Capítulo 1. Aula Conectividade Caminhos

Transcrição

1 Capítulo 1 Aula Conectividade Muitos problemas podem ser modelados com caminhos formados ao percorrer as arestas dos grafos. Por exemplo, o problema de determinar se uma mensagem pode ser enviada entre dois computadores usando links intermediários pode ser estudada com um modelo grafo. Problemas de planejamento eficiente de rotas para entrega de correspondências, coleta de lixo, diagnósticos em redes de computadores e assim por diante podem ser resolvidos usando modelos que envolvam caminhos em grafos Caminhos Informalmente, um caminho é uma sequência de arestas que começa em um vértice de um grafo e viaja de vértice para vértice ao longo das arestas do gráfo. À medida que o caminho percorre suas bordas, ele visita os vértices ao longo desse caminho, isto é, os pontos finais dessas arestas. Definição 1. Seja n um inteiro não negativo e G um grafo não orientado. Um caminho de comprimento n de u para v em G é uma sequência de n arestas e 1,..., e n de G para o qual existe uma sequência x 0 = u, x 1,..., x n 1, x n = v de vértices tais que e i tem, para i = 1,..., n, os pontos finais x i 1 e x i. Quando o grafo é simples, denotamos este caminho pela sua sequência de vértices x 0, x 1,..., x n. O caminho é um circuito se começa e termina no mesmo vértice, isto é, se u = v, e tem comprimento maior que zero. O caminho ou circuito é dito passar pelos vértices x 1, x 2,..., x n 1 ou atravessar as arestas e 1, e 2,..., e n. Um caminho ou circuito é simples se não contiver a mesma borda mais de uma vez. 1

2 Exemplo 2. No grafo simples mostrado na Figura 1.1, a, d, c, f, e é um caminho simples de comprimento 4, pois {a, d}, {d, c}, {c, f} e {f, e} são todas as arestas. No entanto, d, e, c, a não é um caminho, pois {e, c} não é uma aresta. Note que b, c, f, e, b é um circuito de comprimento 4 pois {b, c}, {c, f}, {f, e} e {e, b} são arestas, e esse caminho começa e termina em b. O caminho a, b, e, d, a, b, que é de comprimento 5, não é simples pois contém a borda {a, b} duas vezes. Figura 1.1: Grafo simples. Definição 3. Seja n um inteiro não negativo e G um grafo direcionado. Um caminho de comprimento n de u para v em G é uma sequência de arestas e 1, e 2,..., e n de G tal que e 1 está associado a (x 0, x 1 ), e 2 está associado a (x 1, x 2 ), e assim por diante, com e n associado a (x n 1, x n ), onde x 0 = u e x n = v. Quando não há múltiplas arestas no grafo orientado, esse caminho é denotado por sua sequência de vértices x 0, x 1, x 2,..., x n. Um caminho de comprimento maior que zero que começa e termina no mesmo vértice é chamado de circuito ou ciclo. Um caminho ou circuito é chamado simples se não contiver a mesma borda mais de uma vez Conectividade em Grafos Não-Orientados Definição 4. Um grafo não orientado é chamado conectado se houver um caminho entre cada par de vértices distintos do grafo. Um grafo nã orientado que não está conectado é chamado de desconectado. Dizemos que desconectamos um grafo quando removemos vértices ou arestas, ou ambos, para produzir um subgrafo desconectado. Exemplo 5. O grafo G 1 na Figura 1.2 é conectado, porque para cada par de vértices distintos há um caminho entre eles (o leitor deve verificar isso). No entanto, o grafo G 2 na Figura 1.2 não está conectado. Por exemplo, não há caminho de G 2 entre os vértices a e d. 2

