Teoria dos Grafos Introdu c ao

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1 Teoria dos Grafos Introdução

2 Referências P. O. Boaventura Netto, Grafos: Teoria, Modelos e Algoritmos, São Paulo, E. Blucher 001; R. J. Trudeau, Introduction to Graph Theory, New York, Dover Publications, 199; Kaufmann, Arnold. Exercices de combinatorique avec solutions. Paris: Dunod, v. Harary, Frank. Graph theory. Reading, Mass.: Addison-Wesley, c p.: il. West, Douglas B.. Introduction to graph theory. nd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, c p.

3 Motivação Qual a rota mais rápida entre cidades de um mapa? Em que ordem cidades devem ser visitadas para minimizar o tempo de viagem? Como cabear uma rede de telefones com custo mínimo fazendo com que todos estejam conectados? Qual o fluxo máximo que pode ser aplicado a uma rede de encanamentos?

4 Introdução A teoria dos Grafos surgiu com os trabalhos de Leonard Euler, Gustav Kirchhoff, Arthur Cayley,... Esta teoria tem sido utilizada largamente em diferentes áreas da biologia, química e na matemática aplicada. O termo grafo foi criado no século XIX, por James Sylvester (matemático, 1878) e Edward Frankland (químico, 1884). Contração de notação gráfica (graphic notation graph) Primeiro e mais famoso problema em teoria dos grafos: O problema das pontes de Königsberg, resolvido por Euler em 176.

5 Problema das pontes de Königsberg (176) Königsberg Prussia/Alemanha ( ) Kaliningrado URSS/Russia (1946-) A cidade é cortada pelo rio Pregel, criando ilhas na cidade. Existiam sete pontes conectando as ilhas e as margens opostas do rio. O problema consiste em determinar se é possível ou não fazer um passeio pela cidade começando e terminando no mesmo lugar, cruzando cada ponte exatamente uma única vez.

6 Problema das pontes de Ko nigsberg (176) Kaliningrado, 01

7 Problema das pontes de Ko nigsberg (176) rio Pregel Kaliningrado, 01

8 Problema das pontes de Königsberg (176) rio Pregel Königsberg, 176

9 Problema das pontes de Königsberg (176) rio Pregel a e Königsberg, 176 f 4 b 1 c d g

10 Problema das pontes de Königsberg (176) a e f 4 b 1 c d g

11 Definição de grafo Um grafo G consiste de um conjunto finito e não vazio de n vértices (ou nós), denotado por V (G), e m arestas, denotado por A(G). Cada aresta corresponde a um par não ordenado de vértices. a b 1 d e f g 4 c V (G) = {1,,, 4} A(G) = {a, b, c, d, e, f, g}

12 Laço e arestas múltiplas Os nós constituintes de uma aresta podem ser diferentes ou não. Se não forem diferentes então a aresta forma um laço. Arestas que ligam os mesmos pares de nós são chamadas arestas múltiplas

13 Grafo, Multigrafo e Pseudografo Harary define um multigrafo como o grafo que possui arestas múltiplas, mas que não possui laços. Se o grafo possui laços e arestas múltiplas então ele é chamado pseudografo. Em multigrafos/pseudografos, convém rotular as arestas para distinguí-las entre si, devido a multiplicidade de conexões entre os nós a 1 c e f g d 5 4 b h a 1 c e f g d 5 4 grafo multigrafo pseudografo b i h

14 Incidência e Adjacência Dizemos que uma aresta é incidente aos nós aos quais está associada. Arestas incidentes em um mesmo nó são chamadas arestas adjacentes. Nós incidentes em uma mesma aresta são chamados nós adjacentes. Um nó pode estar isolado dos demais, caso ele não esteja ligado através de uma aresta aos restantes

15 Descrevendo grafos Dados os grafos abaixo: e d c a b 4 f G 1 G G 1 : V (G 1 ) = {1,,, 4, 5} A(G 1 ) = {(1, ), (1, ), (1, 4), (, ), (, 4)}. G : V (G ) = {1,,, 4} A(G 1 ) = {a, b, c, d, e, f}.

16 Dígrafo Um grafo dirigido, ou dígrafo, é um grafo cujas arestas são pares ordenados, comumente chamados de arcos ou arestas direcionadas. Grafos orientados são grafos dirigidos que não possuem laços ou pares simétricos de arestas direcionadas Dígrafo Grafo Orientado

17 Grau O grau d G (v) ou d(v) de um nó corresponde ao número de arestas incidentes a ele. Cada laço conta como duas arestas. O menor grau presente em um grafo G é denotado por δ(g) O maior grau presente em um grafo G é denotado por (G) e d c a b 4 f δ(g 1 ) =? (G 1 ) =? δ(g ) =? (G ) =?

