PRÁTICAS DE LABORATÓRIO

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1 PRÁICAS DE LABORAÓRIO RAAMENO E APRESENAÇÃO DE DADOS EXPERIMENAIS M. Ribeiro da Silva Istituto Suerior écico Deartameto de Física 997

2 Ídice Itrodução. - ratameto de dados exerimetais e erros associados. - Erros das medições. - Distribuição ormal dos erros Erros e média aritmética Média, média quadrática, erro rovável de uma medição Erro máximo (majorate) de uma medição Erros das medições e recisão dos istrumetos de medida 3. - Registo das observações e aresetação dos dados 3. - Registos das observações, cálculos e algarismos sigificativos 3. - Reresetação gráfica dos resultados Normas ara gráficos ios de ael ara gráficos Barras de erro e rectâgulo de recisão Limite suerior do erro de uma recta ajustada a otos - método gráfico Ajuste de uma recta a otos exerimetais - método aalítico 3. - Istrumetos de medida 3. - Nóios lieares e circulares 3. - Multímetro aalógico Descrição do fucioameto Cotroles e recisão de oeração Multímetro digital Descrição do fucioameto Medição de valores eficazes (RMS) Cotroles e recisão de oeração Osciloscóio Fucioameto do tubo de raios catódicos (CR) Sumário das fuções, modos de oeração e cotroles Bada assate e temo de subida do sial Cotroles e modos de oeração 3 Aêdice - Asectos matemáticos do cálculo do valor eficaz (RMS) 34 i

3 INRODUÇÃO A física, um dos mais imortates ramos do cohecimeto humao desevolveu-se como uma ciêcia fudametalmete ligada à exerimetação. O rimeiro asso ara o estabelecimeto das leis da física é a observação. A observação cietífica ão é o etato uma tarefa fácil. Para o esclarecimeto das leis de um determiado feómeo físico é ecessário saber distiguir os seus elemetos riciais e, se ossível, modificar as codições em que se desevolve o feómeo isto é, assar da simles observação ara a exeriêcia cotrolada. ora-se assim fudametal ecotrar características quatitativas do feómeo (que ossam ser medidas) e estabelecer de que maeira, e com que aarelhos, mediremos estas determiadas características. Só deois odemos estabelecer leis quatitativas que demostrem como se modificará um dos arâmetros medidos em fução da variação dos outros arâmetros. Na sua defiição mais abragete, a exeriêcia é uma arte ecessária em qualquer rocesso do cohecimeto cietífico que, a geeralidade, se ode cosiderar como dividido em três artes fudametais:. Cohecimeto - estudo rimário do feómeo através da observação;. Geeralização - costrução da hiótese que ligará os resultados idividuais obtidos a observação, tato etre eles com outros resultados e leis já ateriormete cohecidas (a física fudametalmete quatitativas). Durate esta arte do rocesso do cohecimeto serão elimiados os factores de iterferêcia de maeira a salietar o verdadeiramete essecial o feómeo em estudo. Nesta altura são frequetemete ecessários dados comlemetares ara a obteção dos quais terão de ser feitas ovas observações ou laçadas ovas exeriêcias; 3. erifi cação da veracidade da hiótese - exerimetação em codições reais, cosiderado todos os factores secudários ateriormete elimiados. No caso de a resosta ser ositiva esta verificação eleva a hiótese à categoria de teoria e as relações or ela estabelecidas à categoria de leis. Será cotudo errado cosiderar que com a verificação da hiótese ela exeriêcia termia o rocesso do cohecimeto cietífico de um determiado feómeo. Passado algum temo é ossível que ovas observações, ovas exeriêcias aareçam em cotradição com a teoria ateriormete desevolvida e obriguem a uma revisão do cojuto dos factos cohecidos, seguido ovos otos de vista. Este mecaismo ossibilita o aarecimeto, uma dada fase do desevolvimeto cietífico, de uma teoria mais comleta que or seu turo será substituída or outra mais avaçada e assim sucessivamete. O rocesso do cohecimeto desevolve-se cotiuamete. Daqui se ode cocluir que embora a exeriêcia ão seja o úico meio ao alcace da ivestigação cietífica o seu ael é decisivo, sobretudo como fote e critério de veracidade. O exerimetador tem or isso uma grade resosabilidade ão só a correcta obteção dos resultados mas também a rória iterretação da exeriêcia. O trabalho exerimetal deverá ser orgaizado de tal maeira que ão só ão ermita erros como ão ermita diferetes iterretações dos resultados obtidos. Mas a exerimetação em física ão esgota todas as suas ossibilidades o cohecimeto cietífico, ode também esteder a sua ifluêcia a outros camos da actividade humaa. O desevolvimeto da física é comletamete determiado elo desevolvimeto das técicas e tecologias do seu temo mas o cotrário também é verdadeiro: o desevolvimeto de técicas e tecologias avaçadas, or sua vez, é só ossível uma base de desevolvimeto das ciêcias exactas e, or coseguite, da física. Efectivamete, toda uma série de tecologias avaçadas foram criadas em resultado do desevolvimeto de diferetes domíios da física como, or exemlo, a eergia atómica, o laser e a microelectróica. Neste rocesso da eetração da física a tecologia à exerimetação está atribuído o ael de árbitro ao ossibilitar a verificação, em codições reais, da alicabilidade das teorias a casos cocretos. Covêm aida salietar que a exerimetação física também têm actualmete uma imortâcia fudametal em mui- tas áreas mistas das ciêcias da atureza como a química, a biologia, medicia, electróica e ciêcia dos materiais.

4 . RAAMENO DE DADOS EXPERIMENAIS E ERROS ASSOCIADOS No iício de um curso de egeharia os trabalhos ráticos de física tem uma fialidade dula: rimeiro, dar ao estudate a ossibilidade de maiular aarelhos e istalações básicas de um laboratório equato adquire cohecimetos básicos de medições em física; segudo, dar a ossibilidade de um cohecimeto mais rofudo e ao mesmo temo rático de certos feómeos e leis da atureza exostos os cursos teóricos. Os trabalhos do segudo tio, embora teham uma comoete de medição, serão mais dedicados à discussão e estudo dos feómeos físicos evolvidos. Medir uma gradeza qualquer sigifica determiar quatas vezes uma gradeza semelhate, a uidade de medida, cabe ela. A medição directa de uma determiada gradeza em física é relativamete rara (um comrimeto com uma régua ou uma tesão com um voltímetro,.e.). Na grade maioria dos casos ão é a gradeza a determiar que será directamete medida mas sim um cojuto de outras gradezas com ela relacioadas or relações e fórmulas cohecidas, derivadas das leis físicas do feómeo estudado. A alicação a essas fórmulas dos valores medidos ermitirá etão calcular o valor da gradeza a determiar. Por exemlo, a aceleração da força da gravidade oderá ser determiada através de uma formula ode figurem o comrimeto de um êdulo e eríodo de oscilação a artir das cohecidas fórmulas do êdulo; a velocidade da luz oderá ser determiada ela difereça de fase etre dois raios laser, o emitido e o reflectido.. ERROS DAS MEDIÇÕES Os aarelhos de medida, or mais sofisticados que sejam, uca terão uma recisão absoluta. Por outro lado os ossos órgãos dos setidos são imerfeitos e as suas caacidades variam de essoa ara essoa. Estes dois factores combiados levam a que todas as medições só oderão ser feitas com um certo grau fiito de recisão. Por isso os resultados das medições forecem-os ão o verdadeiro valor da gradeza a medir, mas somete um valor mais ou meos aroximado. Uma boa medida é aquela em que se atige a maior recisão ermitida elo aarelho ou istalação de medida utilizados. A recisão duma medida deede dos istrumetos utilizados e dos rórios métodos de medição e, estas codições tetar ultraassar este limite de recisão seria um gasto de temo verdadeiramete iútil. Num bom laboratório de física ão é difícil atigir recisões da ordem dos,%, mas já as técicas de egeharia são aceites recisões da ordem de -4 % ara muitos trabalhos. Em algus casos ode ser obtida uma recisão muito mais elevada: ao esar um coro com uma massa de cerca de gr uma boa balaça de laboratório é correte atigir-se um erro de, mg, isto é, uma recisão de,5%. Noutros casos 5% é já um bom resultado, or exemlo medir uma temeratura de um líquido que se ecotra a C com um vulgar termómetro de álcool (valor da meor divisão da escala =,5 C). Daqui odemos cocluir que mesmo ates de iiciar uma medição é coveiete idetificar os limites de recisão que oderão ser obtidos com os istrumetos utilizados. Se ao logo de uma exeriêcia for ecessário medir gradezas diferetes com aarelhos de medida de íveis de recisão diferetes etão a recisão fial ode ser limitada elos valores obtidos com o aarelho de meor recisão. Por exemlo, em medições calorimétricas a determiação da massa de água e do calorímetro ode ser feita or esagem com uma recisão de,%. Cotudo, este caso, odemo-os limitar a uma esagem muito meos recisa (or exemlo,%) uma vez que a medição da temeratura do calorímetro só oderá ser feita com uma recisão da ordem de a %.

