Modelos em Programação Matemática

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1 Modelos em Programação Matemática Resolução de um Modelo em Programação Matemática Software Fico- Xpress Problema Modelo Xpress Mosel (Linguagem algébrica de Modelação) Resolução Xpress MP 1

2 Para obter uma cópia do Xpress- MP para estudantes ir ao site 2

3 Esquema Geral de um programa em linguagem Mosel model nome do modelo uses mmxprs! Indica que se usa o XPRESS_OPTIMIZER para resolver o problema declarations! Bloco onde se definem constantes, vectores e varáveis do modelo end-declarations! Dados relativos ao problema a resolver! Definição da função objectivo, das restrições do modelo e do domínio de variação das! variáveis do modelo! Resolver do problema! Imprimir a solução end-model 3

4 Variáveis do modelo As variáveis são do tipo mpvar Por defeito o Mosel assume que as variáveis do modelo são 0 Para definir uma variável X do tipo mpvar como binária escrever X is_binary Para definir uma variável X do tipo mpvar como inteira escrever X is_integer Resolver o problema Para maximizar a função objectivo f_obj escrever maximize(f_obj) Para minimizar a função objectivo f_obj escrever minimize(f_obj) Imprimir a solução Para imprimir a solução usar o comando writeln ou write. No primeiro caso há mudança automática de linha 4

5 Alguns tipos de Dados real integer string array tipo real tipo inteiro cadeia de carateres vetor ou matriz Funções da linguagem Mosel para obter o valor ótimo e a solução ótima getobjval : indica o valor ótimo da função objetivo getsol() : indica o valor ótimo das variáveis do modelo 5

6 Exemplo 1 A primeira fase da produção de mesas e cadeiras numa fábrica de mobiliário é realizada nas secções de corte, polimento e montagem. Cada mesa necessita de 5 horas na secção de corte, 4 horas na de polimento e 3h na montagem, enquanto que cada cadeira necessita de 2h, 3h e 4h respetivamente. Numa determinada semana a fábrica tem disponíveis 270h na secção de corte, 250h na de polimento e 200h na de montagem. O lucro obtido é de 100 euros por mesa e 60 euros por cadeira. Pretende-se determinar quantas mesas e cadeiras devem ser fabricadas de forma a que o lucro total seja máximo. x x 1 2 número de mesas produzidas na semana número de cadeiras produzidas na semana max z 100x 60x 1 2 s.a 5x 2x x 3x x 4x 200 x 1 2, x

7 Solução: LUCRO: X1= X2=

8 Solução: LUCRO = 5640 x(1) = 48 x(2) = 14 8

9 Exemplo 2 Problema de Localização Uma empresa que comercializa refrigerantes pretende determinar onde instalar armazéns para fazer a posterior distribuição por 5 cidades. Conhece-se a procura (em lotes) em cada uma das cidades, os custos de instalação em cada um dos 4 potenciais locais disponíveis para a construção dos armazéns e os custos de transporte de cada lote entre os armazéns e as cidades. Assume-se que podemos construir armazéns com a capacidade necessário, isto é, considera-se que a capacidade não é restritiva. locais 1 2 cidades 1 2 d 1 d 2 n =4, m = 5 [d j ] = [11,10,10, 9] Procura [f i ] = [500,500,500,500,500] Custos de instalação d 3 d cij

10 Modelo: y i 1 um armazém é construído no local 0 no caso contrário i xij quantidade enviada do armazém em i para satisfazer a procura em j m m n min f y c i1 i i i1 j1 ij ij j1 x d j 1,, n x Dy i 1,, m x 0 j 1,, n ij y {0,1} i 1,, m i m i1 ij n ij x j i 10

11 11

12 locais cidades 1 d d 2 d 3 d 4 12

13 Leitura dos dados a partir do ficheiro loc_data.txt d : [ 11, 10, 10, 9 ] f: [ 500,500,500,500,500 ] c: [ 68, 54, 92, 92, 95, 67, 54, 68, 54, 90, 60, 88, 86, 62, 85, 57, 77, 55, 70, 84 ] Em vez de escrever os dados no programa escrever a instrução 13

