Computando Limites Inferiores e Superiores Justos para o Problema de Mínima Latência

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1 Computando Limites Inferiores e Superiores Justos para o Problema de Mínima Latência João Fernando Machry Sarubbi, Henrique Pacca Loureiro Luna 2, Gilberto de Miranda Jr., Ricardo Saraiva de Camargo Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Belo Horizonte MG Brasil 2 Instituto de Computação Universidade Federal de Alagoas (UFAL) Maceió AL Brasil Departamento de Engenharia da Produção Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Belo Horizonte MG Brasil Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) João Monlevade MG Brasil jsarubbi@dcc.ufmg.br, pacca@tci.ufal.br miranda@dep.ufmg.br, rcamargo@decea.ufop.br Abstract. The Minimum Latency Problem (MLP), also known as Traveling Repairman Problem, the Deliveryman Problem and the Traveling Salesman Problem with Cumulative Costs is a variant of the Traveling Salesman Problem in which a repairman is required to visit customers located on each node of a graph in such a way that the overall waiting times of these customers is minimized. In the present work, we present an new linear model for the MLP based on Vander Wiel and Sahinidis model. Besides, a specialized GRASP algorithm gives the optimal solution for almost all tested instances. Our model present a tight linear bound and our heuristic presents a sharp upper bound for the problem. Resumo. O Problema de Mínima Latḙncia é um variante do Problema de Caixeiro Viajante onde o objetivo é encontar um circuito Hamiltoniano que minimize a soma dos tempos de espera dos consumidores. Apesar de ser um problema correlato ao Problema do Caixeiro Viajante, o PML é considero bem mais mal comportado de um ponto de vista computacional. Para esse problema apresentamos um novo modelo matemático baseado no modelo de Vander Wiel e Sahinidis e uma heurística GRASP para o Problema. Através do modelo conseguimos resultados ótimos para problemas de até 60 nós, o mesmo número apresentado na literatura. Além disto, através da heurística conseguimos encontrar o valor ótimo para a maiora das instˆancias testadas. [0]

2 . Introdução O Problema de Mínima Latência (PML), do inglês Minimum Latency Problem, também conhecido como Traveling Repairman Problem e Deliveryman Problem é uma variante do Problema do Caixeiro Viajante (PCV) [Dantzig et al. ][Nemhauser and Wolsey ]. Nesse problema o objetivo é encontrar um circuito Hamiltoniano iniciando de um único depósito que minimize a soma dos tempos de espera dos consumidores. Nesse trabalho apresentamos um novo modelo matemático para o problema e uma heurística especializada para conseguir limites superiores justos para o problema. 2. Problema de Mínima Latência O Problema de Mínima Latência (PML) [Conway et al. 6] [Lucena 0] [Bianco et al. ] [Blum et al. ] [Wu et al. 200], do inglês Minimum Latency Problem, também chamado de Traveling Repairman Problem, Deliveryman Problem e Traveling Salesman Problem with Cumulative Costs é um variante do Problema do Caixeiro Viajante [Dantzig et al. ] (PCV) no qual um reparador é requerido para visitar consumidores localizados em todos os nós de um grafo de uma forma que o tempo de espera de todos os consumidores seja minimizado. Os nodos são indexados por,2,...,n, onde n é o número total de nodos. Tipicamente, o reparador deixa um nodo base, digamos nodo, visita cada um dos n consumidores exatamente uma vez e retorna para o nodo. Esse problema foi introduzido e relacionado com o PCV em 6, por Conway, Maxwell e Miller [Conway et al. 6], quando o PML era conhecido como um problema de sequenciamento. Nesse tipo de aplicação, o PML pode ser interpretado como um problema de