Lista de Exercícios Matrizes

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1 2º ano Regular / Comércio Exterior Nome: Classe: -2 Professor: Fábio Jun 3º período Lista de Exercícios Matrizes Questões dissertativas. (FGV) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da América Central, P e P 2. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q: Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz P: º empresa P º empresa a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento a3 da matriz produto? b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois países? c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê? 2. (Unicamp) Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se P t = P -, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa a) Considere a matriz P 2 3 a 3. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. 2 3 b 2 3 Dica: você pode usar o fato de que P - P = I, em que I é a matriz identidade b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor b 2, sem obter explicitamente a matriz A. 0 Dica: lembre-se de que x = A - b.

2 3. (Uerj) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007(tabela I). Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos a ij representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {, 2, 3}. Para fazer outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores: - ouro: 3 pontos; - prata: 2 pontos; - bronze: ponto. Esses valores compõem a matriz 3 V 2. Tabela I Quadro de medalhas Jogos Pan-americanos RJ 2007 Determine a partir do cálculo do produto A.V, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente. 4. (UFPR) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e I é a matriz identidade de mesma ordem, pode-se mostrar que, para cada n natural, existem números reais α e β tais que A n = αa + βi. Dada a matriz 2 3 A 0 a) Encontre α e β tais que A 2 = αa + βi. b) Multiplicando a expressão do item anterior pela matriz inversa A - obtém-se a expressão A = αi + βa -. Use essa informação para calcular a matriz A -.. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A matriz A (fig. ) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região. A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura. a) Calcule a matriz C = AB. b) Explique o significado de c 23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C. 2

3 6. (Ufscar) Seja a matriz M = (m ij ) 2x3, tal que m ij = j 2 - i 2. a) Escreva M na forma matricial. b) Sendo M t a matriz transposta de M, calcule o produto M.M t. 7. (UFV) Dada a matriz mostrada na figura adiante determine: a) A 2 b) A. A t c) 2A + 3A t 8. (Fuvest) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3 x 3 tem posto. Questões objetivas a 2a. (Fuvest) Considere a matriz A a a em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A cuja primeira coluna é 2a, a soma dos elementos da diagonal principal de A é igual a a) b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 a b 2. (UFTM) É dada a matriz A b a, onde a 0 a 2 e b são números reais. Se. 3 b 22, então o determinante de A é igual a a) 3b 4a. b) 2b² a². c) b². d) a 2. e) a. 3. (PUC - RS) O valor de x + y, para que o produto das matrizes x 2 2 A e B y 2 2 seja a matriz nula, é a) - b) 0 c) d) 2 e) 4 4. (ESPM) A rotação de um ponto P(x, y) do plano cartesiano em torno da origem é um outro ponto P (x, y ), obtido pela equação matricial: x' cosα senα x, y' senα cosα y onde α é o ângulo de rotação, no sentido antihorário. Desse modo, se P = ( 3, ) e α = 60º, as coordenadas de P serão: a) (, 2) b) (, 3 ) c) (0, 3 ) d) (0, 2) e) (, 2) 3

4 70. (FGV) Sendo A 0 e B, 0 x matriz X y na equação 6 A X B será: a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 0 e) 0 6. (UEL) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos: ) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C; 2) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC = P, onde M é a matriz mensagem a ser decodificada; 3) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: = a, 2 = b, 3 = c,..., 23 = z; 4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k, w e y; ) O número zero corresponde ao ponto de exclamação; 6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: m m 2 m 3 m 2 m 22 m 23 m 3 m 32 m 33 Considere as matrizes: a 7. (UFSM) Sabendo-se que a matriz é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é a) -23 b) - c) - d) e) (CFTMG) Sendo as matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ), quadradas de ordem 2 com a ij = i 2 - j 2 e b ij = j 2 i 2, o valor de A - B é 0 0 a) b) c) d) (PUC - MG) Considere as matrizes de elementos reais Sabendo-se que A. B = C, pode-se afirmar que o produto dos elementos de A é: a) 20 b) 30 c) 40 d) 0 0. (PUCCamp) Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostradas a seguir, são tais que sua soma é igual a Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M. a) Boasorte! b) Boaprova! c) Boatarde! d) Ajudeme! e) Socorro! a) - 3 b) - 2 c) - d) 2 e) 3 4

5 . (UFRRJ) Dada uma matriz A = 2 0, denotamos por A - a matriz inversa de A. Então A+A - é igual a: a) b) 2 0 c) d) e) (FEI) Se as matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ) estão assim definidas: aij se i j aij 0 se i j bij se i j 4 bij 0 se i j 4 onde i, j 3, então a matriz A + B é: Gabarito Questões dissertativas. a) b) a2 c) empresa 2 2. a) 2 a ; b 3 3 b) 4 3. EUA: 9; Cuba: 288; Brasil: a) α = 3; β = -2 b) 0,, 0. a) b) massa total do fertilizante Z utilizada na região Q. 6. a) b) a) b) c) a = ; b = 3 e c = 2 Questões Objetivas. a 2. e 3. d 4. d. d 6. a 7. c 8. b 9. c 0. e. c 2. d