Matemática Aplicada à Gestão Pública. Informes

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1 Matemática Aplicada à Gestão Pública Informes Referências 1. L. D. Hoffmann e G. L. Bradley, Cálculo, Um curso moderno e suas aplicações, Editora LTC, 10 a Edição, H. J. C. De Souza, Matemática Financeira: Uma aplicação direta no cotidiano, Trabalho de Conclusão de Curso, PROFMAT-UFPB, 2013, Disponível para download em Agenda Segunda Avaliação: 15 e 20 de outubro de 2015 (7,0 Pontos) Segunda Avaliação: 05 e 10 de novembro de 2015 (7,0 Pontos) Conteúdo: razão e proporção; grandezas proporcionais; percentagem; regra de três: simples e composta; funções e aplicação de funções. Terceira Avaliação: 01 de dezembro de 2015 Conteúdo: importância e conceitos básicos de juros; juros simples e juros compostos; descontos simples e descontos compostos; amortização de empréstimos e financiamentos. Data da Reposição: 03 de dezembro de 2015 Data do Exame Final: 10 de dezembro de 2015 December 1, 2015

2 Problemas: Lista 1 Em todos os problemas seguintes a constante m denota o número formado pelos últimos dois digítos da sua matrícula. Por exemplo, caso sua matrícula seja , então você deve considerar m = Numa firma em que trabalham 36 funcionários, existem 21 computadores. Após uma ampliação, a firma passou a ter 60 funcionários. Qual o número de computadores que deverão ser adquiridos para que se mantenha a proporção entre o número de funcionários e o de computadores existentes antes da ampliação. 2. Dois contadores, Wilson e Noel que possuem 24 e 36 anos, respectivamente, vão repartir entre si um total de 220 processos de auditoria, para conferir os cálculos. O total de processos foi repartido em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Quantos processos caberá a Wilson e quantos a Noel? 3. Ismael investiu 10m reais em um fundo de aplicação e hoje, após 5 meses, ele tem 10m 2 reais. Determinar o seu rendimento percentual neste período. 4. Sabendo que o reajuste do salário mínimo em Janeiro de 2015 foi de 9% em relação aos R$722, 00 de Calcule o valor do salário mínimo que a partir do mês mencionado entrou em vigor. 5. Geraldo Pereira pagará a taxa de condomínio do prédio onde mora, que neste mês é de 10m reais, antes do vencimento obtendo um desconto de 8% sobre este valor. Calcule o valor do condomínio. 6. Uma fábrica de equipamentos eletrônicos está colocando um novo produto no mercado. Durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é R$ ,00 e o custo variável para produzir cada unidade é m reais. Durante o primeiro ano o preço de venda é R$65,00 por unidade. (a) Expressar o lucro do primeiro ano como função de x unidades. (b) Determinar o lucro do primeiro ano, se foram vendidas. (c) Determinar quantas unidades precisam ser vendidas durante o primeiro ano para que a fábrica não ganhe e nem perca. 7. Em um certo país, o imposto de renda é taxado da maneira a seguir: não existe nenhuma taxa para rendimentos de até 1000m reais. Qualquer renda até 2000m reais é taxada em 15% de 1000m reais, e qualquer renda acima 2000m reais é taxada em 27,5% de 1000m reais. Determinar uma função T para o imposto total sobre a renda de x reais.

3 8. Em um certo país, o imposto de renda é taxado da maneira a seguir: não existe nenhuma taxa para rendimentos de até US$ ,00. Qualquer renda acima de US$ ,00 e abaixo de US$ ,00 tem uma taxa de 10%. Qualquer renda acima de US$ ,00 é taxada a 15%. (a) Esboce o gráfico da taxa de impostos R como função da renda I. (b) Qual o imposto cobrado sobre um rendimento de US$ ,00? E sobre US$ ,00? (c) Esboce o gráfico do imposto total cobrado T como uma função da renda I. 9. Um fabricante de CD s tem uma despesa fixa mensal de m reais, um custo de produção de R$3,00 por unidade e um preço de venda de R$5,00 por unidade. Expressar o custo C, a receita R e o lucro L como função de x unidades. Quantas unidades devem ser fabricas para manter o equilíbrio? 10. Suponha que o custo fixo de produção de um artigo seja de R$5.000,00; o custo variável seja de R$7,50 por unidade e o artigo seja vendido a m reais por unidade. Qual a quantidade vendida necessária para atingir o ponto de equilíbrio? 11. A equação de demanda de um artigo é x = m By, ondeb é constante positiva, y representa o preo e x representa a quantidade demandada. (a) Determinar o preço, se a quantidade demandada é m. 3 (b) Determinar a quantidade demandada, se o preço é m. 2B (c) Determinar a quantidade demandada, se o artigo for oferecido gratuitamente. (d) Qual é o preço mais baixo pelo qual esse artigo pode ser ofertado? 12. A equação de oferta de um artigo é x = ay m, onde a é constante positiva, y representa o preço e x representa a quantidade ofertada. (a) Determinar o preço, se a quantidade ofertada é (i) 5a m (ii) a + 2m. (b) Determinar a quantidade ofertada, se o preço é (i) 3m a (ii) 5m a. 3