5 Uma maeira de aumetar a recisão do resultado fial será efectuar as medições físicas ão uma vez, mas várias vezes ara as mesmas codições exerimetais. Com efeito, as medições e leituras cometemos semre erros, mais ou meos imortates. Estes erros, segudo a sua origem, são classificados em dois gruos: os erros sistemáticos e os erros aleatórios. Erros sistemáticos - são o resultado de causas ermaetes como o estado deficiete ou má calibragem dos aarelhos de medida, icorrecção do rório método de medida ou falhas regulares o rocesso de observação or arte do rório exerimetador. Regra geral dão semre o mesmo resultado e é evidete que, sem mudar de método ou de aarelho, o aumeto do úmero de observações or um mesmo observador ão coduz à dimiuição destes erros. É ossível evitá-los (ou elo meos dimiuir a sua ifluêcia) através de uma aroximação crítica do método de medida, da verificação do bom fucioameto dos aarelhos de medida e do cumrimeto rigoroso das regras de execução dos trabalhos. Erros aleatórios - acidetais, imossíveis de rever, odem ser devidos quer à imerfeição dos ossos órgãos dos setidos (imrecisão das leituras que ivolutariamete o exerimetador ossa itroduzir o trabalho) quer a flutuações de estabilidade o fucioameto dos rórios aarelhos de medida. Os erros aleatórios obedecem às leis da robabilidade. Isto sigifica que se uma qualquer medição o resultado obtido foi suerior ao verdadeiro valor etão uma qualquer medição seguite teremos a mesma robabilidade de obter um resultado iferior ao verdadeiro. É evidete que este caso a reetição da mesma medição dimiui a ifluêcia dos erros aleatórios ois ão existe argumeto ara que se ossa cosiderar o desvio do valor verdadeiro mais rovável ara um lado do que ara outro. Assim a média aritmética de um grade úmero de resultados é sem dúvida muito mais róxima do verdadeiro valor da gradeza medida do que a medição úica. A teoria das robabilidades ermite calcular o erro rovável do resultado médio (média) através dos desvios de medições idividuais em relação ao valor médio. Aresetamos em seguida um resumo de regras úteis ara a determiação da recisão do resultado obtidos (erro rovável). Sejam or exemlo N, N,, N os resultados de k - medições idividuais de uma determiada gradeza. Etão o k valor da média aritmética, N, N = N + N + + N k (.) k rereseta o valor mais róximo do verdadeiro valor da gradeza medida. Os desvios N i de cada medição idividual em relação a este valor médio, isto é, as gradezas N-N = N, N-N = N,, defiem os erros absolutos de cada medições idividual, em relação ao valor médio. Estes erros odem ter siais diferetes mas, de mometo, só os iteressam os seus valores uméricos absolutos. A média aritmética dos valores uméricos de erros idividuais - N - tem o ome de erro médio absoluto de uma medição isolada, N N + N + + N = k As relações N /N, N /N, são defiidas como o erro relativo de uma medição isolada (os erros relativos são frequetemete exressos em ercetagem), e fialmete a razão etre o erro médio absoluto N e o valor médio da gradeza medida, N, chama-se erro médio relativo da medição, E, (.) N / N = ± E geralmete exresso em ercetagem ± E. (%) (.3) 3

6 Como já foi referido, os resultados fiais de um trabalho exerimetal só raramete se obtém através da medição directa da gradeza física a determiar. Na grade maioria dos casos este valor fial é determiado através de uma fução em que etram as várias gradezas físicas medidas. Nesta situação os diferetes erros idividuais actuam etre si. Estamos a situação de roagação de erros e o erro fial ode ser de determiação comlexa. Por exemlo, a determiação da gravidade terrestre elo método das oscilações do êdulo mede-se o eríodo das oscilações simles,, e o comrimeto do fio de susesão, l, sedo o valor da aceleração g determiado como uma fução destes dois argumetos, combiados a fórmula l g = π. O erro de g será etão uma combiação em evidete e em simles dos erros de π, l e. Geeralizado vemos assim a ecessidade de estabelecer regras que os auxiliem a determiação dos erros a atribuir a fuções elemetares de uma variável. Aresetámos exemlos de determiação de algus casos articulares de erros absolutos e relativos de fuções de uma variável:.- Fução exoecial Suohamos a fução N = A, ode A rereseta o valor medido e - um úmero iteiro e desigemos or A o erro absoluto da gradeza A. Etão o erro absoluto da gradeza medida N será N = (A + A) - A Desevolvedo a exressão e desrezado os termos em A com exoete igual ou suerior a dois (uma vez que a geeralidade A << A) obtemos a seguite exressão ara o erro absoluto de N - N =. A A (.4) O erro relativo E da gradeza N será exresso or N E = = A (.5) N A isto é, o erro relativo de uma fução exoecial será igual ao erro relativo do argumeto (valor medido) multilicado elo exoete da fução. No caso da raiz de otêcia de uma fução teremos N = A e N + N N = A + A (.4a) Elevado à otêcia ambos os termos da exressão aterior obtemos ( ) N + N N ) = A + A e desrezado as otêcias de N N de ordem suerior temos N + N N N = A + A e cosequetemete o erro absoluto A A A N = = e o corresodete erro relativo N A N A E = = N A (.5a).- Fuções trigoométricas 4 Cosideremos a exressão N = si α, em que α rereseta um valor medido de uma gradeza física. Como é resultado de uma medição o valor do âgulo α está sujeito a erro e etão teremos N + N = si (α + α) (.6) ode α rereseta o erro absoluto da medida do âgulo α. Desevolvedo em série a exressão e cosiderado como ateriormete que o erro α é equeo temos cos α e si α α e, substituido a exressão (.6)

7 obtemos e logo e aida N + N N = si α + cos α. α N N = cos α. α (erro absoluto) (.7) E = N N/NN = ctg α. α (erro relativo) (.8) De maeira aáloga é ossível calcular os erros absoluto e relativo ara as outras fuções trigoométricas Fuções comostas ejamos agora o caso de uma fução comlexa qualquer. Na geeralidade, os erros das medições são suficietemete equeos quado comarados com as gradezas medidas e or este facto odem ser desrezados as suas otêcias de ordem suerior à uidade (quadrados, cubos, etc.). Esta simlificação ermite utilizar o cálculo diferecial a determiação dos erros de medição. Por exemlo, seja o valor N resultado da medição de uma úica gradeza fucioal: x relacioada com N or uma relação N = f(x) (.9) Suohamos também que o erro médio absoluto da medição de x é ±dx x ; este erro roduz um erro corresodete de ± N a gradeza a determiar. Assim N ± dn = f(x ± dx) (.) Decomodo a exressão (.) em série de aylor obtemos N f dx df ( ± dn = ( x) x dx ) d f ( x ) ± dx! dx e desrezado os termos em dx com exoete suerior à uidade simlificamos ± dx ± ( ) N f dx df ( x) ± dn = ( x) x ) ± dx edo em cota a exressão (.9) obteremos ara o valor do erro absoluto: dn dx df ( x) = ± dx (.) Geeralizado: o erro absoluto duma fução (comosta) é igual ao erro do argumeto multilicado ela derivada dessa mesma fução. O erro relativo dessa mesma medição será determiado ela exressão dn dx df E = ± E N ou aida = f (xx ( x ) dx (.) No oto (..3) estudaremos o caso mais geral de fuções comostas or várias variáveis ideedetes do tio f(x i ), com i =,,...,. ( ). DISRIBUIÇÃO NORMAL DOS ERROS.. ERROS E MÉDIA ARIMÉICA Ao cosiderar os erros acidetais, ievitáveis a rática laboratorial, como um caso articular dos acotecimetos aleatórios, Gauss formulou a lei da distribuição ormal dos erros artido dos ostulados: º - em observações de igual cofiaça o valor mais rovável é a média aritmética; º - a robabilidade de se cometer um erro x é fução f (x) desse mesmo erro; 5

8 3º - a robabilidade de se cometer um erro muito grade é muito equea e o siais ositivo ou egativo do erro são igualmete rováveis. 4º - a robabilidade de se cometer um erro etre x e ( x+dx) é dada ela exressão f (x).dx. Cosiderado estes ostulados a quatidade de erros com um determiado valor ara uma dada gradeza deverá ser uma fução decrescete e simétrica do valor do erro aleatório: h f e h h = ( (xx ) x x = x x (.3) ode x - é valor do erro, = (. f (x). x ) - quatidade de medições ara as quais o valor do erro está cotido o itervalo {[x, x+dx} e - quatidade global de exeriêcias realizadas. A curva y = f (x) é desigada or curva de Gauss ou curva da distribuição ormal dos erros. O arâmetro h é defiido como a medida da recisão. A curva de Gauss é geralmete ormalizada de modo a que se cumra a codição + f (x x) d ( (x x) = (.4) Na Fig.. estão reresetadas curvas de Gauss ara diferetes valores do arâmetro h. Quato maior for a recisão da medida mais raidamete decresce o valor da fução com o crescimeto de x (ou, em termos ráticos, tato meor é o úmero de medidas com grades erros) y h > h > h 3 h h P h 3 x dx Fig.. - Reresetação da fução de Gauss ara diferetes valores do arâmetro h Suohamos que foram feitas medições de uma certa gradeza A e que foram obtidos os valores N, N, N,. 3 Etão o erro das medições idividuais será x = A N x = A N (.5) = A robabilidade de aarecimeto de erros com um valor comreedido etre x e (x +dx ) é igual à relação etre o úmero de medidas efectuadas com esse mesmo erro e a quatidade total de medidas, isto é, h h h x P = y dx e = dx π (.6 ) A teoria das robabilidades ermite afirmar que a robabilidade de aarecimeto simultâeo de acotecimetos ideedetes é igual ao roduto das robabilidades destes acotecimetos. Assim a robabilidade de aarecimeto de um 6

