ESTATÍSTICA DESCRITIVA

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1 Coceitos Básicos Poulação ou Uiverso Estatístico: coj. de elemetos sobre o qual icide o estudo estatístico; Característica Estatística ou Atributo: a característica que se observa os elemetos da oulação; Modalidades (icomatíveis e exaustivas): as diversas formas em que se areseta a característica estatística; Amostra: subcojuto fiito da oulação (razões ara a recolha de uma amostra: dimesão excessiva da oulação, estudo de atureza destrutiva, ecoomia e temo) Exemlos: ) O Gestor de rodução de uma fábrica retede ter uma ideia da ercetagem de eças defeituosas que a fábrica roduziu em determiado eríodo de temo. A oulação em estudo é costituída or todas as eças roduzidas ela fábrica durate aquele eríodo de temo. A característica estatística tem aeas duas modalidades: eça defeituosa e eça ão defeituosa.

2 ) Num estudo de mercado ara costrução de um cetro comercial, iteressa estudar o redimeto familiar mesal dos habitates de uma determiada cidade. A oulação é costituída elas famílias daquela cidade e a característica estatística é o redimeto familiar mesal. As modalidades do redimeto familiar mesal ão se odem eumerar; são todos os valores desde, or exemlo, 50 cotos até 000 cotos. 3) Uma determiada emresa retede realizar um iquérito aos seus trabalhadores, ode lhes é edido ara classificarem a qualidade do serviço do bar/refeitório segudo a seguite escala: fraco, razoável, bom ou muito bom. Os trabalhadores da fábrica costituem a oulação em estudo, e a característica estatística é a oiião acerca da qualidade do serviço do bar/refeitório. Neste estudo o atributo ode maifestar-se as seguites modalidades: fraco, razoável, bom ou muito bom.

3 Tios de Dados estatísticos. Quatitativos (e.g., o úmero diário de ascimetos o hosital de Viseu ou a altura dos aluas da ESTV): Discretos (úmero fiito ou ifiito umerável de modalidades; e.g., o úmero diário de ascimetos o hosital de Viseu) Cotíuos (ode assumir qualquer valor um itervalo de úmeros reais; a distição etre os dois é or vezes arbitrária; e.g., altura de um aluo da ESTV) Qualitativos (e.g., cor dos cabelos, estado civil) 3

4 Escalas de medida de dados estatísticos Escala Nomial (dados qualitativos): aresetam-se em diferetes categorias ou classes, ão ordeáveis. Exemlos: - Estado civil dos emregados de uma emresa; - Religião; - Cor de cabelos; - Os úmeros das camisolas dos futebolistas; - Sexo dos idivíduos de uma oulação (característica dicotómica ou biária); - Numa sodagem de oiião, a resosta à erguta É a favor da desealização do aborto? (característica dicotómica ou biária). Para lidar com este tio de dados é frequete atribuir um código umérico a cada categoria da característica em estudo, mas cuidado! ão faz qualquer setido usar oerações aritméticas e calcular médias, desvios adrões, etc.. 4

5 Escala Ordial (dados qualitativos): as diversas categorias ossuem uma ordem itríseca (os códigos uméricos devem ter em cota essa ordem). Exemlos: O sistema de graduação militar: Soldado, Cabo, Sargeto,... Num iquérito de oiião ede-se às essoas que classifiquem um determiado roduto como sedo, muito fraco, fraco, razoável, bom ou muito bom. (escala de Likert). Classificação dos clietes de um baco, segudo o volume de caital que movimetam mesalmete: ouco imortates, imortates ou muito imortates. Classificação dos aluos de uma escola segudo a sua altura: baixos (meos de 55 cm), médios (etre 55 e 70 cm) ou altos (mais de 70 cm). 5

6 Escala de Itervalo (dados quatitativos): Os dados odem ser ordeados e a difereça etre dois valores desta escala ode ser calculada e iterretada. Exemlo: Temeratura do ar em graus Fahreheit ou em graus cetígrados F=9/5C+3, Distâcias umericamete iguais imlicam as mesmas alterações a característica que está a ser medida (0º C está à mesma distâcia de 5º C, do que 5º C de 30º C). Não odemos atribuir um sigificado à razão etre dois valores (se a Guarda se registasse uma temeratura de 40º C isto ão sigificaria que a Guarda estava duas vezes mais calor do que em Viseu) O valor zero ão tem o sigificado de ada. Não se ode dizer que uma cidade ode se registe uma temeratura de 0º C ão tem qualquer temeratura. 6

