Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães PROGRAMA CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO. Curso de Pós-Graduação Especialização em Estatística Empresarial

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1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E AMOSTRAGEM Prof. Dr. Edaldo Carvalho Guimarães ecg@ufu.br tel: ou Curso de Pós-Graduação Especialização PROGRAMA Coceitos básicos Aálise gráfica e costrução de tabelas (distribuição de fequêcias) Medidas de posição Medidas de dispersão Aálise de valores discrepates Assimetria e Curtose Técicas de Amostragem CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Exercícios avaliativos idividuais e/ou em grupo que serão resolvidos em sala de aula ou resolvidos extra classe, mas com data defiida de etrega.

2 BIBLIOGRAFIA BOLFARINE H. e BUSSAB W. O. Elemetos de Amostragem. São Paulo: Ed. Blücher, BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. Estatístca Básica. São Paulo : Atual, COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo : Edgard Blücher, FREUD, J. E.; SIMON, G. A. Estatística aplicada. Bookma, 2000, 403 p.. KAZMIER, L. J. Estatística Aplicada à Admiistração e Ecoomia. Rio de Jaeiro: Makro Books, 982. LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L.; STEPHAN, D. Estatística: teoria e aplicações (usado o Microsoft Excel em português). LTC editora, 2000, 82 p. SPIEGEL,M. R. Estatística. 3ª Ed. São Paulo, Marko Books, p. STENVENSON,W. J.Estatística Aplicada à Admiistração. Harbra, 986. TRIOLA, M. F. Itrodução à estatística. Rio de Jaeiro: LTC. 7a edição, 999. ESTATÍSTICA Vem do latim status = Estado iicialmete evolvia: compilações de dados e gráficos represetativos dos vários aspectos de um estado ou país. taxa de mortalidade, taxa ascimeto, reda, taxas de desemprego, etc. MÉTODOS CIENTÍFICOS MÉTODO é um cojuto de meios dispostos coveietemete para se chegar a um fim que se deseja. Método Experimetal: cosiste em mater costates todas as causas (fatores), meos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. Método Estatístico: Admite todas essas causas presetes variado-as, registrado essas variações e procurado determiar, o resultado fial, que ifluêcias cabem a cada uma delas. 2

3 ESTATÍSTICA É uma coleção de métodos para: plaejar experimetos, obter dados, orgaizar, resumir, aalisar cocluir sobre as iformações coletadas A ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA Parte da Estatística que apeas coleta, descreve, orgaiza e aalisa um cojuto de dados. Nela ão são tiradas coclusões. ESTATÍSTICA INDUTIVA Também é chamada de iferêcia estatística. A partir da aálise de dados são tiradas coclusões. Aplicação da Estatística Pode-se verificar registros de aplicações de métodos estatísticos desde a atiguidade, pricipalmete em dados relativos aos Estados (Impérios), como levatametos populacioais, estimativas de produção, etc.. No século XX a Ciêcia Estatística teve grade impulso. Atualmete exerce papel primordial em todas as áreas de cohecimeto, passado pelas áreas de ciêcias exatas, ciêcias biológicas e ciêcias humaas. 3

4 OBJETIVOS DE UMA ANÁLISE EXPLORATÓRIA Cohecer as variáveis Verficar o comportameto geral dos dados Verificar a ocorrêcia de valores atípicos Resumir as iformações em valores característicos e represetativos dos dados Obs: Muitas vezes a aálise descritiva e relegada para um segudo plao, mas é essecial para coclusões coeretes sobre a variável em aálise. VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS Quado estudamos uma determiada população, estamos iteressados em uma ou algumas características dessa população. Estas características variam de acordo com o elemeto ouidivíduo selecioado e, portato, t são chamadas de variáveis. Pode-se classificar as varáveis para o estudo estatísticos em Variáveis Qualitativas e Variáveis Quatitativas. VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS Variáveis Estatísticas Quatitativas Qualitativas Discretas Cotíuas Ordial Nomial 4