9 cojuto de medidas com as robabilidades x, x, x 3, ode ser escrita sob a forma ( ) Práticas de Laboratório - M. R. Silva h h P = dx d e x + x + x3 + + x x dx π dx 3 (.7) O valor mais rovável da gradeza medida (idetificado ela letra A) ode ser determiado a artir das relações ateriores. Não é demais salietar que este valor ão é igual ao valor exacto A, mas sim rereseta o valor mais rovável (ou seja o mais róximo do verdadeiro) calculado através dos resultados das medições. A este valor A corresode o valor máximo da robabilidade P e or coseguite o meor valor da soma x + x + x x x i = i= Para a determiar o valor de A exrimimos o somatório de através de A e,,, tedo em cota a equação (.7) e substituido ao mesmo temo o valor descohecido de A or A. Obtemos assim z (A A) = x i = (A A N i ) (.8 ) i= e o valor de A será escolhido de maeira a obtermos um míimo ara a fução z(a), o que acotece quado se verifica a codição dz da (A A N i = e assim A = i= = ( ) Ni (.9) A teoria de Gauss ermite assim cofirmar o ostulado da média aritmética: o valor mais rovável da gradeza A, calculado a artir de séries de valores medidos N, N, N, é a média aritmética destes valores. 3 E aida: o valor médio aritmético de uma gradeza distigue-se dos outros tios de valores médios elo facto de ser míima a soma dos quadrados dos seus erros... MÉDIA, MÉDIA QUADRÁICA, ERRO PROÁEL DE UMA MEDIÇÃO Na teoria gaussiaa do erro a recisão de uma medida é comletamete determiada ela medida da recisão, h. Este valor ode ser calculado se for costruída a curva y = f (x). Cotudo a teoria dos erros é ormal caracterizar a recisão de uma medida através de uma das três seguites gradezas: erro médio ρ, erro médio quadrático (desvio adrão) σ y e erro rovável da medição η. Evidetemete cada uma destas gradezas ode ser exressa através de h. Por defiição o erro médio ρ é igual a (ver Fig..) xi ρ = ± i = e, utilizado a exressão (.4) obtemos imediatamete ρ = x h e h x d x = π h π O erro médio quadrático ou desvio adrão - σ é defiido ela exressão x (.) η η ρ σ Fig.. - Erro quadrático médio - σ e erro rovável - η 7

10 x h i h x σ = = x e dx = =, 5 ρ π h (.) Fialmete o erro rovável (η) de uma medida idividual é defiido como o valor que divide erros aleatórios de medições em duas artes iguais: uma metade das medições tem erros meores que h e a outra metade - maiores que h. Isto sigifica que h é igual à abcissa da curva de Gauss ara a qual a área delimitada ela curva e comreedida etreos limites ± h é igual a metade da área total + η h h e x dx = e assim η =, 6745 =, σ π h (.) η Chamamos a ateção ara o facto de as fórmulas (.5) x i aarecer como a difereça etre a i-ésima medida e o valor verdadeiro da gradeza a medir. No etato o valor calculado da difereça é-lhe semre róximo mas uca igual ois rereseta a difereça etre um valor médio A e o valor medido da gradeza. Este facto leva a que o deomiador da fórmula (.9) o deomiador seja substituído or (-) e desta maeira obtemos σ = ± xi Da Fig(.) odemos tirar algum setido físico ara as gradezas ρ, σ e η. As ordeadas corresodetes a estes otos defiem duas áreas iguais, detro da curva de Gauss, corresodetes ao erro rovável ±η e ão iguais ara ρ e σ. A arte tracejada idica qual a fracção do total das medidas que areseta valores afastado-se da média aritmética um valor de x, com x<η. Esta área idica qual a robabilidade α de um erro de medição meor ou igual a η (ou ρ ou σ). edo em cota a ormalização da curva de Gauss este valor é semre iferior a. Ao valor desta robabilidade, α, é dado o ome de coefi ciete de fiabilidade. Para uma quatidade de medições elevada: erro rovável η =,5 erro médio aritmético ρ =,57 erro quadrático médio σ =,68. Devemos salietar que o acima exosto é verdadeiro se o úmero de medições for suficietemete elevado uma vez que de medições calculamos, ão valores exactos mas sim, σ, ρ e η e o coeficiete α ara estes valores dimiui com a dimiuição de..3)..3 ERRO MÁXIMO (MAJORANE) DE UMA MEDIÇÃO 8 Como alterativa à determiação do erro elos rocessos ateriores odemos aida utilizar o coceito de erro máximo ou majorate o caso de fuções de mais de uma variável. Para isso é calculado o erro máximo a medição da gradeza N(x,y,z) cosiderado que todos os erros a determiação dos valores de x, y e z modificam o valor de N um mesmo setido. Algus exemlos :.- Erro máximo absoluto e relativo ara os valores de uma soma (ou difereça) de duas gradezas medidas N = A ± B. Suohamos que o erro absoluto da gradeza A é A e que o erro absoluto da gradeza B é B. Etão N ± N = (A ± A ) ± (B ± B ). (.4) O sial dos erros A e B ode ser qualquer. Cosideremos o caso mais desfavorável, quado os erros de medição

11 sejam os maiores. No cálculo da soma de duas gradezas medidas, A e B, o erro será máximo (majorado) se o erro da gradeza A e o erro da gradeza B forem do mesmo sial (o caso da difereça das gradezas A e B o erro será máximo se o sial dos seus erros for de setido cotrário). Em ambos os casos o erro máximo absoluto N da gradeza N será igual à soma dos erros absolutos das medidas das gradezas A e B : ± N = ± ( A + B ) (.5) Os erros relativos (E) das medições serão exressos através das fórmulas: ara a soma N A + B E = = N A + B (.6) ara a difereça A + B E = A B (.7) De otar que um cálculo em que o resultado seja deedete da difereça de duas gradezas medidas o erro relativo da medição será tato maior quato mais róximo estiverem os valores das gradezas medidas..- Erro máximo absoluto e erro relativo ara os valores do roduto (ou quociete) de duas gradezas N = A.B (ou N = A/B). Se A for medido com o erro ± A e B com o erro ± B etão Uma vez que A N ± N N = (A ± A ).(B ± B ) = A.B ± A. B ± B. A ± A. B (.8) e B são equeos em relação aos valores de A e B o roduto A. B ode ser desrezado como gradeza de ª ordem, [( A. B ) «A,B] e assim N = A. B + B. A (.9) Como ateriormete, devemos ter em cota o caso mais desfavorável, isto é, quado ambos os erros tiverem o mesmo sial. Deste modo o erro máximo absoluto de um roduto é igual à soma do roduto do erro absoluto do rimeiro multilicador elo segudo multilicador e do erro do segudo multilicador elo rimeiro. Daqui obtemos ara o erro relativo N A B + B A A A B E = = = + N A B A B O erro relativo do roduto é igual à soma dos erros relativos dos multilicadores. Aalogamete, se N = A/B etão N A ± A ( ± N = = A A A ) ( (B B + B B ± B B ( B) + ( ) (.3) AB ± B A ± A B = B (.3) Novamete são desrezados os termos de ordem suerior dos erros (quadrados e rodutos) e cosideramos o caso mais desfavorável isto é, quado o erro do umerador e o erro do deomiador tem siais cotrários. Assim N B A + = A B B (.3) O erro máximo absoluto de um quociete é igual à soma dos rodutos do erro absoluto do umerador elo deomiador e do erro absoluto do deomiador elo umerador, dividida elo quadrado do deomiador. O erro relativo de um quociete é igual à soma dos erros relativos do umerador e do deomiador. Efectivamete N B A B + B A A A B E = = = + N A B A B (.33) NOAR BEM - É ecessário ter semre em cota que a utilização automática destas regras ode coduzir a erros de cálculo os casos em que a gradeza medida etra mais do que uma vez a fórmula de cálculo do resultado. 9

12 Por exemlo, cosideremos a exressão N=( = A+B)/B/ à qual odem ser automaticamete alicadas as fórmulas ateriores, cosiderado o quociete da divisão de duas gradezas: C = ( A+B) e B. Etão N B C C + = C B B mas como C = A+ B teremos assim N B ( ( A + B) B) + ( (A A + B) B B A + ( A + B) B = = B B Por outro lado, é evidete que (.34) N = (B. A+A. B) /B (.35) ois N ode ser reresetado or N=(A/B) +. O erro itroduzido elo rimeiro rocesso de cálculo é devido ao facto de termos cosiderado diferetes o sial do erro absoluto da medição que é reetido o umerador e o deomiador da fórmula de B, aalogamete ao que é feito ara o cálculo do erro do quociete de duas gradezas ideedetes. Neste caso é evidete que o erro absoluto B o deomiador e o umerador teria de ser cosiderado com o mesmo sial. Assim, o caso de reetição de algumas gradezas as fórmulas é ecessário calcular o erro máximo médio da medição em cada caso idividual. Como método geral ara o cálculo do erro majorate N de uma fução defiida or arâmetros mesuráveis, N=f(x i ) com i=,... odemos alicar a fórmula geral de roagação de erros, derivada do cálculo diferecial: N dn = ± dx x N + dx x N + + dx x N N = x i i x = i (.36) Ao calcular o erro máximo é ecessário ter em cota que, se a gradeza a defiir for determiada or medidas de uma série de outras gradezas etão, o erro calculado fica a rática fortemete majorado ois a robabilidade que os erros de todas as gradezas medidas teham um sial tal que tore máximo o erro do resultado é tato meor, quato maior for a quatidade de gradezas medidas. Por outro lado, se tato a quatidade de gradezas medidas como o úmero de medições forem muito equeas etão a utilização das fórmulas baseadas a distribuição de Gauss dará uma recisão do resultado demasiado otimista. Neste caso é usual utilizar de fórmulas derivadas de outras distribuições estatísticas (Fisher-Studet,.e.) de derivação mais comlexa.

