Estatística Matemática I

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1 Estatística Matemática I Roseli Aparecida Leandro e Clarice G.B. Demétrio Março de 2011 Depto. de Ciências Exatas, ESALQ/USP raleandr@esalq.usp.br 1

2 Variáveis aleatórias Sejam E um experimento e Ω = {ω 1,..., ω n } um espaço amostral a ele associado. Uma função X, que associe a cada elemento ω Ω um número real, X(ω), é denominada variável aleatória e tem valores em X = {x 1,..., x m }. Em muitos experimentos variáveis aleatórias são implicitamente utilizadas. Experimento Lançar dois dados Lançar uma moeda 25 vezes Aplicar diferentes doses de fertilizantes a plantas de milho Variável aleatória X = soma dos números X = número de caras X = produção/parcela 2

3 Variáveis aleatórias discretas Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X (isto é, de X ) for finito ou infinito enumerável, X é denominada variável aleatória discreta. Isso significa que os valores de X, podem ser dispostos em uma lista como x 1, x 2,.... No caso finito, a lista acaba, e no caso infinito enumerável, a lista continua indefinidamente. Observe que se X = {1, 5; 2, 5; 3, 5}, então, a variável aleatória correspondente será uma variável aleatória discreta. 3

4 A cada possível resultado x i X pode-se associar um número p(x i ) = P (X = x i ) = P {ω j Ω : X(ω j ) = x i }, denominado probabilidade de x i. Os números p(x i ), i = 1, 2,..., devem satisfazer às seguntes condições: (a) p(x i ) 0 para todo i, (b) i=1 p(x i ) = 1 A função p é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. A coleção de pares {(x i, p(x i )), i = 1, 2,...}, é denominada distribuição de probabilidades de X. 4

5 Variáveis aleatórias contínuas Diz-se que X é uma variável aleatória contínua, se X puder assumir qualquer valor no intervalo (c, d) (infinito não-numerável), sendo que c e d podem ser e. Se existir uma função f que satisfaça às seguintes condições: (a) f(x) 0 para todo x, (b) f(x)dx = 1 f será denominada função densidade de probabilidade (fdp) de X. Para quaisquer a, b, < a < b <, define-se: P (a X b) = b a f(x)dx. 5

6 Função de distribuição acumulada Seja X uma variável aleatória, discreta ou contínua. Define-se a funcão real de variável real F como a função de distribuição acumulada da variável aleatória X (abreviadamente indicada por fd) como F (x) = P (X x) = P {ω Ω : X(ω) x}. (a) Se X for uma variável aleatória discreta F (x) = j:x i x p(x i ) (b) Se X for uma variável aleatória contínua com fdp f, F (x) = x f(t)dt 6

7 Exemplo: Caso discreto Considere o experimento E: Lançar uma moeda 3 vezes. Defina a variável aleatória X: número de caras obtidas nos 3 lançamentos. Tem-se ω X(ω) (ca, ca, ca) 3 (ca, ca, co) 2 (ca, co, ca) 2 (co, ca, ca) 2 (ca, co, co) 1 (co, ca, co) 1 (co, co, ca) 1 (co, co, co) 0 7

8 O campo de variação da variável aleatória X é X = {0, 1, 2, 3}. Assumindo que os oito pontos do espaço amostral Ω têm a de ocorrência, a distribuição de pro- mesma probabilidade de 1 8 babilidades será: x 0 P X (x) Construa F. Faça seu gráfico. 8

9 Resultados A função F é não decrescente, isto é, se x 1 x 2 F (x 1 ) F (x 2 ). tem-se F é contínua à direita. lim x F (x) = 0 e lim x F (x) = 1 Seja F a fda de uma v.a.c., com fdp f. Então, f(x) = d F (x), para todo x no qual F seja derivável. dx Seja X uma v.a.d., com valores possíveis x 1, x 2,..., e suponhase que esses valores tenham sido indexados de modo que, x 1 < x 2 <.... Seja F a fda de X. Então, p(x j ) = P (X = x j ) = F (x j ) F (x j 1 ) 9

10 Exemplos: Caso contínuo i) Dada a função g(x) = 3 + 2x, para 2 < x < 4, determinar k tal que f(x) = kg(x) seja uma função densidade. Determinar P (2 < x < 3). ii) Seja a fda de uma v.a. X dada por F X = e x. a) Mostre que F X é, realmente, uma fda. Faça seu gráfico. b) Obtenha a função densidade de X. Faça seu gráfico. 10

11 Distribuições Bivariadas Em muitos experimentos podemos estar interessados em dois ou mais característicos numéricos simultaneamente. Por exemplo, a dureza H e a tensão de ruptura de uma peça manufaturada de aço poderíamos, nesse caso, considerar (h, t) como resultado experimental. Poderíamos estudar a estatura X e o peso Y de alguma pessoa escolhida ao acaso o que forneceria o resultado (x, y). Sejam E um experimento e Ω um espaço amostral associado a E. Sejam X = X(ω) e Y (ω) duas funções, cada uma associando um número real a cada resultado ω Ω. Denominaremos (X, Y ) uma variável aleatória bidimensional (algumas vezes chamada vetor aleatório). 11

