Exame Final Nacional de Matemática B Prova 735 Época Especial Ensino Secundário º Ano de Escolaridade

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1 Exame Fial Nacioal de Matemática B Prova 735 Época Especial Esio Secudário º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 139/01, de 5 de julho Duração da Prova: 150 miutos. Tolerâcia: 30 miutos. 8 Págias Utilize apeas caeta ou esferográfica de tita azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, trasferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretede que ão seja classificado. Para cada resposta, idetifique o grupo e o item. Apresete as suas respostas de forma legível. Apresete apeas uma resposta para cada item. A prova iclui um formulário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do euciado da prova. Nas respostas aos ites, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Sempre que recorrer à calculadora, apresete todos os elemetos visualizados a sua utilização, mais precisamete, cosoate a situação: os gráficos obtidos, e assiale os potos relevates para a resolução (por exemplo, potos de itersecção de gráficos, potos de máximos e potos de míimos); as lihas da tabela obtida que são relevates para a resolução; as listas que itroduziu a calculadora para obter as estatísticas relevates para a resolução (por exemplo, média, desvio padrão, coeficiete de correlação e declive e ordeada a origem de uma reta de regressão). Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação extera são obras protegidas pelo Código do Direito de Autor e dos Direitos Coexos. A sua divulgação ão suprime os direitos previstos a lei. Assim, é proibida a utilização destas provas, além do determiado a lei ou do permitido pelo IAVE, I.P., sedo expressamete vedada a sua exploração comercial. Prova 735/E. Especial Págia 1/ 8

2 Formulário Geometria Comprimeto de um arco de circuferêcia: ar ^a- amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r- raioh ou arr ^a -amplitude, emgraus, do âguloaocetro; r -raioh 180 Progressões Soma dos primeiros termos de uma progressão _ u i : Progressão aritmética: u + u 1 # Progressão geométrica: u r 1 # r 1 Áreas de figuras plaas Losago: Trapézio: Diagoal maior # Diagoal meor Base maior+ Base meor # Altura Polígoo regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar arr 360 ^a - amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r - raioh ou ^a -amplitude, emgraus, do âguloaocetro; r -raioh Áreas de superfícies Área lateral de um coe: r rg ^r- raio da base; g- geratrizh Área de uma superfície esférica: 4 r r ^r - raioh Probabilidades e Estatística Se X é uma variável aleatória discreta de valores x i com probabilidade p i, etão: : Valormédio de X : = px+ f + px 1 1 : Desvio padrão de X : v = p ] x - g + f + p ^x - h 1 1 Se X é uma variável aleatória ormal de valor médio e desvio padrão v, etão: P] - v 1 X 1 + vg. 0, 687 P] - v 1 X 1 + vg , P] - 3v 1 X 1 + 3vg , Área lateral de um cilidro reto: r rg ^r- raio da base; g- geratrizh Volumes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altura 3 Coe: 1 # Áreadabase # Altura 3 Esfera: 4 3 rr ^r- raioh 3 Cilidro: Áreadabase# Altura Prova 735/E. Especial Págia / 8

3 GRUPO I A LICORAL é uma pequea empresa que se dedica ao fabrico de licor sem álcool. 1. Etre os vários licores fabricados pela LICORAL, existem duas variedades de licor de abacaxi muito apreciadas: A e B. Cada garrafa da variedade A dá um lucro de 0 euros e é fabricada com 1 kg de abacaxi e 0,5 kg de açúcar. Cada garrafa da variedade B dá um lucro de 15 euros e é fabricada com 0,8 kg de abacaxi e 0,7 kg de açúcar. Num certo dia, a empresa dispõe de 55 kg de abacaxi e de 35 kg de açúcar para fabricar estas duas variedades de licor. De acordo com a estratégia de marketig adotada pela LICORAL, esta empresa uca fabrica meos de 14 garrafas de licor da variedade A em meos de 10 garrafas de licor da variedade B. Admita que todas as garrafas produzidas são vedidas. Determie quatas garrafas da variedade A e quatas garrafas da variedade B deve a LICORAL produzir, de modo a maximizar o lucro com a veda destas duas variedades de licor. Na sua resposta, desige por x o úmero de garrafas de licor da variedade A e por y o úmero de garrafas de licor da variedade B, e percorra, sucessivamete, as seguites etapas: idicar a fução objetivo; idicar as restrições do problema; represetar, graficamete, a região admissível referete ao sistema de restrições; apresetar o valor de x e o valor de y que são a solução do problema. Prova 735/E. Especial Págia 3/ 8

4 . Na Figura 1, está represetado, um referecial ortogoal e moométrico Oxyz, em que a uidade é 1 cetímetro, um modelo geométrico de uma garrafa de licor utilizada pela LICORAL. z V O modelo desta garrafa é a pirâmide quadragular regular [OPQRV ] em que: o segmeto de reta [AV ] é a altura da pirâmide; o poto B é o poto médio do segmeto de reta [PQ] PQ = 8cm AVt B= 9 o.1. Foi colado um rótulo uma das faces laterais da garrafa. Esse rótulo é um triâgulo geometricamete igual a uma face lateral da pirâmide. Determie a área do rótulo. O A R y Apresete o resultado em cm, arredodado às uidades. Se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, quatro casas decimais. x P B Q Figura 1.. Tal como a Figura 1 sugere, o segmeto de reta [OP ] está cotido o semieixo positivo Ox, e o segmeto de reta [OR ] está cotido o semieixo positivo Oy Seja ' Q o simétrico do poto Q relativamete ao plao yoz Quais são as coordeadas do poto ' Q? Prova 735/E. Especial Págia 4/ 8