13 abela - Comilação de fórmulas de erros e valores médios de medições alor médio aritmético de uma gradeza N = N + N + N3 + + N Erro médio absoluto de uma medição Erro relativo de uma medida isolada ρ E = N = N = N i= N N i Erro médio quadrático de uma medição σ = ( N N i ) i= ( N ) Erro rovável de uma medição. N N i i= Relação etre σ e ρ : σ =,5 ρ η ara > 3 η =, 6745 Erro quadrático médio da média aritmética σ N σ = = ( N N i ) i= ( ) ( Erro absoluto de uma fução de uma só variável dn dx df ( x) = ± dx Erro relativo de uma fução de uma só variável E dn dx df ( x) = = N f (xx ) dx Erro médio quadrático de uma fução de várias variáveis ideedetes σ = σ f f x σ y + x + y Erro máximo de uma fução de várias variáveis ideedetes f N x dx f max = + y dy + Coeficiete de fiabilidade ara ρ, σ e η o caso de um grade úmero de medições : α α α ρ =,57 η =,5 σ =,68

14 abela - Fórmulas ara o erro absoluto e relativo ara diferetes fuções Oeração matemática Fuções de uma só variável N = A ± A Erro absoluto ± relativo (%) A A A N = A N = si (AA ) N = cos (AA ) ± A ± cos ( ) ± si ( ) A A) A A) A A A ctg ( A) A tg ( A) ) A A N = tg (AA ) ± A cos ( A) A si A ( ) N = ctg ( A) ± A si ( A) A si A ( ) Fuções de mais de uma variável - erro máximo N = A + B + C + N = A B N N = A B = A B C ± ( A + B + C + L) ± ( A + B) ± ( B A A + A B) ± ( BC A A + A C B + AB C) A + B + C + L A + B + C + L A + B A B A B + A B A B C + + A B C N = A B ± A B B + B A B A B + A B Fuções de mais de uma variável - erro médio quadrático N = A + B + C + ± σ + σ + σ + L A + B C A B σ + σ + σ B + L A + B + C + L N = A B ± σ + σ A + B σ A B + σ A B N = A B C ± ( BCσ A) ) + (ACσ σ B ) + ( ABσ C ) σ A σ B σ C + + A B C N = A B σ A A ± + σ B B B σ A A σ + B B

15 .3 ERRO DAS MEDIÇÕES E PRECISÃO DOS INSRUMENOS DE MEDIDA A reetição de medições ara a elimiação dos erros aleatórios só tem setido se os erros aleatórios de medições idividuais forem sueriores ao erro itroduzido elo rório aarelho de medida. A recisão do aarelho de medida (se a sua utilização ão itroduzir ovos erros) é basicamete determiada elas características da sua costrução e ela graduação da escala. Como regra geral, a recisão do mecaismo do aarelho de medida é iferior à recisão da leitura feitas as suas escalas. A recisão do aarelho de medida ode tato ser idicada o rório aarelho como as istrucções técicas que o acomaham. Algus exemlos: a) Ao medir um comrimeto com uma régua ão é difícil avaliar à vista algus décimos de milímetro mas uma régua vulgar uca é costruida com uma recisão tão elevada. Mesmo que reetíssemos as medições muitas vezes a recisão do resultado obtido ão ode ser melhor que a recisão com que foi fabricada a régua. Por outro lado, mesmo que as divisões corresodetes aos milímetros fossem gravadas com extrema recisão (digamos, mm) este facto ão se reflectiria a medição efectuada elo observador. Neste caso o factor limitativo seria a acuidade visual do exerimetador e a recisão da medição com a régua será determiada ela recisão de leitura visual que, como regra, ão ultraassa o melhor dos casos, do valor da meor divisão da escala. b) Ao medir uma resistêcia de algumas ceteas de Ohms com um ohmímetro digital de recisão (resolução de, Ω,.e.) as difereças etre os valores de cada medição odem atigir algus Ohms devido aos erros aleatórios das medições (maus cotactos das otas de rova, flutuações da correte de rova, etc.). Neste caso a medição deverá ser reetida o úmero de vezes suficiete de maeira a ermitir que o erro médio absoluto se aroxime do limite de recisão do aarelho de medida (, Ω). Como regra, ao efectuar as medições deverá fazer-se o ossível ara que a recisão das medições se aroxime da recisão omial do aarelho de medida. Se medições sucessivas idicarem, ou o mesmo valor ou valores tão ouco diferetes que a sua disersão seja iferior à recisão omial do aarelho de medida, etão o cálculo da recisão do resultado em lugar do erro absoluto dos diferetes valores medidos devemos escrever o valor da recisão do aarelho de medida. - REGISO DAS OBSERAÇÕES E APRESENAÇÃO DE DADOS. - REGISO DAS OBSERAÇÕES, CÁLCULOS E ALGARISMOS SIGNIFICAIOS De uma maeira geral, o registo de observações (relatório) devem ser iscritos: - a idicação da medida ou exeriêcia a efectuar e o método e/ou fórmulas ecessárias; - o(s) ome(s) do(s) oerador(es) ( ou aluos) que realizam a exeriêcia e a data; - se coveiete, a lista de aarelhos de medida que terão de ser emregues com a idicação da sua recisão de medida omial; - se a exeriêcia o ermitir devem ser itoduzidos o relatório esquemas da motagem e/ou esquemas simlificados das ligações eléctricas ecessárias às medições; - as observações (medidas), que devem ser exostas de forma clara e ão ambígua, com as resectivas 3

16 uidades bem idetificadas. Semre que ossível as medições devem ser exostas sob a forma de tabelas que icluirão as uidades de medida, factores de escala e recisão do aarelho ou método com que foram obtidas. Ates de começar os cálculos covém reflectir sobre a sua estrutura e que tio de resultados arciais, se ecessário, será fudametal coservar. Em geral, covém disor os resultados arciais e fiais sob a forma de tabelas de modo a facilitar a sua isecção e verificação osterior mesmo or essoas que ão teham directamete realizado o trabalho. Devido à caacidade de cálculo das máquias de calcular actuais a quatidade de dígitos disoíveis deois de qualquer cálculo ode facilmete atigir 9 uidades ou mais. É óbvio que a grade maioria dos cálculos em egeharia, e mesmo a física, em todos este dígitos tem sigificado real. Assim, é ecessário estabelecer critérios e regras que ermitam a elimiação dos algarismos ão sigificativos, que só vão dificultar a leitura dos resultados da exeriêcia e comreesão dos cálculos. De uma maeira geral odemos cosiderar 3 casos a aroximação dos resultados obtidos os cálculos: º - basta cohecer a ordem de gradeza dos resultados (isto sigifica uma aroximação de 5 - %). Esta situação é tíica daqueles casos de egeharia em que se tomam, or exemlo, factores de seguraça duas, três, ou mais vezes maiores que o valor calculado. º - basta cohecer o resultado com uma aroximação de - %. Neste gruo está icluída a grade maioria dos cálculos técicos e mesmo físicos. 3º - cálculos de recisão,5% ou mesmo suerior. Neste caso estão ormalmete icluídas as medidas efectuadas um bom laboratório de física e medidas de calibragem de istrumetação, tíicas em laboratórios de cotrolo de qualidade e certificação. Mas ateção, os resultados de uma medida tem fraco valor rático equato ão soubermos qual o erro que lhe está associado. Será também o valor do erro, calculado ou eserado, que os ermitirá determiar, a geeralidade, a quatidade de algarismos sigificativos a aresetar um resultado. É claro que será iútil aresetar um resultado com 9 algarismos se a recisão for de %, valor que só garate 3 algarismos sigificativos. São geralmete aceites dois critérios ara a determiação dos algarismos sigificativos: º - o resultado umérico é dado com algarismo sigificativo a mais além dos exactos, ou seja o eúltimo algarismo é correcto mas o último ode estar errado em várias uidades. Por exemlo, o resultado 37,43 sigifica que o valor umérico exacto está etre 37,4 e 37,5. Este método é usado em física e, de uma maeira geral, as ciêcias exactas. º - o resultado é dado com tatos algarismos sigificativos quatos o rigor do cálculo ermite, isto é, o último algarismo sigificativo é rovavelmete correcto com a aroximação de / uidade (arredodameto). Neste caso, os cálculos tem de ser levados a mais uma casa decimal além daquela eserada ara o resultado. Por exemlo, o resultado 86 sigifica um valor etre 85,5 e 86,5 e o resultado 86, sigifica um valor etre 85,95 e 86,5. Notar bem a imortâcia dos zeros à direita que odem reresetar valores exactos ou, elo meos, sigificativos. Este método é geralmete usado em egeharia. Ao escrever úmeros de valor muito elevado ou muito baixo mas de recisão média ou reduzida covém utilizar uma reresetação com otêcias de, or exemlo 5 6 deverá escrever-se ou melhor aida, Por último, os arredodametos dos resultados uméricos deverá usar-se a regra do arredodameto ara o dígito imediatamete iferior ou suerior coforme o valor a arredodar seja iferior a 5 ou igual ou suerior a 5, resectivamete.e. 86,93 arredoda ara 86,9 e 86,96 arredoda ara 87,. 4