12 Se X 1 = X 1 (ω), X 2 = X 2 (ω),..., X n = X n (ω) forem n funções, cada uma associando um número real a cada resultado elementar ω ω, denominaremos (X 1, X 2,..., X n ) uma variável aleatória n- dimensional (ou um vetor aleatório n-dimensional). (X, Y ) será uma variável aleatória discreta bidimensional se os valores possíveis de (X, Y ) forem finitos ou infinitos enumeráveis. Isto é, se os valores possíveis de (X, Y ) puderem ser representados por (x i, y j ), i = 1, 2,... ; j = 1, 2,.... (X, Y ) será uma variável aleatória contínua bidimensional se X e Y puder assumir todos os valores em algum conjunto nãoenumerável do plano real. Observe que, podemos ter, também, os casos mistos : X discreta e Y contínua e/ou vice-versa. 12

13 Função de probabilidade conjunta: caso discreto Seja (X, Y ) uma variável aleatória discreta bidimensional. A cada resultado possível (x i, y i ) associaremos um número que satisfaz (a) p(x i, y j ) 0 para todo (x i, y j ), (b) i=1 j=1 p(x i, y j ) = 1 a função p assim definida é chamada função de probabilidade de (X, Y ). O conjunto dos ternos {(x i, y j, P (x i, y j )), i, j = 1, 2,...} é denominado distribuição de probabilidades conjunta de (X, Y ). 13

14 Função densidade de probabilidade conjunta: Caso Contínuo Seja (X, Y ) uma variável aleatória contínua assumindo todos os valores em alguma região R do plano euclidiano. A função densidade de probabilidade conjunta f é uma função que satisfaz às seguintes condições: (a) f(x, y) 0 para todo (x, y) R, (b) f(x, y)dxdy = 1 14

15 Função de distribuição acumulada conjunta Seja (X, Y ) uma variável aleatória bidimensional. A função de distribuição acumulada (fd) da variável aleatória bidimensional (X, Y ) é definida por: Resultado: F XY (x, y) = P (X x, Y y) Se F for a fd de uma variável aleatória bidimensional com fdp f então: sempre que F for derivável. F XY (x, y) x y = f XY (x, y) 15

16 Distribuições marginais A cada variável aleatória bidimensional (X, Y ) associamos duas variáveis aleatórias unidimensionais, a saber, X e Y, individualmente. Isto é, podemos estar interessados na distribuição de probabilidades de X ou de Y. Resultado: No caso discreto bidimensional teremos: A distribuição de probabilidade marginal de X p(x i ) = P (X = x i ) = P (X = x i, Y = y 1 ou X = x i, Y = y 2 ou...) = j=1 p(x i, y j ) 16

17 A distribuição de probabilidade marginal de Y p(y i ) = P (X = y j ) = P (X = x 1, Y = y j ou X = x 2, Y = y j ou...) = i=1 p(x i, y j ) No caso contínuo bidimensional teremos: Seja f XY a fdp conjunta da variável aleatória bidimensional contínua (X, Y ). Definem-se as funções de densidades marginais de X, f X, e de Y, f Y por: f X (x) = f X,Y (x, y)dy e f Y (y) = f X,Y (x, y)dx 17

18 Probabilidade condicionada Caso discreto p(x i y j ) = P (X = x i Y = y j ) = p(x i, y j ) p(y j ) p(y j x i ) = P (Y = y j X = x i ) = p(x i, y j ) p(x i ) se p(y j ) > 0 se p(x i ) > 0 18

19 No caso contínuo, a formulação da probabilidade condicionada apresenta alguma dificuldade, uma vez que para quaisquer x 0 e y 0 dados P (X = x 0 ) = P (Y = y 0 ) = 0 Seja (X, Y ) uma variável aleatória contínua bidimensional com fdp conjunta f. Sejam f X e f Y as fdp marginais de X e Y respectivamente. Então: A fdp de X condicionada a um dado Y = y é definida por: f X Y (x Y = y) = f X,Y (x, y), f Y (y) > 0 f Y (y) 19

20 A fdp de Y condicionada a um dado X = x é definida por: f Y X (Y X = x) = f X,Y (x, y), f X (x) > 0 f X (x) Interprete geometricamente. Interprete f X,Y (x, y), f X, f Y, f X Y e f Y X quando X e Y forem, respectivamente, altura do pai e altura do filho.