sequenciamento em uma máquina com tempo de processamento dependente da sequência e onde o tempo total das tarefas deve ser minimizado [Eijl ]. Apesar da óbvia similaridade com o clássico PCV, o PML aparenta ser bem menos comportado de um ponto de vista computacional [Goemans and Kleinberg ]. No PML, o objetivo é minimizar a latência total de todos os consumidores, enquanto no PCV padrão a função objetiva é focada na minimização do tempo de viagem de um único caixeiro viajante. O PML é mais complexo pois ele incorpora os objetivos conflitantes dos consumidores, ao invés de trabalhar somente com um único tempo de viagem como no PCV original. Tanto o PML como o PCV são casos especiais do Problema do Caixeiro Viajante com Dependência de Tempo(PCVDT) [Picard and Queyranne ] [Lucena 0] [Wiel and Sahinidis ]. No PCVDT o custo de atravessar um arco ligando dois nodos pode variar com a posição da aresta dentro do circuito Hamiltoniano [Lucena 0]. Em outras palavras, enquanto no PCV original, o custo entre dois nodos é dado por c ij, no PCVDT o custo entre os nodos i e j depende do período de tempo t e é dado por c ijt. É assumido que o tempo de viagem entre dois nodos corresponde a um periodo de tempo. Então, no PCVDT, a função de custo é uma métrica entre o custo da aresta e e a posição de visitação do nodo i implicando em um custo c(e,i). O PCV é um caso especial onde a função de custo só depende do custo da aresta c(e,i) = e enquanto no PML é um caso especial onde o custo é dado por c(e,i) = (n i) e, como visto em [Blum et al. ]. O PML é NP-hard e também MAX-SNP-hard [Blum et al. ]. Algoritmos de tempo polinomial são somente conhecidos para grafos bem específicos [Afrati et al. ] []

3 [Garcia et al. 2002]. Veja [Wu et al. 200] para mais detalhes. Apesar de difícil existem muitos trabalhos na relação de algoritmos de aproximação [Blum et al. ] [Goemans and Kleinberg ] [Arora and Karakostas 200] [Archer and Williamson 200]. O primeiro fator de de aproximação para o PML foi e foi dado por Blum at al. [Blum et al. ].Chaudhuri e al. [Chaudhuri et al. 200] e melhoraram o fator para.. Algoritmos de otimização para o PML são providos por Lucena [Lucena 0], Simchi- Levi e Berman [Simchi-Levi and Berman ], Fischetti, Laporte e Martelo [Fischetti et al. ]. O primeiro propôs um algoritmo enumerativo baseado em uma formulação não-linear inteira onde os limites inferiores foram obtidos por relaxação Lagrangeana. Ele relata resultados ótimos para problemas de até 0 nós. Simchi-Levi e Berman descrevem um método Branch-and-Bound baseado na relaxação da árvore geradora mínima. Fischetti et al. propuseram um algoritmo Branch-and- Bound baseado numa formulação de programação inteira. O artigo utilizou matróides acumulativos para gerar o limite inferior. Atualmente, somente problemas de 60 nós são resolvidos na otimalidade [Fischetti et al. ] [Blum et al. ] [Eijl ]. Bianco, Mingozzi, Ricciardelli e Spadoni [Bianco et al. ] desenvolveram uma modelagem para o Problema de um Veículo de Entrega (PUVE), do inglês, Single Vehicle Delivery Problem. Este problema caracteriza-se por um único veículo, saindo de uma origem o, que percorrendo um circuito Hamiltoniano necessita entregar q i passageiros em cada nó i do grafo G = (V,E). Além disto, o motorista necessita, após percorrer todos os nós, entregar q o passageiros no nó origem (nó o). Este problema está extremamente relacionado ao PML. A diferença está na quantidade heterogênea de passageiros entregues em cada nó i. Fazendo q i = i V o problema se transforma no PML. Desta forma pode-se classificar este problema como uma variação mais abrangente e complexa do PML. Isto é observado pois o custo não está só relacionado ao tempo e a ordem de visitação dos nós, mas também à