17 Regras ráticas ara a fixação dos algarismos sigificativos: a) quado se areseta um erro rovável duma medição ou cálculo basta coservar um algarismo sigificativo ou o máximo dois, deois do arredodameto (.e., o mesmo erro ode ser reresetado or ±,3 ou,8). b) os valores médios calculados ou os valores fiais ecotrados coservam-se tatos algarismos sigificativos quatos os corresodetes ao último algarismo sigificativo do erro. Assim se a máquia de calcular aresetar o valor 5,63847 e o erro for ±,8 deve-se aresetar aeas o valor (5,64 ±,8) como resultado. c) os cálculos efectuados à mão deve-se coservar aeas o úmero de algarismos sigificativos suficiete ara aresetar o resultado com a aroximação de uma uidade o último algarismo sigificativo. Por exemlo, ara somar (3,3±,5) com (74,873±,7) tomaremos os valores 3,3 e 74,3; o erro fial será calculado searadamete, com o auxílio de regras rórias (ver..3). Nas multilicações e divisões mauais, como regra rática odemos aceitar que, se a recisão eserada for: % ou mais se tome 3 algarismos sigificativos etre % e % se tome 4 algarismos sigificativos etre % e,% se tome 5 algarismos sigificativos etc. d) os cálculos ecadeados feitos com máquia de calcular ão é ecessário roceder a arredodametos etre cada cálculo, e mesmo etre cálculos diferetes, desde que os valores itermédios sejam coservados em memória. No etato, se tivermos de assar ara o ael algum resultado itermédio, as coveções ateriores são ara seguir. NOA - No caso de termos de idicar uidades de medida ara um valor sujeito a erro devemos adotar a seguite coveção de escrita: ( 5,34 ±, ) cm/s ou, o caso de otêcias, ( 5,34 ±, ). - m/s isto é, o caso de existirem, as uidades abragem ambos os valores, o calculado e o resectivo erro.. - REPRESENAÇÃO GRÁFICA DOS RESULADOS A exeriêcia foi feita, registaram-se valores de gradezas físicas, mas ada disto terá valor se ão coseguirmos mostrar o que acoteceu, se ão coseguirmos tirar coclusões daquilo que medimos. Normalmete as coclusões, sejam elas de atureza quatitativa ou somete qualitativa, imlicam o estabelecimeto de relações etre as variações de uma ou mais gradezas - a causa - e a corresodete modificação de um valor, medido ou calculado, - o efeito. Esta relação ode e é muitas vezes aresetada sob a forma de tabela umérica de duas (ou mais) variáveis: y - o efeito fução de x - a causa. Uma boa reresetação gráfica dos valores exerimetais (resultado de uma medição directa ou do cálculo) ão só evidecia os asectos articulares da deedêcia das gradezas ermitido uma aálise ráida (e relativamete recisa) como, em muitos casos, é a melhor hiótese que se areseta ao ivestigador ara solucioar o roblema. Algumas das vatages de um gráfico : - areseta cojutos extesos de dados de uma maeira comacta, um só gole de vista ; - mostra ráida e claramete a maior ou meor cocordâcia dos resultados com o eserado e sugere ao mesmo temo o tio de fução que melhor rereseta o feómeo físico; - é um método ráido e fácil ara obteção de resultados itermédios or iterolação etre dois otos medidos ou de resultados fora do domíio medido, or extraolação. 5

18 ..- NORMAS PARA GRÁFICOS Para ser efectivo um gráfico tem de ser fucioal, objectivo e estritamete adatado às dimesões e características do feómeo a descrever. Além disso, ara oder ser comarado com outros gráficos e lido or diferetes essoas (mesmo ouco ao correte do roblema esecífico reresetado) o gráfico tem de aresetar uma iformação simles de areeder, iequívoca, comleta e de referêcia ormalizada. Suohamos um cojuto de valores uméricos que reresetam a variação de y - variável ideedete, com x - variável deedete. Etão como regra : º - os valores da variável ideedete y serão reresetados em abcissa. Juto a cada eixo deverá ser iequivocamete caracterizada a gradeza corresodete, assim como as resectivas uidades de medida de referêcia o sistema SI. A gradeza ode ser simles: temeratura, comrimeto L, etc. ou comlexa: eríodo de oscilação =π. (l/g). Detro de um mesmo trabalho mater costate, semre que ossível, a área ocuada elos diferetes gráficos : /4, /3 ou / do formato A4; utilizar formatos maiores só em caso de absoluta ecessidade. Não esquecer que a aresetação de um gráfico é equivalete a um texto e or isso devem ser revistas o ael marges em braco de tamaho suficiete, como se tratasse de um texto correte. º - as escalas devem ser escolhidas em fução da gama de valores uméricos das variáveis a reresetar de maeira a que ossa ser feita uma leitura directa e fácil dos gráficos. No geral, as escalas devem ermitir a obteção da mesma recisão que a das observações exerimetais registadas, quer durate a costrução, quer a leitura osterior do gráfico. As escalas ão tem, ecessariamete, de icluir a origem do referecial (,), Fig...a. / 3 3 (.m) t elocidade do foguete t(s) a) Mal b) Bem c) Mal Figura. - Exemlos de escalas e costrução de gráficos O úmero de algarismos utilizados as divisões das escalas deve estar adatado às dimesões dos gráficos e ermitir uma leitura ráida, ão se sobreodo (Fig...c); emregar semre que ecessário a factorização or otêcias de (Fig...b). Este facto imlica cuidado a adoção da relação de escala de modo a ermitir uma leitura fácil dos valores itermédios,.e. - escalas de :3, :, :, :,.e. (será comletamete a evitar as escalas comlicadas como,.e., :4,6 ou :7, etc.). 3º - Os ares de valores (y,x) deverão ser assialados o gráfico or um símbolo equeo (+, *, o,, x, etc.). No caso de ser ecessário reresetar o mesmo gráfico mais do que uma série de otos, os otos corresodetes a cada série serão sializados com símbolos diferetes. A dimesão dos símbolos deve ermitir a visibilidade da sua forma mesmo que seja ecessário traçar qualquer curva sobre eles. 6

19 Nos eixos serão idicados somete os valores que defiem a escala. Nuca serão idicados os eixos os valores dos otos do gráfico, assim como ão serão desehadas as lihas cujo cruzameto defia qualquer oto exerimetal a assialar. Através de uma escolha criteriosa das escalas deve-se evitar que as curvas ou gruos de otos se desevolvam quase aralelos aos eixos coordeados (Fig. 3..c), a ão ser que a fução reresetada seja mesmo quase costate. 4º - odos os gráficos devem ter uma legeda (evetualmete acrescida de um úmero de ordem) que idetifique comletamete o seu coteúdo e que ode ser colocada or baixo do eixo das abcissas ou alterativamete um esaço livre detro do rório gráfico (Fig...b). 5º - Se for ecessário traçar uma liha que melhor ajuste os otos exerimetais (muitas vezes só ara guiar a vista ) devemos rocurar traçá-la de maeira a reresetar o adameto geral do cojuto de otos e ão é absolutamete ecessário que asse or todos os otos, (Fig...b). Não esquecer que, de um modo geral, as leis da física tem variações regulares (suaves) sem bicos e mudaças bruscas de direcção (Fig..a)... - IPOS DE PAPEL PARA GRÁFICOS Existem vários tios de ael ara a reresetação de gráficos. Os mais utilizados tem duas escalas lieares erediculares (ael milimétrico ou li-li) ou uma escala liear e outra logarítmica (semilog ou log-li). Existem aida muitos outros tios de ael esecificamete adatados à resolução gráfica de certos roblemas : ambas as escalas logarítmicas (ael log-log), escalas liear-olar, escalas estereográficas, escala trilas, etc.. Para a reresetação dos feómeos físicos ode ser utilizada uma grade variedade de fuções matemáticas. ejamos algus casos tíicos que ilustram o tio de ael a utilizar: º - um grade úmero de feómeos físicos odem ser reresetados or relações do tio liear (y = kx + a). Por exemlo: Lei do movimeto rectilíio e uiforme s = s + v. t (.) elocidade de um coro deslizado or um lao icliado v = v + (g. siα). t Lei de Ohm = R. I, etc.; ara relações lieares o ael milimétrico (Fig..a) é o mais idicado ara a reresetação gráfica deste tio de fuções; E (W) 4 3 a) Potêcia absorvida E a esessura L 4 6 L(m) E (W) Potêcia absorvida E a esessura L 4 6 L(m) b) Figura. - Exemlos de utilização de diferetes aéis ara gráficos log E (W) Potêcia absorvida E 4 a esessura L º - outras leis físicas existem em que as relações etre as variáveis são do tio exoecial 4 6 L(m) Lei do movimeto acelerado e = /. j. t ou, or exemlo (.) 3 c) Amortecimeto de oscilações y = y. e -ax 7