21 Variáveis aleatórias independentes Lembremos que dois eventos A e B são independentes sss P (A B) = P (A)P (B). Caso discreto Seja (X, Y ) uma variável aleatória discreta bidimensional. Diremos que X e Y são variáveis aleatórias independentes se, e somente se, p(x i, y j ) = p(x i )p(y j ) para quaisquer i e j 20

22 Isto é, P (X = x i, Y = y j ) = p(x = x i )p(y = y j ) para quaisquer i e j Caso contínuo Seja (X, Y ) uma variável aleatória contínua bidimensional. Diremos que X e Y são variáveis aleatórias independentes se, e somente se, f (X,Y ) (x, y) = f X (x)f Y (y) para todo (x, y)

23 Esperança Matemática para v.a. unidimensionais Caso discreto Se X é uma v.a.d. que assume os valores x 1,..., x m com as respectivas probabilidades p(x 1 ),..., p(x m ), a esperança matemática de X, ou valor médio de X, é E(X) = m i=1 x i p(x i ) Exemplo: No lançamento de um dado, se X é a v.a. que indica o número de pontos obtidos, qual é a esperança de X? E(X) = = 3, 5 Isso significa que em um grande número de jogadas, espera-se obter uma média em torno de 3,5. 21

24 Esperança Matemática para v.a. unidimensionais Caso contínuo Se X é uma v.a.c. com função densidade f(x), a esperança matemática de X, ou valor médio de X, é E(X) = xf(x)dx Exemplo: Seja a v.a. X com fdp Tem-se que f(x) = E(X) = 1 2 x x [0, 2] 0 caso contrário 2 xf(x)dx = x2 dx =

25 Esperança Matemática de uma função de X a) E[g(X)] = m i=1 g(x i )p(x i ), v.a.d. Exemplo: No lançamento de um dado, se X é a v.a. que indica o número de pontos obtidos, E(X 2 ) = = 15, 17 b) E[g(X)] = g(x)f(x)dx, v.a.c. Exemplo: E(X 2 ) = x 2 f(x)dx = x 3 dx = 2 23

26 Esperança Matemática para v.a. bidimensionais Sejam X e Y variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta p(x i, y j ) se ambas forem discretas ou função densidade de probabilidade conjunta f(x,y) se ambas forem contínuas. O valor esperado da função g(x,y) é E[g(X, Y )] = m n i=1 j=1 g(x i, y j )p(x i, y j ), v.a.d. E[g(X)] = g(x, y)f(x, y)dxdy, v.a.c. 24

27 Observa-se que se g(x, Y ) = X, então, obtém-se E(X) = m n i=1 j=1 x i p(x i, y j ) = m x i n i=1 j=1 p(x i, y j ) = m i=1 x i p(x i ), no caso de v.a.d., sendo p(x i ) a função de probabilidade marginal de X i. E(X) = xf(x, y)dxdy = x f(x, y)dxdy = xg(x)dx, no caso de v.a.c., sendo g(x) a função densidade de probabilidade marginal de X. Semelhante para g(x, Y ) = Y 25

28 Propriedades de Esperança Matemática Teorema 1 Se a e b são constantes e X uma v.a., então, E(aX + b) = ae(x) + b Corolário 1 Se a = 0, tem-se E(b) = b, isto é, a esperança de uma constante é a própria constante. Corolário 2 Se b = 0, tem-se E(aX) = ae(x), isto é, a esperança do produto de uma constante por uma v.a. é o produto da constante pela esperança da v.a. 26

29 Teorema 2 - Teorema da soma Se X e Y são duas v.a. quaisquer, então, E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Esse teorema generaliza-se para n variáveis E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ) Teorema 3 - Teorema do produto Se X e Y são duas v.a. independentes, então, E(XY ) = E(X)E(Y ) Esse teorema generaliza-se para n variáveis independentes E(X 1 X 2... X n ) = E(X 1 )E(X 2 )... E(X n ) 27

30 Casos especiais de esperança matemática: momentos a) Momentos em relação à origem Define-se como momento de ordem n em relação à origem e representa-se por µ n, a esperança matemática de X n, isto é, µ n = E(X n ) = m i=1 x n i p(x i), v.a.d. µ n = E(X n ) = xn f(x)dx, v.a.c. O momento em relação à origem mais importante é o primeiro momento. 28

31 Verifica-se que o momento de ordem 0 em relação à origem é igual a 1, pois ou µ 0 = E(X0 ) = m i=1 µ 0 = E(X0 ) = x 0 i p(x i) = m i=1 p(x i ) = 1 x0 f(x)dx = 1 b) Momentos em relação à média Define-se como momento de ordem n em relação à média e representa-se por µ n, a esperança matemática de [X E(X)] n, isto é, µ n = E[X E(X)] n = µ n = E[X E(X)] n = m i=1 [x i E(X)] n p(x i ), v.a.d. [x E(X)]n f(x)dx, v.a.c. 29

32 O momento em relação à origem mais importante é o segundo momento, também chamado variância µ 2 = σ 2 = E[X µ ] 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 Verifica-se que o primeiro momento em relação à média é zero, isto é, E[X E(X)] = E(X) E(X) = 0 São importantes, ainda, o terceiro e o quarto momentos em relação à média, pois estão relacionados, respectivamente, à assimetria e à curtose da distribuição.

