5 o Roteiro de Atividades: reforço da terceira parte do curso de Cálculo II Instituto de Astronomia e Geofísica

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1 5 o Roteiro de Atividades: reforço da terceira parte do curso de Cálculo II Instituto de Astronomia e Geofísica Pesquisa, Atividades e Exercícios: Polinômio de Taylor para funções de duas variáveis. Classificação dos pontos críticos. Máximos e mínimos locais. Máximos e mínimos em conjunto compacto. Multiplicadores de Lagrange Objetivo do Roteiro 1 Polinômio de Taylor para funções de duas variáveis 1.1 Pesquisar Fazer um resumo e/ou pesquisar o teorema que define os polinômios de Taylor de ordem 2 e de ordem Aplicação dos conceitos 1. Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções dadas, nos respectivos pontos. 1. f(x,y) = x 2 + (y 1) 2 em (x 0,y 0 ); 2. f(x,y) = x 2 y 3 (6 x y) em (2,3); 3. f(x,y) = (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2) em (0,0); 2. Obtenha o polinômio de Taylor de segunda ordem de f(x,y) = e (x y) sen(y x) em torno de (0,0). 3. Obtenha o polinômio de Taylor de primeira ordem P 1 (x,y) e segunda ordem P 2 (x,y) de f(x,y) = xe y em torno de (0,0). Avali-os e f(x,y) em (0,9,0,1). Faça os gráficos de P 1 (x,y), P 2 (x,y) e f(x,y). 1

2 1.3 Exercícios de consolidação 1. Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções dadas em (x 0,y 0 ). 1. f(x,y) = sin(x)sin(y)sin(x + y), para 0 x π e 0 y π, em ( π 3, π 3) ; 2. f(x,y) = x 2y + ln ( ( y x 2 +y 2 ) + arctg, para x 0, em (1,1); x) 3. f(x,y) = (5x + 7y 25)e (x2 +xy+y 2), em ( 1 26, 3 ) ; Obtenha o polinômio de Taylor de primeira ordem P 1 (x,y) e segunda ordem P 2 (x,y) de f(x,y) = e (x2 y 2) em torno de (0,0). Faça os gráficos de P 1 (x,y), P 2 (x,y) e f(x,y). 2 Máximos e mínimos 2.1 Pesquisar Fazer um resumo sobre 1. definição e classificação dos pontos extremos; 2. condições necessárias para um ponto ser extremo; 3. condição suficiente para umponto ser extremo: teste da segunda derivada; 4. pontos extremos em conjuntos compactos 2.2 Aplicação dos conceitos 1. Determine e classifique os pontos críticos das funções do exercício 1 da seção 1,2. Respostas: 1. (0, 1) ponto de mínimo absoluto; 2. (0,6) e (x,0) pontos de sela para todo x; (0,y) pontos de mínimo relativo para todo 0 < y < 6; (2,3) e (0,y) pontos de máximo relativo para todo y < 0 e y > 6; 3. (0,0) ponto de mínimo absoluto; (x,y) pontos de máximo absoluto para x 2 +y 2 = 1; 2

3 2. Determine e classifique os pontos críticos da função f(x,y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 Usando um computador faça um esboço (como abaixo) do gráfico desta função. Localize os pontos críticos da f no mapa de contorno abaixo. 3. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 1m 3 de volume. O material utilizado na confecção do fundo custa o dobro que será utilizado nas laterais. Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material. Resposta: Cubo de aresta 1m 4. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 100cm 2 de papelão. Determine as dimensões da caixa que maximizam o volume da caixa. Resposta: Cubo de aresta cm 5. Para as funções de uma variável, é impossível para uma função contínua ter dois pontos de máximo local e nenhum de mínimo local. Para funções de duas variáveis tais funções existem. Mostre que a função f(x,y) = (x 2 1) 2 (x 2 y x 1) 2 tem somente dois pontos críticos, ambos de máximo local. Utilize um computador para visualizar o gráfico desta função. 6. Se uma função de uma variável é contínua em um intervalo e tem apenas um ponto crítico, então, se este for um máximo (ou mínimo) local, obrigatoriamente será um pon 3

4 to de máximo (ou mínimo) global. Isto, porém, não será verdade para funções de duas variáveis. Mostre que a função f(x,y) = 3xe y x 3 e 3y tem exatamente um ponto crítico que é um máximo local mas que não é um máximo global. Utilize um computador para visualizar o gráfico desta função. 7. Determine osvaloresdemáximo eminimo absolutos da função no retângulo f(x,y) = x 2 5xy + 2y D = {(x,y)/0 x 3, 0 y 2}. 2.3 Exercícios de consolidação 1. Determine a menor distância entre o ponto (1,0, 2) e o plano x+2y +z = Determine e classifique os pontos críticos das funções do exercício 1 da seção 1,2. Respostas: 1. (π/3, π/3) ponto de máximo absoluto; (2π/3, 2π/3) ponto de mínimo absoluto; (0, 0) ponto de mínimo relativo; (π,π) ponto de máximo relativo; (0,π) e (π,0) pontos de sela; 2. (1,1) ponto de sela; 3. ( 1/26, 1/26) ponto de mínimo absoluto; (1.3) ponto de máximo absoluto; 3. Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO), e AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é P(p,q,r) = 2pq + 2pr + 2rq, onde p, q e r são as proporções de sangue tipo A, B e O na população. Usar o fato que p+q +r = 1 para mostrar que é no máximo 2/3. 4

