= A. 3x t t+z. uma matriz quadrada de ordem 2 tal que a ij = 2i j +3 e seja 3 2 B =. Encontre a matriz X tal que X +2A = B. 5 10

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1 Campus Universitário do Araguaia Instituto de Ciências Exatas e da Terra Curso: Ciência da Computação Disciplina: Álgebra Linear I Professor: Renato Ferreira da Cruz 1 a Lista de Exercícios 1 Seja A = [a ij 2 2 tal que a ij = i+j. Determine x, y, z e t para que se tenha: [ x+y x+z = A. 3x t t+z 2 Seja A [ = (a ij ) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que a ij = 2i j +3 e seja 3 2 B =. Encontre a matriz X tal que X +2A = B Observe a matriz 0 x 4. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma 0 0 y dos elementos de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz acima tal que seu traço valha 9 e x seja o triplo de y. 4 Define-se distância entre duas matrizes A = [a ij e B = [b ij quadradas e de mesma ordem n pela fórmula: d(a,b) = máx a ij b ij,i = 1,2,...,n e j = 1,2,...,n. Calcule a distância entre as matrizes: A = 0 x 4 e B = 0 0 y 0 x y 5 Sendo I 3 3 a matriz identidade de ordem 3 e J 3 3 uma matriz na qual todos os elementos valem 2, encontre a matriz X tal que: 3(X I) = X +2J +I. 6 Sabe-se que uma matriz A é do tipo 2 3 e uma matriz B é do tipo m n e que é possível a multiplicação A B, sendo o produto do tipo 2 5. Encontre os valores de m e n. 7 Dê um exemplo de uma matriz A 2 2 não nula tal que A 2 = O. 1

2 8 Seja A = B C. [ a b 9 Se B = c d [ 1 1 a) A = 0 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO [ 2 1. Encontre as matrizes B e C 2 2 tais que AB = AC, mas, encontre condições sobre a,b,c e d para que AB = BA. [ 1 1 b) A = 1 1 [ cos a sen a 10 Dadas as matrizes A = e B = sen a cos a M tal que A M = B. 2 [ cos 2a sen 2a [ , determine a matriz c) A = 11 Um dispositivo eletrônico de segurança transforma a senha escolhida por um usuário em outra. O usuário digita a senha escolhida, que deve ter quatro algarismos, abcd, e esta é transformada em outra, também de quatro algarismos, xyzw, da seguinte maneira: x y z w = P a b c d, onde P é a matriz Se a senha, transformada de um usuário é 5139, qual é a senha por ele escolhida e digitada? [ 2 x 12 Determine o valor de x para que o produto das matrizes A = e 3 1 [ 1 1 B = seja uma matriz simétrica Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linhas e determine o posto e a nulidade das mesmas. a) A = b) B = c) C = [ 1 4 d) D = e) E =

3 3x+5y = 1 14 Dado o sistema 2x+z = 3 escreva a matriz ampliada associada ao sistema e reduza-a à forma escada reduzida por linhas, para resolver o 5x+y z = 0 sistema original. 15 Determine k, para que o sistema 4x+3y = 2 5x 4y = 0 2x y = k 3 admita solução. 16 Um Físico possui dois reservatórios (R 1 e R 2 ), cada um com quantidades desconhecidas de Mercúrio. Ele observou que, se adicionasse 15 litros de Mercúrio no reservatório R 1, este ficaria com o dobro da quantidades do R 2. Porém, se retirasse 15 litros de Mercúrio do reservatório R 1 e colocasse no R 2, ambos ficariam com a mesma quantidade de Mercúrio. Qual a quantidade total de Mercúrio existente nos dois reservatórios? 17 Três amigos, denominados X, Y e Z, utilizam um computador todas as noites. Em relação ao tempo em horas, em que cada um usa o computador, por noite, sabe-se que: a) o tempo de X mais o tempo de Z excede o de Y em 2; b) o tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o dobro do tempo de Y ; c) o tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo de Y. Qual a soma do número de horas de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite? 18 Em uma sala havia um certo número de jovens. Quando Paulo chegou, o número de rapazes presentes na sala ficou o triplo do número de garotas. Se, em vez de Paulo, tivesse entrado na sala Alice, o número de garotas ficaria a metade do número de rapazes. Qual era o número de jovens que estavam inicialmente na sala (antes de Paulo chegar)? 19 Uma olimpíada foi disputada por 7 países. O quadro com o total de medalhas (ouro, prata e bronze) distribuídas para cada é apresentado a seguir: A B C D E F G Determine o número de medalhas de ouro distribuídas considerando que este número é igual ao número de medalhas de prata menos 7, e que o número de medalhas de bronze é o dobro das de prata mais 8.

