Problema do vendedor: uma abordagem via algoritmos genéticos

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1 Problema do vendedor: uma abordagem via algoritmos genéticos Dandara de Almeida Machado 1, Juliana Verga Shirabayashi 1 1 Universidade Federal do Paraná (UFPR) Campus Jandaia do Sul dandaraalmeidaa@gmail.com; juliana.verga@ufpr.br Resumo: Neste trabalho, estudamos o problema do vendedor, que é uma variante do Problema do Caixeiro Viajante (PCV). O PCV resume-se em um determinado vendedor partindo de uma cidade inicial que deseja visitar todas as cidades listadas, e voltar à cidade de origem, com o objetivo de percorrer essas cidades uma única vez e com o menor caminho possível. Ele é um problema de otimização combinatória que serve de plataforma de teste para diversos métodos de resolução na mesma. Primeiramente foi feita a modelagem para o problema do vendedor, que diferentemente do problema do caixeiro viajante, não necessita retornar à cidade de origem. Para resolver tal problema, primeiramente utilizamos um algoritmo clássico de caminhos mínimos, que mostrou-se eficiente apenas para problemas pequenos; posteriormente utilizamos algoritmos genéticos, que são mais versáteis e encontram soluções boas e factíveis para diversos problemas, inclusive problemas do tipo do PCV, como é o caso do problema do vendedor. Palavras-Chave: Problema do Vendedor; Algoritmo Genético; 1. Introdução A pesquisa por técnicas que resultem em implementações computacionais eficientes é bastante ativa e possibilita a resolução de diversos problemas, desde os mais simples até os maiores e mais complexos (Ahuja,1993; Arenales,2006). O interesse por técnicas de otimização é de grande importância no mundo atual, por exemplo, empresas sempre querem maximizar seus lucros ou diminuir seus custos, e nesse sentido a pesquisa se faz necessária para que sempre tenhamos métodos mais eficientes para resolver os problemas. Através de um estudo de técnicas de otimização, como por exemplo: otimização linear e não linear, é possível modelar diferentes problemas reais e compreender a obtenção de suas soluções (Ford,1962; Beveridge,1970; Gondran,1984; Edgar, 1989; Berthold,1999).

2 O problema mais clássico e o mais conhecido na literatura que é um problema de programação linear (PPL) é o do caixeiro viajante (PCV), onde um vendedor percorre várias cidades uma só vez e volta obrigatoriamente para origem, com o objetivo de percorrer a menor distancia, ou o menor tempo de viagem (Simon,2013). Difícil falar sobre PCV, e não pensar na teoria de grafos. Geralmente estes tipos de problemas de otimização de rotas terrestre e aéreas são modelados através da teoria de grafos, que pode resolver vários tipos de problemas reais e é muito utilizada em criações de aplicativos para celular e computador, e também para a interatividade entre as pessoas que utilizam redes sociais (Ford,1962; Goldbarg, 2000). O problema que vamos tratar neste trabalho é uma variante do PCV, e é chamado de problema do vendedor. Resumidamente, consiste em um vendedor sair de uma cidade de origem, por exemplo, São Paulo, e fazer entregas de produtos em Ourinhos, Cornélio Procópio, Bandeirantes e seu destino final é Londrina. Para descobrirmos qual o caminho ideal para este vendedor percorrer, é necessário obter o caminho mínimo entre as cidades. Nem sempre a menor distância em quilômetros vai ser a melhor solução, pois obrigatoriamente o vendedor precisa deixar todas as suas encomendas, não podendo deixar nem um cliente sem seu pedido. O grafo abaixo representa o exemplo descrito acima. Neste caso, o nó 1 representa a cidade de São Paulo, o nó 2 representa a cidade de Ourinhos, o nó 3 representa a cidade de Cornélio Procópio e o nó 4 representa a cidade de Londrina. Os pesos, em km, utilizados foram: 1 2: 374, 1 3: 473, 1 4: 537, 2 3: 94, 2 4: 161, 3 4: 66. Para encontrar o melhor caminho para o vendedor neste exemplo, utilizamos o algoritmo de caminho mínimo de Ford-Moore-Bellman (Ahuja,1993; Arenales, 2006), implementado no Matlab, que forneceu o seguinte caminho: com custo 534 (km). O algoritmo Ford-Moore-Bellman é um algoritmo de caminho mínimo, e ao usá-lo no problema do vendedor, percebemos que, para um número maior de cidades (mais que 10) o mesmo é inviável.