5 ESCALA DE MEDIÇÃO Escala Nomial. Valores uméricos uma escala omial apeas dão ome a uma categoria ou classe; os úmeros são utilizados somete para difereciar objetos, categorias ou omes. Por exemplo, uma pesquisa de mercado realizada as regiões sul e sudeste do Brasil, a variável uidade da federação do etrevistado foi codificada da seguite forma: =Rio Grade do Sul, 2=Sata Cataria, 3=Paraá, 4=São Paulo, 5=Rio de Jaeiro, 6=Mias Gerais e 7= Espirito Sato. Escala Ordial. Valores uma escala ordial dão ome e ordem a um objeto, categoria ou classe; os úmeros são utilizados para difereciar em ordem de superioridade, seguido algum critério de hierarquia. Por exemplo, uma pesquisa, a variável istrução do etrevistado foi codificada assim: =Sem Istrução, 2=Primeiro Grau, 3=Segudo Grau, 4=Terceiro Grau, 5=Mestre e 6=Doutor. Escala de Itervalos. Valores uma escala de itervalos elimiam a limitação da escala ordial estabelecedo itervalos iguais em que é possível ordear as medições e, ao mesmo tempo, explicar quato uma observação difere da outra. Por exemplo, o aumeto da temperatura a de otem para a hoje é de cico graus, de 20 para 25 graus cetígrados. 5

6 Escala Proporcioal. Valores uma escala proporcioal elimiam a limitação da escala itervalar, estabelecedo um zero da própria categoria, deomiado zero absoluto. Não adiata forçar os dados estatísticos pois o resultado pode ser iesperado População e Amostra Quais são as preferêcias musicais dos estudates brasileiros? População - Amostra - Uidade estatística População: todos os estudates brasileiros Amostra: grupo reduzido de estudates Uidade Estatística: cada um dos estudates 6

7 Quais são as preferêcias musicais dos estudates da UFU? População - Amostra - Uidade estatística População: todos estudates da UFU Amostra: grupo reduzido de estudates da UFU Uidade Estatística: cada um dos estudates Qual a reda das famílias de Uberlâdia? População - Amostra - Uidade estatística População: todas as residêcias de Uberlâdia Amostra: grupo reduzido de residêcias Uidade Estatística: cada residêcia 7

8 Ceso e Amostragem Ces Numo ceso são observados todos os idivíduos da população relativamete aos diferetes atributos que estão sedo objetos de estudo. Amostrage Numa mamostragem, o estudo estatístico baseia-se uma parte da população, isto é, uma amostra que deve ser represetativa dessa população (mater as caracteríticas básicas da população) Por que o recurso de uma amostra e ão de um ceso? Ecoomia de tempo Redução de custos Impossibilidade de avaliar todos os elemetos Como selecioar as amostras? Amostragem aleatória Amostragem sistemática Amostragem estratificada Amostragem por coglomerado Amostrages ão probabilísticas DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS E ANÁLISES GRÁFICAS Distribuição de frequêcias disposição das observações de uma variável em uma tabela Aálise gráfica represetação da distribuição ib i de frequêcias ou do comportameto de variáveis em figuras. Defiições Dados brutos sem ordeação Dados ordeados ou rol ordem crescete ou decrescete de ocorrêcia 8

9 Amplitude Total A = R = Max - Mi Frequecia absoluta cotagem do úmero de elemetos da amostra ou da população que ocorre em determiada classe ou categoria simbologia: f i ou f ai f, sedo f i a i = i frequêcia da classe i e i o úmero de observações da classe i. Frequêcia relativa úmero etre zero e um que é obtido dividido-se a freqüêcia absoluta de uma determiada classe pelo total de observações simbologia: f r fi fri = f i i Frequêcia percetual é um úmero etre zero e 00. É a freqüêcia relativa expressa em percetagem simbologia: f p f = 00 f Obs: A vatagem de se utilizar a freqüêcia percetual está a iterpretação de resultados Frequêcia acumulada comportameto da variável acima ou abaixo de um determiado valor ou de uma classe. Pode-se ter as freqüêcias acumuladas absoluta, relativas ou percetuais, que serão deotadas, este curso, respectivamete por: F, F r e F p. Estas freqüêcias são obtidas de modo semelhate às freqüêcias simples. p i r i TABELAS E GRÁFICOS Observação: Toda tabela e todo gráfico deve possuir títulos, sedo que o título da tabela deve estar acima da mesma e o caso dos gráficos, o título deve ser escrito abaixo dos mesmos. i) Variável qualitativa omial ou ordial A costrução de tabelas cosiste a defiição das categorias e a determiação das respectivas frequêcias. As represetações gráficas mais utilizadas este caso são os gráficos do tipo barras ou gráficos de setores. 9

