MODELAGEM MATEMÁTICA E A CONTEXTUALIZAÇÃO DO ESTUDO DE GRAFOS E MATRIZES NO ENSINO MÉDIO

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA E A CONTEXTUALIZAÇÃO DO ESTUDO DE GRAFOS E MATRIZES NO ENSINO MÉDIO RESUMO Maria Eliana Barreto Druzian Dr. MarcioViolante Ferreira Este trabalho aborda a teoria de grafos e pretende estender a outros professores, e alunos, embora a um nível elementar, aspectos da teoria de grafos como modelo para tentar resolver alguns problemas reais, utilizando-se de matrizes. Os grafos podem ser utilizados para modelar uma variedade de estruturas e relações, tendo assim várias aplicações objetivas. Apesar da idéia de grafos parecer muito simples, uma quantidade surpreendente de situações podem ser resolvidas utilizando-se grafos como modelo, como por exemplo: limpeza das ruas de um bairro, patrulhamento, distribuição postal, rotas comerciais, planos de férias, representação computacional, mapas de companhias aéreas, redes de transporte, etc. A maior vantagem dos grafos é efetivada através de sua representação visual de informações. E para o armazenamento e manipulação de grafos por um computador as informações deverão ser representadas por matrizes. É importante saber que a elaboração de um modelo depende do conhecimento matemático que se tem. Se o conhecimento matemático restringe-se a uma matemática elementar, como aritmética ou medidas, o modelo pode ficar delimitado a esses conceitos. Tanto maior o conhecimento matemático, maiores serão as possibilidades de resolver questões que exijam uma matemática mais sofisticada. Porém, o valor do modelo não está restrito à sofisticação matemática. Para atender a todas essas necessidades é preciso começar a pensar em como pode dar-se a contextualização de todo o conhecimento. Este trabalho propõe contextualizar o estudo dos grafos e a utilização de matrizes, na resolução de problemas. PALAVRAS-CHAVE: Grafos; matriz; modelagem; resolução de problemas. INTRODUÇÃO Pretende-se apresentar a teoria de grafos, porém num nível mais simples e exemplificado através de modelos reais. Segundo o Prof. Jonei Cerqueira Barbosa, da Universidade Jorge Amado-Salvador, a matemática pode servir como poder para alguém agindo como um instrumento de controle social, pois afinal, os números governam o mundo, decisões são tomadas a partir de fórmulas, de cálculos, de estatísticas, planejamentos de governo são decididos através da matemática, decisões estas que afetam as vidas de todos aqueles que a elas se submetem. De acordo com Bassanezi (99), que se utiliza desta modalidade, o uso da modelagem conduz para o ensino de conteúdos matemáticos conectados com outras formas de conhecimento. A partir disso, obtemos duas decorrências aqui assinaladas: a Modelagem pode suscitar motivações para introdução de novas idéias e conceitos matemáticos, e; o conhecimento explorado é de natureza interdisciplinar, permitindo a compreensão da realidade vivida. Mestranda de Matemática do Centro Universitário Franciscano UNIFRA. Professor do Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática - UNIFRA

2 O processo de modelagem matemática de um recorte da realidade, tal como é descrito em Bassanezzi (), Biembengut (999) entre outros, quando usado em sala de aula, tem se revelado um método de ensino multidisciplinar e integrador de conteúdos da própria matemática. Essas características tornam a modelagem atraente, como estratégia de ensino que proporciona vínculos da matemática escolar com a realidade. Conceitos básicos de Teoria dos Grafos O grafo propriamente dito é uma representação gráfica das relações existentes entre elementos de dados. Ele pode ser representado como um conjunto de pontos (vértices) ligados por retas (as arestas). Dependendo da aplicação, as arestas podem ser direcionadas, e são representadas por "setas". Um laço (loop) num grafo ou num dígrafo é uma aresta e em E cujas terminações estão no mesmo vértice. Um dígrafo ou grafo é chamado simples se não tem laços e existe no máximo uma aresta entre quaisquer dois vértices. 7 5 Exemplo de Grafo O grafo de exemplo exibido à direita é um grafo simples com o conjunto de vértices V = {,,,, 5,, 7} e um conjunto de arestas E = { {,}, {,5}, {,}, {,}, {,}, {, }, {, }, {,7}, {5,} }. Uma aresta conecta dois vértices; esses dois vértices são ditos como incidentes à aresta. A valência (ou grau) de um vértice é o número de arestas incidentes a ele, com loops contados duas vezes. No grafo de exemplo os vértices, e 5 possuem uma valência de, o vértice têm a valência de, os vértices e têm valência e o vértice 7 tem a valência de. Se E é finito, então a valência total dos vértices é o dobro do número de arestas. Em um dígrafo, distingue-se o grau de saída (o número de arestas saindo de um vértice) e o grau de entrada (o número de arestas entrando em um vértice). O grau de um vértice é igual à soma dos graus de saída e de entrada. Dois vértices são considerados adjacentes se uma aresta existe entre eles. No grafo acima, os vértices e são adjacentes, mas os vértices e 5 não são. O conjunto de vizinhos de um vértice consiste de todos os vértices adjacentes a ele. No grafo-exemplo, o vértice possui vizinhos: vértice e vértice 5. Para um grafo simples, o número de vizinhos de um vértice é igual à sua valência.

