Cálculo II (Primitivas e Integral)

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1 Cálculo II (Primitivas e Integral) Antônio Calixto de Souza Filho Escola de Artes, Ciências e Humanidades Universidade de São Paulo 5 de março de 2013

2 1 Aplicações de Integrais

3 subject Aplicações de Integrais 1 Aplicações de Integrais

4 Seja f uma função integrável. Dizemos que f é uma função normalizada em um intervalo I de extremos a < b, se b a f (x)dx = 1.

5 Exemplo A função f (x) = e x é normalizada no conjunto R +, pois, sendo F (x) = e x a primitiva de f, 0 e x dx = lim n e n ( e 0 ) = 1.

6 Exemplo A função f (x) = e x2 2π é normalizada no conjunto dos números reais, porque e x 2 dx = 2π. Não iremos verificar este resultado, pois precisamos de mais teoria para efetuar este cálculo.

7 Exemplo A função u(x) = x 2, no intervalo [ 1, 2] não é normalizada, pois 2 1 x 2 dx = 23 3 ( 1)3 3 = 3. Neste caso f (x) = x 2 3 é normalizada no intervalo [ 1, 2].

8 Definição Seja f uma função integrável em um intervalo I = [a, b]. A função U : I R, definida por U(x) = x a f (t)dt é definida por função integral de f. Por exemplo, se I =] 1, 1 2 ] e f (x) = 1 x + 4x 2 3, então U(x) = x 1 ( 1 t + t2 3)dt pode ser calculada com os seguintes passos: pelo TCF U(x) = F (x) F ( 1), F (x) = ln x + 4x 3 3 3x é uma primitiva de f. Calculamos F ( 1) = ln ( 1)3 3 3( 1) = = 5 3 e obtemos U(x) = ln x + 4x 3 3 3x 5 3, sendo 1 < x 1 2.

9 Se f é uma função positiva, então a função integral U(x) é crescente, mais que isso, U(x 0 ) representa a área entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [a, x 0 ]. A função U é contínua. A função U é uma primitiva da função f.

10 Se f é uma função positiva, então a função integral U(x) é crescente, mais que isso, U(x 0 ) representa a área entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [a, x 0 ]. A função U é contínua. A função U é uma primitiva da função f.

11 Se f é uma função positiva, então a função integral U(x) é crescente, mais que isso, U(x 0 ) representa a área entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [a, x 0 ]. A função U é contínua. A função U é uma primitiva da função f.

12 Exemplo 1 Se f (x) = 3x 2, a função integral U, no intervalo [ 3, 5] é U(x) = x , que é uma função crescente. 2x + 3 x [ 1, 1[ 2 [1, 2[ 2 Se f (x) =, que é uma 2x 3 x [2, 3[ 3x x + 7 x [3, 4] função não contínua. U de f no intervalo [ 1, 4] é x 2 + 3x + 4 x [ 1, 1[ 2x + 8 [1, 2[ U(x) = x 2 3x + 6 [2, 3[ x 3 + 5x 2 + 7x 33 x [3, 4]

13 Exercício 1 Represente graficamente as funções f e sua função integral. 1 se 1 < x < 1 Sendo f (x) = 2x 3 se 1 x < x 2 + 2x + 7 se 3 x < 6 2 Determine a função integral de f (x) = x 3 2x 1 no 2x + 3 x [ 1, 1[ 1 [1, 2[ intervalo ]0, 3[ Se f (x) = 2x 2, + 11x 13 x [2, 3[ 3 x [3, 4] que é uma função não contínua. Qual o valor de C e K para que U seja a função integral de f no intervalo [ 1, 4] é x 2 + 3x + 4 x [ 1, 1[ x + 7 [1, 2[ U(x) = 2 3 x x 13x + C x [2, 3[

14 Para o cálculo de integrais, há duas possibilidades. Ou se trata do cálculo de uma área sobre um intervalo ou se trata do cálculo de uma função integral. No primeiro caso, dizemos que a integral é definida, ou seja o intervalo está fixado e o resultado é um número real. No segundo caso, dizemos que a integral é indefinida, ou seja, o resultado é uma função.

15 Assim 2 1 (18x 2 4x + 1)dx é uma integral definida, enquanto que x 1 (18t2 4t + 1)dt é uma função. Como este último resultado é a função 6x 3 2x 2 + x + C e C fica determinada pelo limite inferior do intervalo, quando o intervalo inferior não for definido, teremos a função 6x 3 2x 2 + x + C, que é representada por (18x 2 4x + 1)dx uma integral indefinida.

16 Definição Seja f uma função com as seguintes propriedades: 1. f é positiva 2. f é normalizada no intervalo de extremos a < b F (x) = x a f (t)dt é denominada função de probabilidade. Por exemplo, vimos que a função f (x) = x 2 3 no intervalo [ 1, 2] é normalizada. Sendo f positiva, então F (x) = x é uma função de probabilidade no intervalo [ 1, 2].

17 A função de probabilidade traz uma série de definições no contexto do cálculo de probabilidades, assim, se F é uma função de probabilidade, o argumento x da função é denominado variável aleatória e a função f função densidade de probabilidade. Fixado um valor para x, por exemplo, x 0, a imagem F (x 0 ) representa a probabilidade de ocorrer o evento a x x 0. De acordo com a definição de f, sendo positiva, a função de probabilidade permite calcular a probabilidade de ocorre o evento m x n, que será F (n) F (m), este valor pode ser interpretado como uma composição de áreas e F (n) F (m) = n m f (x)dx.

18 No exemplo f (x) = x 2 3, caso x seja uma variável aleatória, podemos calcular a probabilidade de x ser positivo. Esta probabilidade será P(x > 0) = 2 0 x 2 3 dx = 8 9. Nessas condições, em geral podemos nos perguntar qual seria o valor esperado para x?

19 Seja f uma função densidade de probabilidade associada a variável aleatória x. O valor esperado para x é dado por: E(x) = b a xf (x)dx. No exemplo, f (x) = x 2 3, E(x) = 2 1 x x 2 3 dx = 2 1 x 3 3 dx = 1 12 (24 ( 1) 4 ) = 5 4

20 Uma outra informação útil que podemos obter é a variância de uma variável aleatória x, que é dada pela integral V (x) = b a (x E(x))2 f (x)dx. A interpretação de V (x) está relacionada a variação quadrática acumulada dos valores da variável aleatória x em relação a E(x). No exemplo, f (x) = x 2 3 no intervalo [ 1, 2], teremos V (x) = 2 1 (x 5 4 )2 x 2 3 dx