Teoria dos Grafos Aula 7 - Conceitos Básicos

Transcrição

1 Teoria dos Grafos Aula 7 - Conceitos Básicos Profª. Alessandra Martins Coelho março/2013

2 Distância entre vértices Caminho de menor comprimento capaz de ligar 2 vértces.

3 Índice de Wiener Uma das mais tradicionais aplicações da teoria de grafos no campo da química Soma das distâncias entre todos os pares de vértices, dividido por 2.

4 Índice de Wiener Soma das distâncias entre todos os pares de vértices, dividido por 2. Em (1) = 14 Em (2) = 33 Em (3) = 53

5 Grafo ciclo Um Grafo C n é um grafo com n vértices formado por apenas um ciclo passando por todos os vértices.

6 Excentricidade ou afastamento Ex(v) Ex(v) de um vértice v pertencente a N é a maior distância entre v e w, para todo w pertencente a N. Ela pode ser pensada como o quanto um nó é distante do nó mais distante dele no grafo.

7 Excentricidade ou afastamento Ex(v) Qual a excentricidade de cada vértice?. Vértice Excentricidade

8 Raio de G Rad(G) É o menor valor de excentricidade para todo vértice v pertencente a N. Menor dos afastamentos

9 Diâmetro de G - Diam(G) É o maior valor de excentricidade para todo vértice v pertencente a N. Maior distância entre qualquer par de vértices. Para achar o diâmetro de um grafo, primeiro encontre o caminho mínimo entre cada par de vértices. O maior comprimento de qualquer um desses caminhos é o diâmetro do grafo.

10 Centro de G Centro(G) É o subconjunto dos vértices de menor excentricidade. Conjunto de vértices nessas condições

11 Centro de G Centro(G) Vértice Excentricidade

12 Centro de G Centro(G). Vértice Excentricidade

13 Mediana ou Centróide É um vértice para o qual a soma das distâncias aos demais vértices é mínima em relação a V. Existem problemas que tem como solução uma única mediana (um único vértice), chamada de 1-mediana.

14 Mediana ou Centróide No município de Rio Pomba, um restaurante ficou responsável para fazer a entrega do almoço aos funcionários de algumas empresas. A justificativa para tal atitude é que nessas empresas, muitos funcionários tem um curto espaço de tempo para o horário do almoço, pois fazem um horário diferenciado, tornando-se inviável que se desloquem das fábricas para fazer sua refeição. Sendo assim, o restaurante deve fazer a entrega dos almoços a cinco empresas, que estão distribuídas como na figura. O veiculo que faz a entrega é pequeno, tendo o motorista que ir e voltar a cada entrega para reabastecer o veículo. O gerente do negócio, preocupado com os gastos, deseja descobrir qual é o melhor local para se instalar. Vamos admitir que a instalação do restaurante possa ser feita em qualquer um destes pontos ou muito próximos a eles, de forma que a soma das distâncias percorridas para fazer as entregas dos almoços seja a menor possível.

15 Mediana ou Centróide Solução: obter a matriz das distâncias mínimas do grafo. fazer a soma de todas as linhas, e verificar em qual delas ocorre a menor soma, se este valor mínimo ocorre na linha i então este será o ponto onde podemos instalar o negócio, com a melhor opção de forma a minimizar a soma dos caminhos.

16 Solução: Mediana ou Centróide

17 Mediana ou Centróide Problema 2 Considere-se o grafo abaixo, que representa uma área urbanizada de uma cidade, onde se deseja instalar uma facility. Uma comissão estuda o melhor local para instalar um deposito de mercadorias, a fim de abastecer diversos clientes, de forma que a distância percorrida para atende-los seja a menor possível. Já que os meios de transporte são de pequeno porte, para cada entrega o veículo sai do depósito, descarrega e retorna para reabastecer. Os vértices a, b, c, d e e representam os clientes, ou seja, pontos onde demandas de serviços são geradas diariamente e são indicadas através dos valores entre parênteses próximos aos vértices de onde são originados. O comprimento dos vários segmentos são indicados em km, representando a distância de uma localidade a outra. Onde deveria estar localizado este depósito de mercadorias, para minimizar a média da soma das distâncias?

18 Mediana ou Centróide Solução: construir a matriz dos caminhos mínimos entre todos os pares de vértices. Esta matriz esta apresentada a seguir. Com a matriz já montada, devemos multiplicar cada coluna pelo peso do vértice j, e ainda fazer a soma de todas as linhas. O resultado destas operações pode ser observado na matriz D (1).