10 Exemplo: Pesquisa sobre a preferêcia por cor de automóvel. braco vermelho prata preto vermelho prata preto prata braco prata braco prata preto vermelho preto verde preto prata prata preto preto vermelho preto prata prata Tabela. Distribuição de frequêcias absoluta, relativa e percetual da cor preferida de 25 clietes de uma reveda. Cor Freq. absoluta (f a ) Freq. Relativa (f r ) Freq. percetual (f p ) vermelho preto verde braco prata Total Frequêci vermelho preto braco verde prata COR vermelho preto braco verde prata Figura Gráfico de barras da cor preferida de carros por clietes de uma reveda prata 36% verde 2% braco 4% vermelho 6% preto 32% Figura 2 Gráfico de setores da cor preferida de carros por clietes de uma reveda 0

11 ii) Variável quatitativa discreta A distribuição de frequêcias, quado ão há uma amplitude muito grade a observações, é feita cotado-se o úmero de ocorrêcias para cada observação. No caso de amplitude grade pode-se adotar os procedimetos que veremos para variáveis cotíuas o tipo de gráfico mais apropriado para variáveis discreta é gráfico tipo barras. Exemplo : Vamos costruir uma tabela de freqüêcias para os dados da variável úmero de pessoas residetes por domicílio, cosiderado uma amostra de 40 residêcias do cojuto Residecial Floresta DADOS Tabela 2. Distribuição de freqüêcias do úmero de pessoas residetes por domicílio, uma amostra de 40 residêcias do Cojuto Residecial Floresta, Uberlâdia Nº de pessoas Freqüêcia de residêcias Total Freqüêcia acumulada Freqüêcia percetual 2,5% 3 4 7,5% 6 0 5% ,5% 34 27,5% % % % 40 00%

12 qüêcia de residêcias freq Nº de pessoas residetes Figura 3. Gráfico de barras do úmero de pessoas por residêcia do codomíio Floresta. iii) Variável quatitativa cotíua idéia de cotiuidade criaçãodeclasses,ou seja, itervalos de ocorrêcias. as classes ão ecessariamete precisam ter a mesma amplitude a defiição de variável cotíua é feita em relação a variável e ão em relação aos valores assumidos por ela em um levatameto de dados. Várias maeiras de se motar as classes recomeda-se que o úmero de classes esteja etre 5 e 20. É possível também ter distribuição de freqüêcias com diferetes itervalos de classes, isso ocorre quado existem classes com baixas freqüêcias em relação as demais e estas são uidas com outras classes. Simbologia das classes Várias são as simbologias adotadas para as classes. Neste curso adotaremos a seguite simbologia: Seja A o limite iferior da classe i e B o limite superior da classe i, tem-se: A ---- B => A àclasseeb à classe. 2

13 Sugestão de procedimeto para a costrução da distribuição de freqüêcias a) Ordear os dados b) Calcular a amplitude total: A = Max Mi c) Determiar o úmero de classes (k): k = se <400 ou k = 3.log se > 400. Deve-se utilizar apeas a parte iteira de k. d) Determiar a amplitude de classe (c): c = A/(k-) e) Determiar o limite iferior da primeira classe (LI a ): LI a =Mi-(c/2) f) Determiar os demais limites de classes: O limite superior da primeira classe é dado por limite iferior da primeira classe mais a amplitude de classe; o limite iferior da seguda classe será igual ao limite superior da primeira; o limite superior da seguda será igual ao limite iferior da seguda mais a amplitude de classe e assim sucessivamete. g) Orgaizar a tabela e cotar as ocorrêcias. Tempo (seg) de iício para o atedimeto de uma cetral de relacioameto com clietes

14 Costrução de uma distribuição de frequêcias Orgaizar os dados Calcular a amplitude total (A = 60-4= 9) Determiar o úmero de classes k = = 20 = 447 4,47 Calcular amplitude das classes A 9 c = c = = 475, 5 k 5 Calcular o limite iferior da primeira classe Li = meor valor c/2 Motar as classes e frequêcias Tabela 3. Distribuição de frequêcias do tempo (seg) de iício do atedimeto em uma cetral de relacioameto com o cliete Classes Frequêcias absolutas 38,5 43,5 3 43,5 48,5 4 48,5 53, ,5 58,5 4 58,5 63,5 2 Total 20 Classes Ex: 38, ,5 Limites de classes Ex: 38,5 Número de classes Ex: k = 5 Amplitude ou itervalo de classe Ex: 5 Amplitude total da amostra Ex: 9 Poto Médio da classe (H.T.B) Ex:4 Limite iferior da primeira classe Ex: 38,5 4