4 (c) Qual é o preço mais baixo pelo qual esse artigo pode ser ofertado? 13. Ao preço de R$5,00 por unidade, uma firma ofertará mensalmente lanternas de pilha; a R$3,50 por unidade ela ofertará unidades. Determinar a equação linear da função de oferta para esse produto. Esboce o gráfico desta equação. 14. A despesa mensal de uma empresa com encargos sociais dada pela função f(x) = m + x 10, onde f é a despesa em milhares e x é o número de funcionários. (a) Qual será a despesa quando a empresa tiver 100 funcionários? (b) Qual será o número de funcionários quando a despesa for R$50.000,00? 15. Um empresário calcula que quando x unidades de um certo produto são fabricados, o lucro é dado por p(x) = 400x x m reais. Qual o gráfico da função p? Qual é a variação média do lucro em relação ao nível da produção x quando estão sendo fabricados unidades? 4

5 Problemas: Lista 2 1. Exercício 1 foi proposto em sala de aula (veja aula do dia 29 de outubro de 2015) 2. Exercício 2 foi proposto em sala de aula (veja aula do dia 29 de outubro de 2015) 3. Identifique o domínio, o conjunto imagem, os zeros (se existirem). (a) f(x) = m x (b) f(x) = m + x (c) f(x) = m x (d) f(x) = m + x (e) f(x) = m + x (f) f(x) = m x (g) f(x) = m + 1 x (h) f(x) = 1 x m (i) f(x) = mx 2 (j) f(x) = x 2 m (k) f(x) = (x + m) 2 (l) f(x) = mx 3 (m) f(x) = x 3 + m (n) f(x) = (x m) 3 (o) f(x) = x + mx (p) f(x) = x 3 + m (q) f(x) = m 3 x (r) f(x) = 3 x m (s) f(x) = 3 x m (t) f(x) = m(x 1)(x 3) 4. Em cada item abaixo são dadas duas funções. Faça um esbolço dos gráficos das duas funções em um mesmo plano. Faça uma legenda para melhor identificar o gráfico de cada uma das funções. (a) g(x) = x; f(x) = m x (b) g(x) = x; f(x) = m + x (c) g(x) = x; f(x) = m x (d) g(x) = x; f(x) = m + x (e) g(x) = x; f(x) = m + x (f) g(x) = 1 x ; f(x) = m x (g) g(x) = 1 x ; f(x) = m + 1 x (h) g(x) = 1 x ; f(x) = 1 x m (i) g(x) = x 2 ; f(x) = mx 2 (j) g(x) = x 2 ; f(x) = x 2 m (k) g(x) = x 2 ; f(x) = (x + m) 2 (l) g(x) = x 3 ; f(x) = mx 3 (m) g(x) = x 3 ; f(x) = x 3 + m (n) g(x) = x 3 ; f(x) = (x m) 3 (o) g(x) = x; f(x) = x + mx (p) g(x) = x 3 ; f(x) = x 3 + m (q) g(x) = 3 x; f(x) = m 3 x (r) g(x) = 3 x; f(x) = 3 x m (s) f(x) = 3 x; f(x) = 3 x m (t) g(x) = (x 1)(x 3); f(x) = m(x 1)(x 3). 5. Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de x e à relação entre eles chamamos função custo total (e indicamos por C t ). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como