quantidade de passageiros entregues em cada nó, priorizando assim os nós que tem uma demanda maior. Bianco, Mingozzi, Ricciardelli e Spadoni [Bianco et al. ] resolveram o problema anterior de forma exata através de um algoritmo que utilizou relaxação Lagrangeana e programação dinâmica. Este algoritmo conseguiu resolver instâncias de até 0 nós. Entretanto, em todas as instâncias apresentadas por Bianco et al. as demandas em cada nó eram unitárias, caracterizando assim o PML e não o PUVE.. Modelo Matemático Seja G = (V,E) um grafo onde V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas, podemos representar o problema através do modelo matemático descrito a seguir. Seja o seguinte conjunto de variáveis: x ki = { se o nodo i é visitado na ordem k 0 caso contrário. f kij 0: fluxo transportado no arco (i,j) na posição k. e o seguinte conjunto de parâmetros: c ij : custo fixo pago pelo entregador para passar pelo arco (i,j). É possível desenvolver a seguinte formulação de programação linear inteira mista para o PML: min n (n k + )c ij f kij () k= (i,j) E [2]

4 sujeito a n x kj = j V, (2) k= x kj = k =...n, () j V j V i j i V i j f kij = x ki k =...n, i V () f kij = x (k+)j k =...n, j V () x = (6) x (n+)i = () f ijk 0 i V, j V k =...(n + ) () x ki {0,} i V k =...(n + ) () Vander Wiel e Sahinidis [Wiel and Sahinidis ] mostraram uma formulação para o PCVDT muito similar a esta. O PCVDT e o PML são fortemente relacionados, mas não são o mesmo problema. Uma vez que a ordem de visitação do PML deve começar com o primeiro nodo não é possível utilizar diretamente a formulação de Vander Wiel e Sahinidis sem asseguram essa propriedade. Também é necessário definir um conjunto K de posições variando de até (n + ), modificando as restrições de acoplamento () e () para assegurar essa característica. Uma restrição adicional deve assegurar que o último nodo visitado também seja a origem(), forçando a existência de um fluxo não nulo f in.. GRASP: Computando Limites Superiores Eficientemente De acordo com Vander Wiel e Sahinidis [Wiel and Sahinidis ] existe um número limitado de heurísticas para o CVDT. Em sua abordagem exata, Lucena [Lucena 0] apresentou uma adaptação da heurística 2-opt que tem sido usada para o PCV. Essa adaptação obteve bons resultados. Lucena [Lucena 0] apresentou limites superiores próximos ao ótimo para instâncias aleatórias do PML em instâncias de até tamanho 0. Em, Bianco, Mingozzi, Ricciardelli [Bianco et al. ] utilizaram a heurística do vizinho mais próximo [Johnson and McGeoch ] para obter uma solução inicial que era melhorada utilizando posteriormente uma heurística de troca. Para instâncias de até nodos a heurística apresentou soluções 6% do ótimo, mas nenhuma solução ótima foi encontrada. Os mesmos autores também apresentaram uma heuristica baseada em programação dinâmica que encontrou melhores resultados. Bianco, Mingozzi e Ricciardelli [Bianco et al. ] de até % do ótimo para problemas de até 60 nodos. Em, Fischetti et al. [Fischetti et al. ] apresentaram uma heurística -opt com resultados de até % do ótimo. Nesse trabalho, nós apresentamos uma heurística eficiente para o PML. O método GRASP, do inglês, Greedy Randomized Adaptive Search Procedure, em português (procedimento de busca guloso, adaptativo e aleatório)) [Feo and Resende ] [Resende and Ribeiro 200] foi o escolhido para encontrar soluções viáveis para o PML. O algoritmo GRASP é uma meta-heurística que, a cada iteração, constrói uma solução viável utilizando uma busca gulosa e, depois, um método de busca local. []

