LIMITANTE INFERIOR PARA O PROBLEMA DE MINIMIZAR O NÚMERO DE TROCAS DE FERRAMENTAS

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1 LIMITANTE INFERIOR PARA O PROBLEMA DE MINIMIZAR O NÚMERO DE TROCAS DE FERRAMENTAS Horacio Hideki Yanasse Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais INPE/LAC, Avenida dos Astronautas 1758, Jardim da Granja São José dos Campos, São Paulo, Brasil horacio@lac.inpe.br RESUMO No problema de minimização do número de troca de ferramentas em uma máquina flexível de manufatura procuramos uma seqüência para processar um conjunto de tarefas de modo que o número de trocas de ferramentas seja o menor possível. Neste trabalho propomos um novo procedimento para determinar um limitante inferior para o número mínimo de trocas de ferramentas, dado um conjunto de tarefas a serem processadas. O novo limitante inferior obtido é, em geral, de melhor qualidade que outros propostos na literatura. É de grande interesse obter um bom limitante inferior para este problema, pois, com ele, pode-se avaliar a qualidade de soluções obtidas através de heurísticas ou diminuir o espaço de busca das soluções em algumas classes de métodos enumerativos. PALAVRAS CHAVE. Minimização de trocas de ferramenta. Limitante inferior. Redução. Área de classificação principal. Otimização Combinatória ABSTRACT In the minimization of tool switches problem in a flexible manufacturing machine we seek to determine a sequence to process a set of jobs so that the number of tool switches required is the least possible. In this work we propose a new procedure to determine a lower bound for the number of tool switches given a set of jobs to be processed. The new lower bound obtained is, in general, of better quality compared with others proposed in the literature. It is of great interest to obtain a good lower bound for this problem for it can be used to evaluate the quality of solutions from heuristics or it can be used to decrease the solution search space in some classes of enumeration methods. KEYWORDS. Minimization of tool switches. Lower bound. Reduction. Combinatorial optimization. [1886]

2 1. Introdução Considere um conjunto de N tarefas que precisam ser processadas em uma máquina flexível de manufatura. Cada tarefa i requer um conjunto de ferramentas J i para que esta seja processada. Estas ferramentas precisam estar na máquina quando a tarefa i é processada. No entanto, a caixa de ferramentas da máquina tem capacidade de manusear até C ferramentas simultaneamente. Assim, se as ferramentas necessárias para se processar uma tarefa não estão na caixa de ferramentas, trocas são necessárias para que esta tarefa seja processada. No problema de minimização do número de troca de ferramentas (PMNTF) procuramos uma seqüência de processamento de um conjunto de tarefas que minimiza o número total necessário de trocas de ferramentas para processá-las. O PMNTF é NP-difícil (Crama et al. (1994), Garey e Johnson (1979), Tang e Denardo (1988)) e foi estudado por diversos autores (Tang e Denardo (1988), Laporte et al.