7 Escala de Razões ou de Rácios (dados quatitativos) Tem todas as características de uma escala de itervalo e, além disso, o valor zero rereseta a ausêcia total da característica que está a ser medida. Com dados medidos esta escala, ão só é ossível atribuir um sigificado à difereça (distâcia) etre dois valores como também à razão etre eles. Alterações as uidades de medida ão afectam os rácios etre dois valores. Exemlos: eso; altura A temeratura do ar ão está defiida uma escala de rácios. Note que mas, 0ºC = 50ºF e 30ºC = 86ºF 0 C 50 F. 30 C 86 F 7

8 Reresetação de Dados Poulação ou amostra de idivíduos. Atributo A com modalidades: A, A,...,A. Frequêcia absoluta ou efectivo da modalidade A i i, é o º de idivíduos que aresetam a modalidade A i. Frequêcia relativa da modalidade A i f i, é a roorção de idivíduos que aresetam i a modalidade A i, fi =. i= i = e f =. i= i 8

9 Reresetação Tabular Quadros de Frequêcias Modalidades Frequêcias absolutas Frequêcias relativas Frequêcias absolutas acumuladas Frequêcias relativas acumuladas A f = / f A f = / + f +f M M M M M A P f = / = f +f +...+f = Total - - Exemlo : Os dados que se seguem são relativos às vedas (em cotos) de 30 vededores da ElectroNoLar durate o mês de Outubro assado

10 Tabela de frequêcias - dados ão agruados x i Freq. absolutas Freq. relativas Freq. absolutas acumuladas Freq. relativas acumuladas i f i /30 3 3/ /30 6 6/ /30 9 9/ /30 5 5/ /30 0 0/ /30 4 4/30 30 /30 6 6/30 40 /30 8 8/30 50 /30 9 9/30 60 /30 30 Total Tabela de frequêcias com dados agruados. Classes de valores Freq. absolutas Freq. relativas Freq. absolutas acum. Freq. relativas acum. i f i [60, 80[ 3 3/30 3 3/30 [80, 00[ 6 6/30 9 9/30 [00, 0[ /30 0 0/30 [0, 40[ 6 6/30 6 6/30 [40, 60[ 3 3/30 9 9/30 [60, 80[ / /30 Total Os itervalos de classe odem ter a mesma amlitude ou amlitudes diferetes deededo da atureza dos feómeos a estudar. Agruar os dados imlica erda de iformação. Regras ráticas ara a determiação do º de classes: Regra de Sturges º de classes +log 0 ()/log 0 () Outra º de classes (usualmete emregue quado >5). 0

11 Reresetação gráfica Diagrama de barras Dados Não Agruados Polígoo de frequêcias Frequêcia absoluta Vedas Frequêcia absoluta Vedas Reresetação gráfica das frequêcias acumuladas Frequêcias relativas acumuladas 0,8 0,6 0,4 0, Vedas

12 Dados Agruados Histograma No histograma tomamos rectâgulos justaostos, cada um com base roorcioal à amlitude da classe resectiva e altura h i dada or: i (frequêcias absolutas) ai+ ai h i = fi (frequêcias relativas) ai+ ai A área de cada rectâgulo é etão roorcioal à frequêcia da classe resectiva: i (frequêcias absolutas) área do i - ésimo rectâgulo = fi (frequêcias relativas) A área total do histograma é igual a se foram usadas frequêcias absolutas e igual a se foram usadas frequêcias relativas. Note-se orém que, quado as classes têm todas a mesma amlitude é costume, ara facilitar a reresetação, tomar ara altura de cada rectâgulo a frequêcia absoluta ou relativa da classe a que reseita.