6 seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por C f ). A parcela de custos que depende de x chamamos custo variável (e indicamos por C v ). Desta forma, podemos escrever: C t (x) = C f + C v (x). Suponhamos agora que x unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de x e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(x). Assim, a receita total pode ser expressa através da função demanda como: R(x) = px = f(x)x. Finalmente, chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total, isto é: L(x) = R(x) C t (x). O custo fixo de uma empresa é R$500, 00, sendo o custo variável C v (x) = 1 2 x2 20x. A função demanda é dada pela expressão p = 1 x Determina: 2 (a) As funções: receita, custo total e lucro total; (b) O intervalo onde o lucro total é positivo; (c) O preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro (no que segue denotaremos tal preço como preço ótimo). 6. Suponha que o custo total para fabricar q unidades de um certo produto seja C(q) mil reais, onde C(q) = m 1000 q2 + m 100 q 2. (a) Determine o custo de fabricação de 10 unidades; (b) Determine o custo de fabricação da décima unidade. 7. Suponha que o número de homens-horas necessário para distribuir catálogos telefônicos para x% das residências em uma certa região seja dado pela função (a) Qual é o domínio da função W? W (x) = mx 300 x (b) Para que valores de x a função tem significado neste contexto? 6

7 (c) Quantos homens-horas são necessários para distribuir catálogos para 50% das residências? (d) Quantos homens-horas são necessários para distribuir catálogos para todas as residências? (e) Que porcentagem das residências terá recebido novos catálogos depois de 150 homens-horas de trabalho? 8. Durante um programa nacional para vacinar a poluação contra um certo tipo de gripe, as autoridades descobrem que o custo para vacinar x% da população é dado aproximadamente por milhoões reais. (a) Qual a é o domínio da função C? C(x) = 150x 200 x (b) Para que valores de x a função C(x) tem significado neste contexto? (c) Qual é o custo para vacinar 50% da população? (d) Qual é o custo para vacinar 50% restantes da população? 9. Um fabricante pode produzir gravadores digitais por um custo de R$ 40,00 a unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por p reais a unidade, os consumidores comprarão 120 p gravadores por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço, faça um gráfico da função e use o gráfico para estimar o preço ótimo de venda. 10. A dona de uma loja de brinquedos pode comprar um jogo de tabuleiro no atacado por R$15, 00 a unidade. Ela estima que, se vender o jogo por x reais, aproxidamente 5(27 x) jogos serão vendidos por semana. Expresse o lucro semanal da loja com a venda dos jogos em função do preço, faça um gráfico da função e use o gráfico para estimar o preço ótimo de venda. Quantos jogos serão vendidos por semana se o preço cobrado for o preço ótimo? 11. Suponha que x = mp unidades por mês de um certo produto sejam vendidas quando o preço é p reais a unidade. O gasto mensal total E dos consumidores é a quantia total gasta pelos consumidores em um mês para adquirir o produto. (a) Expresse o gasto total mensal dos consumidores E em função do preço unitário p e desenhe o gráfico de E(p). (b) Discuta o significado, em termos econômicos, dos pontos em que a função E(p) intercepta o eixo p. 7

8 (c) Use o gráfico do primeiro item para estimar o preço para o qual o gasto mensal dos consumidores é máximo. 12. Suponha que, quando o preço de um certo produto é p reais por unidade, x centenas de unidades são compradas pelos consumidores, onde p = 0, 05x O custo para produzir x centenas de unidades é C(x) = 0, 02x 2 + 3x + 574, 777 centenas de reais. A função lucro possui zeros? Em caso afirmativo, quais são eles? 13. O preço da oferta pública inicial (OPI) das ações de uma certa empresa foi R$10, 00 por ação e a ação é negociada 24 horas por dia. Desenhe o gráfico do preço da ação durante um período de 2 anos para os seguintes casos: (a) O preço da ação aumenta a uma taxa constante durante os primeiros 18 meses até chegar a R$50, 00 e diminui a uma taxa constante durante os 6 meses seguintes até chegar a R$25, 00. (b) O preço aumenta a uma taxa constante durante 2 meses até chegar a R$15, 00, diminui a uma taxa constante durante os 9 meses seguintes até chegar a R$8, 00 e torna a aumentar a uma taxa constante até chegar a R$20, 00. (c) O preço aumenta a uma taxa constante durante o primeiro ano até chegar a R$60, 00. Um escândalo contábil faz com que o preço da ação caia instantaneamente para R$25, 00 e o preço continua a cair durante os 3 meses seguintes, a um taxa constante, até chegar a R$5, 00. Em seguinda, aumenta, a uma taxa constante, até chegar a R$12, 00 no final do período de 2 anos. 8

