro (7) - (11) Apenas para 4,1% dos problemas, a Geração de Colunas forneceu limitante superior melhor e conforme o número de classes e de itens aumentam ela se torna mais eficiente O tempo computacional médio para determinar a solução do problema (7) - (11) pelo CPLEX 110 foi de 001 segundos, enquanto que o método geração de colunas foi de 0005 segundos Outra observação relevante é que o número de iterações do método simplex é relativamente baixo, o número médio de iterações foi 3,5 Em relação a última coluna, as XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2967

11 soluções inteiras se aproximam da solução obtida com a heurística da decomposição (heurística híbrida com Z = 1 e W = 1), como é apresentado na seção a seguir (veja Tabela 4) De 320 problemas foram obtidas 100 soluções ótimas, dadas pela igualdade do valor da função objetivo da solução inteira com a função objetivo do limitante superior (7) - (11) O tempo computacional médio foi de 0,01 segundos 53 Heurísticas As heurísticas foram implementadas em linguagem de programação C Os testes computacionais foram realizados em um computador Pentium 4 com processador de 3GHz e 1GB de memória RAM Para determinar as Z melhores soluções para os subproblemas (32) - (34) foi implementado um método que é uma extensão do algoritmo de enumeração implícita de Gilmore e Gomory (1963) O problema mestre restrito (35) - (39) foi resolvido pelo software ILOG CPLEX 110 Vários testes foram realizados variando os parâmetros Z e W da heurística híbrida: Z = 1, 3, 5 e 7 e W = 1, 2, 3, 5 e 7 Ao fixarmos Z = 1 obtemos a heurística melhor compartimento para W capacidades de Marques e Arenales (2007), que segundo os autores foi a que forneceu melhor resultado dentre as heurísticas propostas Com Z = 1 e W = 1 obtemos as heurística da decomposição e para W = 1 e Z variando a heurística dos Z melhores compartimentos Para o cálculo do gap foi utilizado o mesmo procedimento descrito na seção 52, porém f representa o valor da função objetivo encontrada pela heurística As Tabelas 4 e 5 mostram os resultados obtidos Tabela 4: Valores médios do gap (%) considerando o Passo 15 W=1 W=2 W=3 W=5 W=7 Z=1 2,715 1,829 1,198 0,574 0,400 Z=3 1,722 0,736 0,434 0,284 0,211 Z=5 1,244 0,487 0,320 0,213 0,171 Z=7 0,952 0,399 0,276 0,191 0,160 Tabela 5: Valores médios do gap (%) considerando o Passo 15 W=1 W=2 W=3 W=5 W=7 Z=1 2,715 1,829 1,198 0,574 0,400 Z=3 1,722 1,167 0,748 0,443 0,322 Z=5 1,244 0,843 0,586 0,383 0,295 Z=7 0,952 0,703 0,515 0,348 0,269 As Tabelas mostram que, à medida que Z e W aumentam, o valor da função objetivo melhora, além disso, aumentar W influencia mais o desempenho do método que aumentar Z Em geral, o Passo 15 foi melhor que o Passo 15, pois o Passo 15 gera menos compartimentos ou compartimentos repetidos Note que, quanto maior for o número de compartimentos gerados melhor é a solução encontrada pela heurística Considerando os 320 problemas gerados, as Tabelas 6 e 7 mostram o número total de soluções ótimas obtidas por parâmetro Tabela 6: Número de soluções ótimas (Passo 15) Tabela 7: Número de soluções ótimas (Passo 15 ) W=1 W=2 W=3 W=5 W=7 Z= Z= Z= Z= W=1 W=2 W=3 W=5 W=7 Z= Z= Z= Z= Como se pode observar, o número de soluções ótimas tem um aumento significativo a medida que Z e W aumentam Comparando o pior e o melhor caso, obtem-se uma melhora XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2968

12 de 52,81% do número de soluções ótimas obtidas Com a heurística híbrida foi possível obter até 81,25% de soluções ótimas, que foi dado pela igualdade da função objetivo do limitante superior e da heurística 6 Conclusões A resolução do Problema da Mochila Compartimentada apresenta algumas dificuldades devido à integralidade e quantidade de variáveis Se enumerássemos todos os compartimentos seria possível determinar a sua solução ótima e eliminaríamos a não linearidade Entretanto, o número de compartimentos pode ser muito grande para problemas práticos, o que inviabiliza este procedimento Para lidar com estas dificuldades o Problema da Mochila Compartimentada foi decomposto e proposto o método geração de colunas A partir desta decomposição é possível obter métodos heurísticos, no qual a heurística aqui apresentada mostrou-se bastante eficiente, capaz de encontrar soluções ótimas para a maioria dos exemplos gerados Agradecimentos Este trabalho teve o apoio da Fapesp e CNPq 7 Referências bibliográficas Carvalho, J M V e Rodrigues, A J G (1994) A computer based interactive approach to a two-stage cutting problem INFOR: Information Systems and Operation Research, 32(4), Carvalho, J M V e Rodrigues, A J G (1995) An lp-basead approach to a two-stage cutting problem European Journal of Operational Research, 84, Correia, M H, Oliveira, J F e Ferreira, J S (2004) Reel and sheet cutting at a paper mill Computers and Operations Research, 31, Dantzig, G B; Wolfe, P (1960) Decomposition principle for linear programs Operations Research, v 8, p Ferreira, J S, Neves, M A e Castro, P F (1990) A two-phase roll cutting problem European Journal of Operational Research, 44, Gilmore, P C; Gomory, R E (1961) A linear programming approach to the cuttingstock problem Operations Research, v 9, n 6, p Gilmore, P C e Gomory, R E (1963) A linear programming approach to the cuting stock problem - Part II Operations Research, 11(6), Haessler, R W (1971) A heuristic programming solution to a nonlinear cutting stockproblem Management Science, v 17, n 12, p Haessler, R W (1979) Solving the two-stage cutting stock problem Omega: The International Journal of Management Science, 7(2), Hoto, R, Arenales, M N e Maculan, N (2007) The one dimensional compartmentalised knapsack problem: A case study European Journal of Operational Research, 183, Manne, A S (1958) Programming of economic lot sizes Management Science, v 4, p Marques, F P e Arenales, M N (2007) The constrained compartmentalised knapsack problem Computers and Operations Research, 34, Zak, E J (2002a) Row and column generation technique for a multistage cutting stock problem Computer and Operations Research, 29, Zak, E J (2002b) Modeling a multistage cutting stock problems European Journal of Operational Research, 141, XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág 2969