33 Tem-se α 3 = E[(X mu)3 σ 3 = µ 3 (σ 2 ) 3/2 o coeficiente de assimetria (igual a zero para distribuições simétricas) e α 4 = E[(X mu)4 σ 4 = µ 4 (σ 2 ) 2 o coeficiente de curtose (igual a três para a distribuição normal). 30

34 Relação entre os momentos de ordem n em relação à 31

35 Função geradora de momentos Define-se a função geradora de momentos de uma v.a. X como M X (t) = E(e tx ), isto é, M X (t) = E(e tx ) = M X (t) = E(e tx ) = m i=1 e tx ip(x i ), etx f(x)dx, v.a.d. v.a.c. Em qualquer dos casos, discreto ou contínuo, M X (t) é apenas o valor esperado de e tx. A razão da designação Função geradora 32

36 de momentos é que os coeficientes do desnvolvimento M X (t) por séries de Maclaurin permite determinar os momentos, isto é, M X (t) = isto é, m i=1 [1+ tx i 1! +(tx i) ]p(x i ) = 2! m i=1 p(x i )+t M X (t) = 1 + µ 1 t + t 2 µ 2 2! + µ 3 3!.... t 3 m i=1 x i p(x i )+ t2 2! m x 2 i i=1 Para t = 0, M X (0) = 1 = µ 0.

37 Derivando-se M X (t) em relação a t, tem-se M X (t) = µ 1 + 2t µ 2 2! + 3t 2 µ 3 3!.... e, fazendo-se t = 0, tem-se M X (0) = µ 1. Derivando-se M X (t) em relação a t, tem-se e, fazendo-se t = 0, tem-se M X (t) = µ 2 + µ 3 t M X (0) = µ 2 e, assim, sucessivamente, verifica-se que µ (n) = E(X(n) ) = M (n) X (0)

38 em que M (n) X (0) é a derivada de ordem n em relalação a t da função M X (t) no ponto t = 0.

39 Covariância e coeficiente de correlação 33

40 Distribuições de funções de variáveis aleatórias Estamos interessados em achar a distribuição de funções de variáveis aleatórias. Mais precisamente, dada as variáveis, X 1, X 2, X 3,..., X n e funções dessas n variáveis aleatórias, digamos: g 1 (X 1,..., X n ),..., g k (X 1,..., X n ), desejamos encontrar a distribuição conjunta de Y 1, Y 2,..., Y k, em que Y j = g j (X 1,..., X n ), j = 1,..., k. Se a distribuição conjunta de X 1, X 2, X 3,..., X n é dada, então, pelo menos teoricamente, podemos achar a distribuição conjunta de Y 1, Y 2,..., Y k isto porque a distribuição conjunta de Y 1, Y 2,..., Y k satisfaz F Y1,Y 2,...,Y k (y 1, y 2,..., y k ) = P [Y 1 y 1,..., Y k y k ] = P [g 1 (X 1,..., X n ) y 1,..., g k (X 1,..., X n ) y k ] 34

41 para y 1,..., y k, que é a probabilidade de um evento descrito em termos de X 1, X 2,..., X n, e teoricamente tal probabilidade pode ser determinada integrando ou somando a densidade conjunta sobre a região correspondente ao evento. O problema é que em geral o cálculo dessa integral ou soma pode ser difícil de ser determinado.

42 Serão apresentadas três técnicas para encontrar a distribuição de funções de variáveis aleatórias, a saber: 1. Técnica da função da distribuição acumulada; 2. Técnica da função geradora de momentos; 3. Técnica da Transformação ou método do Jacobiano. 35

43 Técnica da função da distribuição acumulada Descrição da técnica: Se a função de distribuição conjunta das variáveis aleatórias X 1,..., X n é conhecida, então, teoricamente, a distribuição de Y 1,..., Y k pode ser determinada, em que Y j = g j (X 1,..., X n ), j = 1,..., k para funções conhecidas g 1 (.,...,.),..., g k (.,...,.). Por definição, a função de distribuição acumulada de Y 1, Y 2,..., Y k é F Y1,Y 2,...,Y k (y 1, y 2,..., y k ) = P [Y 1 y 1,..., Y k y k ] 36

44 Mas para cada y 1,..., y k o evento {Y 1 y 1 ;... ; Y k y k } {g 1 (X 1,..., X n ) y 1,..., g k (X 1,..., X n ) y k } o qual é um evento descrito em termos das variáveis aleatórias conhecidas, X 1,..., X n e das funções, também conhecidas, g 1 (.,...,.),..., g k (.,...,.). Desde que a distribuição conjunta de X 1,..., X n é assumida conhecida a probabilidade do evento {g 1 (X 1,..., X n ) y 1,..., g k (X 1,..., X n ) y k } pode ser calculada e consequentemente F Y1,Y 2,...,Y k (.,...,.) determinada. 37

45 Exemplo Suponha que X tenha distribuição normal padrão e que desejamos calcular a distribuição de Y = g(x) = X 2. F Y (y) = P [Y y] = P [X 2 y] = P [ y X y] = Φ( y) Φ( y) = 2 = 2 y y 0 y 1 e 1 2 u2 du = 2 y 2π 2π 0 Φ(u)du z e 2 z dz 1 1 = 0 Γ( 1 e 1 2 z dz, y > 0, 2 ) 2z que é a função de distribuição acumulada de uma distribuição gama com parâmetros r = 1 2 e λ = 1, ou ainda, uma distribuição 2 χ 2 com 1 grau de liberdade. 38