5 GRUPO II O futebol é cosiderado o desporto mais popular do mudo. Numa cidade, decorreu um jogo de futebol etre duas equipas rivais. 1. Admita que, ates do iício do jogo, etre as dezasseis horas e as dezasseis e quize, se cotou, miuto a miuto, o úmero de espectadores que etraram o estádio. Sabe-se que, o primeiro desses quize miutos, etraram 160 espectadores o estádio. Sabe-se aida que o úmero de espectadores que etraram o estádio em cada um dos miutos seguites ultrapassou em vite o úmero de espectadores que etraram o estádio o miuto aterior Mostre que, ao logo desses quize miutos, o úmero de espectadores que etraram o estádio o miuto de ordem é dado por Sabe-se que, às dezasseis horas, se ecotravam detro do estádio 931 espectadores. Determie o úmero total de espectadores que se ecotravam detro do estádio às dezasseis horas e quize miutos.. A Maria, a Iês e o Pedro foram assistir ao jogo de futebol. Durate o itervalo, decidiram que cada um comeria um gelado e que escolheriam, ao acaso, qual deles pagaria os três gelados. No fial do jogo, decidiram que cada um beberia uma garrafa de água e que escolheriam, ao acaso, qual deles pagaria as três garrafas. Qual é a probabilidade de a Maria ão pagar qualquer das despesas? Apresete o resultado a forma de dízima, arredodado às cetésimas. 3. Numa das equipas, a média das idades dos oze jogadores que iiciaram a partida era igual a aos. Um desses oze jogadores era o guarda-redes veterao Mauel Veto. Determie a idade, em aos, do jogador Mauel Veto, esse dia, sabedo-se que a média das idades dos restates dez jogadores era igual a 0,8 aos. Prova 735/E. Especial Págia 5/ 8

6 GRUPO III Em Portugal existem várias atividades ligadas ao mar. 1. Admita que, ao logo de dois dias, a profudidade da água do mar, p, um certo local da costa portuguesa, medida em metros, t horas após as zero horas do primeiro desses dois dias, é dada por p^th = , se (, 0 5t 915, ) ^0# t # 48h O argumeto da fução seo está em radiaos. Determie a que horas do segudo dia é que a profudidade da água do mar atigiu pela primeira vez, esse local, a profudidade de 5, metros. Apresete o resultado em horas e miutos (miutos arredodados às uidades). Se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais.. Num certo laboratório, estudam-se problemas relacioados com a faua e a flora marítimas. Nesse laboratório, às zero horas do dia 1 de juho de 017, colocou-se em cultura uma certa quatidade de orgaismos vivos. Sabe-se que, t dias após esse istate, a massa total, m, de orgaismos vivos existetes a cultura é dada, em gramas, por m^th = e 04, t ^t $ 0h.1. Determie a massa total, em gramas, dos orgaismos colocados vivos a cultura às zero horas do dia 1 de juho de Determie ao fim de quato tempo a massa total de orgaismos vivos existetes a cultura foi 750 gramas. Apresete o resultado em dias e horas (horas arredodadas às uidades). Se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais. Prova 735/E. Especial Págia 6/ 8

7 .3. Cosidere a fução, V, que dá a taxa de variação istatâea da fução m, para cada valor de t pertecete a + R 0 Iterprete, o cotexto descrito, o sigificado de V^1,5h Registou-se o salário médio, em euros, de um trabalhador por cota de outrem o sector de Agricultura e Pescas, etre 1985 e 01. Na tabela abaixo, ode se ecotram algus desses registos, x desiga o ao e y desiga o correspodete salário médio, em euros, de um trabalhador. Ao (x) Salário médio, em euros ( y) 106,6 179,8 76,5 349,8 49,8 459,1 57,5 558,6 611,9 683,7 708, Cosidere válido um modelo de regressão liear, y = ax + b (em que a e b são úmeros reais), obtido a partir dos dados apresetados a tabela. Estime, com base esse modelo, o salário médio de um trabalhador em 001. Na sua estimativa, utilize o valor de a e o valor de b arredodados às cetésimas. Apresete o resultado em euros, arredodado às uidades. Prova 735/E. Especial Págia 7/ 8

8 GRUPO IV O chocolate, feito com base a amêdoa fermetada e torrada do cacau, é utritivo e pode cosiderar-se um alimeto de elevada qualidade. 1. Uma empresa dedica-se ao fabrico artesaal de chocolate. Admita que o custo de produção, C, em euros, de cada quilograma de chocolate fabricado essa empresa é dado por C () x = x x ^x 0h em que x é o úmero de quilogramas fabricados Num certo dia, a empresa fabricou vite e cico quilogramas de chocolate. Determie quato gastou a empresa, esse dia, a produção desses vite e cico quilogramas de chocolate. 1.. Determie a quatidade de chocolate que é ecessário fabricar, de modo que o custo de produção de cada quilograma de chocolate seja vite e seis euros. Apresete o resultado, em quilogramas, arredodado às décimas. Se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, duas casas decimais. FIM COTAÇÕES Grupo Item Cotação (em potos) I II III IV TOTAL 00 Prova 735/E. Especial Págia 8/ 8