18 Grau O grau d G (v) ou d(v) de um nó corresponde ao número de arestas incidentes a ele. Cada laço conta como duas arestas. O menor grau presente em um grafo G é denotado por δ(g) O maior grau presente em um grafo G é denotado por (G) e 1 d c a b δ(g 1 ) = 0 (G 1 ) = δ(g ) =? (G ) =? 4 f

19 Grau O grau d G (v) ou d(v) de um nó corresponde ao número de arestas incidentes a ele. Cada laço conta como duas arestas. O menor grau presente em um grafo G é denotado por δ(g) O maior grau presente em um grafo G é denotado por (G) e 1 d c a b δ(g 1 ) = 0 (G 1 ) = δ(g ) = (G ) = f

20 Fórmula da Soma dos Graus A soma total dos graus de todos os nós de um grafo é sempre par d(v) = m v V (G) Prova por indução no número de arestas (m) B.I.: Suponha um grafo sem arcos. Todos os seus nós têm grau zero e portanto a soma geral dos graus dos nós é par (0) H.I.: Suponha que para todo grafo de m arestas a soma dos graus de todos os nós é par (m). P.I.: Suponha um grafo G de m + 1 arestas. Seja G um grafo igual a G exceto com menos uma aresta. Portanto G tem m arestas e pela H.I. tem como soma total dos graus de seus nós um número par (m). A inclusão da aresta removida faz com a soma dos graus seja incrementada de (cada nó incidente é incrementado de 1 grau), portanto a soma dos graus dos nós de G é um número par (m + = (m + 1)).

21 Lema do aperto de mãos (Handshaking lemma) O número de nós com grau ímpar em um grafo tem que ser par Prova por indução no número de arestas (m) B.I.: Suponha um grafo sem arestas, neste caso temos a soma dos graus de todos os nós sendo par. Como a quantidade de nós com grau ímpar é igual a zero. Então temos uma quantidade par de nós de grau ímpar. H.I.: Suponha um grafo com m arestas e um número par de nós com grau ímpar.

22 Lema do aperto de mãos (Handshaking lemma) P.I.: Seja G um grafo com m + 1 arestas. Seja G, o grafo resultante da retirada de uma aresta (v, w). Pela H.I., G tem um número par de nós com grau ímpar. Vamos analisar o grafo G, baseado nas seguintes situações dos nós v e w em G : 1 v e w têm grau ímpar v tem grau ímpar e w tem grau par v e w têm grau par

23 Lema do aperto de mãos (Handshaking lemma) A adição da aresta (v, w) em G pode resultar nas seguintes situações: 1 v e w têm grau ímpar em G A adição da aresta (v, w) faz com que v passe a ter grau par, assim como w. Como o número de nós de grau ímpar é par e como transformamos nós de grau ímpar em nós de grau par, G tem um número par de nós de grau ímpar. v tem grau ímpar e w tem grau par em G A adição da aresta (v, w) faz com que v passe a ter grau par e w passe a ter grau ímpar. Logo, G tem um número par de nós com grau ímpar. v e w têm grau par em G A adição da aresta (v, w) faz com que tanto v quanto w passem a ter grau ímpar. Como tínhamos em G um número par de nós de grau ímpar, e como aumentou em este número, temos que o número de nós de grau ímpar em G é par.

24 Exercício Seja G um grafo com ao menos dois nós. Prove que sim ou que não: Eliminando um nó de grau δ(g) não é possível reduzir o grau médio. Eliminando um nó de grau (G) não é possível aumentar o grau médio.

25 Exercício Eliminando um nó de grau δ(g) não é possível reduzir o grau médio.

26 Exercício Eliminando um nó de grau δ(g) não é possível reduzir o grau médio. v V (G) grau médio = d G = d(v) = m n n d G x = { v V (G) d(v)} d(x) m δ(g) = n 1 n 1

27 Exercício Eliminando um nó de grau δ(g) não é possível reduzir o grau médio. v V (G) grau médio = d G = d(v) = m n n d G x = { v V (G) d(v)} d(x) m δ(g) = n 1 n 1 Será possível reduzir o grau médio sse m δ(g) n 1 < m n, logo mn δ(g)n < mn m = δ(g)n > m = δ(g) > d G

28 Exercício Eliminando um nó de grau δ(g) não é possível reduzir o grau médio. v V (G) grau médio = d G = d(v) = m n n d G x = { v V (G) d(v)} d(x) m δ(g) = n 1 n 1 Será possível reduzir o grau médio sse m δ(g) n 1 < m n, logo mn δ(g)n < mn m = δ(g)n > m = δ(g) > d G É válido, logo a afirmação é falsa. 1 1

29 Exercício Eliminando um nó de grau (G) não é possível aumentar o grau médio.

30 Exercício Eliminando um nó de grau (G) não é possível aumentar o grau médio. v V (G) grau médio = d G = d(v) = m n n d G x = { v V (G) d(v)} d(x) m (G) = n 1 n 1

31 Exercício Eliminando um nó de grau (G) não é possível aumentar o grau médio. v V (G) grau médio = d G = d(v) = m n n d G x = { v V (G) d(v)} d(x) m (G) = n 1 n 1 Será possível aumentar o grau médio sse m (G) n 1 > m n, logo mn (G)n > mn m = (G)n < m = (G) < d G

32 Exercício Eliminando um nó de grau (G) não é possível aumentar o grau médio. v V (G) grau médio = d G = d(v) = m n n d G x = { v V (G) d(v)} d(x) m (G) = n 1 n 1 Será possível aumentar o grau médio sse m (G) n 1 > m n, logo mn (G)n > mn m = (G)n < m = (G) < d G Não é válido, logo a afirmação é verdadeira.