46 Exemplo: Distribuição do máximo e do mínimo Sejam X 1,..., X n, n variáveis aleatórias. Defina Y 1 = min[x 1,..., X n ] e Y n = max[x 1,..., X n ]. O evento {Y n y} é equivalente ao evento {X 1 y,..., X n y}, sendo assim, F Yn (y) = P [Y n y] = P [max[x 1,..., X n ] y] = P [X 1 y,..., X n y]. Assumindo independência entre os X i, i = 1,..., n, teremos, 39

47 F Yn (y) = n i=1 P [X i y] = n i=1 F Xi (y) E, portanto, a função de distribuição acumulada de Y n = max[x 1,..., X n ] poderá ser expressa em termos da função de distribuição acumulada marginal de X 1,..., X n. Se assumirmos que os X i, i = 1,..., n são identicamente distribuídos possuindo a mesma distribuição acumulada, F X (.) então,

48 n i=1 Assim foi provado o Teorema F Xi (y) = [F X (y)] n Teorema Se X 1,..., X n são variáveis aleatórias independentes e Y n = max[x 1,..., X n ], então: F Yn (y) = n i=1 F Xi (y) Se X 1,..., X n são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição acumulada F X (.) então:

49 F Yn (y) = [F X (y)] n Corolário Se X 1,..., X n são variáveis aleatórias contínuas independentes e identicamente distribuídas com a mesma função densidade de probabilidade f X (x) e função de distribuição acumulada F X (x), então: f Yn (y) = n[f X (y)] n 1 f X (y)

50 Demonstração. f Yn (y) = d dy F Y n (y) = n[f X (y)] n 1 f X (y) Similarmente, F Y1 (y) = P [Y 1 y] = 1 P [Y 1 > y] e o evento {Y 1 > y} é equivalente ao evento {X 1 > y,..., X n > y}, sendo assim, F Y1 (y) = P [Y 1 y] = P [min[x 1,..., X n ] y] =

51 1 P [Y 1 > y] = 1 P [X 1 > y,..., X n > y]. Assumindo independência entre os X i, i = 1,..., n, teremos, F Y1 (y) = 1 n i=1 P [X i > y] = 1 n i=1 [1 F Xi (y)] E, portanto, a função de distribuição acumulada de Y 1 = min[x 1,..., X n ]

52 poderá ser expressa em termos da função de distribuição acumulada marginal de X 1,..., X n. Se assumirmos que os X i, i = 1,..., n são identicamente distribuídos possuindo a mesma distribuição acumulada, F X (.) então, F Y1 (y) = 1 n i=1 [1 F Xi (y)] = 1 [1 F X (y)] n Assim foi provado o Teorema Teorema Se X 1,..., X n são variáveis aleatórias independentes e Y 1 = min[x 1,..., X n ]

53 então: F Y1 (y) = 1 n i=1 [1 F Xi (y)] Se X 1,..., X n são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição acumulada F X (.) então: F Y1 (y) = 1 [1 F X (y)] n

54 Corolário Se X 1,..., X n são variáveis aleatórias contínuas independentes e identicamente distribuídas com a mesma função densidade de p robabilidade f X (x) e função de distribuição acumulada F X (x), então: f Y1 (y) = n[1 F X (y)] n 1 f X (y) Demonstração. f Y1 (y) = d dy F Y 1 (y) = n[1 F X (y)] n 1 f X (y) 40

55 Exercício Suponha que o tempo de vida de um certo tipo de lâmpada é exponencialmente distribuído com média de 100 horas. Se 10 são instaladas simultaneamente, qual é a distribuição do tempo de vida da primeira lâmpada a falhar e qual é o seu tempo de vida médio? Faça um esboço do gráfico da distribuição do tempo de vida mínimo utilizado o software MAPLE. Faça, também, um estudo do comportamento dessa distribuição. 41

56 Solução: Suponhamos que X i denote o tempo de vida da i- ésima lâmpada; então Y 1 = min[x 1,..., X n ] é o tempo de vida da primeira lâmpada a falhar. Assuma que os X i são independentes (por exemplo, se as lâmpadas forem instaladas em paralelo seus tempos de vida serão independentes). Temos, e f Xi (x) = e 1/100x I (0, ) (x) F Xi (x) = ( 1 e 1/100x) I (0, ) (x). 42

57 Assim, f Y1 (y) = 10(e 1/100y ) e 1/100y I (0, ) (y) = e 10/100y I (0, ) (y) que é a função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ = 1 10 e portanto, E[Y 1 ] = 1/λ = 10 horas.

