Otimização. Otimização em Redes. Paulo Henrique Ribeiro Gabriel Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia 2016/2

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1 Otimização Otimização em Redes Paulo Henrique Ribeiro Gabriel Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia 2016/2 Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 1 / 51

2 Conteúdo 1 Motivação 2 O Problema do Caminho Mínimo 3 O Problema do Fluxo Máximo 4 O Problema da Árvore Geradora Mínima Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 2 / 51

3 Problemas de Otimização em Redes Diversos problemas de otimização pode ser modelados e resolvidos utilizando redes (ou grafos) Exemplos: 1 Minimizar o custo de construir tubulações de gás natural entre a plataforma e o continente 2 Determinar o caminho mais curto entre duas cidades 3 Determinar a capacidade máxima de uma tubulação de água Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 3 / 51

4 Problemas de Otimização em Redes Problemas Clássicos em Redes 1 Caminho mais curto 2 Fluxo máximo 3 Árvore geradora mínima Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 4 / 51

5 Conceitos Básicos Uma rede (ou grafo) consiste em um conjunto de nós conectados por arcos. Seja N o conjunto de nós e A o conjunto de arcos, uma rede R é denotada por um par ordenado R = (N, A) Exemplo: Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 5 / 51

6 Conceitos Básicos Fluxo Dizemos que existe um fluxo associado a cada rede. Um arco é dito orientado (ou dirigido) se permitir fluxo positivo em uma direção e zero na oposta. Se todos os arcos forem orientados, temos uma rede orientada. Exemplo: Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 6 / 51

7 Conceitos Básicos Caminho Um caminho é uma sequência de arcos distintos que ligam dois, passando por nós intermediários. Uma caminho forma um ciclo se conectar um nó a si mesmo. Exemplo: Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 7 / 51

8 Conceitos Básicos Árvore Uma rede conectada é uma rede tal que todos os pares de nós estão ligados por no mínimo um caminho. Uma árvore é uma rede conectada sem ciclos formada por um subconjunto dos nós. Uma árvore geradora é uma árvore que liga todos os nós da rede. Exemplo: Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 8 / 51

9 Conteúdo 1 Motivação 2 O Problema do Caminho Mínimo 3 O Problema do Fluxo Máximo 4 O Problema da Árvore Geradora Mínima Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 9 / 51

10 Definições Problema O problema de caminho mínimo consiste em determinar o caminho mais curto entre uma origem e um determinado destino em uma rede. Aplicações Rotas mais curtas (menor distância, menor custo financeiro, etc.) Problemas clássicos de IA Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 10 / 51

11 Modelagem Matemática I Considere uma rede composta por n nós Cada arco (i, j) possui um custo c ij Deseja-se encontrar o caminho mínimo entre os nós s e t Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 11 / 51

12 Modelagem Matemática II Variável de decisão: { 1, se o arco (i, j) é o mais curto x ij = 0, caso contário. Função Objetivo: minimizar z = c ij x ij (i,j) A Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 12 / 51

13 Modelagem Matemática III Restrições: Para as restrições, vamos imaginar que uma partícula está no nó de origem Essa partícula deve se deslocar pela rede, chegando ao nó de destino Além disso, devemos respeitar a seguinte propriedade: para cada nó j, o fluxo de entrada deve ser igual ao fluxo de saída; ou seja: (i,j) x ij = (j,k) x jk Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 13 / 51

14 Modelagem Matemática IV Exemplo Considere a seguinte rede, sendo que no nó 1 é a origem e 2 é o destino Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 14 / 51

15 Modelagem Matemática V Função objetivo: z = 100x x x x x x x 45 Restrições Nó 1: 1 = x 12 + x 13 Nó 2: x 12 + x 42 = x Nó 3: x 13 + x 23 = x 34 + x 35 Nó 4: x 34 = x 42 + x 45 Nó 5: x 35 + x 45 = 0 Além disso: x ij 0, i, j Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 15 / 51

16 Algoritmo de Dijkstra Esse algoritmo foi desenvolvido de modo a encontrar o caminho mais curto entre o nó de origem e qualquer outro nó da rede Considera a menor distância até os nós vizinhos, ou seja, os nós diretamente conectados Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 16 / 51

17 Algoritmo de Dijkstra Definições Seja u i a distância mais curta da origem 1 até o nó i Seja d ij 0 como o comprimento do arco (i, j) O algoritmo define o rótulo para o nó imediatamente posterior (j) como [u j, i] = [u i + d ij, i] O algoritmo também rotula os nós como sendo temporários ou permanentes O nó temporário pode ser modificado, se houver um caminho menor Caso contrário, o nó torna-se permanente Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 17 / 51

18 Algoritmo de Dijkstra Etapas Passo Inicial Rotule o nó origem (nó 1) como sendo permanente e a distância até ele é dada por [0, ]; faça i = 1 Passo Geral 1 Calcule os rótulos temporários [u i + d ij, i] para cada nó j partindo de i, desde que j não seja permanente; substitua o rótulo desse nó, caso o caminho obtido seja menor que algum caminho anteriormente encontrado 2 Se todos os nós forem permanentes, interrompa; caso contrário, selecione o rótulo [u r, s] cuja distância é a mais curta entre todos os temporários (empates são resolvidos arbitrariamente) 3 Faça i = r e repita essa etapa Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 18 / 51