5 4. Suponha que um cientista tenha razão para acreditar que duas quantidades x e y sejam, pelo menos aproximadamente, linearmente relacionadas, ou seja, para algum valor de a e b. O cientista realiza um experimento e coleta os dados na forma de pontos (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ), que são colocados num gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer encontrar as constante a ebpara que a reta y = ax+b se ajuste aos pontos da melhor forma possível. y = ax + b, Seja d i = y i (ax i + b) o desvio vertical do ponto (x 1,y 1 ) da reta. O método dos mínimos quadrados determina a e b de modo a minimizar d 2 i = (y i (ax i + b)) 2, a soma dos quadrados dos desvios. Mostrar que, segundo este método, a reta que melhor se ajusta aos é pontos obtida quando m m x i + bn = x 2 i + b x i = y i, x i y i. Assim, a reta é determinada resolvendo esse sistema linear de duas incognitas, a e b. (Veja aplicações do método dos mínimos quadrados.) 5

6 3 Multiplicadores de Lagrange 3.1 Pesquisar Fazer um resumo e/ou pesquisar 1. teorema que define procedimento para localizar extremantes de uma função f(x, y) condicionados uma restrição definida por uma segunda função g(x,y) = k; 2. generalização deste procedimento para o caso dos extremantes da função f(x, y, z) estarem condicionados por restrições definidas por funções g(x,y,z) = k e h(x,y,z) = c; 3.2 Aplicação dos conceitos 1. Determine o valor máximo da função f(x,y,z) = x+2y+3z, na curva obtida pela intersecção do plano x y + z = 1 com o cilíndro x 2 +y 2 = PARTÍCULA DENTRO DE UMA CAIXA: Como exemplo da utilização de multiplicadores de Lagrange, considere o problema da Mecãnica Quântica de uma partícula (massa m) dentro de uma caixa. A caixa é um paralelepípedo retangular com lados a, b e c. A energia do estado fundamental da partícula é dada por ( E = 2 1 8m a b + 1 ) 2 c 2 Procuramos o formato da caixa que minimizará a energia E, sujeito à restrição de que o volume seja constante, V(a,b,c) = abc = k. 6.

7 Dica: Usar f(a,b,c) = E(a,b,c) e ϕ(a,b,c) = abc k = 0 Resposta: A solução é a = b = c (cubo). 3. REATOR NUCLEAR CILÍNDRICO: Um outro exemplo é dado pela teoria do reator nuclear. Suponha que um reator nuclear (térmico) deva o ter a forma de um cilindro circular de raio R e altura H. A teoria da difusão de nêutrons fornece uma restrição: ( ) 2 2,4048 ( π ) 2 ϕ(r,h) = + = const. R H Queremos minimizar o volume do vaso do reator, f(r,h) = πr 2 H. Resposta: A solução é H = 1,847R. 3.3 Exercícios de consolidação 1. A energia de estado fundamental de uma partícula quântica de massa m dentro de uma pastilha (cilindro circular reto) é dada por ( ) E = 2 (2,4048) 2 + π2, 2m R 2 H 2 na qual R é o raio e H a altura da caixa. Ache a razão entre R e H que minimizará a energia para um volume fixo. 2. Ache a razão entre R (raio) e H (altura) que minimizará a área da superfície total de um cilindro circular reto de volume fixo. 3. Um reator nuclear térmico está sujeito à restrição ( π ) 2 ( π ) 2 ( π ) 2 ϕ(a,b,c) = + + = B 2, uma constante. a b c Ache as razões entre os lados de um reator na forma de um paralelepípedo regular de volume mínimo. Resposta: a = b = c, cubo. 4. Para uma lente de comprimento focal f, a distância do objeto p e a distância da imagem q estão relacionadas por 1 p + 1 q = 1 f. Ache a mínima distância objeto-imagem (p + q) para f fixo. Admita objeto e imagem reais (p e q positivas). 7

8 5. Dada uma elipse ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1, ache o retãngulo inscrito de área máxima. Mostre que a razão entre a área do retângulo de área máxima e a área da elipse é 2/π = 0, Um paralelepípedo retangular está inscrito em um elipsóide com semi-eixos a, b e c. Maximize o volume do paralelepípedo retangular inscrito. Mostre que a razão entre o máximo volume e o volume do elipsóide é 2/π 3 = 0, Um pentágono é formado colocando-se um triângulo isósceles sobre um retângulo. Se o pentágono tem perímetro fixo l, determine os comprimentos dos lados do pentágono que maximizam sua área. Resposta: Comprimentos: l(2 3), l(3 3)/6 e l(2 3 3)/3. 8. Determine o valor de máximo e mínimo das funções nos respectivos conjuntos. 1. f(x,y) = xy(1 x 2 y 2 ) em A = {(x,y)/ 1 x 1 e 1 y 1}; Resposta: Máximo absoluto valendo 1 nos pontos (1, 1) e ( 1, 1); Mínimo absoluto valendo 1 nos pontos (1,1) e ( 1, 1). 2. f(x,y) = x 2 y 3 (6 x y) em A = {(x,y)/ 1 x 1 e 1 y 1}; 3. f(x,y) = x 2 y 2 em A = {(x,y)/x 2 + y 2 4}; Resposta: Máximo absoluto valendo 4 nos pontos (0, 2) e (0, 2); Mínimo absoluto valendo 4 nos pontos (0,2) e ( 2,0). Referências [1] Apostol, Tom M: Cálculo II, 2 a edição, Editorial Reverté, [2] Arfken, George & Weber, Hans: Física matemática: métodos matemáticos para engenharia e física, 6 a edição, Elsevier, [3] Guidorizzi, Hamilton: Um curso de Cálculo, Vol. 2, 5 a edição, Livros Técnicos e Científicos, [4] Stewart, James, Calculus: Cálculo, Vol. 2, 6 a edição, Thomson Learning Inc.,