58 Programa > restart: > f1:=t->10/100*exp(-10/100*t); int(f1(t),t=0..infinity); > int(f1(t),t=0..infinity); > with(plots): > g1:=plot(f1(t),t=0..50, title="tempo de vida minímo de dez l^ampadas > color=green, thickness=3,labels=[tempo,fdp]): > display(g1); > limit(f1(t),t=0.0,right); > limit(f1(t),t=infinity); > int(t*f1(t),t=0..infinity); 43

59 Distribuição da soma e da diferença Teorema Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas distribuídas conjuntamente com densidade f X,Y (x, y) e seja Z = X + Y e V = X Y. Então, f Z (z) = f X,Y (x, z x)dx = f X,Y (z y, y)dy (1) e f V (v) = f X,Y (x, x v)dx = f X,Y (v + y, y)dy (2) 44

60 Demonstração. Demonstremos a (1). De maneira similar podemos demonstrar (2). F Z (z) = P [Z z] = P [X + Y z] = [ z x ] f X,Y (x, y)dy dx = [ z x+y z f X,Y (x, y)dxdy = f X,Y (x, u x)du ] dx pela substituição de y = u x e assim, f Z (z) = df Z(z) dz = d dz { [ z f X,Y (x, u x)du ] } dx =

61 d dz { z [ f X,Y (x, u x)dx ] } du = f X,Y (x, z x)dx Observe que: ba dc f(x, y)dydx = d ba c f(x, y)dxdy (Integrais iteradas) a, b, c, d podem ser ou.

62 Esboce a região de integração para verificar os limites de integração! Programa?inequal with(plots): inequal( x+y-2>=0, x=-3..3, y=-3..3, optionsfeasible=(color=red), optionsopen=(color=blue,thickness=2), optionsclosed=(color=green, thickness=3), optionsexcluded=(color=yellow) ); 45

63 Corolário Se X e Y são variáveis aleatórias contínuas, independentes e Z = X + Y, então: f Z (z) = f X+Y (z) = = f X(z y)f Y (y)dy f Y (z x)f X (x)dx A equação (3) é chamada de fórmula de convolução: (f X f Y )(z). 46

64 Exemplo Suponha que X e Y são v.a. i.i.d.com densidade f X (x) = f Y (y) = I (0,1) (x). Observe que Z = X + Y (0, 2), temos que: f Z (z) = I (0,1) (z) f Y (z x)f X (x)dx = I (0,1) (z x)i (0,1) (x)dx = z { I(0,z) (x)i (0,1) (z) + I (z 1,1) (x)i [1,2) (z) } dx = 1 dx + I [1,2) (z) dx = zi (0,1) (z) + (2 z)i [1,2) (z) 0 z 1 47

65 Distribuição do produto e do quociente Teorema Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas conjuntamente distribuídas com densidade f X,Y (x, y), e seja Z = XY e U = X/Y então: e f Z (z) = 1 x f X,Y ( x, z ) x = 1 y f X,Y ( ) z y, y dy (3) f U (u) = y f X,Y (uy, y)dy (4) 48

66 Demonstração. Provaremos a equação (3). F z (z) = P [Z z] = xy z f X,Y (x, y)dxdy = 0 [ z/x f X,Y (x, y)dy ] dx + 0 [ z/x f X,Y (x, y)dy ] dx, fazendo a substituição, u = xy 0 [ z f X,Y (x, u x )du x ] dx + 0 [ z f X,Y (x, u x )du x ] dx = 49

67 z [ 0 1 x f X,Y (x, u x )dx z [ ] du + z [ 0 1 x f X,Y (x, u ] x )dx du; 1 x f X,Y (x, u ] x )dx du = Portanto, f Z (z) = F Z(z) dz = 1 x f X,Y (x, z x )dx

68 Exemplo Suponha que X e Y são variáveis aleatórias independentes uniformemente distribuídas sobre o intervalo (0, 1). Seja Z = XY e U = X Y. f Z (z) = F Z(z) dz = 1 x f X,Y (x, z x )dx = ( ) 1 z x I (0,1) (x)i (0,1) dx = x x I (0,1) (z)i (z,1) (x)dx = I (0,1) (z) 0 logzi (0,1) (z) 1 1 x I (z,1) (x)dx = I (0,1) (z) z 1 x dx = 50

69 Programa g1:=plot(1/x,x=0..2,y=0..2,color=black): g2:=plot(1/(2*x),x=0..2,y=0..2,color=red): g3:=plot(1,x=0..2,color=green): with(plots): display(g1,g2,g3); Temos que z pertence ao intervalo (0, 1). Assim z não pode assumir o valor 0 nem 1. Suponhamos por absurdo que z=0 e que x diferente de zero ==> y = 0(y = z/x) isso implicaria que o único ponto pertencente ao quadrado (0, 1) (0, 1) seria o ponto (0, 0) (esse caso não ocorre visto que x é diferente de zero e y também). 51

70 O mesmo seria válido para z = 1. Somente o ponto (1, 1) pertenceria ao quadrado (0, 1) (0, 1). Esse caso também não ocorre. Suponha então que z seja um valor entre (0, 1) (Z = XY ). Sem perda de generalidade suponhamos que z = 1/2 ==> y = 1/(2x). Assim para y = 1, x = 1/2. E assim qualquer ponto da curva y = 1/(2x) cuja abscissa, x estiver entre 1/2 e 1 pertenceria ao quadrado (0, 1) (0, 1) e dessa forma a função indicadora daria resultado 1. solve(1/(2*x)=1,x); 1/2