19 Algoritmo de Dijkstra: Exemplo Execução do algoritmo para a seguinte rede: Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 19 / 51

20 Algoritmo de Dijkstra: Exemplo Primeira iteração: Nó Rótulo Status 1 [0, ] Permanente 2 [ , 1] = [100, 1] Temporário 3 [0 + 30, 1] = [30, 1] Temporário Escolhemos o nó 3 para a próxima iteração, pois é o de menor valor para u i Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 20 / 51

21 Algoritmo de Dijkstra: Exemplo Segunda iteração: Nó Rótulo Status 1 [0, ] Permanente 2 [100, 1] Temporário 3 [30, 1] Permanente 4 [ , 3] = [40, 3] Temporário 5 [ , 3] = [90, 3] Temporário Escolhemos o nó 4 para a próxima iteração, pois é o de menor valor para u i Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 21 / 51

22 Algoritmo de Dijkstra: Exemplo Terceira iteração: Nó Rótulo Status 1 [0, ] Permanente 2 [ , 4] = [55, 4] Temporário 3 [30, 1] Permanente 4 [40, 3] Permanente 5 [90, 3] ou [ , 4] = [90, 4] Temporário O rótulo do nó 2 é atualizado, pois encontramos um caminho mais curto O rótulo do nó 5 pode ser atualizado, dependendo da implementação; não faz diferença, pois a distância não muda Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 22 / 51

23 Algoritmo de Dijkstra: Exemplo Quarta iteração: Nó Rótulo Status 1 [0, ] Permanente 2 [55, 4] Permanente 3 [30, 1] Permanente 4 [40, 3] Permanente 5 [90, 3] ou [90, 4] Permanente O menor caminho, dentre os nós temporários, é o do nó 2; porém, a partir dele, só podemos alcançar o nó 3, que é permanente e, portanto, marcamos o nó 2 como permanente O mesmo vale para o nó 5, que não alcança nenhum outro, sendo agora permanente Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 23 / 51

24 Exemplos Exemplo 1 Execute o algoritmo de Dijkstra para a seguinte rede Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 24 / 51

25 Exemplos Exemplo 2 A figura a seguir mostra a rede de comunicação entre sete estações de trabalho. A probabilidade de uma conexão operar sem falhas é mostrada em cada arco. Desejamos encaminhar dados da estão 1 à estação 7 de modo a maximizar a probabilidade de uma conexão bem sucedida. Formule o problema como um problema de caminho mínimo e mostre a melhor rota possível. Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 25 / 51

26 Exemplos Figura: Probabilidades de conexão Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 26 / 51

27 Exemplos Figura: log 2 das probabilidades Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 27 / 51

28 Exemplos Exemplo 3 Uma empresa está desenvolvendo uma política de reposição para seus equipamentos, considerando uma projeção de quatro anos. No início de cada ano, é tomada uma decisão sobre a conservação em operação ou a reposição do equipamento. Um equipamento deve permanecer em serviço por no mínimo um ano e no máximo três anos. A tabela a seguir fornece o custo de reposição em função do ano em que o equipamento foi adquirido e do número de anos em operação. Formule o problema como uma rede e mostre qual a melhor política de substituição Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 28 / 51

29 Exemplos Ano de aquisição Custo de reposição por ano Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 29 / 51

30 Conteúdo 1 Motivação 2 O Problema do Caminho Mínimo 3 O Problema do Fluxo Máximo 4 O Problema da Árvore Geradora Mínima Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 30 / 51

31 Problema do Fluxo Máximo Basicamente, o problema de fluxo máximo consiste em determinar sobre quais arcos será escoada um determinado volume Por exemplo: considere que a rede a seguir representa um mapa de quatro ilhas ligados por pontes A capacidade (peso do arco) representa quantos carros podem passar pela ponte simultaneamente, no máximo Considere o nó 1 como sendo a origem e o nó 4 como destino Quantos carros podem sair, simultaneamente, da origem e chegar no destino, respeitando as capacidades das pontes? Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 31 / 51

32 O Problema do Fluxo Máximo Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 32 / 51

33 O Problema de Fluxo Máximo Esse problema pode ser modelado como uma generalização do problema de caminhos mínimos Seja x ij o fluxo no arco (i, j) Como a rede é dirigida, x ij pode ser diferente de x ji Seja F um fluxo de entrada no nó de origem O modelo se baseia na conservação de fluxo, ou seja, o valor do fluxo F deve ser obtido no nó de destino O modelo considera, ainda, os fluxos entre os diferentes nós intermediários, sempre mantendo a conservação Finalmente, o fluxo em um arco deve respeitar sua capacidade máxima do arco (i, j), denotada por c ij Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 33 / 51