5 Essa meta-heurística consiste em duas fases: a construção de uma solução viável e um subsequente procedimento de busca local. Essas duas fases são repetidas a cada iteração. Na fase de construção, uma função aleatória gulosa é usada para construir uma solução inicial. Essa solução é então usada como solução inicial para o procedimento de busca local. Nosso algoritmo GRASP tem uma terceira fase chamada de Path-Relinking. Esta fase é usada para melhorar a solução dada pela busca local. O resultado final é simplesmente a melhor solução depois de todas as iterações. No Algoritmo apresentamos o esquema do nosso algoritmo GRASP. Algorithm GRASP : procedure GRASP(Max Iterações) 2: for i to Max Iterações do : FaseConstrução(); : BuscaLocal(); : if SoluçãoMelhor() then 6: AtualizeMelhorSolução(); : BuscaLocal(); : else : PathRelink(SoluçãoBuscaLocal, MelhorSoluçãodeTodas); 0: if SoluçãoMelhor() then : AtualizeMelhorSolução(); 2: BuscaLocal(); : end if : end if : end for 6: end procedure Na fase de construção, uma técnica gulosa e aleatória gera uma solução viável. Essa solução viável é iterativamente construída, um elemento por vez. Nós escolhemos o algoritmo do vizinho mais próximo [Johnson and McGeoch ] como o algoritmo da fase de construção. Ao invés de escolhermos sempre o melhor elemento construíoms uma Lista Restrita de Candidatos (LRC) de bons elementos e aleatoriamente escolhemos um dos melhores candidatos da lista, mas não necessariamente o melhor. Um parâmetro α determina o nível de aleatoriedade ou gulosidade do método. Quando α = 0 nós temos uma solução totalmente gulosa. Por outro lado, quando α = temos uma solução totalmente aleatória. Além disto, ao invés de trabalharmos com um α fixo, escolhemos trabalhar com um α variável na mesma iteração da fase de construção. A cada passo da fase de construção α aumenta de um α inicial para um α final. Nós escolhemos essa estratégia pois os primeiros nódos tem mais influência na solução final que os últimos nodos. No PML, o custo de cada arco é multiplicado pelo número de arcos que faltam para completar o ciclo Hamiltoniano. Algoritmo 2 o esquema que define nossa fase de construção. Nosso procedimento de busca local também é diferente da maioria dos procedimentos usados. Ao invés de usar um único algoritmo, nós utilizaremos simples métodos de busca local. Primeiramente, um método 2-opt [Johnson and McGeoch ], como mostrado na figura () é aplicado para melhorar a solução da fase de construção. Nossa segunda busca local é um algoritmo de inserção. Dada uma solução parcial oriunda da fase de construção essa busca local funciona da seguinte forma: para cada elemento, nós o inserimos em todas as possíveis posições anteriores. Depois de cada inserção, deslocamos uma posição todos os elementos entre os dois nodos envolvidos nesse passo dessa busca local. Este procedimento é repetido para todos os outros elementos da solução parcial. Um exemplo é mostrada na figura (2), quando tentamos colocar o nodo 6 na segunda posição. Nosso terceiro procedimento de busca local é um tipo de busca local 2-opt, mas ao invés de []

6 Algorithm 2 FaseConstrução : procedure FASECONSTRUÇÃO(α,α inicial,α final,n,origem) 2: α = α inicial ; : SoluçãoInicial= {Origem}; : Nodo = Origem; : for i 2 to N do 6: ConstruaListaLRC(Nodo,α); : Nodo = AleatoriamenteEscolhaPróximoNodeDaListaRestricadeCandidatos(); : SoluçãoInicial = SoluçãoInicial {Nodo} : α = α + (α final α inicial )/N; 0: end for : end procedure mudar todos os pares de nodos, mudamos todos os pares de dois nodos consecutivos. Um exemplo é mostrado na figura (). Nosso último procedimento de busca local é parecido com o terceiro, mas ao invés de trabalhar com conjuntos de dois nodos, trabalhamos com conjuntos de nodos. Um exemplo é mostrado na figura (). Algorithm BuscaLocal : procedure BUSCALOCAL(it) 2: Procedimento 2-opt(); : Procedimento Inserção(); : Procedimento Conjunto 2(); : Procedimento Conjunto (); 6: end procedure (a) Antes (b) Depois (a) Antes (b) Depois Figura. Busca Local 2-opt Figura 2. Busca Local Inserção (a) Antes (b) Depois (a) Antes (b) Depois Figura. Busca Local Conjunto 2. Figura. Busca Local Conjunto. []