20 Reresetar fuções deste tio em ael milimétrico levaria raidamete a dimesões excessivas do gráfico e/ou à imossibilidade de uma leitura correcta (Fig...b). Nestes casos justifica-se a utilização de aéis logarítmicos log-li ou mesmo log-log. A reresetação em ael log-li é equivalete à logaritmização das exressões reresetadas: e = /. j. t log e =,3+ log j + log t (.3) e y = y. e -ax l y = l y - a x equação de uma recta Y = Y + BX Deste modo as curvas origiais ficam liearizadas e os resectivos gráficos em ael log-li são aroximados a rectas com declive igual ao coeficiete de x ( B) e de ordeada a origem igual ao termo costate (Y ) (Fig...c). Aaliticamete o declive B. y y l, log l y y y B = y 36 l = = (.4) x x x x x x..3 - BARRAS DE ERRO E RECÂNGULO DE PRECISÃO O resultado de toda e qualquer medição uca é um valor exacto, tem semre associado um certo erro (erro de leitura, erro adrão, erro sistemático, etc.) ou seja, sedo G uma gradeza exerimetal a sua medida será G = g ± g, em que g é a medição e g o erro associado. Isto sigifica que o valor mais rovável de G estará situado o itervalo [g - g, g+ g]. Desde que a escala o ermita, um gráfico deve semre revelar este facto, comletado-se com as barras de erro corresodetes a cada oto reresetado, seja ele calculado ou exerimetalmete medido. iicamete as barras de erro são graficamete reresetadas or equeos segmetos de recta de comrimeto. g cetrados os otos de ordeada g (Fig..). No caso geral a cada oto estão associadas duas barras de erro, uma aralela ao eixo das abcissas e a outra aralela ao eixo das ordeadas. Quado existam simultaeamete, estas duas barras de erro defiem o chamado rectâgulo de recisão do oto exerimetal. Em muitos casos um dos erros, geralmete o corresodete às abcissas, ode ser desrezado em face do valor do outro. Nesta situação o rectâgulo de recisão reduz-se a uma úica barra de erro ou, o caso limite de a escala ão o ermitir, ão haverá lugar a reresetação da dimesão do erro LIMIE SUPERIOR DO ERRO DE UMA RECA AJUSADA A PONOS - MÉODO GRÁFICO Cosideremos duas gradezas cuja iterdeedêcia ossa ser defiida or uma exressão do tio liear y = α + k.x em que α - ordeada a origem, e k- coeficiete agular da recta, são costates, e a quatidade de ares de otos exerimetais (x i, y i ) que a reresetam igual a. Os erros exerimetais fazem com que estes otos ão se distribuam obrigatoriamete sobre uma recta. Neste caso odemos ajustar graficamete uma recta que melhor reresete a variação de y com x, rocurado que os otos que se situem acima da recta de ajuste sejam comesados elos que se situem or baixo (Fig..3). Mesmo este caso aroximado odemos (e devemos) determiar os limites sueriores do erro ara a ordeada a origem, α, e ara o coeficiete agular da recta, k, que defiem o erro total da recta ajustada. 8

21 NOA:- o uso de uma régua trasarete ara o fazer é coveiete. Assim teremos uma visão global do cojuto dos otos exerimetais; - a descrição simlificada dos métodos de ajuste aalítico rigoroso (míimos quadrados, χ, etc.) e a avaliação dos resectivos erros será feita searadamete. α 3 R R R y y R R R α α 4 X x x X Figura.3 - Limites sueriores do erro de uma recta ajustada Procedimeto: º - suohamos que a recta de melhor ajuste R, traçada de maeira a obtermos uma quatidade equilibrada de otos or cima e or baixo da recta, é defiida elos arâmetros α, coeficiete agular e k, ordeada a origem; º - deseham-se duas rectas aralelas a R que assem elos otos exerimetais mais afastados, or cima e or baixo de R (- e 3-4). Nota - em rimeira aroximação, um ou outro oto excecioalmete afastado da recta média oderá ão ser cosiderado ois a robabilidade de corresoder a uma medida icorrecta é grade; Estas rectas serão itersectadas or duas aralelas ao eixo dos yy (-4 e -3) que cotém o rimeiro e o último oto exerimetal reresetado. Os quatro otos assim determiados (,,3,4) defiem o aralelogramo de icerteza. 3º - deseham-se as diagoais do aralelogramo de icerteza, R e R ; determiam-se os arâmetros α e k ara as três rectas R, R e R. Com estes valores é calculado o limite suerior do erro do coeficiete agular ( α) e da ordeada a origem ( k) ara a recta de ajuste R : ( α) α = ( ) = * * α k k (.5) em que : ( α)* é o valor da maior das difereças (α - α ) e (α - α ) ( k)* é o valor da maior das difereças (k - k ) e (k - k ). Caso articular: Em muitos trabalhos exerimetais é frequete a deedêcia etre duas gradezas ser reresetada or uma relação liear em que a ordeada a origem, α, é igual a zero e etão a equação liear fica reduzida a y = k.x com o arâmetro k - costate. Como o caso geral, ara ares de otos (x i,y i ) serão determiadas as rectas R, R e R só que, devido ao tio da equação, terão de obrigatoriamete de assar ela origem das coordeadas (,). er em ateção que: a) a origem das coordeadas ão é obrigatoriamete a origem dos eixos coordeados; b) em rimeira aroximação, um ou outro oto excecioalmete afastado da recta média ão será cosiderado ois 9

22 a robabilidade de corresoder a uma medida icorrecta é muito grade; c) este método faz deeder o valor do limite suerior do erro do coeficiete agular k, do valor adotado ara as escalas : amliado as escalas melhora a avaliação do erro. Os coeficietes agulares de R e R serão resectivamete y y k = k = x x (.6 ) O limite suerior do erro do coeficiete agular, ( k), será etão o maior dos valores obtidos as difereças (k - k ) e (k - k ). d) se detro da recisão da reresetação gráfica os otos exerimetais estiverem alihados sobre a mesma recta, o limite do erro do coeficiete agular será tomado como o limite suerior dos erros de leitura de x e de y o gráfico AJUSE DE UMA RECA A PONOS EXPERIMENAIS - MÉODO ANALÍICO Cosideremos um cojuto de ares de otos exerimetais (x i,y i ) reresetado duas gradezas cuja iterdeedêcia ossa ser defiida or uma exressão do tio liear y = α + k. x em que: α - ordeada a origem e k- coeficiete agular da recta são costates. Os erros exerimetais ieretes às medições fazem com que estes otos ão se distribuam obrigatoriamete sobre uma recta erfeita. eremos etão que ecotrar uma recta que melhor descreva a distribuição esacial dos otos. De etre os vários métodos aalíticos que ermitem fazer este ajuste descrevemos o método da regressão liear. Método da Regressão Liear A justificação matemática deste método baseia-se o método dos míimos quadráticos: o ajuste da recta é efectuado de modo a miimizar o somatório dos quadrados dos desvios dos otos exerimetais em relação à recta de ajuste. Admitamos que medimos otos exerimetais. Etão os arâmetros da recta de ajuste y = a. x + b (.7) são dados elas exressões: C C C C a = C 5 3 C 4 b = C 4 C 3 (.8) D D ode D = C C C 5 C3 e C = x i y i C = x C y i 3 = xi C4 = i C5 = i= i= i= i= Os erros associados aos valores do declive a e ordeada a origem b são dados or: σ a = ( y y i ) ( y y i ) i= σ = i= C b D D (.9) O valor de y i é obtido ela recta de ajuste ara a abcissa x i. A qualidade do ajuste obtido ode ser defiida or uma exressão matemática chamada coeficiete de correlação - r. De acordo com o seu valor (r ), odemos avaliar a qualidade do ajuste (muito boa com r ) e evetualmete decidir or um ajuste a um outro tio de equação ou cocluir que é ecessário recolher outro cojuto de dados exerimetais.

