Formulação e problemas típicos

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1 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios Formulação e problemas típicos Uma pequena manufatura produz dois modelos Standard e Luo de um certo produto Cada unidade do modelo Standard eige hora de liação e hora de polimento Cada unidade do modelo luo eige hora de liação e horas de polimento A fábrica dispõe de liadoras e polidoras cada um trabalhando 0 horas semanai As margens de lucro são $ e $ respectivamente para cada unidade Standard e Luo Não eistem restrições de demanda para ambos os modelo Elabore um modelo de programação linear que permita calcular a produção semanal que maimiza a margem total de lucro do fabricante = quantidade de modelo Standard; = quantidade de modelo Luo Ma z = 0 (liação) 0 (polimento) Um fazendeiro dispõe de 00 ha cultiváveis com milho trigo ou soj Cada hectare de milho eige $000 para preparação do terreno 0 homens-dia de trabalho e gera um lucro de $00 Um hectare de trigo envolve custos de $00 para preparação do terreno 0 homens-dia de trabalho e dá um lucro de $00 Analogamente um hectare de soja eige $00 homens-dia e dá um lucro de $00 O fazendeiro dispõe de $00000 para cobrir os custos de trabalho e 700 homens-dia de mão de obr Elabore um modelo de programação linear de forma a calcular a alocação de terra para os vários tipos de cultura com o objetivo de maimizar o lucro total = ha milho; = ha trigo; = ha soja Ma z = (área cultiváveldisponivel) (custos preparaçãodo terreno) 700 (mão de obra disponivel) A empresa de manufatura Ômega descontinuou a produção de uma determinada linha de produtos não lucrativ Esse fato acabou criando um considerável ecesso de capacidade produtiv A direção está levando em conta a possibilidade de dedicar esse ecesso de capacidade produtiva para um ou mais produto A estes vamos chamá-los de produtos e A capacidade disponível nas máquinas que poderiam limitar a produção está sintetizada na tabela a seguir: Tempo disponível Tipo de máquina (horas-máquina por semana) Fresadora 00 Torno 0 Retificadora 0

2 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios O número de horas-máquina eigidas para cada unidade do respectivo produto é: Coeficiente de produtividade (horas-máquina por unidade) Tipo de máquina Produto Produto Produto Fresadora 9 Torno 0 Retificadora 0 O departamento de vendas sinaliza que o potencial de vendas para os produtos e ecede a taa de produção máima e que o potencial de vendas para o produto é de 0 unidades por seman O lucro unitário seria respectivamente de US$ para os produtos e O objetivo é determinar quanto de cada produto a Ômega deveria produzir para maimizar os lucro Formule um modelo de programação linear para esse problem b Use um computador para solucionar este modelo de método simple = quantidade de produto i Ma z = (disponibilidade fresadora) (disponibilidade torno) (disponibilidade retificadora) (potencial de vendas produto ) ( ) = (9; 7; 0); z = 907 ERRATA: = 0 = 7; = 0; z = 7 A tabela a seguir sintetiza as informações-chave sobre dois produtos A e B e os recursos Q R e S necessários para produzi-lo Emprego de Recurso por Unidade Quantidade de recurso Recurso Produto A Produto B disponível Q R S Lucro por unidade Todas as hipóteses da programação linear são satisfeita Formule um modelo de programação linear para esse modelo b Resolva o modelo graficamente c Verifique o valor eato de sua solução ótima do item (b) resolvendo o problema algebricamente para encontrar as soluções simultâneas das duas equações relevante

3 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios = quantidade de produto A; = quantidade de produto B Ma z = (recurso Q) (recurso R) (recursos) ( ) = (/; /) Quase todas as empresas que atuam no varejo têm mais produtos do que espaço para vendê-lo Esse problema é característico de supermercados lojas de departamentos e até mesmo empresas de comércio eletrônico Nessas empresas a administração precisa decidir que produtos vender dado um espaço disponível de modo que sua lucratividade seja máim Suponha que o supermercado tenha 0 itens que ele pode disponibilizar em suas prateleiras conforme a tabela a seguir: Item Demanda entre reabastecimentos Lucro (R$/unidade) Área (cm/unidade) Se todos os itens fossem colocados à venda seriam necessários 90 cm de área de prateleir O supermercado só dispõe de 7000 cm para alocar todos os itens a serem vendido Formule o problema do supermercado com o objetivo de maimizar lucro total