15 Frequêcia acumulada Tabela 4. Distribuição de frequêcias acumulada do tempo (mi) de iicio de atedimeto a cetral de relacioameto com o cliete. Classes Frequêcia acumulada para baixo abaixo de 43,5 3 abaixo de 48,5 7 abaixo de 53,5 4 abaixo de 58,5 8 abaixo de 63,5 20 A represetação gráfica da variável cotíua deve dar a idéia de cotiuidade Para frequêcias simples os tipos de gráficos mais utilizados são o histograma e o polígoo de frequêcias Para as frequêcias acumuladas usa-se histogramas acumulados ou as ogivas (gráficos de frequêcias acumuladas. Figura 4. Histograma do tempo (seg) de iicio do atedimeto dos clietes por uma cetral de relacioameto. 5

16 Fa Poto Médio FIGURA 5. Polígoo de frequêcias do tempo (seg) de iicio do atedimeto dos clietes por uma cetral de relacioameto. Fac ,5 43,5 48,5 53,5 58,5 63,5 FIGURA 5 Ogiva abaixo de do tempo (seg) de iicio do atedimeto dos clietes por uma cetral de relacioameto. Fac ,5 43,5 48,5 53,5 58,5 63,5 FIGURA 6 Ogiva acima de do tempo (seg) de iicio do atedimeto dos clietes por uma cetral de relacioameto. Natureza da distribuição Simétrica - 50% das observações estão acima da média e 50% estão abaixo assimétrica à direita forte cocetração de dados à esquerda assimétrica à esquerda forte cocetração de dados à direita multimodal vários picos de freqüêcia 6

17 Iterpolação em distribuição de freqüêcias Quado os dados são apresetados apeas em uma distribuição de freqüêcias e ecessitamos estimar um valor diferete dos limites de classes usamos a iterpolação liear simples. Exemplo: Utilizado a distribuição de frequêcias do gasto mesal (R$), com produtos de beleza, de uma população de mulheres adultas, estimar: a) % de mulheres com gasto míimo de 93%; b) % com gasto etre 5% e 30% do salário míimo. Distribuição de frequêcias do gasto mesal (R$), com produtos de beleza, por um grupo de mulheres classes frequêcia Total 60 MEDIDAS DE POSIÇÃO Itrodução Objetivo Resumir o cojuto de dados em algus valores que possam represetar a variável Pricipais medidas de posição : Média aritmética, Mediaa e a Moda Hipótese Tabular Básica (HTB) Os dados cotidos em uma determiada classe são represetados pelo poto médio da classe. 7

18 Média aritmética A média aritmética é uma medida de posição que procura sitetizar um cojuto de observações. É muito utilizada: por apresetar: apreseta facilidade de cálculo e de iterpretação; adapta-se bem à tratametos algébricos é um estimador que produz estimativas sem tedêcia, cosistete, suficiete e geralmete, com boa precisão. Simbologia: μ = média populacioal x = média amostral Em Algus casos ela ão é cosiderada a melhor medida de posição para um cojuto de dados, por exemplo, em distribuições assimétricas como a distribuição de reda o Brasil a média aritmética ão seria um valor que mostra a realidade da distribuição de reda o País. A fórmula de cálculo da média com dados ão agrupados é: xi X = i= A formula de cálculo para dados agrupados (distribuição de freqüêcias) é: Xi fi x = i = fi i i Xi fri X i = poto médio da classe i; f i a freqüêcia da classe i Exemplos de cálculo ) A seguir temos tempos (mi) que pessoas gastaram para realizar determiado teste Calcular o tempo médio. 8

19 2) Deseja saber o úmero médio de falhas por dia o equipameto X. A amostra foi composta de 5 observações ) Calcular o gasto médio com produtos de beleza (tabela doexemplo de iterpolação) Propriedades da média aritmética A soma algébrica dos desvios em relação à média é ula. A soma de quadrados dos desvios de um cojuto de dados, em relação a uma costate qualquer K, será míima se e somete se K =. X Somado-se (ou subtraido-se) uma costate (c) a todos os valores de uma variável, a média do cojuto fica aumetada (ou dimiuída) dessa costate. Multiplicado-se (ou dividido-se) todos os valores de uma variável por uma costate (c), a média do cojuto fica multiplicada (ou dividida) por essa costate. Outros tipos de médias Poderada => Geométrica => Harmôica => x x w i = = i w i= i i Mg x x 2 x Mg F F F = 2... Mh = F x F2 x F x = 2 Fi i= xi 9