9 Problemas: Lista 3 Parte 1 1. Capitu emprestou a sua mãe Fortunata a quantia de R$5.000, 00, sendo acordado entre as mesmas que o regime de capitalização seria simples a uma taxa de 1% ao mês, durante 2 anos. Determine o valor total a ser pago ao final do biênio. 2. Escobar aplicou R$15.000, 00, sendo parte no Banco X, que adota a taxa simples de 2% ao mês, durante 5 meses e o resto no Banco Y, que também adota o regime simples, mas a uma taxa de 3% ao mês durante 5 meses. Se o juro total recebido por ele foi de R$1.750, 00, calcule o valor investido em cada instituição financeira. 3. Seja a aplicação a juros simples do capital de R$200, 00 à taxa de 4% ao mês durante 5 meses. Elaboraremos a sequência dos montantes formados nesse período. 4. Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000, 00 à taxa de 10, 5% ao ano durante 145 dias. (Suponha que o ano comercial possui 360 dias). 5. Calcular os juros simples produzidos por R$40.000, 00, aplicados à taxa de 36% ao ano, durante 125 dias. 6. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1, 2% ao mês rende R$3.500, 00 de juros em 75 dias? 7. Considere o Exercício 1, desta vez usando o regime de capitalização composta. 8. Considere o Exercício 2, desta vez usando o regime de capitalização composta. 9. Escreva a sequência dos montantes M n para uma aplicação de R$200, 00 a juros compostos de 4% ao mês durante 4 meses. 10. Escobar aplicou uma quantia de R$2.000, 00 a uma taxa a juros simples i 1 = 3% ao semestre, enquanto Bentinho aplicou a mesma quantia a uma taxa, também a juros simples, i 2 = 12% ao biênio. Mostre que ao final de um período de 12 anos, ambos obtiveram o mesmo juro. 11. Calcule os juros do exercćio anterior considerando o regime capitalização composta. 12. Determinemos uma taxa mensal equivalente a uma taxa de 5% ao semestre, no regimes capitalização simples. 13. Determinemos uma taxa mensal equivalente a uma taxa de 5% ao semestre, no regimes capitalização composta.

10 Problemas: Lista 3 Parte 2 1. O valor dos juros de uma aplicação prefixada com um único resgate é sempre igual: (a) Ao valor da aplicação menos o seu valor de resgate; (b) À taxa de juro multiplicada pelo prazo e pelo valor do resgate se capitalização simples; (c) Ao valor de resgate da aplicação menos o valor da aplicação; (d) À taxa de juro multiplicada pelo prazo da aplicação; (e) Ao valor do resgate mais o valor da aplicação. 2. O valor de resgate de uma aplicação prefixada com um único resgate é igual ao: (a) Valor da aplicação multiplicado pela taxa de juro e pelo prazo; (b) Valor da aplicação dividido pela taxa de juros vezes o prazo da aplicação; (c) Valor dos juros subtraído do valor da aplicação; (d) Taxa de juros vezes o prazo da aplicação; (e) Ao valor de resgate da aplicação menos o valor da aplicação. 3. Para uma taxa de juros expressa ao ano o valor dos juros é maior sob qual sistema de capitalização? (Identifique a alternativa abaixo correta. Justifique sua resposta.) (a) Sistema de capitalização composta para prazos menores que um ano; (b) Sistema de capitalização composta qualquer que seja o prazo; (c) Sistema de capitalização simples para prazos menores que um ano; (d) Sistema de capitalização simples qualquer que seja o prazo; (e) A resposta correta não foi dada em nenhum dos itens anteriores. 4. Uma empresa precisa tomar um empréstimo de um ano a uma taxa de juro capitalizada anualmente. Neste caso: (a) Para taxas iguais é melhor o sistema de capitalização simples; (b) Para taxas iguais é melhor o sistema de capitalização composta; (c) Para taxas iguais tanto faz qual seja o sistema de capitalização; (d) Dependendo do valor é melhor o sistema de capitalização simples; (e) A resposta correta não foi dada em nenhum dos itens anteriores.