3 A seguir, apresentamos a modelagem para o problema do vendedor. 2. Modelagem do problema A formulação matemática para o problema do vendedor é dada pelas equações a seguir (Lawler,1985; Simon,2013): sujeito a: onde: número de cidades. Onde a variável binária assume valor igual a um, se o arco for escolhido para integrar a solução, e em caso contrário, e é um subgrafo de G, e é o número de vértices do subgrafo. Segue abaixo uma descrição detalhada das restrições do problema Garante que todo fluxo que chega ao nó deve ser igual a um. Garante que todo fluxo que sai do ao nó deve ser igual a um. subciclos. Garante que as outras duas restrições são validas, evitando

4 3. Metodologia de solução Ao resolver o problema apresentado na introdução, através do algoritmo de Ford-Moore- Bellman, vimos que o mesmo resolve com eficiência problemas de pequeno porte (até 10 cidades), logo não é o algoritmo mais indicado para resolver problemas como o apresentado neste trabalho. Diante disso, optamos por utilizar algoritmos genéticos (AGs), o qual está brevemente descrito a seguir. Os AGs são algoritmos probabilísticos de busca e otimização baseados nos princípios da evolução natural e genética natural. Fala-se que ele funciona de forma semelhante à teoria da seleção natural, pois usa o mesmo conceito, onde os melhores indivíduos sobrevivem, e partir destes geram descendentes que carregam suas características, por tanto tendem a ter o mesmo fenótipo de seus ancestrais (Simon, 2013). Os AGs buscam soluções sub-ótimas, a partir da criação de uma população de indivíduos mais aptos, levando à otimização da função objetivo. Para criar essa população, o AG, através de configurações iniciais gera indivíduos aleatoriamente, a partir disso é feita uma avaliação de cada indivíduo, selecionando os mais aptos, e por mutação ou cruzamento, que são os operadores genéticos do algoritmo, cria-se as novas gerações de indivíduos. Cada indivíduo na população é uma possível solução para um determinado problema.

5 O AG gera uma solução candidata a solução utilizando uma estrutura parecida com a de um cromossomo, e aplica os operadores genéticos a essa estrutura para manter informações importantes para a solução do problema (Simon,2013). Segue abaixo um fluxograma que resume e mostra o funcionamento de um AG. Para maiores detalhes, consultar (Lawler, 1985; Simon, 2013). Figura 1: Fluxograma do funcionamento de um AG. Função custo A função custo, ou função de avaliação, calcula numericamente o valor do parâmetro associado ao cromossomo. Em geral, os parâmetros do problema entram em conflito, por isso cria-se a função de aptidão ou função objetivo, a fim de encontrar o ponto ótimo. Escolha da população inicial Uma das formas de inicializar a população é escolher aleatoriamente cada indivíduo dentro do espaço de busca. A aleatoriedade permite uma diversidade e boa distribuição da população inicial. Com essa técnica, permite criar uma boa distribuição, pois procura a solução em um maior espaço de busca, sem importar se são soluções boas ou não, assim criando uma maior diversidade e a população evoluindo. Isso é muito importante para uma população, pois sem diversidade, a população estará cada vez mais semelhante, e assim não ocorrendo à evolução.