3 Na computação, um grafo finito direcionado ou não-direcionado (com, digamos, n vértices) é geralmente representado por sua matriz de adjacência: uma matriz n-por-n cujo valor na linha i e coluna j fornece o número de arestas do i-ésimo ao j-ésimo vértices. Um caminho é uma sequência de vértices tal que de cada um dos vértices existe uma aresta para o vértice seguinte. Um caminho é chamado simples se nenhum dos vértices no caminho se repete. O comprimento do caminho é o número de arestas que o caminho usa, contando-se arestas múltiplas múltiplas vezes. O custo de um caminho num grafo balanceado é a soma dos custos das arestas atravessadas. Dois caminhos são independentes se não tiverem nenhum vértice em comum, excepto o primeiro e o último. No grafo de exemplo, (,, 5,,, ) é um caminho com comprimento 5, e (5,, ) é um caminho simples de comprimento. Se for possível estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice de um grafo, diz-se que o grafo é conexo. Se for sempre possível estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice mesmo depois de remover k- vértices, então diz-se que o grafo está k-conexo. Note que um grafo está k-conexo se e só se contém k caminhos independentes entre qualquer par de vértices. O grafo de exemplo acima é conexo (e portanto -conexo), mas não é -conexo. Um ciclo (ou circuito) é um caminho que começa e acaba com o mesmo vértice. Ciclos de comprimento são laços. No grafo de exemplo, (,,,, 5,, ) é um ciclo de comprimento. Um ciclo simples é um ciclo que tem um comprimento pelo menos de e no qual o vértice inicial só aparece mais uma vez, como vértice final, e os outros vértices aparecem só uma vez. No grafo acima, (, 5,, ) é um ciclo simples. Um grafo chama-se acíclico se não contém ciclos simples. Um ponto de articulação é um vértice cuja remoção desliga um grafo. Uma ponte é uma aresta cuja remoção desliga um grafo. Um componente biconectado é um conjunto máximo de arestas tal que qualquer par de arestas do conjunto fazem parte de um ciclo simples comum. O contorno de um grafo é o comprimento do ciclo simples mais curto no grafo. O contorno de um grafo acíclico é, por definição, infinito. Uma árvore é um grafo simples acíclico e conexo. Às vezes, um vértice da árvore é distinto e chamado de raiz. Árvores são comumente usadas como estruturas de dados em informática (veja estrutura de dados em árvore). Uma floresta teoria_dos_grafos é um conjunto de árvores; equivalentemente a uma floresta, em algum grafo acíclico. Um subgrafo de um grafo G é um grafo cujo conjunto dos vértices é um subconjunto do conjunto de vértices G, cujo conjunto de arestas é um subconjunto do conjunto de arestas de G, e cuja função w é uma restrição da função de G. Um grafo parcial de um grafo G é um subgrafo com o mesmo conjunto de vértices que G. Uma árvore parcial é um grafo parcial que é árvore. Todo grafo tem pelo menos uma árvore parcial. Um grafo completo é o grafo simples em que, para cada vértice do grafo, existe uma aresta conectando este vértice a cada um dos demais.. O grafo do exemplo não é completo. O grafo completo de n vertices é frequentemente denotado por K n. Ele tem n(n-)/ arestas (correspondendo a todas as possíveis escolhas de pares de vértices). Um grafo planar é aquele que pode ser representado em um plano sem qualquer interseção entre arestas. O grafo do exemplo é planar; o grafo completo de n vertices, para n>, não é planar. Um caminho euleriano em um grafo é o caminho que usa cada aresta exatamente uma vez. Se tal caminho existir, o grafo é chamado traversável. Um ciclo euleriano é um ciclo que usa cada aresta exatamente uma vez. Existe um conceito paralelo: um caminho hamiltoniano em um grafo é o caminho que visita cada vertex uma só vez; e um ciclo