71 Observe que como z foi tomado de forma genérica então a função indicadora seria nula para z em (0, 1) e x em (z, 1). solve(z/x=1,x); z

72 f U (u) = = = y f X,Y (uy, y)dy y I (0,1) (uy)i (0,1) (y)dy y { I (0,1) (u)i (0,1) (y) + I (1, ) (u)i (0,1/u) (y) } dy = I (0,1) (u) /u ydy + I [1, ) (u) ydy 0 0 ( ) 1 2 I (1, ) (u) = 1 2 I (0,1) (u) u [ ] X 1 du = bem dife- u Note que E = E[U] = 1 Y 2 rente de E[X] E[Y ] = udu

73 Técnica da função geradora de momentos Descrição da técnica: É outro método para determinar a distribuição de funções de variáveis aleatórias que é particularmente útil em determinadas circunstâncias. O problema é o mesmo: dadas as variáveis aleatórias X 1,..., X n com densidade conjunta conhecida f X1,...,X n (x 1,..., x n ) e funções g 1 (.,...,.),...,g k (.,...,.), queremos encontrar a distribuição conjunta de Y 1 = g 1 (X 1,..., X n ),..., Y k = g K (X 1,..., X n ). A função geradora de momentos conjunta de Y 1,..., Y k, se existe é dada por, 52

74 m Y1,...,Y k (t 1,..., t k ) = E[e t 1Y t k Y k ] =... e t 1g 1 (x 1,...,x n )+...+t k g k (x 1,...,x n ) f X1,...,X n (x 1,..., x n ) n i=1 dx i (5) se depois que a integração da equação (5) for realizada, a função resultante em função de t 1,..., t k puder ser reconhecida como a função geradora de momentos conjunta de alguma distribuição conjunta conhecida, então seguirá que Y 1,..., Y k tem essa mesma distribuição pelo fato de que, quando existe, a função geradora de momentos é única e determina unicamente a função de distribuição.

75 Se k > 1, está técnica será de uso limitado visto que podemos reconhecer poucas funções geradoras de momentos conjuntas. Para k = 1, a função geradora de momentos é função de um único argumento, e teremos uma chance maior de reconhecer a função geradora de momentos resultante. A aplicação mais útil da técnica da função geradora de momentos é a de poder ser utilizada para achar soma de variáveis aleatórias independentes.

76 Exemplo Suponha que X tem distribuição normal com média 0 e variância 1. Seja Y = X 2 ache a distribuição de Y. m Y (t) = E[e ty ] = E[e tx2 ] = etx2 f X (x)dx = 1 etx2 = 1 2π 2π e 1 2 x2 dx e 1 2 x2 (1 2t) dx = 1 (1 2t) 1/2 1 2π (1 2t) 1/2 e 2 x2 (1 2t) 1 dx = (1 2t) 2 ( ) 1/2 1/2, para t < 1 = 1/2 t 2, 53

77 que reconhecemos como a função geradora de momentos da função gama com parâmetros r = 1 2 e λ = 1, ou ainda, distribuição χ 2 com 1 grau de 2 liberdade. Exemplo Seja X 1 e X 2 duas variáveis aleatórias com distribuição normal padrão. Seja Y 1 = g 1 (X 1, X 2 ) = X 1 + X 2 e Y 2 = g 2 (X 1, X 2 ) = X 2 X 1. Ache a distribuição conjunta de Y 1 e Y 2.

78 m Y1,Y 2 (t 1, t 2 ) = E[e Y 1t 1 +Y 2 t 2 ] = E[e ( X 1 + X 2 )t 1 + (X 2 X 1 )t 2 ] = E[e X 1(t 1 t 2 )+X 2 (t 1 +t 2 ) ] = E[e X 1(t 1 t 2 ) ]E[e X 2(t 1 +t 2 ) ] = m X1 (t 1 t 2 )m X2 (t 1 + t 2 ) = exp (t 1 t 2 ) 2 exp (t 2 t 1 ) = exp(t t2 2 ) = exp 2t2 1 2 exp 2t2 2 2 = m Y1 (t 1 )m Y2 (t 2 ) Notamos que Y 1 e Y 2 são variáveis aleatórias independentes e cada uma possui distribuição normal com média 0 e variância 2.

79 Distribuição da soma de v.a.independentes Teorema Se X 1, X 2,..., X n são variáveis aleatórias independentes e a função geradora de momentos de cada uma delas existe para todos os valores de t tal que h < t < h para algum h > 0, considere Y = n i=1 X i ; então m Y (t) = E exp n i=1 X i t = n i=1 m Xi (t) Prove!!! 54

80 A transformação Y = g(x) Caso Unidimensional A última das três técnicas para achar a distribuição de funções de variáveis aleatórias é a técnica da transformação ou método do Jacobiano. Uma variável aletória X pode ser transformada por alguma função g(.) para definir uma nova variável aletória Y. A densidade de Y, f Y (y), será determinada pela transformação g(.) juntamente com a distribuição de probabilidade de X, f X (x). Primeiramente, se X é uma variável aletória discreta que assume os valores x 1, x 2,..., x n, com probabilidade P [X = x 1 ] = f X (x 1 ), 55