13 Histograma Polígoo de frequêcias Freq. absolutas Vedas Freq. absolutas Vedas Freq. relativas acumulada 0,8 0,6 0,4 0, 0 Polígoo de frequêcias acumuladas Vedas 3

14 Medidas Descritivas Medidas de Localização ou de Tedêcia Cetral Estas medidas dão-os uma ideia do cetro ou localização da distribuição dos dados. Média aritmética Sejam x, x,..., x os valores distitos de um cojuto de dados, cada um deles com frequêcia absoluta i e frequêcia relativa f i. Etão a média aritmética rereseta-se or x e é dada or: x = i xi = fi xi. i= i= Para dados agruados em classes toma-se ara x i o oto médio da i-ésima classe; i e f i serão, aturalmete, a frequêcia absoluta e relativa da i-ésima classe, resectivamete. 4

15 Exemlo : A tabela de frequêcias que se segue é relativa ao úmero de eus roduzidos or dia a fábrica MAVOR, ara uma amostra de 30 dias. x i Freq. absoluta i Freq. relativa f i Freq. abso. acum. Freq. relat. acum.s i x i Total A média de eus roduzidos diariamete, ara os 30 dias cosiderados é: 78 x = i x i = = i= 30 5

16 Mediaa Trata-se do valor que divide o cojuto de dados, ordeados or ordem crescete, em duas artes iguais. Isto é, a mediaa, como o rório ome idica, é o oto mediao de um cojuto de dados ordeados em ordem crescete. Sejam x, x,..., x, observações ordeadas or ordem crescete dos seus valores, e que costituem o cojuto de dados em aálise. x( + ) se é imar Me = x + x + se é ar x30 + x30 + x5 + x Exemlo, como é ar: Me = = = = 4. Para dados agruados em classes, rocuramos a classe mediaa, sedo esta tal que a sua frequêcia absoluta (res. relativa) acumulada é / (res. /) e a frequêcia absoluta (res. relativa) acumulada da classe aterior é < / (res. /). Deois de ecotrada a classe mediaa, [a j, a j+ [, ecotra-se a mediaa or iterolação liear: j / i i Me = a j + = ( a j+ a j ) 6 j

17 Moda É o valor mais frequete um cojuto de dados. {, 3, 4, 4, 5} Mo=4 (distribuição uimodal); {,, 3, 4, 4, 5} Mo= e 4 (distribuição bimodal); Exemlo Mo=4. Havedo mais de valores modais, a distribuição diz-se multimodal. Quado os dados estão agruados em classes, a classe modal é aquela que tem maior frequêcia or uidade de amlitude. Nestes casos ão odemos determiar o valor exacto da moda ois ão sabemos como estão distribuídas as observações detro de cada classe. Podemos, o etato, obter uma aroximação da Moda usado uma das seguites fórmulas: j+ Fórmula de Kig: Mo = a j + ( a j+ a j ) + Fórmula de Czuber: Mo j j+ j j ( ) ( ) ( a ) j a j + = a j + + j j j j+ ode, [a j, a j+ [ é a classe modal; j é a freq. abso. desta classe; j+ e j- são, res., a freq. abso. da classe aterior e osterior à modal. 7

18 Medidas de Localização ão Cetral Quatis: Q A mediaa divide o cojuto de dados em duas artes iguais. Quado o cojuto de dados ordeados é dividido em 4 artes iguais, os otos de divisão são chamados os quartis: Q /4, º quartil valor que tem cerca de 5% dos dados abaixo dele; Q /4, º quartil valor que tem cerca de 50% dos dados abaixo dele trata-se da Mediaa; Q 3/4, 3º quartil valor que tem cerca de 75% dos dados abaixo dele. Podemos aida calcular os quitis, decis, ercetis, Cálculo do quatil de ordem, Q : Dados ão agruados em classes Sejam x, x,..., x, observações ordeadas or ordem crescete dos seus valores. Se ão é um iteiro, etão Q =x k, ode k é o iteiro imediatamete seguite a. Caso cotrário, sedo um iteiro, etão Q =(x + x + )/. Cálculo do quatil de ordem, Q : Dados agruados em classes Seja [a j, a j+ [ a classe que cotém Q, i.e., que cotém o valor ao qual corresode a frequêcia absoluta (res. relativa) acumulada de (res. ). Por iterolação liear obtém-se Q : j i i Q = a j + = ( a j+ a j ) 8 j