4 hamiltoniano é um ciclo que visita cada vértice uma só vez. O grafo do exemplo não contém um caminho euleriano, mas contém um caminho hamiltoniano. Enquanto determinar se um dado grafo contém um caminho ou ciclo euleriano é trivial, o mesmo problema para caminhos e ciclos hamiltonianos é extremamente árduo. O grafo nulo é o grafo cujos conjuntos de vértices e de arestas são vazios. Um conjunto independente em um grafo é um conjunto de vértices não adjacentes entre si. No exemplo acima, os vértices, e formam um conjunto independente e, 5 e formam outro conjunto independente. Modelando uma situação para aplicação de grafos: Normalmente os grafos contêm informações de identificação, como, por exemplo, os nomes das cidades no mapa das rotas da companhia aérea. Neste caso temos um grafo rotulado. Para a situação que apresentaremos a seguir desejamos usar um grafo ponderado, onde cada aresta tenha um valor numérico. Vamos imaginar que dos aeroportos de quatro cidades partem vôos diários. No esquema abaixo, (), (), () e () representam essas cidades e as linhas, os vôos existentes entre elas. Podemos associar a essa situação uma matriz A = [a ij ] x, que estabelece se há ou não vôo direto entre as cidades, de modo que: Se as cidades possuem ligações entre elas, ou seja, se há vôo direto entre uma e outra, definimos a ij = ; Se as cidades não se ligam diretamente, o que, na situação descrita, significa que não há vôo direto entre elas, consideramos a ij = ; Como todo vértice se liga a ele mesmo, por convenção adotamos para esses casos a ij =. Neste exemplo, para montar a matriz adjacente ao grafo em questão devemos combinar os pontos dois a dois, incluindo a combinação de cada ponto com ele mesmo. Seja A a matriz de adjacência do grafo: A = Analisando a matriz, temos que: a, a, a e a, são iguais a, pois convencionamos assim pelo fato de os pontos,, e estarem ligados a si mesmos;

5 5 a, a, a, a, a, a, a e a são iguais a porque representam pontos ligados entre si; a, a, a e a são iguais a zero porque representam pontos que não estão diretamente ligados entre si. A princípio o desenho pode parecer mais simples que a matriz, mas pense no que aconteceria se tivéssemos ou mesmo cidades. No mapa abaixo, temos rotas aéreas entre cidades, este é um exemplo onde se pode mostrar essa situação por meio de um grafo e armazenar informações deste, através da matriz de adjacência. Voltando ao problema inicial, queremos agora ver se existe um trajeto que ligue os vértices i e j do grafo com os vértices, inicialmente vamos calcular A : = Logo A = Qual seria o significado da matriz A = A.A? A entrada c ii, em A define o grau (número de arestas que são incidentes ao nó) do vértice i.

6 Podemos afirmar, que: A matriz A representa o número de caminhos disponíveis para ir de uma cidade i até outra j, passando por uma única cidade. Qual o significado das matrizes A + A + A? Portanto a matriz de caminhos que vamos chamar de P, obtemos fazendo pij =, sempre que houver uma entrada positiva em M, assim temos: Para encontrar um trajeto que ligue os vértices i e j num grafo com n vértices, devemos observar as n- primeiras potências da matriz de adjacências. Se alguma dessas potências, na entrada i com a coluna j, um valor diferente de zero, então podemos concluir que existe um trajeto entre esses dois vértices. Se pelo contrário ocorrer zero numa dada entrada em todas as n- potências de A concluímos que não existe nenhum trajeto entre esses dois vértices. Assim a matriz P mostra que existe caminho entre todos os vértices. M = = = P

7 7 CONCLUSÃO A dimensão pedagógica adotada neste trabalho está focada em desenvolver no aluno a capacidade de aprender a aprender, por meio do trabalho permanente sobre temas multidisciplinares, incentivando a pesquisa e a busca de soluções inovadoras. A utilização da teoria de grafos colaborou no entendimento da aplicação desta em situações reais que podem ser modeladas e resolvidas. Grafos são uma fonte inesgotável de problemas com enunciado simples, mas que escondem, muitas vezes, uma sofisticada estrutura matemática. A modelagem sobre as conexões possíveis de ir de uma cidade para outra, exposta neste trabalho, é um bom exemplo de aplicação da matemática e mostra que o aprendizado de matemática pode ir além do simples lápis e papel. O exercício de identificar e entender um problema, propor modelos, discutir métodos matemáticos de solução e sua validação são procedimentos fundamentais para a formação de qualquer profissional que use o conhecimento científico como ferramenta de trabalho. Assim, nota-se que a Modelagem Matemática proporciona todos esses procedimentos. Portanto, a matemática pode ajudar na formação do cidadão intelectualmente contextualizado no mundo globalizado.

8 8 REFERÊNCIAS BLIOGRÁFICAS BARBOSA, Jonêi Cerqueira. O que pensam os professores sobre a modelagem matemática? Zetetiké,v.7,n.,p.7-85,999. BASSANEZI, R. Modelagem Matemática. Dynamis, Blumenau, v., n. 7, p. 55/8, abr./jun. 99. BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto,. BIEMBENGUT, M.S. Modelagem Matemática & Implicações no ensino-aprendizagem de Matemática. Blumenau, Ed. da FURB, 999. Disponível em: Acesso em: abril. Disponível em: Acesso em: abril..