81 P [X = x 2 ] = f X (x 2 ),..., P [X = x n ] = f X (x n ) então a distribuição de probabilidades de Y = g(x) é determinada diretamente pela lei de probabilidades, isto é, a probabilidade de Y assumir o valor y j é dada por: P [Y = y j ] = f Y (y j ) = i:g(x i )=y j f X (x i ) Exemplo Suponha que X assuma os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5 com probabilidades f X (0), f X (1), f X (2), f X (3), f X (4) e f X (5). Se Y = g(x) = (X 2) 2, a variável aleatória Y assumirá os valores 0, 1, 4, 9; assim

82 x y f Y (0) = f X (2) f Y (1) = f X (1) + f X (3) f Y (4) = f X (0) + f X (4) f Y (9) = f X (5) Agora, se X é uma variável aleatória contínua, então a distribuição acumulada de Y = g(x) pode ser achada pela integração de f X (x) sobre uma região apropriada, isto é,

83 F Y (y) = P [Y y] = P [g(x) y] = {x:g(x) y} f X(x)dx Justamente da mesma forma que a técnica da função de distribuição acumulada. Exemplo Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme sobre (0, 1) e seja Y = g(x) = X 2. Obtenha a f.d.p. de Y. F Y (y) = P [Y y] = P [X 2 y] = x:x 2 y f X(x)dx =

84 y 0 dx = y para 0 < y < 1; assim F Y (y) = yi (0,1) (y) + I [1, ) (y) e portanto, f Y (y) = 1 1 I 2 y (0,1) (y)

85 A aplicação da técnica da função de distribuição acumulada para achar a distribuição de probabilidade de Y = g(x) deu origem a técnica da transformação (ou método do Jacobiano). Teorema Suponha que X é uma variável aleatória contínua com f.d.p. dada por f X (x). Seja X = {x : f X (x) > 0}. Assuma que: y = g(x) define uma transformação 1-1 (um a um) de X em D. A derivada de x = g 1 (y) com relação a y é contínua e nãonula para y D, em que g 1 (y) é a função inversa de g(x);

86 isto é, g 1 (y) é o x tal que g(x) = y. Então Y = g(x) é uma variável aleatória contínua com f.d.p. f Y (y) = d dy g 1 (y) f X(g 1 (y))i D (y) Exemplo Suponha que X tenha distribuição beta com parâmetros a e b. Qual é a distribuição de probabilidade de Y = ln(x) Temos que X = {x : f X (x) > 0} = {x : 0 < x < 1}.

87 y = g(x) = ln(x) define uma transformação 1-1 de X em D. x = g 1 (y) = e y assim e não nula para y D. d dy g 1 (y) = e y a qual é contínua D = {y : y > 0}. Assim pelo Teorema

88 f Y (y) = d dy g 1 (y) f X(g 1 (y))i D (y) = e y 1 B(a, b) (e y ) a 1 (1 e y ) b 1 I (0, ) (y) = 1 B(a, b) e ay (1 e y ) b 1 I (0, ) (y) Em particular, se b = 1, então B(a, b) = 1 a ; e f Y (y) = ae ay I (0, ) (y), tem-se a distribuição exponencial com parâmetro a. A condição de que g(x) seja uma transformação 1-1 não é necessariamente restritiva. Para um transformação y = g(x), cada ponto em X corresponderá um único ponto D; mas se a um ponto

89 de D corresponder vários em X, significa que a transformação não é 1 1 e consequentemente o Teorema não pode ser aplicado diretamente. Se, entretanto, X puder ser decomposto em um número finito (ou mesmo enumerável) de conjuntos disjuntos, digamos, X 1, X 2,..., tal que y = g(x) define uma transformação 1-1 de X i em D, então a distribuição de probabilidade de Y = g(x) poderá ser calculada. Seja x = gi 1 (y) a inversa de y = g(x) para x X i. Então a densidade de Y = g(x) será dada por: f Y (y) = d dy g 1 i (y) f X(gi 1 (y))i D (y) (6) em que a soma deverá ser sobre todos os i tais que g(x) = y para algum valor de x X i.

90 Exemplo Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p. f X (.), e seja Y = g(x) = X 2. Note que X é um intervalo que contém números positivos e negativos, então y = g(x) = x 2 não é 1-1. Entretanto, se X for decomposto em X 1 = {x : x X, x < 0} e X 2 = {x : x X, x 0}, então y = g(x) define uma transformação 1-1 em cada X i. Observe que g1 1 (y) = y e g2 1 (y) = y. E portanto por (6) f Y (y) = [ 1 1 f X ( y) f X ( y) 2 y 2 y ] I (0, ) (y) Em particular, se

91 f X (x) = 1 2 e x então f Y (y) = 1 1 e y I 2 y (0, ) (y) ou, se f X (x) = 2 9 (x + 1)I ( 1,2) (x), f Y (y) = [ y 9 ( y + 1) y 9 (1 + y) ] I (0,1) (y) y 9 (1 + y)i [1,4) (y)