2.3 Formulação de um Problema de Pooling

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1 8 Formulações Matemáticas para Problemas de Blending/Pooling min cost(x 1,x 2 ) = θ 1 x 1 + θ 2 x 2 (2.5) Com θ 1 e θ 2 também eles escalares representam o custo dos produtos x 1 e x 2. Este é o exemplo típico de uma formulação de um problema de dieta, onde somente existem interações lineares entre variáveis, podendo serem resolvidos por uma matriz de desigualdade, Ax b como mostra a equação 2.6 (Miller (2007)). x1 γ1 A = α1 β 1, x = α 2 β 2 x 2, b = γ 2 (2.6) 2.3 Formulação de um Problema de Pooling O problema de pooling envolve um topologia de rede de alimentação para a frente e um conjunto de restrições físicas e químicas nas propriedades dos produtos finais. A rede contem um conjunto de nós de entrada que representam o fornecimento de alimentações, um conjunto de nós intermediários que simbolizam os pools do problema. E por fim, um conjunto de nós de saída, que representam os produtos finais (Misener e Floudas (2009)). Em alguns casos os nós intermediários podem não ser necessários e as propriedades dos produtos são calculados por média ponderada em peso das correntes de alimentação. Neste caso o problema de otimização pode ser expresso como um programa linear (LP 1 ), contudo a monitorização da composição nos pools dos vários componentes dá origem a termos bilineares fazendo com que a estratégia de otimização passe a ser não linear (NLP 2 ). Formulações bilineares são não convexas e têm em geral ótimos locais. Torna-se então um problema de otimização global, que se torna difícil de resolver por questões de recursos computacionais. No entanto, surgiram já bastantes trabalhos nesta área com abordagens distintas Formulação de Pooling Standard Numa formulação de pooling standard, os caudais de uma pré-determinada estrutura de alimentação, tanques de mistura e produtos finais são otimizados para o máximo 1 Linear Programming 2 Non Linear Programming

2 2.3 Formulação de um Problema de Pooling 9 lucro possível, estando este, sujeito a restrições de qualidade sobre a composição do produto final. Uma vez que neste tipo de problema é considerado que as qualidades do combustível variam linearmente na mistura com uma só camada de pools, a única fonte de não convexidade são os termos bilineares que surgem dos balanços às qualidades nos tanques de mistura (Floudas e Gounaris (2009)). Figura 2.3 (2012)) Estrutura de um problema de pooling standard (Akshay Gupte e Cheon Devido aos termos bilineares participarem nas restrições de igualdade, o problema torna-se não convexo e portanto deve ser tratado posteriormente com técnicas que garantam a obtenção de um ótimo global. Um exemplo de uma estrutura genérica para este tipo de problema é a apresentada na figura 2.3. Referidas as características principais do problema de pooling standard, podemos agora estabelecer as equações mais importantes para este problema. Na tabela 2.1 é representada toda a notação referente as equações apresentadas. A equação 2.7 representa a função objetivo que é minimizar os custos. min x i,l, y l, j, z i, j,p l,k (i,l) T X c i x i,l (l,j) T Y d j y l, j (i, j) T Z (d j c i ) z i, j (2.7) Disponibilidade (Feeds): Capacidade dos Pools: Procura do Produto: Balanço ao Material: A L x i i,l + z i, j A U i (2.8) i l:(i,l) T X j:(i, j) T Y x i,l S l l (2.9) i:(i,l) T Y D L y j l,j + z i, j D U j (2.10) j l:(l,j) T Y i ( i, j) T Z x i,l y l,j = 0 l (2.11) i:(i,l) T X j:(l,j) T Y

3 10 Formulações Matemáticas para Problemas de Blending/Pooling Tabela 2.1 Notação para a formulação do problema de pooling standard (Misener e Floudas (2009)) Tipo Nome Descrição Índices i {1,2,...,I} Correntes de entrada (matérias primas e feeds) l {1,2,...,L} Pools (instalações de mistura) j {1,2,...,J} Correntes de saída (produtos finais) k {1,2,...,K} Atributos (qualidades monitorizadas) Conjuntos T X (i,l) pares de ligação entre pools e entradas T Y (l, j) pares de ligação entre pools e saídas (i, j) pares de ligação entre entradas e saídas T Z Variáveis x i, j Caudal da entrada i para o pool l y l, j Caudal do pool intermédio l para a saída j z i, j Passagem direta das entradas i para as saídas j (o f i ) Caudal de saída para o produto j p l,k Nível de qualidade do atributo k no pool j q i,l Proporção de caudal da entrada i para o pool l Nível de qualidade do atributo k no produto j u j,k Parâmetros c i Custo unitário das matérias primas i d j Rendimento unitário do produto j A L A U i i Limites de disponibilidade da entrada i S l Capacidade volumétrica do pool l D L D U j j Limites de procura para o produto j C i,k Nível de qualidade k nas matérias primas e alimentações i P L Gama aceitável de composição da qualidade k no j,k j,k produto j O conjunto de equações 2.8 dizem respeito à disponibilidade das alimentações, às respectivas capacidades dos pools, à procura do produto e aos balanços aos materiais. Qualidade de produto p l,k y l,j + l:(l, j) T Y i:(i,j) T Z C i,k z i,j P L y j,k l, j + l:(l, j) T Y P U y j,k l, j + l:(l, j) T Y i:(i, j) T Z z i, j i:(i, j) T Z z i, j j,k (2.12)

