Probabilidades e Estatística

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1 Departamento de Matemática Probabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LEIC-T, LEMat, LERC, LQ, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEEC, MEMec, MEQ 1 o Teste 1 o semestre 2010/2011 Duração: 1 hora e 30 minutos 20/11/ horas Grupo I Exercício 1 5 valores Quadro de eventos e probabilidades Evento Probabilidade A lâmpada fabricada pela linha de produção A P (A 0.15 B lâmpada fabricada pela linha de produção B P (B 0.35 C lâmpada fabricada pela linha de produção C P (C 0.50 D lâmpada ser defeituosa P (D? D A lâmpada ser defeituosa dado que foi fabricada pela linha de produção A P (D A 0.01 D B lâmpada ser defeituosa dado que foi fabricada pela linha de produção B P (D B 0.05 D C lâmpada ser defeituosa dado que foi fabricada pela linha de produção C P (D C 0.02 Aplicando o teorema da probabilidade total (fazendo uso da partição A, B, C}, tem-se P (D P (D AP (A + P (D BP (B + P (D CP (C (b Aplicando agora o teorema de Bayes, tem-se P (A D P ( D A P (A P ( D [1 P (D A] P (A 1 P (D ( Exercício 2 X 1 número de autocarros que passam numa paragem durante uma hora Distribuição de X 1 X 1 Poisson(λ 1 Parâmetro λ : E(X 1 3 λ 1 3 Página 1 de 6

2 Outra v.a. X 2 número de autocarros que passam numa paragem durante duas horas Distribuição de X 2 Invocando a propriedade reprodutiva da distribuição de Poisson, 1 conclui-se que: X 2 Poisson(λ 2 2 λ 1 6 F.p. de X 2 P (X 2 x e 6 6 x x!, x 0, 1, 2,... P (X 2 < 4 P (X P (X 2 x x0 F P oisson(6 ( (b Novas v.a. X 0.5 número de autocarros que passam numa paragem durante meia hora T tempo (em horas entre passagens consecutivas de autocarros numa paragem Distribuição de X 0.5 Invocando mais uma vez a propriedade reprodutiva da distribuição de Poisson, conclui-se que: X 0.5 Poisson(λ λ F.p. de X 0.5 P (X 0.5 x e x x!, x 0, 1, 2,... P (T > 0.5 P (X Resolução alternativa Nova v.a. e ! e T tempo (em horas entre passagens consecutivas de autocarros numa paragem Distribuição de T Invocando a relação entre as distribuições de Poisson e Exponencial (no processo de Poisson, conclui-se que: T Exponencial(λ λ 1 3 F.d.p. de T f T (t 3 e 3t, t 0 P (T > e 3t e e 3t dt 1 Ou tendo em conta que estamos a lidar com um processo de Poisson. Página 2 de 6

3 Grupo II Exercício 1 5 valores X número de clientes que compram tinteiros na loja, em 10 clientes seleccionados ao acaso Distribuição de X X binomial(n, p Parâmetros n 10 p P (compra tinteiro 0.25 F.p. de X P (X x ( 10 x 0.25 x ( x, x 0, 1, 2,..., 10 P (X 7 1 P (X 6 1 F binomial(10,0.25 ( (b W número de clientes que adquiriram tinteiros, em 1000 clientes Distribuição de W W binomial(n, p Parâmetros n 1000 p 0.25 aproximativa W Dado que np 250 > 5 e n(1 p 750 > 5 pode aproximar-se a f.d. da v.a. W binomial(n 1000, p 0.25 pela f.d. da v.a. W normal(µ np 250, σ 2 np(1 p Valor aproximado da probabilidade pedida (SEM correcção de continuidade P (W 300 P (W 300 [ ] W E(W P 300 E(W V (W V (W ( Φ Φ( Valor aproximado da probabilidade pedida (usando máquina de calcular Quem usa máquina não precisa de padronizar e poderá responder P (W 300 P (W 300 F normal(250,187.5 (300 maq Página 3 de 6

4 Valor aproximado da probabilidade pedida (COM correcção de continuidade P (W 300 P (W /2 [ ] W E(W P /2 E(W V (W V (W ( /2 250 Φ Φ( Resuloção alternativa (por recurso ao TLC Y i indicador de aquisição de tinteiro pelo i ésimo cliente, i 1,..., 1000 Distribuição de Y i Y i i.i.d. Y, i 1,..., 1000 Y Bernoulli(p 0.25 Valor esperado e de variância Y i E(Y i p 0.25 V (Y i p(1 p Nova v.a. W 1000 i1 Y i número de clientes que adquiriram tinteiros, em 1000 clientes Valor esperado e variância de W E(Y V (Y Distribuição aproximada de W Pelo Teorema do Limite Central (TLC pode escrever-se W E(W V (W a Normal(0, 1. Valor aproximado da probabilidade pedida ( P (W 300 T LC Φ Φ( Página 4 de 6

5 Exercício 2 Par aleatório (X, Y X grau de satisfação do visitante Y indicador de conhecimento prévio Obtenção da f.p. conjunta Para obter P (X x, Y y é necessário ter em conta que: Assim, X binomial(2, 0.6, i.e., P (X x ( 2 x 0.6 x ( x, x 0, 1, 2; Y Bernoulli(0.8, i.e., P (Y y 0.8 y ( y, y 0, 1; P (X 1 Y 0 0.3; P (X 0, Y ; 2 1 x0 y0 P (X x, Y y 1. (i (ii (iii (iv (v P (X 0 ( ( y0 P (X 0, Y y 0.16 P (X 0, Y P (X 0, Y P (X 0, Y 0 P (X 0, Y P (X 0, Y P (X1,Y 0 P (X 1 Y P (Y P (X 1, Y P (Y 0 P (Y ( P (X 1, Y P (Y P (X 1 ( ( y0 P (X 1, Y y 0.48 P (X 1, Y P (X 1, Y P (X 0, Y 1 P (X 0, Y P (X 1, Y P (Y x0 P (X x, Y P (X 0, Y , P (X 1, Y P (X 2, Y P (X 0, Y 0 P (X 1, Y 0 P (X 0, Y , P (X 1, Y P (X 2, Y P (X 0, Y , P (X 1, Y P (X 2 ( ( y0 P (X 2, Y y 0.36 P (X 2, Y P (X 2, Y P (X 2, Y 0 P (X 2, Y P (X 2, Y F.p. conjunta e f.p. marginais completamente definidas Y X 0 1 P (X x P (Y y Página 5 de 6

6 (b Y X 0 F.p. de Y X 0 P (Y y X 0 P (X 0, Y y P (X , y , y 1 0, restantes valores de y Averiguação da independência entre X e Y Tendo em conta que P (Y 0 X P (Y 0 0.2, pode concluir-se que X e Y são v.a. dependentes. Chegar-se-ia à mesma conclusão ao constatar-se que P (X 0, Y P (X 0 P (Y Página 6 de 6

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