4 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios = quantidade de produto i Ma z = Restrição de disponibilidade de área : 7 Restrições de não superar demanda : 7 9 i ; inteiro A área sombreada do gráfico a seguir representa a região de soluções viáveis de um problema de programação linear cuja função objetivo deve ser maimizad Classifique cada uma das afirmações seguintes como verdadeira ou falsa e a seguir justifique sua resposta baseando-se no método gráfico Se () produz um valor maior da função objetivo do que (0) e () então () deve ser a solução ótim b Se () for uma solução ótima e eistem soluções ótimas múltiplas então (0) ou () também têm que ser uma solução ótim c O ponto (00) não pode ser uma solução ótim

5 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios Verdadeiro; verdadeiro; falso 7 A Cia Metalco deseja misturar uma nova liga composta de 0% de estanho % de zinco e % de chumbo a partir de diversas ligas disponíveis com as seguintes propriedades: Liga Propriedade Percentagem de estanho Percentagem de zinco Percentagem de Chumbo Custo (US$/lb) 0 7 O objetivo é determinar as proporções dessas ligas que devem ser misturadas para produzir nova liga em custo mínimo Formule um modelo de programação linear para esse problema b Solucione esse modelo utilizando solver ecel i = quantidade de liga i Min z = = 0 (Estanho) 0 0 = 0 (Zinco) i 0 = 0 (Chumbo) 7 = 00 (proporção total00%) Imagine que a Abecitrus (Associação Brasileira dos Eportadores de Cítricos) que congrega as empresas produtoras e eportadoras de sucos e assemelhados esteja interessada em ajudar na coordenação e otimização dos custos de transporte da indústri Suponha que eistam regiões produtoras no Brasil e destinos (mercados) importantes para os produto As quantidades produzidas os volumes consumidos pelos mercados assim como os custos de transporte entre origens e destinos podem ser vistos na tabela O interesse da Abecitrus é escoar toda a produção atendendo aos mercados consumidores com custo de transporte mínimo Para o mercado consumidor Produção Da região produtora Unidade Mercosul Chile UE Japão Ásia/Pacífico 000 m São Paulo I US$/m São Paulo II US$/m Perímetros irrigados do NE US$/m Eportação do setor Eportação do setor US$ M

6 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios ij = quantidade do produto escoado da região produtora i para o mercado j Min z = atender demandas dos mercados consumidores escoar toda a produção das ij = = 7 0 (mercosul) (Chile) = 0 (UE) = 9 (Japão) = (Ásia/pacífico) regiões produtoras = 77 (São Paulo I) = 9 = (São Paulo II) (Perímetros Irrigados do NE) 9 Maureen Laird é o CEO da Alva Electric Co uma grande empresa de serviço público do Meio-oeste A empresa programou a construção de novas hidrelétricas daqui a cinco dez e 0 anos a partir de agora para atender às necessidades da população crescente na região onde atu Para cobrir pelo menos os custos de construção Maureen precisa investir parte do dinheiro da empresa agora visando atender essas necessidades futuras de fluo de cai Maureen pode comprar apenas três tipos de ativos financeiros cada um dos quais custa US$ milhão por unidade Também é possível comprar unidades fracionária Os ativos geram receita daqui a cinco dez e 0 anos contados a partir de agora e essa receita é necessária para cobrir pelo menos as necessidades de caia nesses ano Qualquer receita acima da eigência mínima para cada período será usada para aumentar o pagamento de dividendos a acionistas em vez de poupá-la para ajudar a atender às eigências de fluo de caia mínimas no período seguinte A tabela a seguir mostra tanto a receita gerada por cada ativo como também o mínimo de receita necessária para cada um dos períodos futuros quando uma nova hidrelétrica será construíd Receita por unidade de ativo Fluo de caia Ano Ativo Ativo Ativo mínimo eigido milhões milhão 0 milhão 00 milhões 0 0 milhão 0 milhão milhão 00 milhões 0 0 milhão milhões 00 milhões Maureen quer determinar o mi de investimentos nesses ativos que cobrirão as necessidades de fluo de caia e ao mesmo tempo minimizando a quantia total investid Formule um modelo de programação linear para esse problema