6 Seleção O AG, como já dito antes, é baseado na seleção natural, onde sobrevivem os mais fortes, então os mais aptos geram mais filhos. Vale ressaltar que o algoritmo seleciona de forma aleatória, então nem sempre só sobrevivem os melhores, permitindo que os indivíduos menos aptos gerem filhos, porém os melhores têm as maiores probabilidades de sobreviverem. E dentro do AG, existem vários mecanismos para utilizar na hora de selecionar, como roleta, roleta viciada, torneio, sorteio, elitismo, entre outros, onde a escolha de qual método utilizar vai depender de qual é mais eficiente para o seu problema e suas restrições. Cruzamento - Crossover Através do cruzamento acontece a troca do material genético, ou seja, a recombinação de determinadas partes das sequências de caracteres dos pares de cromossomos, assim gerando um novo indivíduo, garantindo a recombinação da população e uma maior probabilidade de se produzir uma população de indivíduos mais evoluídos que seus pais. Como na seleção, no cruzamento também há vários mecanismos que permitem fazer o crossover, como por exemplo: Operador Patially Mapped Crossover (PMX), Operador Order Crossover (OX) e o Operador Cycle Crossover (CX). E todos eles escolhem aleatoriamente dois pais e troca parte de seu padrão genético, a diferença é como cada um deles faz na hora dessa troca. Mutação Após o cruzamento é feito a mutação, que é utilizada como um método para manter a diversidade genética na população. O operador mutação percorre toda a cadeia de bits do cromossomo, invertendo os valores deles, e assim mudando o valor de um determinado bit de 1 para 0 ou de 0 para 1, com o intuito de resgatar algum indivíduo que possa ter perdido durante a evolução. A taxa de mutação, que é um comando inicial do algoritmo, geralmente é baixa, a fim de não impactar muito nas alterações de genes da população. Por fim, o AG tem muitas vantagens, principalmente para problemas de otimização, pois é versátil para se obter soluções ótimas globais. Ele também trabalha baseado na codificação do problema e oferece suporte para a elaboração de um programa computacional abrangente, resolve uma diversidade grande de problemas complexos de forma rápida e confiável, e é considerado um algoritmo simples por conta de ser facilmente implementado e flexível, podendo ser aplicado nos mais diversos tipos de problemas. Por

7 outro lado, ele tem grande dificuldade para obter o ótimo global exato, e requer um grande número de avaliações de funções de aptidão. Para ilustrar o funcionamento de um AG no problema do vendedor, segue um exemplo. O AG foi implementado em Matlab 7.0, com as seguintes configurações: População inicial: aleatória; Seleção: roleta; Crossover: PMX; Mutação: inversão; Taxa de mutação: 0.05; Tamanho da população: 53; Número de gerações: 50; Critério de parada: número de gerações; Os dados abaixo são referentes à instância Berlin52 do TSPLib ( que é um repositório com instâncias para o problema do caixeiro viajante e suas variantes. Esta instância contém 52 locais da cidade de Berlin, Alemanha.

8 Figura 2: 52 locais da cidade de Berlin representados por pontos. Após a execução do algoritmo implementado, obtemos o seguinte resultado para este problema. Figura 3: Menor caminho para o problema Berlin52. A distância total percorrida foi de 8925 (em 13 segundos de execução), que representa o quanto o vendedor irá percorrer até atender todos os clientes. 4. Considerações Finais Após estudar o problema do vendedor, concluímos que o mesmo não pode ser resolvido através de métodos exatos, por isso optou-se por utilizar métodos heurísticos. O algoritmo genético mostrou-se eficiente para resolver o problema do vendedor, outras instâncias estão sendo testadas a fim de realizar comparações com resultados encontrados em trabalhos da literatura. Como trabalhos futuros, pretendemos fazer testes com dados reais referentes ao problema aqui estudado, programar outros tipos de operadores de cruzamento, seleção, mutação a fim de comparar os resultados obtidos. Outra perspectiva é lidar com algoritmo híbrido, unindo as técnicas de AG com a teoria dos conjuntos fuzzy.

9 Referências AHUJA, T. L.; MAGNANTI, R. K.. Network Flows. Prentice Hall, Philadelphia, PA, USA, 846p ARENALES, M. N.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R., YANASSE, H.. Pesquisa Operacional. 1 a Edição. Rio de Janeiro: Editora Campus, BERTHOLD, M.; HAND, D. J.. Intelligent Data Analysis: An introduction, Springer-Verlag. 515p, BEVERIDGE, G.; SCHECHTER, R.. Optimization: Theory and Practice, McGraw-Hill, New York, EDGAR, T.E.; HIMMELBLAU, M.. Optimization of chemical processes, McGraw-Hill, New York, 666p, FORD, D. R.; FULKERSON, L.R.. Flows in networks. Princeton University Press, New York, GOLDBARG, H.P.L.; LUNA, M. C.. Otimização Combinatória e Programação Linear. Editora Campus, Rio de Janeiro, 518p, GONDRAN, M.; MINOUX, M.. Graphs and Algorithms. John Wiley and Sons, New York, 650p, LAWLER, E. L.; RINNOOY-KAN, A. H. G.; LENSTRA, J. K.; SHMOYS, D. B. The Traveling salesman problem: a guided tour of combinatorial optimization. [S.l.]: Edição de Wiley, p. SIMON, D.. Evolutionary Optimization Algorithms - biologically inspired and population - based approaches to computer intelligence. John Wley & Sons, 742p, 2013.