23 O coeficiete de correlação é calculado ela seguite fórmula: r = C C 5 C 3 C 4 C = y i D (C C 5 C 6 C4 ode 6 i= ( ) (.). Nota - A grade maioria das calculadoras cietíficas de bolso actuais tem caacidade ara fazer estes cálculos (recta de ajuste, erros dos arâmetros de ajuste e coeficiete de correlação), sedo ara isso só ecessário itroduzir os valores dos ares de otos (x i, y i ). 3 - INSRUMENOS DE MEDIDA Em aralelo com os métodos clássicos mecâicos são cada vez mais utilizados métodos e sistemas eléctricos e electróicos de medição as medições efectuadas os trabalhos de egeharia, e or maioria de razão os laboratórios de física,. Esta extesão dos métodos electróicos de medição atige domíios dates tradicioalmete mecâicos como a ressão, temo, temeratura, etc.. Outras medições há que ecessariamete são feitas directamete sobre arâmetros eléctricos: tesão e correte eléctrica, resistêcia, etc.. Actualmete a tedêcia ara a digitalização das medições coduz ao facto de uma maioria de situações o rocesso de medição ser reduzido à medição digital de uma tesão cotíua ou variável, através de um detector adequado e isto ara as diferetes variáveis físicas a avaliar. Nos otos seguites aresetamos os istrumetos de medição mais básicos, resetes em qualquer laboratório: réguas com óios ara medições de comrimetos; multímetros ara a medição básica de tesões, corretes e resistêcias; osciloscóios ara a medição e visualização de siais eléctricos. 3. Nóios lieares e circulares As medições de dimesões lieares são geralmete feitas com réguas ou fitas métricas. A recisão destas medidas é geralmete baixa, muitas vezes ão ultraassado o milímetro. O óio (equeas escalas auxiliares que ermitem medir fracções da meor divisão da escala ricial, tiicamete / ou /) rereseta uma modificação muito coveiete da régua (metálica), que aumeta de muito a sua recisão. Quado bem utilizado os istrumetos aroriados (micrómetro,.e.) a recisão das medidas ode atigir,5 mm. Na rática, o coceito de óio é utilizado em istrumetos de medida de dimesões lieares ou agulares como aquímetros, micrómetros, esferómetros, teodolitos, goiómetros, com os quais se odem atigir recisões absolutas de décimos e mesmo de cetésimos de milímetro e ara os âgulos a recisão de miutos ou fracções de miuto. Fudametalmete, o óio liear (Fig.3.) é costituído or uma régua de equeas dimesões, com divisões, que desliza sobre uma outra régua de maiores dimesões - a escala, também com divisões gravadas. 5 5 Nóio m m- Escala Fig 3. - Pricíio do óio

24 As divisões da escala do óio são gravadas de tal maeira que uma divisão do óio seja igual a uma divisão da escala multilicada or um factor igual a m m = m em que m rereseta o úmero de divisões do óio. A justificação do fucioameto do óio é a seguite. Sedo y a distâcia etre dois traços cosecutivos da escala e x a distâcia etre dois traços cosecutivos do óio, odemos escrever x = y - (y/m) ou m.x = (m-).y A gradeza (3.) y x = y x = m (3.) é desigada or recisão do óio e determia o valor do erro máximo do óio. Além disso, qualquer que seja a osição do óio em relação à escala há semre uma divisão deste que coicide com alguma outra divisão da escala. L Nóio L k k+ k+ Escala Fig Demostração do fucioameto do óio O fucioameto do óio ode ser demostrado do seguite modo: seja L o comrimeto da eça a medir (Fig.3.); fazemos coicidir o iício da eça com o iício (zero) da escala e suohamos que o outro extremo da eça se situa etre as divisões k e (k+) da escala. Podemos escrever em que L = k y + L ΔL L - é uma fracção (or equato descohecida) da meor divisão da escala. Ecostamos agora o iício (zero) da escala óio ao fim da eça a medir. Como o itervalo etre as divisões do óio é meor que o das divisões da escala ecotramos (semre!) uma divisão o óio,, que se aroxima o máximo (ode coicidir) da divisão (k+) da escala. = ( ) Etão L = y x y x = x e or coseguite o comrimeto total da eça será dado or L = k y + x ou aida, tedo em cota a exressão (3.), L = k y + y m (3.) ou seja: o comrimeto de uma eça medida com uma escala com óio é igual ao úmero de divisões iteiras da escala adicioado ao valor obtido a multilicação da recisão do óio elo úmero da divisão do óio que coicide com alguma das divisões da escala. Neste tio de medição o erro cometido será o corresodete à maior ou meor corresodêcia dos traços do óio com os da escala e, evidetemete, ão será suerior a (,5. x ), em x - é a recisão do óio: o erro do óio é igual a metade da sua recisão. Não é difícil de esteder este tio de medição liear com o óio à medição de valores agulares (Fig.3.3).

25 ϕ ϕ k k+ k+ Fig Demostração do fucioameto do óio circular Neste caso um equeo sector circular, equivalete ao óio - o limbo, desliza em frete a uma escala circular, graduada em graus, grados ou outra uidade agular coveiete. ambém aqui m divisões da escala corresodem a (m-) divisões do limbo e, de uma maeira similar, m α = (mm ) (m β ode α e β - reresetam resectivamete, a meor divisão da escala e a meor divisão do limbo. A recisão de um óio agular será também calculada or uma fórmula semelhate, β α = m O valor de um âgulo (ψ) medido a artir do zero do limbo também será calculado or uma fórmula equivalete ϕ = k β + α (3.3) 3. - MULÍMERO ANALÓGICO Os multímetros aalógicos são bastate simles o seu ricíio de fucioameto: deedem do equilíbrio etre a força de uma mola e a força gerada ela iteracção de uma correte com um camo magético. No geral, os multímetros aalógicos estão cofigurados ara ermitir a medida de diferetes arâmetros eléctricos: tesões, corretes, resistêcias, características de trasistores, o etato, iteramete, o seu fucioameto baseia-se só a avaliação das corretes que os atravessam. Com efeito, tecologicamete, a medição aalógica directa de tesões ão é um rocesso acessível, mas já avaliar uma correte ou o seu efeito ao atravessar uma resistêcia calibrada R (relacioada com a tesão a medir através da lei de Ohm: = R.I ) é mais fácil. i DESCRIÇÃO DO FUNCIONAMENO F B F Fig Pricíio de um aarelho de bobia móvel O ricíio físico de fucioameto de um aarelho de medição de correte baseia-se a iteracção etre o camo magético roduzido uma bobia ela correte que é medida e um camo magético exterior, ermaete ou ão. O valor do biário roduzido, e que desloca a agulha, está directamete relacioado com a correte que assa através do aarelho (Fig,3.4). Este fucioameto ode ser descrito, de um modo muito simlificado, ela equação F =.B.i.L (3.4) 3

26 em que F - força exercida sobre a bobia elo camo magético; B - itesidade do camo magético ermaete; - úmero de esiras da bobia; L - erímetro de uma esira; i - correte a medir que ercorre a bobia. A força F ode ser medida,.e., observado a deflexão de uma agulha acolada a uma mola, or sua vez rigidamete ligada à bobie. Este tio de costrução é cohecido como aarelho de medida de agulha e bobia móvel do tio d Arsooval, ivetada à mais de um século (Fig.3.5.a) CONROLES E PRECISÃO DE OPERAÇÃO A maioria dos multímetros de laboratório tem as seguites fichas de etrada de sial e botões de cotrole, Fig.3.5 (esta descrição corresode a um multímetro tio, odedo ão corresoder exactamete a ehum aarelho real): a) b) - Mostrador com as escalas - Mecaismo da agulha 3 -Selector de gama de medida 4 -Ficha ara medidas, Ω, A 5 - ermial comum (ota de rova COM) 6 -ermial ara medidas DC- améres 7 - Ficha ara verifi cação de trasistores 8 - Ajuste do zero ara escala de Ω 9 - +/- (iversão de olaridade) k q r o m Fig Esquema de fucioameto (a) e multímetro aalógico tíico (b) l Etradas de sial COM - termial comum; a ota de rova reta é semre ligada a este termial ara todo o tio de medições (tesões, corretes, resistêcias, etc.) em todas as gamas; DCA - a ota de rova vermelha é ligada a este termial ara medição de corretes a escala de A em DC; _Ω_A - a ota de rova vermelha é ligada a este termial ara medição de todo o tio de tesões (AC ou DC), resistêcias e teste de cotiuidade e corretes cotíuas de baixa itesidade; SELECOR DE GAMA - este botão, ormalmete rotativo, seleccioa o tio de medição e resectiva gama; tem frequetemete associada a fução ON/OFF; Ω ADJUS- ajuste do zero da escala (eléctrica) ara medições de resistêcias; -/+ (iversão de olaridade) - este botão ermite a iversão da olaridade do sial as medições DC ou de resistêcias; DEFLEXÃO NULA - botão do tio cabeça de arafuso, colocado em baixo e ao cetro do mostrador, ara ajuste do zero da agulha da escala mecâica; Precisão de medida (estes dados odem ter variações em fução dos tios e modelos de aarelho) O uso dos multímetros aalógicos está limitado ela recisão que ermite a leitura da osição da agulha do idicador em face à escala (os bos multímetros a agulha é a mais fia ossível e desloca-se em frete a um eselho iserido a 4