20 Exemplos: ) As otas obtidas em um cocurso as disciplias A, B, C, D, foram, respectivamete, 80; 85; 90 e 70. Se os pesos destas disciplias são: 3, 5, 2,, respectivamete, determie a média poderada. 2) Supoha que o salário de 5 fucioários de uma empresa seja: Determie a média aritmética e a média geométrica, destes dados. 3) Supoha que em um experimeto em que o pesquisador avaliou o preço mesal de um determiado produto ele teha ecotrado: Calcular a média aritmética e a média harmôica. Mediaa (Md) Realização (valor) que ocupa a posição cetral de um cojuto de dados ordeados. Se o úmero de observações for impar a mediaa será o valor cetral. Se o úmero de dados for par a mediaa será igual a média aritmética etre os dois valores cetrais do cojuto de dados. Ex.. Juros cobrados em certa operação fiaceira por diferetes istituições. Determiar Md.,8,9,7,8 2, 2,0 2,4 2,2,8 2,0,9 Ex. 2. Número de vedas do produto X ao logo do ao por um revededor. Determiar a mediaa

21 Para os dados agrupados: Md = Li + ( / 2 ) F f med atac Li = limite iferior da classe mediaa F atac = freq. Acumulada aterior a Md f med = freq. da classe mediaa Opção alterativa usar o poto médio da classe mediaa (Hipótese Tabular Básica) c Ex.: Determiar a mediaa para a taxa de peças a serem remaufaturadas. Tabela 5. Taxa de peças a serem remaufaturadas em uma liha de produção Classes Freq. freq. Acum. 9,9 -- 8, , , , , , , , , , ,2 34 Total 34 - Moda Valor que ocorre com maior freqüêcia etre os valores observados Um cojuto de observações pode ter uma úica moda, mais de uma moda ou ão ter ehum valor modal. Exemplo: Para os cojutos de dados abaixo, ecotre o valor modal. ) Produção de leite (kg/dia) das vacas de pequeo produtor rural

22 2) Número de vezes que clietes usaram o cartão de crédito o ultimo mês ) otas obtidas por 5 aluos em determiada disciplia Para os dados agrupados: d Mo = Li + c d + d 2 Li = limite iferior da classe modal d = dif etre freq das classes modal e aterior d 2 = dif etre freq das classes modal e posterior Opção alterativa usar o poto médio da classe mediaa (Hipótese Tabular Básica) Exemplo: Determiar a moda para o exemplo das taxas de peças remaufaturadas RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA E O TIPO DE DISTRIBUIÇÃO a) Se X = Md = Mo distribuição simétrica b) Se Mo < Md < X distribuição assimétrica a direita c) )Se X < Md < Mo distribuição ib i assimétrica i a esquerda 22

23 Qual medida posição devo utilizar para expressar uma determiada variável? Ferrametas diferetes para situações diferetes Atrasado Bêbado Batom Separatrizes (quartil, decil, percetil) Quartil separação dos dados em 4 partes iguais Decil separação dos dados em 0 partes iguais Percetil separação dos dados em 00 partes iguaisi Quartis: Q primeiro quartil; Q 2 segudo quartil e Q 3 terceiro quartil Decis: D primeiro decil;...; D 9 oo decil Percetis: P primeiro percetil;...; P 99 percetil 99 Note que, abaixo de Q temos 25% dos dados, etre Q eq 2 temos 25%, etre Q 2 eq 3 temos 25% e acima de Q 3 também 25%. De maeira aáloga pode-se fazer com decil ( 0% para cada decil) e percetil (% para cada percetil). Note também que: Q =P 25 ;Q 2 =P 50 =Md=D; = 5 Q 3 = P 75 Para o caso de distribuição de frequêcias acumuladas pode-se adotar o critério da defiição das separatrizes assumido o poto médio das respectivas classes. 23