7 Tabela. Tabela of Resultados - Resultados Exatos n Média Média Máximo Média Média Máximo Tempo Tempo Tempo Tempo LP LI/Ótimo LI/Ótimo (s) Usando LS (s) Usando LS (s) (s) (%) (%) Resultados Computacionais Os testes foram realizados em uma máquina Pentium IV com.0ghz de processador e Gbyte de memória RAM. O sistema operacional utilizado foi o Linux e o resolvedor usado para calcular o limite inferior foi o CPLEX.. da ILOG. AS instâncias testes foram geradas como sugerido em [Fischetti et al. ]. Os custos foram randomicamente gerados de acordo com uma distribuição uniforme entre [,00]. Após isto, para garantir a desigualdade triangular, foram calculados caminhos mínimos. Todas as instâncias geradas são assimétricas. Para cada classe de valores n, 0 instâncias pseudo-aleatórias foram criadas. Para calcular o limite inferior utilizamos o método Barreira presente no resolvedor CPLEX. Cada instância foi resolvida pelo Cplex duas vezes, uma configurando o Cplex com uma ênfase que mescla otimalidade e viabilidade inteira e outra que enfatiza somente a viabilidade inteira. Os valores na tabela () mostram os valores médios e máximos do tempo de computação e do Gap de relaxação linear da formulação ()-(). Os campos Média Tempo Usando LS (s) e Máximo Tempo Usando LS (s) mostram o tempo de computação do resolvedor Cplex fornecendo como solução inicial (limite superior) a solução gerada pela algoritmo Grasp apresentado na seção(). A inclusão de uma solução próxima a solução ótima faz com que o Cplex encontre o ótimo mais rapidamente, em comparação com o mesmo modelo sem a inclusão de nenhuma solução inicial (vide campo Média Tempo (s)). Isso ocorre pois esse limite superior próximo ao ótimo será o limite superior do Branch-and-Bound. A formulação ()-() habilita calcularmos soluções exatas de até 60 nodos. Estamos cientes que Fischetti, Laporte e Martelo [Fischetti et al. ] fizeram o mesmo em com um tempo de esforço computacional menor. Entretanto, a formulação ()-() é uma boa alternativa para computarmos limites inferiores justos em um tempo computacional razoável... Resultados usando GRASP para as Instâncias de Fischetti, Laporte e Martelo A tabela (2) apresenta os resultados do algoritmo GRASP para as instâncias de Fischetti, Laporte e Martelo. Coluna Média (%) LI/LS mostra o Gap de otimalidade considerando como limite superior [6]

8 Tabela 2. Tabela de Resultados: GRASP n Média (s) Máximo Média (%) Máximo (%) Média(%) Máximo (%) Tempo Iterações Gap Ótimo Gap Ótimo LI/LS LI/LS o valor dado pelo algoritmo GRASP, e como limite inferior o limite de ralaxação linear dado pelo CPLEX utilizando a formulação()-(). Nos selecionamos o parâmetro α final do algoritmo GRASP como sendo 0.. O parâmatro α inicial é variável com o tamanho da instâncias. Para instâncias de tamanho 0, 2,, 2, 20 e 0 rodamos o algoritmo GRASP com α inicial = 0.. Para as instâncias maiores rodamos com valores para α inicial variando de 0. até 0.2. A tabela (2) também apresenta nos campos, Média (%) LI/LS e Média (%) LI/LS os valores médios e máximos dos Gaps entre os limites inferiores e superiores encontrados. Os limites inferiores são os valares da relaxação linear no modelo e os limites superiores foram calculados pelo algoritmo Grasp. Como podemos verificar a média dos Gaps não chega a %, isto é, a análise conjunta das duas técnicas (modelo com uma boa relaxação linear e limites superiores encontrados pelo algoritmo Grasp) gera bons resultados. 