34 O Problema do Fluxo Máximo Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 34 / 51

35 O Problema de Fluxo Máximo Para a figura a seguir, considerando o nó 1 como a origem e o nó 4 como destino, temos: 1 x 12 + x 13 = F 2 x 23 + x 24 = x 12 + x 32 3 x 32 + x 34 = x 13 + x 23 4 x 24 + x 34 = F 5 0 x ij c ij Notem que as equações 1 e 4 representam, ambas, o fluxo que se deseja passar pela rede A primeira representa o fluxo de partida e a segunda o fluxo de chegada Logo, uma dessas equações pode ser considerada a função objetivo (a outra pode ser eliminada do sistema) Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 35 / 51

36 O Problema de Fluxo Máximo Modelo Matemático maximizar z = x 12 + x 13 sujeito a: x 23 + x 24 x 12 x 34 = 0 x 32 + x 34 x 13 x 23 = 0 0 x ij c ij Sendo que: c 12 = 9, c 13 = 7, c 23 = 3, c 24 = 9, c 32 = 2, c 34 = 8 Observação: O resultado não se alteraria se, como função objetivo, adotássemos z = x 24 + x 34, ou seja, o fluxo de chegada Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 36 / 51

37 Conteúdo 1 Motivação 2 O Problema do Caminho Mínimo 3 O Problema do Fluxo Máximo 4 O Problema da Árvore Geradora Mínima Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 37 / 51

38 Árvore Geradora Mínima Menor árvore possível, ligando todos os nós da rede Conecta todos os nós da rede usando o comprimento mais curto (menor peso) de arcos Exemplo de aplicação: minimizar o comprimento de estradas pavimentadas (reduzir custo) entre duas cidades Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 38 / 51

39 Algoritmo Definições Seja N = {1, 2,..., n} o conjunto de nós da rede C k é o conjunto de nós que foram conectados na iteração k C k é o conjunto de nós que ainda terão que ser conectados Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 39 / 51

40 Algoritmo Passos Passo 0 C 0 = e C 0 = N Passo 1 Selecione qualquer nó i de C 0 e faça C 1 = {i}; C 1 = N {i}; k = 2 Passo Geral Selecione um nó j em C k 1 que se conecta pelo arco mais curto até um nó em C k 1 ; Elimine j de Condição de Parada: Quando C k for vazio C k 1 Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 40 / 51

41 Exemplos Exemplo 1 Uma empresa de TV pretende oferecer um serviço por cabo a cindo novas áreas onde estão novos projetos residenciais. A figura a seguir mostra as possíveis conexões entre essas áreas (sendo que a companhia de TV está no nó 1). As extensões, em quilômetros, estão mostradas em cada arco. Determine o projeto de conexão mais econômico. Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 41 / 51

42 Exemplos Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 42 / 51

43 Exemplos Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 43 / 51

44 Exemplos Exemplo 2 Ainda considerando a rede anterior: 1 Execute novamente o algoritmo começando do nó 5 2 Determine a árvore geradora mínima considerando: Os nós 2 e 5 não podem ser conectados Os nós 2 e 6 são conectados por um cabo de 4 Km] O cabo entre os nós 1 e 2 tem 8 Km Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 44 / 51

45 Exemplos Exemplo 3 Considere o seguinte mapa ferroviário dos EUA, sendo que os nós representam os terminais e os arcos são as ferrovias, cujo comprimento é dado em milhas. Deseja-se revitalizar parte das ferrovias, de modo a suportar um aumento no tráfego. Em particular, o terminal de Los Angeles (LA) deve ser conectado diretamente ao de Chicago (CH); os demais podem ser conectados direta ou indiretamente de modo que o comprimento total seja minimizado. Determine os trechos de ferrovias que devem ser revitalizados. Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 45 / 51

46 Exemplos Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 46 / 51

47 Formulação Matemática Enunciado do Problema Dado uma rede conectada R = (N, A), com n nós e com um peso w a associado a cada arco em A, encontrar uma árvore geradora R T = (N T, A T ) de peso total mínimo. Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 47 / 51

48 Formulação Matemática Variáveis de Decisão Seja x ij = 1 se o arco (i, j) está presente na árvore R T Se x ij = 0, então o arco não pertence à árvore Função Objetivo Queremos calcular o peso total dos arcos na árvore, ou seja: z = w ij x ij i,j A Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 48 / 51

49 Formulação Matemática Restrições Precisamos garantir que: 1 Existam n 1 arcos na árvore 2 Não haja ciclos na árvore Primeira Restrição x ij = n 1 i,j A Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 49 / 51

50 Formulação Matemática Restrições Precisamos garantir que: 1 Existam n 1 arcos na árvore 2 Não haja ciclos na árvore Segunda Restrição Todo subconjunto de k nós deve ter, no máximo, k 1 arcos, ou seja: i,j A:i S,j S x ij S 1 Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 50 / 51

51 Formulação Matemática Problema da Árvore Geradora Mínima minimizar z = sujeito a: i,j A x ij = n 1 i,j A i,j A:i S,j S w ij x ij x ij S 1 x ij {0, 1} Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 51 / 51