33 Passeio Um passeio (walk) entre os nós u e v é uma sequência alternada de nós e arestas que começa no nó u e termina no nó v e d c a b 4 f G 1 G Um exemplo de passeio entre os nós 1 e 4 do grafo G 1 é (1, (1, ),, (, ),, (1, ), 1, (1, 4), 4). Pode-se pensar que apenas a ordem dos nós é importante. Porém, podemos ter passeios diferentes com a mesma sequência de nós. Por exemplo, no grafo G existem os seguintes passeios entre os nós e 4: (, d,, a, 4), (, c,, a, 4)

34 Caminho Um caminho (path) é um passeio que não contém nós repetidos. Entre os nós 1 e 4 do grafo G 1 temos os seguintes caminhos (1,4),(1,,4),(1,,,4) G 1 O comprimento de um caminho entre os nós u e v é a quantidade de arestas presentes no caminho. Se existirem mais de um caminho de u a v, então o comprimento do caminho de u a v será igual ao menor comprimento dentre todos os caminhos de u a v.

35 Circuito e ciclo Um circuito (circuit) é um passeio fechado, ou seja, o nó de partida é igual ao nó de chegada. Um ciclo (cycle) é um caminho fechado, isto é, um passeio que contém exatamente dois nós iguais: o primeiro e o último. Ciclos de comprimento 1 são laços (loops). Uma característica interessante de um ciclo é que o número de arestas pertencentes a ele é igual ao número de nós.

36 Subgrafo O grafo H é um subgrafo de G, denotado por H G se V (H) V (G) e A(H) A(G) Se H G temos H G, ou seja, H é um subgrafo próprio de G. Um subgrafo gerador de G é um subgrafo H, com V (H) = V (G) G H 1 H subgrafo próprio subgrafo gerador

37 Exercício Sendo e uma aresta que aparece um número ímpar de vezes em um passeio fechado W. Prove que W possui um ciclo passando por e.

38 Exercício Sendo e uma aresta que aparece um número ímpar de vezes em um passeio fechado W. Prove que W possui um ciclo passando por e. Considerando e = (x, y), cada passagem por e corresponde a x, e, y ou y, e, x

39 Exercício Sendo e uma aresta que aparece um número ímpar de vezes em um passeio fechado W. Prove que W possui um ciclo passando por e. Considerando e = (x, y), cada passagem por e corresponde a x, e, y ou y, e, x Como o número de passagens por e é ímpar, ao menos duas passagens consecutivas se darão na mesma direção. Ex.: x, e, y,..., x, e, y

40 Exercício Sendo e uma aresta que aparece um número ímpar de vezes em um passeio fechado W. Prove que W possui um ciclo passando por e. Considerando e = (x, y), cada passagem por e corresponde a x, e, y ou y, e, x Como o número de passagens por e é ímpar, ao menos duas passagens consecutivas se darão na mesma direção. Ex.: x, e, y,..., x, e, y A porção de W entre as duas passagens é um caminho de y até x, sem passar por e. Portanto, adicionando e a este caminho, gera-se um ciclo.

41 Exercício W é um passeio fechado, de tamanho l no mínimo, que não contém um ciclo. Prove que alguma aresta de W é repetida em sequência.

42 Exercício W é um passeio fechado, de tamanho l no mínimo, que não contém um ciclo. Prove que alguma aresta de W é repetida em sequência. Prova por indução:

43 Exercício W é um passeio fechado, de tamanho l no mínimo, que não contém um ciclo. Prove que alguma aresta de W é repetida em sequência. Prova por indução: B.I.: l =. Como não contém ciclo, o passeio dá um passo e retorna pela mesma aresta. Ex: a-a

44 Exercício W é um passeio fechado, de tamanho l no mínimo, que não contém um ciclo. Prove que alguma aresta de W é repetida em sequência. Prova por indução: B.I.: l =. Como não contém ciclo, o passeio dá um passo e retorna pela mesma aresta. Ex: a-a H.I.: l >. W é um passeio fechado, com uma aresta repetida em sequência. Ex: a-b-c-...-i-i-...c-b-a

45 Exercício W é um passeio fechado, de tamanho l no mínimo, que não contém um ciclo. Prove que alguma aresta de W é repetida em sequência. Prova por indução: B.I.: l =. Como não contém ciclo, o passeio dá um passo e retorna pela mesma aresta. Ex: a-a H.I.: l >. W é um passeio fechado, com uma aresta repetida em sequência. Ex: a-b-c-...-i-i-...c-b-a P.I.: W é a porção de W descontando a repetição. Pela H.I., W também é um passeio fechado, com uma aresta repetida em sequência, caso contrário contém ciclo.

46 Teoria dos Grafos Introdução