24 Quartis Amostra ordeada 25% meores observações 50% - observações cetrais Q M d =Q 2 Q 3 Q : primeiro quartil Q 2 : segudo quartil (mediaa) Q 3 : terceiro quartil 25% maiores observações Exemplo: Determiar os quartis para:. Idade em aos de pessoas aprovadas o vestibular Dados de temperatura míima mesal ( o C) em uma certa região Número de gols por partida em um certo campeoato de futebol Distribuição de freqüêcias do úmero de gols por partida Número fa de tricas Total 200 Calcular a media, a mediaa e a moda de cada uma das amostras abaixo (Número de Ações Negociadas) Média = 6,5 Mediaa = 62 Moda = 67 A B Média = 6,5 Mediaa = 62 Moda = 67 24

25 A B Dados MEDIDAS DE DISPERSÃO As medidas de posição ão apresetam iformações sobre o comportameto da variável. Necessário associar à medida de posição, uma medida de dispersão (variabilidade). x Exemplo média é medida de cetro da distribuição, porém, ada iforma com relação a dispersão dos valores. Quato maior a variação dos dados meor a represetatividade da média. Assim, dizemos que as medidas de dispersão servem para qualificar a média. Quato meor a dispersão, são, mais as cofiável é a média. x As pricipais medidas de dispersão são: Amplitude total (A); variâcia (s 2 ) e desvio padrão (s); coeficiete de variação (CV); erro padrão da média (S). 25

26 Amplitude Total A = Max - Mi A amplitude total idéia geral de dispersão dos dados. ão é cosiderada uma boa medida de dispersão utiliza apeas os valores extremos Exemplo: Determiar a amplitude total para: Cojuto A: Cojuto B: Cojuto C: Características desejáveis de uma medida de dispersão. deve basear-se em todas as observações; deve ser facilmete compreesível e calculável deve adaptar-se bem ao tratameto algébrico deve estar exposta o meos possível às flutuações das amostras. Vamos pesar (costruir) uma medida de dispersão mais adequada que a amplitude total. Primeira ideia Calcular desvios em relação a média Desvio x i i= desvio = d = ( xi x ) ode x = i== problema do zero x i i= desvio = d = xi x = xi = 0 i= i= 26

27 alterativa - modulo d = i= ( x i x) Daí vem a defiição de Desvio médio evitar que amostras de tamahos diferetes, que possuíssem mesma dispersão, apresetassem desvios diferetes, poderouse o modulo dos desvios por ( xi x) DM = i= Problemas com essa medida: i) dificuldade de cálculo e de iterpretação em algumas situações ii) Não é uma medida míima de erro Outra proposta trabalhar com quadrados Desvio quadrático médio d 2 ( xi x) i= = 2 Vatages da medida Éumamédiamíimadeerro Apreseta facilidade de cálculo e de iterpretação Apreseta boas propriedades algébricas Desvatagem A medida de dispersão defiida como acima apreseta o icoveiete de ser tedeciosa, ou seja, de afastar do valor real da população. 27

28 Como cotorar? Retirar tedêcia ver propriedades dos estimadores (iferêcia estatística) Surge a defiição de variâcia e desvio padrão medidas de dispersão amplamete utilizadas a estatística Grade importâcia a caracterização de variáveis e as iferêcias paramétricas. Variâcia e desvio padrão Variâcia s 2 = i= 2 ( xi x) = 2 xi i= 2 xi i= Desvio padrão => raiz quadrada positiva da variâcia s = i= 2 ( xi x) = i= 2 xi 2 = x i Exemplo : Os dados a seguir represetam o úmero de atedimetos de emergêcia em uma uidade de saúde em uma semaa Determiar a média e o desvio padrão e iterpretar. Dados agrupados em classes 2 SQD s = = ( f ) i i i= ( 2 ( X X) f f ) i i = 2 ( Xi fi) Xi fi fi ( f ) i 2 s = + 2 s 28

29 Exemplo: Determiar a media, a variâcia e o desvio padrão dos gastos com produtos de beleza Distribuição de frequêcias do gasto mesal (R$), com produtos de beleza, por um grupo de mulheres classes frequêcia Total 60 Propriedades e características O desvio padrão é um valor míimo de erro, pois os desvios são calculados em relação à média aritmética São estatísticas que utilizam todas as observações o cálculo e também sofrem pouca ifluêcia de mudaças amostrais Valores extremos exercem maior ifluêcia que os valores cetrais (próximos à média) Variâcia e desvio padrão são sempre positivos São estatísticas de grade importâcia a descrição das populações e as iferêcias A variâcia de uma costate é sempre igual azero A variâcia de uma soma de variáveis será igual a soma das variâcias de cada variável, se e somete se as variáveis forem idepedetes 29

