MINIMIZANDO O NÚMERO DE DIFERENTES PADRÕES DE CORTE - UMA ABORDAGEM DE CAMINHO MÍNIMO

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1 A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN MINIMIZANDO O NÚMERO DE DIFERENTES PADRÕES DE CORTE - UMA ABORDAGEM DE CAMINHO MÍNIMO Maria Cristina N. Gramani Universidade Presbiteriana Mackenzie - Escola de Engenharia Departamento de Engenharia de Produção Rua da Consolação, Prédio 06 Cep: São Paulo- SP - Brasil gramani@mackenzie.com.br Resumo Neste artigo consideramos o problema de corte de estoque unidimensional minimizando o número de diferentes padrões de corte. Propomos um novo método de resolução consistindo na representação do problema em um grafo, onde os nós denotam os itens demandados e os arcos representam o número de diferentes padrões de corte a serem processados. Após a construção do grafo, resta apenas resolver um problema de caminho mínimo. Palavras-Chave: corte de estoque, caminho mínimo, heurística. Abstract In this paper we consider the one dimensional cutting stock problem minimizing the number of different cutting patterns. We propose a new resolution method consisting in the representation of the problem in a graph, where the nodes denote the items demanded and the arcs represent the number of different cutting patterns to be processed. After the construction of this graph, it only remains to solve a minimum path problem. Keywords: cutting stock, minimum path, heuristics.

2 Introdução Considere uma linha de produção, por exemplo, em uma indústria de papel, aço, móveis, vidros, etc, onde objetos são cortados em peças menores a fim de atender as quantidades e dimensões especificadas pelos clientes. Consideremos para este artigo o processo de uma indústria de papel, onde devemos cortar bobinas grandes em bobinas menores. Este é o bem conhecido problema de corte de estoque. Este módulo de cortagem, por sua vez, tem um subproblema fundamental que exige a definição de como os itens (bobinas menores) devem ser arranjados dentro de cada bobina grande. A esta definição chamamos de de corte. Figura 1: Um de corte Considere um processo onde temos em estoque uma quantidade ilimitada de barras e desejamos atender a uma certa demanda. O problema surge quando se faz a troca de um de corte para outro, este procedimento pode ter um alto custo e tempo de preparação de máquina. Mas se objetivarmos a mínima quantidade de trocas de padrões de corte, minimizando estes custos, nos depararemos com um problema de difícil resolução. Logo, surge a necessidade de desenvolver metodologias a fim de minimizar a quantidade de diferentes tipos de padrões de corte, mesmo que para isso, seja necessário abrir mão da perda mínima ocorrida no processo de corte. Embora o potencial de aplicações de otimização nos processos de corte no Brasil seja enorme, são poucos ainda os exemplos de utilização de metodologias específicas. Obviamente, a otimização baseada no conhecimento e habilidade humana é largamente utilizada. A literatura apresenta alguns artigos referentes a este problema. Haessler (1975), propôs uma formulação para o problema de corte de estoque unidimensional com custos de setup para troca de padrões. Haessler (1988), discutiu algumas abordagens para resolver tal problema. LeFrançois and Gascon (1995), apresentaram uma comparação de quatro diferentes abordagens para o problema de corte de estoque onde a perda ocorrida e a troca de padrões eram relevantes. Poldi (2002), estudou o mesmo problema tratando de heurísticas de arredondamento. Método Proposto Propomos resolver o problema de forma parcial, ou seja, resolvendo problemas menores ao invés de resolver o problema global. Inicialmente, arranjamos os itens em ordem crescente de comprimento, e, a partir de então, representamos o problema em um grafo, onde os nós representam os itens demandados, e cada arco corresponde a um problema associado de corte de estoque minimizando a quantidade de diferentes tipos de padrões de corte. Suponha, que o arco (k,l) corresponda aos itens k e l. Nesse problema estamos procurando por uma solução de corte de estoque que utilize a menor quantidade de padrões de corte satisfazendo a soma das demandas dos itens dos tipos k, k+1,..., l-1. A Figura 1 corresponde à rede constituída por 4 tipos de itens e seus respectivos arcos. 1511

3 Figura 1: Rede de Caminho Mínimo Por exemplo, o Arco 1-4 na Figura 1, corresponde à produção da demanda dos itens dos tipos 1, 2 e 3. O Arco 2-4 corresponde à produção da demanda dos itens dos tipos 2 e 3, e assim por diante. Associado com cada arco (k,l) existe um problema de corte de estoque minimizando a quantidade de diferentes tipos de padrões de corte a ser resolvido, que segue o algoritmo de Poldi (2002). O valor da função objetivo obtido dessa resolução é então definido como o custo associado ao arco (k,l). Resolvendo então cada arco, ou seja, obtendo a quantidade de padrões de corte obtidos considerando determinados tipos de peças, resta-nos finalmente, resolver apenas um simples problema de caminho mínimo. Tomemos um exemplo com 6 tipos de diferentes itens, com tamanhos e demandas fornecidas pela Tabela 1 a seguir. Consideramos as barras a serem cortadas de um único tamanho L=40, disponíveis nas quantidades necessárias. item comprimento demanda Tabela 1: Dados do exemplo Ao resolvermos o problema de forma global, ou seja, resolvendo o arco (1,7), utilizando o algoritmo de Poldi (2002) que minimiza a quantidade de diferentes tipos de padrões de corte, obtemos a seguinte solução: Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Item 6 Quantidade de bobinas cortadas no Perda no 1512