(2002), Bard (1988), Crama et al. (1994), Yanasse e Pinto (2006)). São poucas as propostas de métodos exatos para a solução do PMNTF (Laporte et al (2002)); a grande maioria dos métodos propostos para a sua resolução são heurísticas (ver, por exemplo, Bard (1988), Crama et al (1994), Tang e Denardo (1988), Hertz et al. (1998)). Laporte et al (2002) reportam sucesso limitado na solução exata do PMNTF. De um conjunto de várias instâncias do problema com 25 tarefas, o método enumerativo por eles proposto foi capaz de resolver apenas algumas poucas. Aparentemente, o grande esforço computacional exigido nos métodos exatos é devido ao fato de não termos bons limitantes inferiores para o problema. Para resolver instâncias maiores do problema é preciso determinar limitantes inferiores de melhor qualidade. Com isso, o espaço de busca da solução pode ser reduzido drasticamente. Limitantes inferiores de boa qualidade são também de grande interesse na avaliação da qualidade de soluções obtidas a partir de heurísticas. Neste trabalho sugerimos um novo limitante inferior para o número de trocas de ferramentas, dado um conjunto de tarefas a serem processadas. O cálculo deste limitante inferior é baseado na solução de subproblemas PMNTF de menor tamanho, obtidos a partir do problema original. Estruturamos este texto da seguinte forma. Após esta breve introdução, apresentamos na próxima seção a propriedade das soluções do PMNTF que fundamenta a nova proposta para a determinação de novos limitantes inferiores para o problema. Apresentamos, também, como esta propriedade pode ser utilizada para se determinar bons limitantes inferiores. Na seção, ilustramos a nossa proposta com um exemplo e comparamos com um limitante inferior simples proposto na literatura. Na seção 4 apresentamos alguns comentários e propostas para futuros desenvolvimentos. 2. Propriedade das soluções do problema Seja M o número total de ferramentas requeridas para processar todas as N tarefas. Seja K = {1, 2,..., N} o conjunto dos índices das N tarefas a serem processadas. Teorema 1: Considere um exemplar I 1 do PMNTF com um conjunto de tarefas seja um outro exemplar I 2 do PMNTF com um conjunto de tarefas Então, o valor ótimo z 1 de I 1 é maior ou igual ao valor ótimo z 2 de I 2. J i 1, i 1 K 1 K, e J i 2, i 2 K 2 tal que K 2 K 1. Prova do Teorema 1: Considere uma solução ótima de I 1. Descarte desta seqüência ótima as tarefas de I 1 que não estão em I 2. O número de trocas de ferramentas incorridas com esta nova seqüência é no máximo igual ao número de trocas de ferramentas z 1. Portanto, geramos uma solução viável para o exemplar I 2 cujo valor da função objetivo é no máximo igual ao valor ótimo de I 1. Conseqüentemente, o teorema se aplica. Usando o Teorema 1 podemos obter limitantes inferiores para um exemplar do problema resolvendo de maneira ótima exemplares de menor tamanho, obtidas do exemplar [1887]

3 original considerando apenas um subconjunto das tarefas. A próxima questão de interesse é: Que tarefas selecionar?. Sabemos que, quanto menor o tamanho problema, menos esforço computacional é necessário para resolvê-lo. Assim, o ideal é selecionar um subconjunto de tarefas que tenha a menor cardinalidade possível e que forneça um bom limitante inferior, de preferência, o valor ótimo do problema. Sugerimos o seguinte procedimento para a seleção das tarefas do subproblema. Inicialmente, selecionamos o menor número de tarefas que, juntas, utilizam todas as M ferramentas do problema. Se existe mais do que um subconjunto de tarefas de mesma cardinalidade que utiliza todas as M ferramentas, escolhemos o subconjunto que tem mais ferramentas em comum. A idéia aqui é tentar escolher um subconjunto de tarefas, em que cada uma delas utiliza um número grande de ferramentas. Após escolher estas tarefas, passa-se a adicionar a este subconjunto mais tarefas, uma de cada vez. Quantas tarefas a mais devemos inserir? Inserimos um número de tarefas de modo a completar um total pré-fixado pelo decisor. Este tamanho pré-fixado deve levar em conta o esforço computacional aceitável pelo decisor a ser despendido no