4 2.3 Formulação de um Problema de Pooling 11 Balanço às Qualidades C i,k x i,l = p l,k y l, j l,k (2.13) i:(i,l) T X j:(l, j) T Y Limites Hard min i 0 x i,l min AU, S i l, 0 y l, j min S l,d U, j 0 z i,j min A U i,du j C i,k p l,k max C i,k i j:(l, j) T Y D U j i:(i,l) T X A U i (i,l) T X (2.14) (l, j) T Y (i,j) T Z l,k De referir que as equações apresentadas anteriormente representam a formulação clássica, denotada como "P-formulation" pela referência Misener e Floudas (2009). Formulação de Pooling Expandido Uma extensão do problema de pooling standard, é denominada de pooling expandido ocorre quando é aplicado um modelo de emissões gasosas, como foi o caso aplicado pela EPA 1 à gasolina reformulada. Como mostra a figura 2.4, o problema de pooling Figura 2.4 Estrutura de um problema de pooling expandido (Misener et al. (2010)) expandido não é mais que um problema de pooling standard com as restrições aos 1 Environmental Protection Agency

5 12 Formulações Matemáticas para Problemas de Blending/Pooling aditivos propostos pelo modelo de emissões gasosas da EPA (Misener et al. (2010)). O modelo de otimização de um problema de pooling expandido é do tipo MINLP 2 onde a parte inteira mista surge a partir das disjunções lógicas do modelo de emissões gasosas que expande o alcance de precisão do modelo. As não linearidades do modelo, a maioria delas não convexas, surgem da mistura linear e não linear nos nodos intermédios e das definições do modelo de emissões gasosas (Misener et al. (2010)) Formulação de Pooling Generalizado Uma segunda classe de formulação de problemas de pooling é o chamado problema de formulação de pooling generalizado. Este tipo de problema tem recebido uma atenção considerável nos últimos dez anos. Figura 2.5 (2009)) Estrutura de um problema de pooling generalizado (Misener e Floudas Nas formulações de pooling generalizado é permitido a interligação entre pools, como é observado na figura 2.5. A rede de matérias base tal como as correntes intermediárias são tratadas como alternativas discretas. Como resultado, surge um programa disjuntivo não convexo que pode ser modelado como um MINLP. A dificuldade deste tipo de problema reside no facto dos arcos retratados na figura 2.5 poderem ou não estar ativados tornando o problema combinatório complexo no que respeita às variáveis de decisões binárias e aos termos bilineares (Misener et al. (2010)). 2 Mixed Integer Non Linear Programming

6 2.3 Formulação de um Problema de Pooling Formulações Mistas de Pooling incluindo Aspectos de Planeamento/Escalonamento Existe na literatura alguns exemplos de problemas e formulações de pooling e blending que incluem aspectos de planeamento e escalonamento. Um desses exemplos é reportado num artigo do autor Glismann e Gruhn (2001) assim como no artigo do autor Mendez e Grossmann (2006). Escalonamento a Curto Prazo e Otimização de Formulações de Processos Este problema tem como objetivo coordenar o escalonamento a curto prazo de processos de pooling/blending multi-produto com otimização não linear de formulações. Está dividido em três níveis: 1. Planeamento a longo prazo; 2. Escalonamento a curto prazo; 3. Controlo de processo. O planeamento de longo prazo tenta resolver o problema de otimização não linear de uma formulação a larga escala. Daqui saem os resultados da mistura e volumes de produção que servem como entradas para o próximo nível, o escalonamento. O escalonamento é formulado como um MILP derivado de uma representação RTN 1. O modelo de escalonamento permite alteração das formulações de modo a obter-se mais um grau de liberdade na otimização. Após a interpretação deste nível, novas restrições podem ser impostas para o problema de planeamento a longo prazo. De reter que o primeiro nível pode ser definido como um problema de NLP e o segundo nível um MILP que podem coexistir num processo iterativo. A estratégia escolhida passa por globalizar os três níveis referidos anteriormente. A figura 2.6 resume este tipo de estratégia. 1 Resource-Task Network

7 14 Formulações Matemáticas para Problemas de Blending/Pooling Figura 2.6 Estratégia de planeamento e escalonamento adotada pelo autor Glismann e Gruhn (2001) Modelo de Escalonamento Antes de definir o modelo de escalonamento propriamente dito, há que estabelecer algumas prioridades. Obter um escalonamento praticável satisfazendo todas as procuras de todos os produtos. Ir ao encontro de todos os objetivos definidos pelo planeamento. Otimização das operações do processo. O modelo de escalonamento é baseado na representação RTN. Um exemplo deste tipo de representação é o da figura 2.7. Figura 2.7 Estrutura de uma representação RTN (Glismann e Gruhn (2001)) Posto isto, o modelo matemático do problema de escalonamento pode ser caracterizado por: O tempo é modelado com base numa discretização uniforme.