4 Tabela 2: Solução utilizando o problema de forma global arco (1,7) Resolvendo de forma parcial, ou seja, representando o problema em um grafo e para cada arco solucionando o problema utilizando o algoritmo de Poldi (2002), e finalmente resolvendo o problema do caminho mínimo, obtemos como solução a necessidade de cortar 7 diferentes tipos de padrões de corte, a fim de atender a demanda solicitada, da seguinte forma: Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Item 6 Quantidade de bobinas cortadas no Tabela 3: Solução utilizando a rede de caminho mínimo. Perda no A solução obtida acima corresponde a resolver inicialmente o problema considerando apenas os dois primeiros tipos de itens, ou seja, o arco (1,3) e depois resolver o problema considerando o restante dos itens, ou seja, o arco (3, 7). Logo, como mostra a Figura abaixo, tratando o problema de forma global, a perda total ocorrida para atender a demanda desejada foi de unidades, e foram necessárias 267 barras disponíveis em estoque, e, tratando o problema de forma parcial, a perda total ocorrida para atender a demanda desejada foi de unidades, e foram necessárias 250 barras disponíveis em estoque. 1513

5 Perda Total Qde padrões de corte Solução global Solução Caminho Mínimo Um simples exemplo nos mostra que resolvendo problemas menores, existe a possibilidade de obter melhores soluções do que quando resolvendo o problema de forma global. Neste caso especificamente, notamos que além de minimizar a quantidade de diferentes tipos de padrões de corte utilizados, também houve uma significativa diferença de 14%, em relação à perda total no processo. Obviamente não podemos tirar conclusões baseadas em uma única instância, porém esta instância nos sugere um possível caminho promissor a ser analisado. Conclusões e Trabalhos Futuros Mostramos nesse artigo uma nova abordagem de resolução para o Problema de Corte de Estoque quando minimizando a quantidade de diferentes tipos de padrões de corte. Esta abordagem consistiu em resolver problemas menores ao invés de resolver o problema global, para isso, representamos o problema em um grafo e depois utilizando o problema do caminho mínimo para sua resolução. Finalmente, mostramos com um simples exemplo a vantagem que pode ser obtida quando utilizamos a rede de caminho mínimo quando comparando-a com a solução global. Os próximos passos consistem em analisar computacionalmente um conjunto maior de instâncias, verificando assim a eficácia da abordagem proposta. Agradecimentos Ao Instituto Presbiteriano Mackenzie pelo suporte financeiro à pesquisa. À Kelly Cristina Poldi e ao Prof. Dr. Marcos N. Arenales pelo código do programa que minimiza os diferentes tipos de padrões de corte. Bibliografia Christofides, N. E Whitlock, C. (1977), An Algorithm for Two-Dimensional Cutting Problems, Op. Res. 25, pp Gilmore, P. e Gomory, R. (1963), A Linear Programming Approach to the Cutting Stock Problem - Part II, Op. Res. 11, pp

6 Gilmore, P. e Gomory, R. (1965), MultiStage Cutting Sotck Problems of Two and more Dimensions, Op. Op. Es. 14, pp Haessler RW (1971), A heuristic programming solution to a nonlinear cutting stock problem, Management Science, 17, B793-B802. Haessler, R.W., (1975), Controlling cutting pattern changes in one-dimensional trim problems, Operations Research 23(3), Haessler, R.W., (1988), Selection and design of heuristic procedures for solving roll trim loss problems, Management Science 34 (12), Hinxman, A. (1980), The Trim-Loss and Assortment Problems: A Survey, European J. Opr. Res. 5, pp LeFrançois, P. e Gascon, A., (1995), Solving a one-dimensional cutting-stock problem in a small manufacturing firm: a case study, IIE Transactions 27, Morábito R., Arenales, M. E Arcaro, V. (1991), An And-Or-Graph Approach for Two- Dimentional Cutting Problems, European J. Op. Res. 58. Limeira, M.S.; Yanasse, H.H.(2001), Uma heurística para o problema de redução de padrões de corte, Anais da V Oficina Nacional de Problemas de Corte e Empacotamento, São José dos Campos, Poldi, K.C., Arenales, M.N. (2002), Heurísticas para o Problema de Corte de Estoque Unidimensional Inteiro, Anais do XXXIV SBPO, Rio de Janeiro, RJ. 1515