cálculo do limitante inferior para o problema. Para a inserção de mais tarefas, sugerimos o seguinte procedimento. Determinamos o número de trocas incorridas para processar cada tarefa já selecionada, imediatamente após cada tarefa candidata e armazenamos o menor valor. A tarefa candidata que requerer o maior valor dentre os menores valores armazenados é a selecionada. Em caso de empate, seleciona-se a tarefa com maior soma total de trocas de ferramentas para processá-la. Em caso de novo empate, seleciona-se uma delas aleatoriamente.. Um exemplo numérico Seja o exemplar do PMNTF dado na Tabela 1, com 25 tarefas (N = 25), 15 tipos de ferramentas (M = 15) e capacidade da caixa de ferramentas da máquina igual a 10 (C = 10). Um limitante inferior para o PMNTF é dado por M C, ou seja, 5 para o exemplo em questão. É fácil ver que M C é um limitante inferior, pois, como a capacidade da máquina é C e são necessários M ferramentas para se processar todas as tarefas, pelo menos M C ferramentas, que não cabem inicialmente na caixa de ferramentas, precisam ser trocadas. Tabela 1 Dados do exemplo 1 J 1 = {1,2} J 10 = {1,,5,8,11} J 19 = {1,,5,6,7,9,11,15} J 2 = {5,15} J 11 = {2,5,9,11,14} J 20 = {1,4,5,6,7,8,9,10} J = {4,7,11} J 12 = {7,8,9,11,1,14} J 21 = {4,5,7,8,9,10,11,1} J 4 = {2,8,9} J 1 = {1,4,5,11,12,14} J 22 = {2,,4,5,9,10,1,14,15} J 5 = {5,1,15} J 14 = {2,,5,7,11,1} J 2 = {1,2,5,8,9,10,12,14,15} J 6 = {1,7,9,1} J 15 ={1,4,6,8,9,10} J 24 = {,4,5,6,8,9,11,12,1,14} J 7 = {,7,10,11} J 16 = {1,2,5,8,10,11,12} J 25 = {1,2,4,7,9,10,12,1,14,15} J 8 = {4,5,7,8,9} J 17 = {,4,5,6,8,9,11} J 9 = {2,7,9,10,15} J 18 = {4,7,8,11,12,1,14} Podemos fazer um pré-processamento do problema visando reduzir o seu tamanho, pois existem tarefas que são dominadas por outras (por exemplo, J 1 J 16, J 2 J 5, etc). Tarefas dominadas podem ser processadas imediatamente após as tarefas que as dominam, sem que nenhuma troca de ferramentas seja necessária. Assim, podemos descartar temporariamente estas tarefas e resolver o problema reduzido e, posteriormente, incluí-las na seqüência obtida sem que tenhamos um aumento no número total de trocas de ferramentas. Na Tabela 2 apresentamos o exemplo reduzido com N = 15 tarefas, após descartarmos as tarefas dominadas. Vamos admitir que o decisor esteja disposto a priori a selecionar um subconjunto de no máximo 5 tarefas para determinar um bom limitante inferior para o problema. Observe que, com 5 tarefas, é preciso analisar um total de 5! = 120 permutações possíveis das tarefas para se determinar uma permutação ótima que forneça o menor número de trocas de ferramentas. [1888]

4 Realizar este cômputo não exige muito esforço computacional. Tabela 2 Exemplo 1 após retirada das tarefas dominadas J 7 = {,7,10,11} J 14 = {2,,5,7,11,1} J 21 = {4,5,7,8,9,10,11,1} J 10 = {1,,5,8,11} J 16 = {1,2,5,8,10,11,12} J 22 = {2,,4,5,9,10,1,14,15} J 11 = {2,5,9,11,14} J 18 = {4,7,8,11,12,1,14} J 2 = {1,2,5,8,9,10,12,14,15} J 12 = {7,8,9,11,1,14} J 19 = {1,,5,6,7,9,11,15} J 24 = {,4,5,6,8,9,11,12,1,14} J 1 = {1,4,5,11,12,14} J 20 = {1,4,5,6,7,8,9,10} J 25 = {1,2,4,7,9,10,12,1,14,15} Inicialmente, selecionamos o menor número de tarefas que, juntas, utilizam todas as 15 ferramentas do problema. Para selecionar as tarefas iniciais, podemos fazer todas as combinações duas a duas das tarefas e verificar quantas ferramentas estas combinações de tarefas utilizam. A única combinação de 2 tarefas que utilizam as 15 ferramentas é formada pelas tarefas J 24 e J 25. Com estas duas tarefas, já igualamos o limitante inferior 5 dado por M - C. Para