27 escala). Aarece aqui um factor de erro imortate, a aralaxe, variável de observador ara observador. Fução Escala Precisão DC_ todas ± 3% DC da escala comleta AC_ todas ± 4% AC da escala comleta DC_A até A ± 3% da escala comleta Ω até MΩ ± 3% da escala comleta em graus MULÍMERO DIGIAL Até à última década ou década e meia as medidas de tesão eram vulgarmete feitas com aarelhos de medida de agulha e bobia móvel. Hoje, em quase todas as alicações foram ou estão em vias de ser substituídos or voltímetros ou multímetros digitais. Uma das vatages dos multímetros digitais sobre os aalógicos é a sua facilidade de utilização. De facto o valor medido é directamete aresetado como uma série de dígitos facilmete legíveis o que ermite semre a mesma iterretação, ideedetemete do observador (ão há aralaxe!). Além disso, estes multímetros ossuem osicioameto automático da vírgula, detecção automática da olaridade e, frequetemete, busca e mudaça automatica da escala de medida. A mudaça automática de escala é imortate a medida em que ermite ao multímetro realizar medições semre com a resolução otimizada, sem a iterveção do oerador, quaisquer que forem as circustâcias. amos esclarecer este oto: tomemos or exemlo um voltímetro digital com um mostrador de 3 / dígitos (ou seja em que o máximo da leitura ermitido o mostrador é 999). Este máximo imlica que ara valores medidos sueriores a 999 a escala tem de ser reduzida or um factor de ates de estes serem aresetados (.e. m serão aresetados como m). Por outro lado qualquer valor medido abaixo de ode ser aresetado com uma resolução multilicada or um factor de (.e. 95 m será aresetado como 95, m). resumido, se o mostrador ão alcaça o valor de automaticamete a escala muda ara uma outra mais sesível e, iversamete, se ultraassar 999 a escala de medida é automaticamete mudada ara uma meos sesível. Devido à rória atureza do rocesso utilizado a coversão do sial ara leitura a recisão dos multímetros digitais ode ser muito facilmete suerior à dos aalógicos e também tem uma grade vatagem sobre os aalógicos: aresetarem uma grade resistêcia de etrada ( 8 a Ω). Este facto ermite raticamete elimiar a ifluêcia do aarelho de medida o valor obtido ara as medições corretes DESCRIÇÃO DO FUNCIONAMENO Uma roriedade fudametal dos multímetros digitais é o facto de só medirem tesões directamete (recordamos que os aalógicos directamete medem corretes). Um voltímetro digital, a sua forma mais simles, reduz-se a um circuito itegrado que iclui um coversor do tio ADC - coversor aalógico-digital, uma alimetação extera de baixa tesão ou bateria e um visor de cristais líquidos ou LED s. O coração do circuito itegrado, e or maioria de razão do multímetro, é o coversor ADC, que coverte a tesão do sial aalógico de etrada em imulsos regulares de amlitude fixa que odem ser cotados e cujo úmero é roorcioal ao valor da tesão. É esta cotagem que acaba deois or ser covertida em caracteres alfauméricos e aresetada o visor. 5

28 Um multímetro, como o ome idica, também mede outros siais corresodetes a tesões alteras, corretes cotíuas ou alteras, resistêcias, mas como o coversor ADC só ode coverter siais de tesão cotíua o valor destes arâmetros terão que ser trasformados aalogicamete em tesões cotíuas, através de coversores adequados. Os coversores básicos itegrados a maioria dos multímetros são: ateuador CC, coversor correte-tesão, coversor AC-DC e coversor resistêcia tesão. etrada k m/ 9 M,9 M saída ara ADC etrada 9 Ω 9 Ω 9 Ω µa ma ma saída ara ADC ma 9 k,9 Ω A k, Ω a) Fig Ateuador CC (a) e coversor Correte-esão (b) b) - Ateuador CC Os siais que odem ser recebidos a etrada do coversor ADC estão geralmete limitados a um máximo de. Isto sigifica que tesões cotíuas sueriores a este limite tem de ser ateuadas ates de aalisadas elo ADC. Electroicamete esta oeração é realizada com divisores de tesão com resistêcias calibradas (Fig.3.6). - Coversor Correte-esão Na medição de corretes cotíuas estas terão de ser rimeiro covertidas em tesões. Electroicamete esta oeração ode ser realizada com shuts (resistêcias calibradas, em aralelo) de modo que a tesão os termiais do shut ara o máximo da escala seja a mesma ara todas as escalas e o mais baixo ossível (Fig.3.6). - Coversor AC-CC Como a electróica do ADC só trabalha com íveis de tesão cotíua, o caso da medição siais de correte e/ou tesão alteras temos rimeiro de modificar o sial um rocesso de coversão AC-CC. Esta coversão ode ser feita através de um circuito detector de média simles ou com coversores RMS (média quadrática do sial), electróica mais comlexa baseada em amlificadores oeracioais. - Coversor Resistêcia-esão O valor das resistêcias é medido fazedo assar uma correte costate, cohecida, através da resistêcia, descohecida, e medido a tesão resultate. Electroicamete é realizado or meio de circuitos relativamete comlexos, icluido fotes de correte cotíua estabilizada e amlificadores oeracioais MEDIÇÃO DE ALORES EFICAZES (RMS) Praticamete todas as medições de tesões e corretes alteras (variáveis o temo) são hoje realizadas com istrumetos electróicos que avaliam o valor ico a ico (osciloscóios) ou o valor eficaz -RMS (multímetros). Se uma quatidade física escalar é costate em relação ao temo a defiição dessa quatidade ecessita de um 6

29 só arâmetro,.e. uma tesão costate de,5 fica absolutamete defiida or este valor. No caso de quatidades físicas eriodicamete variáveis o temo a situação é mais comlexa e esta simlicidade já ão é válida. Suohamos a tesão siusoidal da Fig.3.7. / t t Fig Formas de tesão variável: siusoidal, (a) e rectagular, (b) ambém é ossível descreve-la or um úico úmero mas em todos são válidos. Podíamos or exemlo tetar descreve-la ela média do sial mas, ara um itervalo de temo suficietemete logo esta média é igual a zero (ou ) qualquer que seja a amlitude do sial. Uma outra maeira seria defii-la ela tesão ico a ico (difereça etre o máximo e o míimo da oda) mas outras formas de oda aresetam o mesmo valor ico a ico (Fig.3.7) e certamete efeitos físicos muito diferetes. O valor eficaz (ou RMS - root mea square) é um valor que caracteriza com sigificado físico quatidades eriodicamete variáveis o temo. Defiido: o valor eficaz de uma tesão altera é defiido como o valor equivalete em tesão cotíua que roduza a mesma quatidade de eergia o mesmo itervalo de temo. Para uma oda de tesão siusoidal simétrica o cálculo (ver Aêdice) mostra que o valor eficaz da tesão será RM S = ma x em que RMS - valor eficaz do sial e max - valor máximo (de ico) atigido elo sial. No caso de um sial de tesão rectagular simétrico teremos (3.5) RMS = ma x (3.6) em que, além das defiições ateriores temos: - eríodo do sial e - largura do sial CONROLES E PRECISÃO DE OPERAÇÃO Um multímetro digital geérico utilizado em laboratórios terá as seguites fichas de etrada de sial e botões de cotrole, como idicado a Fig. 3.8 (otar bem que esta descrição corresode a um multímetro tio, odedo ão corresoder exactamete a ehum aarelho real): Etradas de sial COM - termial comum; a ota de rova reta é semre ligada a este termial ara todo o tio de medições (tesões, corretes e resistêcias, etc.); A - a ota de rova vermelha é ligada a este termial ara medição de corretes as escalas de A e A, quer em AC ou em DC; 7

30 maµa - a ota de rova vermelha é ligada a este termial ara medição de corretes as escalas de ma ou µa, quer em AC ou em DC (geralmete até a um máximo de amère); _Ω - a ota de rova vermelha é ligada a este termial ara medição de todo o tio de tesões (AC ou DC), resistêcias e teste de cotiuidade; j Botões de cotrole ON/OFF - este botão liga e desliga o multímetro; HOLD - quado existe, este botão cogela a leitura o visor do multímetro, ara todas as fuções e escalas; SELECOR - botão úico rotativo ou vários botões idividuais que ermitem seleccioar as várias fuções e escalas de oeração. k l o m Precisão de medida (estes dados são tíicos e odem aresetar variações, coforme os modelos de aarelho) Fig Multímetro digital tíico - botão Ligar_Desligar ; - termial de correte (até A) 3 - termial améres ; 4 - termial _Ω 5 - termial comum COM; 6 - selector de gama de medida 7 - mostrador digital (3 / dígitos) Fução Escala Precisão DC_ todas ±,5% da leitura, ± dígito AC_ até ±,8% da leitura, ± 3 dígitos DC_A até A ±,8% da leitura, ± 3 dígitos AC_A até A ±,% da leitura, ± 3 dígitos Ω até MΩ ±,5% da leitura, ± dígito Nota - os multímetros digitais, ideedetemete da recisão de coversão obtida o coversor aalógicodigital, temos aida de cosiderar a recisão do visor, ou seja o último dígito à direita do visor é semre cohecido com um erro de, o míimo, ± dígito (rereseta o arredodameto do valor iteramete covertido). Daí a ecessidade de fazer as medições com um máximo de sesibilidade ara dimiuir a ifluêcia deste erro o cômuto global dos erros da medição OSCILOSCÓPIO O osciloscóio é um dos mais úteis e versáteis istrumetos de medida utilizados o laboratório. Na grade maioria das alicações o osciloscóio, aesar da sua evidete comlexidade, ode ser cosiderado como um voltímetro de recisão que ão só ermite a medida de amlitudes de tesões, como também ermite ver a variação e evolução da forma dessa mesma tesão ao logo do temo. Passamos a descrever sumariamete os blocos costituites e fuções do osciloscóio. 8