8 2.3 Formulação de um Problema de Pooling 15 As tarefas têm uma validade temporária de modo a ajustar o escalonamento aos períodos de planeamento de longo alcance. A contagem máxima de um recurso é 1, para simplificar os balanços aos recursos. Sumariando, o problema de escalonamento é formulado como um MILP baseado numa representação RTN. O modelo é capaz de trocar entre formulações durante a otimização, contabilizar as formulações definidas nos períodos de planeamento e ainda usar uma estratégia combinada de restrições adicionais e objetivos especiais que evitem tempos de execução insensatos nas formulações e minimizem as trocas de formulações. Abordagem de Otimização Simultânea para Blending Offline e Escalonamento de Operações A abordagem do problema simultâneo de otimização de blending offline com o problema de escalonamento a curto prazo, usando para isso um novo método baseado num modelo de formulação MILP. A representação do modelo é feita tanto no domínio discreto como no domínio contínuo, consoante a necessária flexibilidade da solução. Para manter a linearidade do modelo, optou-se por um processo iterativo. Nas próximas seções será explicado o problema, a otimização proposta e o problema de blending offline descritos pelo autor Mendez e Grossmann (2006). Declaração do Problema Na declaração do referido problema, existem duas grandes questões que devem ser referidas: A primeira delas está relacionada com as questões de logística de produção, que normalmente envolve múltiplas procuras com diferentes datas de entrega, restrições relacionadas aos equipamentos, aos produtos e aos componentes, regras de operação entre outros; A segunda envolve a qualidade de produção ou problema de blending offline e tem em conta a formulação dos produtos, as variáveis envolvidas e as especificações de componentes e produtos. O principal objetivo é a produção de misturas dentro das especificações, que dependendo da propriedade do produto podem surgir correlações não lineares que incluam termos bilineares e trilineares. O processo é multi-etapa composto por tanques de armazenamento de componentes, misturadores e tanques de produtos finais. Existem items que devem ser tidos em conta, tais como: 1. Horizonte de escalonamento predefinido, 7 a 10 dias.

9 16 Formulações Matemáticas para Problemas de Blending/Pooling 2. Conjunto de produtos vindos da refinaria (componentes). 3. Tanques de armazenamento com restrições de capacidade mínima e máxima. 4. Propriedades e qualidades para os componentes. 5. Conjunto de produtos finais com especificações mínimas e máximas nas qualidades. 6. Misturadores a trabalhar em paralelo podem ser alocados para cada produto final. 7. Correlações, normalmente não lineares. 8. Máximo e mínimo nas concentrações dos componentes nos produtos finais. 9. Formulações de produtos predefinidas. Posto isto, podemos definir uma função objetivo na qual podemos incluir o valor total do produto, o custo das matérias primas, custo de inventário e penalizações para os desvios das formulações ótimas. Proposta de Otimização As principais características da estratégia de otimização do problema são as seguintes: Modelo de otimização multi-período é usada para lidar com as múltiplas procuras dos produtos, respeitando diferentes datas de entrega e especificações de qualidade. Podem ser usadas representações no domínio discreto e contínuo, dependendo das características do problema. Aproximações lineares são usadas conjuntamente por um processo iterativo para predição das propriedades dos produtos. Especificações de qualidade e logística de produção resolvidas simultaneamente. Formulações de produtos podem ser fixas ou variáveis. Variáveis binárias são utilizadas para decisões de tarefas. Este tipo de problema era anteriormente retratado separadamente. Nesta nova perspectiva dada pelo autor Mendez e Grossmann (2006), a solução do problema de escalonamento define o modo como os produtos são processados no que respeita ao tempo e a disponibilidade dos equipamentos. Por outro lado, o problema de blending é incorporado e a sua solução define como os componentes são misturados para produzir produtos dentro das especificações necessárias com o custo mínimo.

10 2.3 Formulação de um Problema de Pooling 17 Visão Geral dos Aspectos de Otimização, Planeamento, Escalonamento e Blending/Pooling Sumariando e tirando algumas conclusões, pode-se definir duas estratégias de otimização no que diz respeito a todos os processos referidos anteriormente (planeamento, escalonamento, controlo, blending/pooling). Na figura 2.8 estão demonstradas as duas estratégias. O esquema a) da figura 2.8 diz respeito a uma otimização global dos processos de Figura 2.8 Vista geral sobre duas possíveis estratégias de otimização. planeamento, escalonamento e controlo, sendo os processos de blending/pooling sub problemas do planeamento. De referir que a complexidade aumenta à medida que nos dirigimos do nível do planeamento para o nível do controlo do processo. Trata-se de uma otimização global de todos os processos. O esquema b) demonstra uma otimização repartida, onde existe primeiramente uma otimização dos níveis de planeamento e escalonamento, com a resolução dos sub problemas de blending/pooling e após isto, um ajuste ou otimização das propriedades de controlo.