selecionar a próxima tarefa a inserir, é conveniente ter uma tabela com o número de trocas de ferramentas que ocorre quando se processa apenas duas tarefas, uma imediatamente após a outra. Na Tabela apresentamos os valores obtidos para todos os pares possíveis de tarefas. Tabela : Número mínimo de trocas de ferramentas quando se processa as tarefas J i e J k, um imediatamente após o outro J 7 J 10 J 11 J 12 J 1 J 14 J 16 J 18 J 19 J 20 J 21 J 22 J 2 J 24 J 25 J J J J J J J J J J J J J J J Consideremos o menor número de trocas de ferramentas das tarefas candidatas em relação às tarefas já selecionadas, que são J 24 e J 25. Estes números estão apresentados na Tabela 4, que são simplesmente as mesmas linhas correspondentes a J 24 e J 25 da Tabela. Tabela 4: Mínimo número de trocas de ferramentas envolvendo as tarefas J 24 e J 25 J 7 J 10 J 11 J 12 J 1 J 14 J 16 J 18 J 19 J 20 J 21 J 22 J 2 J J Total de trocas Da tabela 4, observamos que as tarefas J 16, J 19 e J 20 requerem no mínimo trocas de ferramentas para serem processadas com as tarefas J 24 e J 25. As demais tarefas requerem menos, por exemplo, as tarefas J 7, J 14, J 21, J 22 e J 2 requerem no mínimo 2 trocas. Portanto, a próxima [1889]

5 tarefa a ser inserida será uma dentre as tarefas J 16, J 19 e J 20. O critério de desempate proposto é o total de trocas de ferramentas, e, por esse critério, a próxima tarefa a ser inserida é a tarefa J 19. Prosseguindo de forma similar, para se determinar a quarta tarefa a ser inserida, consideramos novamente o menor número de trocas de ferramentas das tarefas candidatas em relação às tarefas já selecionadas, que são J 19, J 24 e J 25. Estes números estão apresentados na Tabela 5. Tabela 5: Mínimo número de trocas de ferramentas envolvendo as tarefas J 19, J 24 e J 25 J 7 J 10 J 11 J 12 J 1 J 14 J 16 J 18 J 20 J 21 J 22 J 2 J J J Total de trocas Da tabela 5, observamos que as tarefas J 16, J 21, J 22 e J 2 requerem no mínimo 2 trocas de ferramentas para serem processadas com as tarefas J 19, J 24 e J 25. O critério de desempate é o total de trocas de ferramentas, e, por esse critério, a próxima tarefa a ser inserida é a tarefa J 2. Prosseguindo de forma similar, determinamos a quinta tarefa a ser inserida com a ajuda da Tabela 6. Tabela 6: Mínimo número de trocas de ferramentas envolvendo as tarefas J 19, J 2, J 24 e J 25 J 7 J 10 J 11 J 12 J 1 J 14 J 16 J 18 J 20 J 21 J 22 J J J J Total de trocas Da tabela 6, observamos que as tarefas J 21 e J 22 requerem no mínimo 2 trocas de ferramentas para serem processadas com as tarefas J 19, J 2, J 24 e J 25. O critério de desempate é o total de trocas de ferramentas, e, por esse critério, há novo empate. Fazemos então uma escolha aleatória, por exemplo, escolhemos J 22 para ser a próxima tarefa a ser inserida. Definimos o nosso subproblema com 5 tarefas e resolvemos agora este exemplar de menor tamanho do PMNTF para determinar um limitante inferior para o problema. Resolvendo este pequeno exemplar, chegamos a uma solução ótima com 10 trocas de ferramentas. Estabelecemos, então, um novo limitante inferior de qualidade bem superior ao inicialmente obtido, dado por M - C = Comentários Finais Neste trabalho sugerimos um novo procedimento para determinar limitantes inferiores para o problema de minimização de trocas de ferramentas em uma máquina flexível de manufatura. A qualidade do limitante inferior pode ser melhorada caso um esforço computacional maior seja aceitável. Por exemplo, no exemplo numérico da seção, podemos tentar melhorar a qualidade do limitante com a inserção de mais uma tarefa, mas, para