7 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios 7 i = valor investido no ativo financeiro i (milhão) Min z = ( anos) (0 anos) (0 anos) b Resolva utilizando solver Ecel RESOLUÇÃO: = 00; = 00; = 0; z = 00 Resolução gráfica e Introdução ao método Simple 0 Considere o seguinte problema: Ma z = Use a análise gráfica para identificar todas as soluções em pontos etremos para este modelo b Calcule o valor da função objetivo para cada uma das soluções viáveis em pontos etremos (FPE) Use esta informação para identificar uma solução ótim c Introduza as variáveis de folga d Trabalhe com o método simple (tableau do simple) para solucionar o problema RESOLUÇÃO: f f RHS z Solução ótima = ; = ; z = O método simple busca solução para função objetivo em apenas três dos quatro pontos etremo Os critérios de entrada e saída das variáveis de base permitem que não necessite realizar a resolução da função objetivo para todos os ponto Estas regras também permitem a garantia da melhoria da função objetivo conforme segue nas iteraçõe Método simple A Brinquedos SA fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e tren Um soldado é vendido por R$7 e usa R$0 de matéria-prim Cada soldado fabricado aumenta os custos diretos de mão-de-obra e custos indiretos em R$ Um trem é vendido a R$ e utiliza R$9 de matéria-prim Cada trem aumenta os de mãode-obra e indiretos em R$0 A fabricação requer dois tipos de mão-de-obra: carpinteiro e pintor A fabricação de um soldado requer h de um pintor e h de carpinteiro Um trem demanda hora de pintura e h de carpintari Para cada semana a Brinquedos pode conseguir toda a matéria-prima necessária mas apenas 00h de pintura e 0h de carpintari A demanda para os trens é ilimitada mas a de soldados é de no máimo 0 por seman

8 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios Formule um modelo de programação linear para esse problema considerando que a Brinquedos quer maimizar o lucro semanal = quantidade de produto soldados = quantidade de produto trens Ma z = 00 (pintor) 0 (carpinteiro) 0 (demanda trens) b Resolva graficamente o problema c Resolva pelo método simple f f f RHS z f soldados e 0 trens com z=0 Resolva os seguintes problemas utilizando tableau do simple Ma z = f f f f RHS z / / / 0 / f / / - / 0 / / 0 0 / - / 0 / / / / 0 / f / / - / /

9 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios 9 b 0 = a s Ma z f f f RHS z 0 0 / 0 / / / f / 0 / / / 0 - / 0 - / / / Para o método do grande número ou M grande eplique por que o método simple jamais escolheria uma variável artificial para ser uma variável básica que entra uma vez que todas as variáveis artificiais são nãobásica Resolva os seguintes problemas utilizando tableau do simple = a s Ma z demonstre que a solução z é ilimitada f f f z b 0 = a s Min z

10 Pesquisa Operacional I ENG0900 Lista de eercícios 0 e e RHS z X = 0; = ; z = 7 c Ma z = i Demonstre graficamente que este problema não tem solução viável; ii Usando o método do grande número avance pelo método simple passo a passo para demonstrar que o problema não tem solução viável Eercícios retirados de: ANDRADE E L Introdução à Pesquisa Operacional métodos e modelos para análise de decisão LTC editor ª edição 00 COLIN E C Pesquisa Operacional 70 Aplicações em Estratégia Finanças Logística Produção Marketing e Venda LTC editor 007 HILLER F S; LIEBERMAN G J Introdução à Pesquisa Operacional Mc Graw Hill ª Edição 00