14 Exemplo 3 Problema de Planeamento de Produção Uma empresa produz vários tipos de bicicletas. Pretende-se determinar o plano de produção do tipo H-T de bicicletas de corrida que requer um tipo especial de materiais e equipamento de produção. Produz-se apenas um lote por mês devido à pouca procura e a importantes economias de escala nos custos de manufatura. O custo de produzir cada bicicleta H-T é de 100 euros. As restrições de capacidade são ignoradas no planeamento de produção deste produto porque os trabalhadores são distribuídos pelas várias variantes de bicicletas produzidas na empresa e porque a capacidade pode ser aumentada contratando temporariamente trabalhadores se necessário. Devido à necessidade de instalar equipamento especial e ferramentas no início da produção de cada lote existe um elevado custo de set-up. O custo fixo de set-up é de 5000 euros. A procura deste tipo de bicicletas é irregular, sendo maior na Primavera e no Verão. As previsões de vendas deste tipo de bicicletas encontra-se na tabela seguinte: Jan Fev Mar Abril Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

15 No fim do corrente ano estarão em armazém 200 bicicletas de corrida do tipo H-T. Cada bicicleta em armazém tem um custo de armazenamento de 5 euros que inclui o custo de armazenamento e de capital investido. O espaço em armazém é ilimitado. O gerente da empresa quer determinar os níveis de produção e de stock deste tipo particular de bicicletas de modo a satisfazer a procura e minimizar os custos totais (Custos de produção + custos de armazenamento). Pretende fazer o plano de produção para o próximo ano até ao fim do período em que há uma maior procura de bicicletas, isto é, até ao fim de Agosto. Horizonte temporal do planeamento de produção De Janeiro a Agosto, dividido em períodos de um mês Número de períodos do horizonte temporal: 8 15

16 Modelo Matemático NT número de períodos do horizonte temporal T períodos do horizonte temporal 1,..., NT Neste caso NT 8 variáveis xt : bicicletas produzidas no período t T s : bicicletas que ficam em armazém no início do período t T t y t 1 se se produzem bicicletas no período t tt 0 caso contrário parâmetros p : custo de produção q : custo de set - up h : custo de armazenamento d : procura de bicicletas no período t T t 16

17 min t1 t t1 t t1 t s. a. s x d s t 1,, NT t1 t t t s NT NT NT px qy hs NT x d y t 1,, NT t kt k t y {0,1}, x 0, s 0 t 1,, NT t t t 17

18 Modelo em Linguagem Mosel 18

19 19

20 OUTPUT custo total Period 1: prod 600 (demand: 400, unit cost: 100), setup 1 (cost: 5000, stock: 400) Period 2: prod 0 (demand: 400, unit cost: 100), setup 0 (cost: 5000, stock: 0) Period 3: prod 1600 (demand: 800, unit cost: 100), setup 1 (cost: 5000, stock: 800) Period 4: prod 0 (demand: 800, unit cost: 100), setup 0 (cost: 5000, stock: 0) Period 5: prod 1200 (demand: 1200, unit cost: 100), setup 1 (cost: 5000, stock: 0) Period 6: prod 1200 (demand: 1200, unit cost: 100), setup 1 (cost: 5000, stock: 0) Period 7: prod 1200 (demand: 1200, unit cost: 100), setup 1 (cost: 5000, stock: 0) Period 8: prod 1200 (demand: 1200, unit cost: 100), setup 1 (cost: 5000, stock: 0) 20

21 Escrita num ficheiro de dados Leitura a partir de um ficheiro fopen('data.txt', F_INPUT) forall (t in T) read(demand(t)) readln readln(setupcost) readln(prodcost) readln(invcost) readln(stockini) fclose(f_input) Ficheiro data-.xt