30 Se somarmos ou subtrairmos uma costate a cada valor observado e calcularmos a ova variâcia e o ovo desvio padrão, verificaremos que estes ão se alteram em relação aos dados iiciais. A multiplicação ou divisão de cada observação por uma costate, faz com que a ova variâcia seja multiplicada ou dividida pela costate ao quadrado e ovo desvio padrão fique multiplicado ou dividido pela costate. Exemplo: Supoha que o salário médio de uma empresa X é de R$ 500,00 com desvio padrão de R$ 250,00. Será dado um aumeto de 0% e um aboo de R$ 50,00 para cada fucioário. Qual o ovo salário médio e o ovo desvio padrão? Obs:O desvio padrão é uma medida absoluta de variabilidade de um atributo. Essa medida ão deve ser utilizada a comparação de variabilidade etre amostras ou etre variáveis. Como comparar variabilidade?? Exemplo: Qual dos atributos apresetados abaixo tem maior variabilidade? Temp (ºC) Prec (mm) Média s 5 00 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Medida de dispersão usada para comparação de variabilidade CV = 00. s X 30

31 ERRO PADRÃO DA MÉDIA Expressa a precisão com que a média foi estimada sx s Exemplo: Determiar o erro padrão para o tempo de espera a fila do baco, usado uma amostra de tamaho 7 e uma amostra de tamaho 5 (A) (B) CARACTERIZAÇÃO DE OUTLIERS E VALORES EXTREMOS Outliers e valores extremos são aqueles que estão muito afastados do cetro da distribuição. Uma forma de caracterizá-los é através do deseho esquemático (Box-Plot) BOX PLOT Caixa que cotém 50% da distribuição. Parte superior é Q 3 e o iferior é Q. Mediaa Q 2 está detro da caixa. Desvio iterquartílico (H): H = Q 3 Q Valores ão discrepates Q -,5H < X i < Q 3 +,5H Para a aálise de outliers, geralmete, cosidera-se: Q 3 +,5H < X i < Q 3 +3H Q 3H<X i < Q,5H Para a aálise de valores extremos, geralmete, cosidera-se: X i > Q 3 +3H X i < Q 3H 3

32 Um exemplo Uma empresa suspeita que os forecedores de um certo compoete, com fábrica um determiado muicípio (A), estejam fazedo uma política combiada de preços (cartel). Para verificar essa acusação, foram tomados os preços praticados por uma amostra de 20 fábricas desse muicípio e de 25 fábricas de muicípios vizihos (Cotrole). Dados Muicípio Cotrole A 4,80 2,90 2,30 20,30 8,20 20,90 20,70 9,60 3,60 9,30 20,70 9,20 5,50 4,40 9,90 8,50 2,00 5,0 20,30 8,60 3,70 3,0 2,0 20,30 6,00 5,50 9,60 20,0 7,30 4,30 9,30 9,90 4,40 5,0 20,80 2,00 6,0 5,80 9,70 8,90 26,80 3,00 2,0 4,90 7,00 32

33 ASSIMETRIA E CURTOSE O coeficiete de assimetria mostra o afastameto da variável em relação a um valor cetral, ou seja, a distribuição simétrica tem-se 50% dos valores observados acima da observação cetral e 50% abaixo. Se a distribuição é assimétrica, esta relação ão é observada. O coeficiete de curtose mostra a dispersão (achatameto) da distribuição em relação a um padrão, geralmete a curva ormal. Estes dois coeficietes são utilizados para iferêcias sobre a ormalidade da variável em estudo. ASSIMETRIA Assimetria: sigifica desvio ou afastameto da simetria, (grau de deformação de uma curva). # Simétrica, se a média e a moda coicidem. # Assimétrica à esquerda ou egativa, se a média é meor que a moda. # Assimétrica à direita ou positiva, se a média é maior que a moda. Como avaliar a assimetria de uma variável Uma primeira idéia pode ser pela comparação da média, da mediaa e da moda X = Md = Mo Podemos também comparar os quartis: Q3-Md e Md-Q Note que estas medidas de assimetria apresetam valores absolutos, elas ão permitem a comparação etre as medidas de duas distribuições, da mesma forma que ocorreu com o desvio padrão. 33