4 20 As pessoas A, B, C e D possuem juntas R$ 2718,00. Se A tivesse o dobro do que tem, B tivesse a metade do que tem, C tivesse R$ 10,00 a mais do que tem e, finalmente, D tivesse R$ 10,00 a menos do que tem então todos teriam a mesma importância. Quanto possui cada uma das quatro pessoas? 21 Faça o balanceamento da equação de preparação do fósforo: Ca 3 (PO 4 ) 2 +SiO 2 +C CaSiO 3 +P +CO 22 Faça o balanceamento da equação de obtenção do azul-da-prússia: 23 Resolva os sistemas: a) b) FeCl 3 +Na 4 [Fe(CN) 6 Fe 4 [Fe(CN) 6 3 +NaCl x y = 1 y z = 2 z x = 3 x + 2y z = 6 2x + y + 2z = 5 3x + 3y 2z = A tela de uma computador apresenta uma configuração de 16 pontos (distribuídos em 4 linhas e 4 colunas) que podem ser acesos ou não, apertando-se certas teclas. Cada um desses pontos é indicado por um par (i,j), sendo i e j números naturais, 1 i 4 e 1 j 4. Seja M a matriz correspondente a uma configuração qualquer do monitor, assim definida: { aij = i+j, se o ponto (i,j) estiver aceso a ij = 0, se o ponto (i,j) não estiver aceso Numa configuração do monitor há exatamente 4 pontos acesos que estão alinhados. Calcular, nesse caso, a soma dos possíveis valores do determinante da matriz M. 25 As faces de um cubo foram numeradas de 1 a 6. Depois, em cada face foi registrada uma matriz de ordem 2, com elementos definidos por: { 2i+f, se i = j a ij = j, se i j em que f é o valor associado à face correspondente. Qual o valor do determinante da matriz registrada na face 5? [ [ x A matriz A = é inversa da matriz B =. Calcule x+y. 5 3 y 2 4

5 2 3 p As matrizes A = e B = são inversas. Calcule q m m, p e q. 28 A matriz A = [a ij é quadrada de ordem 2 com Calcule: a)deta b) det(2a) c) det(a 1 ) { aij = 2i j, para i = j a ij = 3i 2j, para i j. 29 Sendo[ x e y respectivamente, [ os determinantes não nulos, das matrizes a b 2a 2c A = e B =. Qual o valor de y c d 3b 3d x? 30 Sendo A uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação det(2a A t ) = 4x? 1 0 [ 31 Considere as matrizes A = e B = e n = det(a B) Calcule 7 n. 32 Se A é uma matriz de ordem 3, com deta = 2, e B é uma matriz de ordem 2, com detb = 5, determine o valor de k, tal que 33 Dadas as matrizes A e B, tais que: k = det(3a) det(4b)+det(2a 1 ) det(5b t ). A = ache o valor de det(a B) e B = Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, definida por a ij = 2i 3j, determine i (A 1 ) t. [ a 1/2 35 O determinante de uma matriz A é 2. Sua matriz inversa é A 1 =. 2 a Encontre o valor de a., 5

6 Dada a matriz A = calcule: a) adj A b) deta c) A 1 37 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3. Se deta = 2 e detb = 3, determine o valor de x na equação det(2a B t ) = x+100 det(a 1 ). 38 Um batalhão do Exército resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada: A B C D E F G H S T U V W X Y Z Desta forma, supondo-se que o batalhão em questão[ deseja enviar a mensagem P A, a qual, usando-se Z PAZ, pode-se tomar uma matriz 2 2, da forma: [ 15 1 a tabela acima, será dada por: M = 25 a 0 [ 2 3 para o código, isto é: C = 1 2 multiplicação das matrizes M e C, ou seja: [ [ 15 M C = = Tomando-se a matriz-chave C, transmite-se a mensagem PAZ através da [ ou através da cadeia de números Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem será compreendida pelo batalhão como a transmissão de qual palavra? 39 Dadas as matrizes quadradas A e B, ambas de ordem 3, calcule det(3b), sabendo que 3AB = 4A e deta 0. a b c 4a Sendo A = edeta = 7 e sabendo que B = 4b 3 10, calcule: 4c 4 15 a) detb b) det(5b) c) deta 1 d) detb 1 e) det(a B) f) det(b A) t 41 Sejam A, B e C matrizes reais de ordem 3 3 satisfazendo as relações A B = C e B = 2A. Se o determinante da matriz inversa de C é igual a 1, isto é, 64 detc 1 = 1, encontre o valor do determinante de A. 64 6