3 Figura 1.2: Grafos G 1 e G 2. Teorema 6. Existe um caminho simples entre cada par de vértices distintos de um grafo não orientado conectado. Demonstração. Seja u e v dois vértices distintos do grafo não orientado conectado G = (V, E). Como G está conectado, existe pelo menos um caminho entre u e v. Deixe x 0, x 1,..., x n, em que x 0 = u e x n = v, seja a sequência de vértices de um caminho de menor comprimento. Esse caminho de menor comprimento é simples. Para ver isso, suponha que não seja simples. Então x i = x j para alguns i e j com 0 i j. Isto significa que existe um caminho de u para v de menor comprimento com a sequência de vértices x 0, x 1,..., x i 1, x j,..., x n obtido pela exclusão das arestas correspondentes à sequência de vértices x i,..., x j 1. Exemplo 7. Quais são os componentes conectados do grafo H mostrado na Figura 1.3. Figura 1.3: Grafo H. Solução: As componentes conectadas do grafo H são dadas na Figura 1.4: 3

4 Figura 1.4: Componentes conectadas H 1, H 2 eh 3 do grafo H. Um componente conectado de um grafo G é um subgrafo conectado de G que não é um subgrafo próprio de outro subgrafo conectado de G. Isto é, um componente conectado de um grafo G é um subgrafo conectado máximo de G. Um grafo G não conectado possui dois ou mais componentes conectados que são separados e têm G como sua união Quão Conectado é um Grafo? Suponha que um grafo represente uma rede de computadores. Sabendo que este grafo está conectado nos podemos dizer que quaisquer dois computadores na rede podem se comunicar. No entanto, gostaríamos também de entender o quão confiável é essa rede. Por exemplo, ainda será possível que todos os computadores se comuniquem depois que um roteador ou um link de comunicação falhe? Para responder a esta e outras perguntas semelhantes apresentaremos alguns novos conceitos. Às vezes, a remoção de um vértice de um grafo e de todas as bordas incidentes neste produz um subgrafo com mais componentes conectados que o original. Tais vértices são chamados de vértices de corte (ou pontos de articulação). A remoção de um vértice de corte de um grafo conectado produz um subgrafo não conectado. Analogamente, uma aresta cuja remoção produz um grafo com mais componentes conectados do que no grafo original é chamada de aresta de corte ou ponte. Observe que em um grafo representando uma rede de computadores, um vértice de corte e uma aresta de corte representam um roteador e um link essenciais que não podem falhar para que todos os computadores possam se comunicar. Exemplo 8. Encontre os vértices de corte e as arestas de corte do grafo G 1 mostrado na Figura 1.5. Solução: Os vértices de corte de G 1 são b, c e e. A remoção de um desses vértices (e suas bordas adjacentes) desconecta o grafo. As bordas de corte são {a, b} e {c, e}. A remoção de qualquer uma dessas bordas desconecta G 1. 4

5 Figura 1.5: Grafo Conectado. Nem todos os grafos possuem vértices de corte. Por exemplo, o grafo completo K n, com n 3, não possui vértices de corte. Quando você remove um vértice de K n e todas as bordas incidentes a ele, o subgrafo resultante é o grafo completo K n 1, um grafo conectado. Grafos conectados sem vértices de corte sã chamados de grafos não separáveis e, além disso são considerados mais conectados do que aqueles com um vértice de corte. Podemos estender essa noção definindo uma medida mais precisa de conectividade de grafos baseada no número mínimo de vértices que podem ser removidos para desconectar um grafo. Um subconjunto V do conjunto de vértices V de G = (V, E) é um corte de vértices, ou conjunto de separação, se G V for desconectado. Por exemplo, no grafo da Figura 1, o conjunto {b, c, e} é um corte de vértice com três vértices, como o leitor deve verificar. Definimos a conectividade de vértices de um grafo nã completo G, denotado por κ(g), como sendo o número mínimo de vértices em um corte de vértices. Também podemos medir a conectividade de um grafo conectado G = (V, E) em termos do número mínimo de arestas que podemos remover para desconectá-lo. Se um grafo tiver uma aresta de corte, precisaremos apenas removê-la para desconectar G. Se G não tiver uma aresta de corte, procuramos o menor conjunto de arestas que podem ser removidas para desconectá-lo. Um conjunto de arestas E é chamado de corte de aresta de G se o subgrafo G E é desconectado. A conectividade de aresta de um grafo G, denotada por λ(g), é o número mínimo de arestas em um corte de aresta de G. Isso define λ(g) para todos os grafos conectados com mais de um vértice pois sempre é possível desconectar tal grafo, removendo todas as arestas incidentes em um dos seus vértices. Note que λ(g) = 0 se G é não conectado. Também especificamos que λ(g) = 0 se G é um grafo que consiste em um único vértice. Segue que se G é um grafo com n vértices, então 0 λ(g) n 1. Exemplo 9. Encontre a conectividade de vértices para cada um dos grafos na Figura