19 Mediana ou Centróide Solução: construir a matriz dos caminhos mínimos entre todos os pares de vértices. Esta matriz esta apresentada a seguir.

20 Mediana ou Centróide

21 Anticentro É um vértice cuja menor distância em relação a algum outro vértice é máxima

22 Corte É uma operação que, através da remoção de vértices ou da remoção de arestas, resulta no aumento do número de componentes conexas de G. Alguns autores associam o conceito de corte somente à remoção de arestas

23 Corte em Vértices O conjunto minimal de vértices cuja remoção torna G desconexo e composto por duas componentes conexas

24 Corte em Arestas Conjunto minimal de arestas cuja remoção torna G desconexo e composto por duas componentes conexas

25 Matriz de corte É a matriz obtida pelas condições: q ij = 1 se a aresta j pertence ao corte i e q ij =0 caso contrário.

26 Matriz de Cortes Fundamentais Dado um subgrafo gerador conexo e acíclio de G, isto é, uma árvore geradora T de G, um corte fundamental em G é aquele que remove apenas uma aresta de T.

27 Bloco É um subgrafo 2-conexo maximal ou um subgrafo maximal formado por uma aresta. Um subgrafo de G é um bloco quando: For não separável não pode ser tornado desconexo pela eliminação de um vértice; For maximal em G.

28 Rank de um grafo - r O rank ou posto de um grafo G com n vértices e c componentes conexas é dado por r = n-c

29 Nulidade de um Grafo - r Nulidade L de um grafo G com m arestas, n vértices e c componentes conexas, é definida como: L=m-n+c-m-r

30 Número ciclomático O número ciclomático ou rank de ciclos é o menor número de arestas que devem ser removidas de G para que o mesmo não apresente ciclos. γ=m-n+1

31 Grafo bipartido Um grafo G é bipartido quando seu conjunto de vértices N pode ser dividido em dois conjunto N1 e N2, tais que N1 N2 = e N1 N2 = N e somente existem arestas em G ligando algum vértice de N1 com algum vértice de N2 e vice-versa

32 Grafos 3-partidos

33 Grafo Completo - Kn Um Grafo G é completo se existe uma aresta associada a cada par de vértices de G. No caso orientado isso significa a existência de um arco para cada par ordenado de vértices.

34 Grafo Bipartido Completo Kp,q Cada vértice do conjunto N1, com p vértices é adjacente a todos os q vértices do conjunto N2 e vice-versa.

35 Grafo Clique É um subgrafo completo de G

36 Grafo Torneio Um grafo é dito torneio quando cada par de vértices em G é ligado exatamente por um arco (um grafo completo e direcionado).

37 Grafo regular Todos vértices possuem o mesmo grau

38 Cruzamento de arestas Cross(G) É o menor número de cruzamentos de arestas possíveis no traçado de um grafo G.

39 Isomorfismo Os grafos G1 e G2 são ditos isomorfos se é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices e arestas, bem como entre suas relações vértices versus arestas. Dois grafos são isomorfos se existe uma função unívoca f:n1 N2 tal que (i,j) é elemento de M1 sss (f(i),(f(j)) é elemento de M2.

40 Grafos Isomorfos Dois grafos são isomorfos se existe uma função unívoca f:n1 N2 tal que (i,j) é elemento de M1 sss (f(i),(f(j)) é elemento de M2.

41 Homeomorfismo Inserção de vértices operação que permite adicionar um vértice em qualquer aresta de G, criando consequentemente duas novas arestas em G. Fusão de arestas operação que permite suprimir um vértice e G se d(v) 2, eliminando-se as arestas que incidem sobre v suprimindo-o e criando uma nova aresta que liga os vértices que se encontravam originalmente conectados ao vértice v eliminado.

42 Grafo Homeomorfo Dois grafos são homeomorfos se são isomorfos ou podem ser feitos isomorfos por aplicações repetidas de operações de inserção de vértices ou fusão de arestas.

43 Grafo Minor Gafo minor ou menor é um grafo que pode ser obtido por uma sequência finita de contrações de arestas de G

44 Grafo dual Um grafo e dito dual de um grafo planar G quando é obtido de G pela seguinte operação: 1 atribuir um vértice a cada região do grafo planar, incluindo a região externa. 2 se duas regiões possuem uma aresta em comum (aresta e), ligar o nó interior a cada região por uma aresta s que cruze a aresta e.

45 Grafo complementar Contém as ligações (arestas) que não estão em G

46 Operação de Adição de Arestas (join)

47 Operação de União Total de Grafos Pode resultar em multigrafos

48 Produto Cartesiano de Grafos