34 Exemplo: Distribuição A Distribuição B Distribuição C Número de ligações perdidas f i Número de ligações perdidas f i Número de ligações perdidas x = 2 x = 2,9 x =, Md = 2 Mo = 2 s = 4,42 Md = 3,5 Mo = 6 s = 4,2 Md = 0,5 Mo = 8 s = 4,2 f i Recomeda-se trabalhar com medidas adimesioais com o objetivo de facilitar as comparações. Primeiro coeficiete de assimetria de Pearso X Mo As = s Não é muito utilizado, pois o cojuto de dados pode ão apresetar valor modal Segudo coeficiete de assimetria de Pearso 3( x Md) As = s Se 05, < As <, a assimetria é moderada. Se As >, a assimetria é forte. Para o exemplo do úmero de ligações perdidas temos: 3(2 2) AsA = = 0 simetria 4,42 3(2,9 3,5) AsB = = 0,429 assimetria egativa 4,2 3(, 0,5) As C = = + 0,429 assimetria positiva 4,2 Estas são algumas formas de se avaliar a assimetria de um cojuto de dados, etretato o coeficiete mais utilizado se baseia o terceiro mometo cetrado a média 34

35 Mometo Estatístico Se x,x 2,...,x são os valores assumidos pela variável X, defiimos o mometo de ordem t dessa variável como: t xi i= M t = Note que se t= temos a média aritmética, ou seja, a média aritmética é igual ao primeiro mometo em relação à origem. O mometo de ordem t cetrado em uma costate K, com K 0 é defiido como: t ( xi K) K i= M t = Observações: se t=ek= X,temos M X = m = 0 (propriedade da média aritmética) X se t=2ek= X,temos =m 2 = σ 2. sk = 0, sk > 0, sk < 0, M 2 Coeficiete do mometo de assimetria se houver simetria se houver assimetria à direita se houver assimetria à esquerda CURTOSE Mede o grau de achatameto ou afilameto de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, deomiada curva ormal. Classificação da distribuição de acordo com a curtose mesocúrtica, se a curva de freqüêcias apresetar um grau de achatameto equivalete ao da curva ormal. leptocúrtica, se a curva de freqüêcias apreseta-se mais fechada (ou mais afilada a parte superior) que a curva ormal. platicúrtica, se a curva de freqüêcias apreseta-se mais aberta (ou mais achatada a parte superior) que a curva ormal. 35

36 Leptocúrtica mesocúrtica Platicúrtica Como avaliar a curtose de uma variável Coeficiete percetílico de curtose: Q3 Q C = 2( P P ) 90 0 Curva ormal C = 0,263 C = 0, 263 curva mesocúrtica C < 0, 263 curva leptocúrtica C > 0, 263 curva platicúrtica Coeficiete do mometo de curtose k = 3, k > 3, k < 3, meso lepto plati Mais utilizado a maioria dos softwares estatísticos Observação: Em algus programas computacioais como o Excel, Statistica e GS+ existe uma padroização do valor de k e o valor de comparação é o zero, portato, se k = 0 mesocúrtica, se k < 0 platicúrtica esek>0 leptocúrtica. 36

37 Erro Padrão dos Coeficietes de Assimetria e de Curtose Para uma melhor iterpretação do coeficiete de assimetria e do coeficiete de curtose, algus programas, forecem também o erro padrão desses coeficietes e a partir dos valores dos coeficietes associados com seus respectivos erros padrão, pode-se cocluir se os dados tem distribuição ormal ou ão Estes erros padrão depedem da distribuição, mas podem ser aproximados por: s = 6 erro padrão de sk S k 24 s k = erro padrão de k Por exemplo: Se o valor obtido a amostra para S k =0,30 com erro padrão de 0,65 e se o valor de k = 2,5 com erro padrão de 0,80, podemos dizer que a distribuição tede a ormal (simétrica e mesocúrtica), pois 0,3±0,65 e 2,5±0,80, icluem os valores zero e três, respectivamete. Exemplo de aplicação Determiar os coeficietes de assimetria e de curtose para: ) Número de vedas por dia do produto X Solução: X (x-media) (x-medeia)^2 (x-media)^3 (x-media)^ Cs= Ck= media soma mometo

38 2) tempo gasto a tarefa Distribuição de freqüêcias tempo (mi) gasto a tarefa X. Tempo (mi) f Tempo (mi) f xi (x-media).f (x-media)^2*f (x-media)^3*f (x-media)^4*f media = 30.9 soma E mometo.4209e Cs Ck