6 Figura 1.6: Grafos Conectados. Solução: Cada um dos cinco grafos da Figura 1.6 é conectado e tem mais de um vértice, então cada um desses grafos tem conectividade de vértices positiva. Como G 1 é um grafo conectado com um vértice de corte, como mostrado no Exemplo 8, sabemos que κ(g 1 ) = 1. Da mesma forma, κ(g 2 ) = 1, pois c é um vértice de corte de G 2. Verifique que G 3 não possui vértices de corte mas esse {b, g} é um corte de vértices. Portanto, κ(g 3 ) = 2. Da mesma forma, G 4 tem um corte de vértices de tamanho dois, {c, f}, mas sem vértices de corte. Segue que κ(g 4 ) = 2. O leitor pode verificar que G 5 não possui nenhum corte de vértices de tamanho um ou dois, mas {b, c, f} é um corte de vértice de G 5. Assim, κ(g 5 ) = 3. Exemplo 10. Encontre a conectividade de aresta de cada um dos grafos da Figura 1.6. Solução: Cada um dos cinco grafos da Figura 1.6 é conectado e tem mais de um vértice, portanto sabemos que todos eles têm conectividade de aresta positiva. Como vimos no Exemplo 9, G 1 tem uma aresta de corte, então λ(g 1 ) = 1. O grafo G 2 não tem arestas de corte, como o leitor deve verificar, mas a remoção das duas arestas {a, b} e {a, c} desconecta-o. Portanto, λ(g 2 ) = 2. Da mesma forma, λ(g 3 ) = 2, pois G 3 não possui arestas de corte, mas a remoção 6

7 das duas arestas {b, c} e {f, g} desconecta-o. O leitor deve verificar que a remoção de duas arestas quaisquer não desconecta G 4, mas a remoção das três bordas {b, c}, {a, f} e {f, g} o desconecta. Portanto, λ(g 4 ) = 3. Finalmente, o leitor deve verificar que λ(g 5 ) = 3, pois a remoção de quaisquer duas de suas arestas não o desconecta, mas a remoção de {a, b}, {a, g} e {a, h} o faz. Quando G = (V, E) é um grafo conectado incompleto com pelo menos três vértices, o grau mínimo de um vértice de G é um limite superior para a conectividade de vértice de G e a conectividade de aresta de G. Ou seja, κ(g) min v V deg(v) e λ(g) min v V deg(v). Temos, a seguinte inequação: κ(g) λ(g) min v V deg(v) Conectividade em Grafos Orientandos Existem duas noções de conectividade em grafos orientados, dependendo se as direções das bordas são consideradas. Definição 11. Um grafo direcionado é fortemente conectado se houver um caminho de a para b e de b para a sempre que a e b forem vértices no grafo. Definição 12. Um grafo direcionado é conectado fracamente se houver um caminho entre cada dois vértices no grafo não orientado associado. Exemplo 13. Os grafos orientados G e H mostrados na Figura 1.7 estão fortemente conectados? Eles estão fracamente conectados? Figura 1.7: Grafos orientados G e H. Solução: G é fortemente conectado pois existe um caminho entre quaisquer dois vértices neste grafo orientado (o leitor deve verificar isso). Portanto, G também é fracamente conectado. O 7