6. Conclusão Nesse trabalho apresentamos um novo modelo matemático para o Problema de Mínima Latência. Com esse modelo apresentamos resultados exatos para instâncias de até 60 nós, o mesmo número apresentado pela literatura. Apesar das instâncias serem resolvidas no ótimo em um tempo de computação razoável, os limites inferiores são encontrados muito rapidamente. Esses limites, como foi apresentado anteriormente, estão pxóximos de 2%. Além disto, apresentamos uma heurística baseada no método Grasp que conseguiu limites superiores ótimos para a maiora das instâncias até nós, algo nunca apresentado antes para esse problema. Para instâncias de 60 nós conseguimos limites superiores menores de 2%, algo também nunca alcançado. Outra análise diz respeito a introduzir como primeira solução viável no Cplex a solução encontrada pelo nosso algoritmo Grasp. Como é mostrada na tabela (), essa abordagem diminui o tempo de computação do resolvedor Cplex. Como trabalhos futuros é possível melhorar aperfeiçoar o algoritmo Grasp para que as quatro buscas locais não sejam executadas todas as iterações para diminuir o tempo de computação. Além disto, é possível aperfeiçoar a fase de construção analisando não somente o próximo nó, mas []

9 um conjunto de nós subsequentes que devam ser visitados. Isto é, é possível analisar o impacto no custo ao se escolher não um, mas os próximos ou nós que farão parte da solução inicial. Referências Afrati, F., Cosmadakis, S., Papadimitriou, C. H., Papageorgiou, G., and Papakostantinou, N. (). The complexity of the traveling repairman problem. Informatique Theorique et Applications, 20():. Archer, A. and Williamson, D. (200). Faster approximation algorithms for the minimum latency problem. pages 6. th (SODA)ACM-SIAM Symposion on Discrete Algorithms. Arora, S. and Karakostas, G. (200). Aproximation schemes for minimum latency problems. SIAM J. Comput., 2():. Bianco, L., Mingozzi, A., and Ricciardelli, S. (). The traveling salesman problem with cumulative costs. Networks, 2(2):. Bianco, L., Mingozzi, A., Ricciardelli, S., and Spadoni, M. (). A new algorithm for the single vehicle delivery problem. In Logistique- Production, Distribution, Transport, pages 20. Conference on the Practice and Theory of Operations Management et es Journées Francophones sur la Logistique et le Transportes. Blum, A., Chalasani, P., Coppersmish, D., Pulleyblank, B., Raguavan, P., and Sudan, M. (). The minumum latency problem. Proc 26th Annual ACM Symposium on Theory of Computting. Montreal. Chaudhuri, K., Godfrey, B., Rao, S., and Talwar, K. (200). Paths, trees and minimum latency tours. IEEE Symposium on Foundations of Computer Science-FOCS. Conway, R., Maxwell, W., and Miller, L. (6). Theory of Scheduling. Addison-Wesley. Dantzig, R., Fulkerson, R., and Johnson, S. (). Solution of a large-scale traveling-salesman problem. Operations Research, 2: 0. Eijl, C. (). A polyhedral approch to the delivery man problem. Memorandum COSOT, Eindhoven University of Tecnology, New York University. Feo, T. and Resende, M. (). Greedy randomized adaptive search procedures. Journal of Global Optimization, 6:0. Fischetti, M., Laporte, G., and Martelo, S. (). methods. Operations Research, 6:0 06. The delivery man problem and cumulative Garcia, A., Jodrá, P., and Tejel, J. (2002). A note on the traveling repairman problem. Networks, 0():2. Goemans, M. and Kleinberg, J. (). An improved approximation ratio for the minimum latency problem. Matemathical Programming, 2: 2. Johnson, D. S. and McGeoch, L. A. (). Local Search in Combinatorial Optimization, chapter The Traveling Salesman Problem: a case study. John Wiley & Sons Ltd. Lucena, A. (0). Time-dependent traveling salesman problem - the deliveryman case. Networks, 20: 6. []

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