11 5. Para uma taxa de i% ao ano o valor acumulado sob o sistema de capitalização composta sempre gera um montante... que o sistema de capitalização simples? (a) Menor (para qualquer prazo); (b) Maior (para qualquer prazo); (c) Maior (para prazos superiores a um ano); (d) Menor (para prazos superiores a um ano); (e) A resposta correta não foi dada em nenhum dos itens anteriores. 6. Considere um empréstimo a ser pago em uma única parcela a uma taxa de juro simples. Neste caso, os juros são: (a) Proporcionais ao prazo; (b) Maiores que o valor do empréstimo; (c) Menores que o valor do emprstimo; (d) Maiores que o valor da parcela; (e) Todas as alternativas anteriores estão erradas. 7. Os juros em capitalização simples são sempre iguais ao: (a) Prazo multiplicado pela taxa de juro e pelo valor do capital inicial; (b) Prazo multiplicado pela taxa de juro e pelo montante final; (c) Valor dos juros somado ao capital inicial dividido pelo montante final; (d) Valor do montante final subtrado dos juros e dividido pelo capital inicial; (e) Todas as alternativas anteriores estão erradas. 8. Para uma mesma taxa de juro e mesmo prazo, o valor presente em capitalização simples: (a) Dependendo do prazo pode ser maior ou menor que o obtido em capitalização composta; (b) (c) (d) É sempre maior ao obtido com capitalização composta; É sempre menor ao obtido com capitalização composta; É sempre igual ao obtido com capitalização composta; (e) Todas as alternativas anteriores estão erradas. 9. O valor do montante em capitalização simples pode ser obtido: (a) Pelo produto do capital inicial sobre a taxa de juro mais 1; 11

12 (b) Pela subtração dos juros em relação ao capital inicial multiplicado pelo prazo; (c) Pelo produto dos juros no período ao capital inicial; (d) Pela soma dos juros no período ao capital inicial; (e) Todas as alternativas anteriores estão erradas. 10. Em quantos meses um capital quintuplica na capitalização simples à taxa de 7, 5% ao mês? 11. Em capitalização composta o valor dos juros é sempre: (a) Crescente, mas não é proporcional ao prazo; (b) Crescente e proporcional ao prazo; (c) Decrescente, mas não é proporcional ao prazo; (d) Decrescente e proporcional ao prazo. 12. Em um investimento que está sob o regime de capitalização composta: (a) A taxa de juro em cada período de capitalização incide sobre o capital inicial investido; (b) Os juros em cada período de capitalização tendem a ser constantes; (c) O valor dos juros gerados a cada período de capitalização decresce em função do tempo; (d) A taxa de juro incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o perodo de capitalização anterior; 13. Para taxas de juro positivas o montante nal em capitalizao composta: (a) É sempre maior que o capital inicial; (b) Pode ser igual ao valor dos juros gerados; (c) (d) É igual ao quociente do valor dos juros sobre o capital inicial; É sempre igual ao capital inicial menos os juros gerados no período. 12

13 Problemas: Lista 3 Parte 3 Planilha de amortização Sistemas de amortização: SAC Principal: Taxa de juros: Período Juros Amortização Pagamento Saldo devedor Total Planilha de amortização Sistemas de amortização: PRICE Principal: Taxa de juros: Período Juros Amortização Pagamento Saldo devedor Total Planilha de amortização Sistemas de amortização: Principal: Taxa de juros: Período Juros Amortização Pagamento Saldo devedor Total

14 Matrícula Nota 1 Nota 2 Nota ?? + 2,5? ,5 5, ,0? ,5 2, ,5? ,5 4, ,0? ,5 3, ,0? ,5 0,701+ 5,0? ,5 5, ,5? ,0? + 3,0? ,0 3, ,0? ,5 4, ,0? ,5 2,725 +?? ,5 2, ,0? ,5 3, ,5? ,0 3, ,0? ,0 3, ,0? ,0 4, ,0? ,0 2, ,5? ,0 4, ,0? ? 3, ,0? ,0 3, ,0? ,5 4, ,5? ,5 4, ,5? ,5 2, ,0? ,0 4, ,0?