isto, teremos que analisar (explicitamente ou implicitamente) as 6! = 720 permutações possíveis destas tarefas. Se incluirmos mais tarefas, este número cresce ainda mais, de maneira exponencial. Dado um conjunto maior de tarefas, ao invés de resolver o problema exatamente, que é computacionalmente dispendioso, pode-se obter um limitante inferior para o número de trocas de ferramentas, resolvendo-se um problema de árvore geradora mínima com um grafo construído com as tarefas selecionadas e arcos ligando os pares de tarefas com custo associado igual aos [1890]

6 fornecidos na Tabela. Por exemplo, para as cinco tarefas J 19, J 22, J 2, J 24 e J 25 selecionadas, obteríamos o grafo indicado na Figura 1. J J 2 J J 25 J 24 5 Figura 1 Grafo com número mínimo de trocas entre pares de tarefas Do grafo 1, pode-se verificar facilmente que a árvore geradora mínima tem comprimento igual a 10. Portanto, neste caso, obtemos um limitante inferior de valor igual ao da solução ótima. Isto, no entanto, nem sempre acontece, pois, para se computar o número real de trocas, é preciso considerar as ferramentas presentes na caixa de ferramentas na máquina, a cada processamento de tarefas. Convém observar que é possível que, ao se aumentar ainda mais o número de tarefas, o comprimento da árvore geradora do grafo, construído conforme indicado anteriormente, diminua. Portanto, este procedimento para cálculo do limitante inferior tem suas limitações. O resultado mais importante neste trabalho é o teorema 1, que permite o uso de subproblemas de menor tamanho para o cálculo de limitantes inferiores para o problema. Baseado neste teorema, outras propostas diferentes para decidir quais tarefas considerar podem ser desenvolvidas, bem como variações na proposta apresentada podem ser sugeridas. Diferenças em termos de desempenho destes procedimentos, observadas através de experimentos computacionais, ditarão qual proposta é mais eficiente. Pelo exemplo ilustrativo, pode-se observar que a qualidade do limitante inferior obtido com a nova proposta é bastante superior ao limitante fornecido por M C. Acredita-se que, com este novo limitante proposto, poderemos desenvolver um novo método enumerativo para resolução exata do PMNTF que seja superior às propostas hoje existentes na literartura. Isto está sendo investigado. [1891]

7 Agradecimentos: Trabalho financiado parcialmente com recursos do CNPq e da FAPESP. Referências Bard, J.F. (1988), A Heuristic for Minimizing the Number of Tool Switches on Flexible Machine, IIE Transactions, 20, Crama, Y., Kolen, A.W.J., Oelermans, A.G. e Spieksma, F.C.R. (1994), Minimizing the number of tool switches on a flexible machine, International Journal of Flexible Manufacturing Systems, 6, -54. Garey, M., Johnson, D.S. (1979), Computers and Intractability, Freeman, New York. Hertz, A., Laporte, G., Mittaz, M. e Stecke, K. (1998), Heuristics for minimizing tool switches when scheduling part types on a flexible machine, IEE Transactions, 0, Laporte, G., Salazar, J.J. e Semet, F. (2002), Exact Algorithms for the Job Sequencing and Tool Switching Problem, Les Cahiers du GERAD, G Tang, C.S. e Denardo, E.V. (1988), Models Arising from a Flexible Manufacturing Machine, Part I: Minimization of the Number of Tool Switches, Operations Research, 6, Yanasse, H.H. e Lamosa, M.J.P. (2005), An application of the generalized travelling salesman problem: the minimization of tool switches problem, Operations Research International Annual Scientific Conference of the German Operations Research Society, Bremen, Germany, Program, p. 90. [1892]