19 Posição relativa da média, mediaa e moda As distribuições de frequêcias odem ser simétricas ou ão. Cosiderado aeas distribuições uimodais, temos: Distribuições simétricas x = Me = Mo Mo < Me < Distribuições assimétricas ositivas A cauda direita é mais loga e meos abruta do que a esquerda. x < Me < Distribuições assimétricas egativas A cauda esquerda é mais loga e meos abruta do que a direita x Mo Nas distribuições assimétricas os valores extremos da cauda mais loga uxam a média ara o lado direito. A mediaa, como divide a área em duas artes iguais, ara comesar a redução de área o lado abruto, afasta-se também da moda, mas meos do que a média. 9

20 Medidas de Disersão Exemlo: Duas emresas cocorretes com sede em Viseu, obtiveram os seguites lucros os 5 últimos aos: Lucros em uidades moetárias (u. m.) Emresa Emresa O lucro médio das duas emresa os últimos 5 aos é o mesmo, 3 u.m., o etato a Emresa areseta uma maior variabilidade os lucros do que a Emresa. Emresa 4 0 x =3 6 Emresa x =3 9 0

21 O itervalo iterquartis, [Q /4, Q 3/4 ] cotém 50% das observações. A amlitude deste itervalo, amlitude iterquartis, é uma medida de disersão. As medidas de disersão mais utilizadas são o desvio adrão e a variâcia que defiimos a seguir. Sejam x, x,..., x os valores distitos de um cojuto de dados, cada um deles com frequêcia absoluta i e frequêcia relativa f i. Se estes dados costituem observações feitas sobre toda a oulação, a variâcia deota-se or σ e é calculada da seguite maeira: ou equivaletemete, σ = i ( xi x ) = fi ( xi x ) i= i= σ = i xi x = i= i= Se, elo cotrário, o cojuto de dados costitui uma amostra da oulação, etão a variâcia deota-se or s e é dada or: s = i= i ( xi x ) f i x i x = i= O desvio adrão é a raiz quadrada da variâcia e deota-se or σ ou or s. s. i, x i x.

22 Exemlo Como disomos de uma amostra, temos: s = i= i x i x. x i Frequêcias Frequêcias i x i i x i absolutas i relativas f i Total Etão a variâcia e o desvio adrão são, resectivamete, s = ( ) = (u.m.) 9 e s = = u.m..

23 Coeficiete de disersão e de variação Medidas de disersão absolutas: exressas a mesma uidade dos dados a que se referem Medidas de disersão relativas: ideedetes da uidade de medida dos dados a que se referem A variâcia e o desvio adrão são medidas de disersão absolutas. Se retedermos comarar a disersão de dois cojutos de dados que ão estejam exressos a mesma uidade de medida, teremos de adotar uma medida de disersão relativa, or exemlo: Coeficiete de disersão: cd= x s ou x σ Coeficiete de variação: cv=cd 00% Estes coeficietes só se emregam quado a variável toma valores de um só sial. 3

24 Mometos Chama-se mometo simles de ordem r ou mometo ordiário de ordem r a k k m' k = fi xi = i xi i= i= Chama-se mometo cetrado de ordem r a k k mk = fi ( xi x) = i ( xi x) i= Se a distribuição for simétrica os mometos cetrados de ordem ímar são ulos, ois ara cada desvio egativo há um desvio ositivo com o mesmo valor absoluto. Algus mometos: m' m o = i = i = f xi x i = i = f x i i i = i= m ' f = m o = ' m = = f ( x x) = x x = 0 i i i = = σ x m = = f ( x x) = σ i i i 4

25 Coeficietes de assimetria e achatameto Coeficiete de assimetria: g = Distribuição simétrica g =0 Distribuição assmétrica ositiva g >0 Distribuição assmétrica egativa g <0 m 3 3 m Embora as roosições recírocas ão sejam semre verdadeiras é costume tomar g como medida de assimetria. Coeficiete de achatameto ou curtose: g = m Este coeficiete mede o grau de achatameto de uma distribuição, cosiderado em relação ao da distribuição ormal, ara a qual se tem g =3. Distribuição mesocúrtica g =3 (achatameto igual ao da ormal) Distribuição letocúrtica g >3 (achatameto iferior ao da ormal) Distribuição laticúrtica g <3 (achatameto suerior ao da ormal) m 4 5