8 grafo H não é fortemente conectado. Não há caminho orientado de a para b neste grafo. No entanto, H é fracamente conectado, pois existe um caminho entre quaisquer dois vértices no grafo não orientado associado a H (o leitor deve verificar isso). Os subgrafos de um grafo orientado G que estão fortemente conectados, mas não contidos em subgrafos maiores fortemente conectados, isto é, os subgrafos fortemente conectados, são chamados de componentes fortemente conectados ou componentes fortes de G. Note que se a e b são dois vértices em um grafo direcionado, seus componentes fortes são são os mesmos ou são disjuntos. Exemplo 14. O grafo H na Figura 1.7 possui três componentes fortemente conectados, consistindo no vértice a; o vértice e; e o subgrafo consistindo dos vértices b, c, e d e arestas (b, c), (c, d) e (d, b) Caminhos e Isomorfismos Existem várias maneiras pelas quais caminhos e circuitos podem ajudar a determinar se dois grafos são isomórficos. Por exemplo, a existência de um circuito simples de um determinado comprimento é um invariante útil que pode ser usada para mostrar que dois grafos não são isomórficos. Além disso, caminhos podem ser usados??para construir mapeamentos que podem ser isomorfismos. Exemplo 15. Determine se os grafos G e H mostrados na Figura 1.8 são isomórficos. Figura 1.8: Grafos G e H. Solução: Ambos G e H têm seis vértices e oito arestas. Cada um tem quatro vértices de grau três e dois vértices de grau dois. Assim, os três invariantes - número de vértices, número de arestas e graus de vértices - concordam para os dois grafos. Entretanto, H tem um circuito simples de comprimento três, ou seja, v 1, v 2, v 6, v 1, enquanto G não possui um circuito simples 8

9 de comprimento três, como pode ser determinado por inspeção (todos os circuitos simples em G têm comprimento mínimo de quatro). Como a existência de um circuito simples de comprimento três é uma invariante isomórfica, G e H não são isomórficos. Exemplo 16. Determine se os grafos G e H mostrados na Figura 1.9 são isomórficos. Figura 1.9: Grafos G e H. Solução: Tanto G como H têm cinco vértices e seis arestas, ambos têm dois vértices de grau três e três vértices de grau dois, e ambos possuem um circuito simples de comprimento três, um circuito simples de comprimento quatro e um circuito simples de comprimento cinco. Como todos esses invariantes isomórficos concordam, G e H podem ser isomórficos Contando Caminhos Entre Vértices O número de caminhos entre dois vértices em um gráfico pode ser determinado usando sua matriz de adjacência. Teorema 17. Seja G um grafo com matriz de adjacência A em relação à ordenação v 1, v 2,..., v n dos vértices do grafo (com arestas direcionadas ou não direcionadas, com múltiplas arestas e loops). O número de caminhos diferentes de comprimento r de v i para v j, onde r é um inteiro positivo, é igual à entrada (i, j) de A r. Demonstração. O teorema será provado usando indução matemática. Seja G um grafo com a matriz de adjacencia A (assumindo uma ordenação v 1, v 2,..., v n dos vértices de G). O número de caminhos de v i para v j de comprimento 1 é a entrada (i, j) de A, pois esta entrada é o número de arestas de v i parav j. Suponha que a (i, j)-ésima entrada de A r é o número de caminhos diferentes de comprimento r de v i para v j. Esta é a hipótese indutiva. Como A r+1 = A r A, a (i, j)-ésima entrada de A r+1 é igual a b i1 a 1j + b i2 a 2j b in a nj, 9

10 em que b ik é a (i, k)-ésima entrada de A r. Pela hipótese indutiva, b ik é o número de caminhos de comprimento r de v i para v k. Um caminho de comprimento r + 1 de v i para v j é constituído por um caminho de comprimento r de v i para algum vértice intermediário v k e uma borda de v k para v j. Pela regra do produto para contagem, o número desses caminhos é o produto do número de caminhos de comprimento r de v i para v k, a saber, b ik é o número de arestas de v k para v j, a kj. Quando esses produtos são adicionados para todos os possíveis vértices intermediários v k, o resultado desejado segue a regra de soma para contagem. Exemplo 18. Quantos caminhos de comprimento quatro existem de a para d no grafo simples G na Figura 1.10? Figura 1.10: Grafo G. Solução: A matriz de adjacência de G (ordenando os vértices como a, b, c, d) é: A = Assim, o número de caminhos de comprimento quatro de a para d é (1, 4)-ésima entrada de A A = Portanto, temos 8 caminhos. 10