Exercícios de Aperfeiçoamento. [Análise Combinatória e Binômio de Newton]

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1 Exercícios de erfeiçoameto [álise ombiatória e Biômio de Newto] 1) Do cardáio de uma festa costavam dez diferetes tios de salgadihos, dois quais só quatro seriam servidos quetes. O garçom ecarregado de arrumar a travessa e servi-la foi istruído ara que a mesma cotivesse semre só diferetes tios de salgadihos frios e só diferetes dos quetes. De quatos modos diferetes teve o garçom a liberdade de selecioar os salgadihos ara comor a travessa, reseitado as istruções? a) 90 b) 1 c) 0 d) 38 e) 0 ) De quatas maeiras distitas odem-se alihar cico estacas azuis idêticas, uma vermelha e uma braca? a) b) 5 c) 7 d) 0 e) 500 3) Um aluo deverá ser examiado em Português e Matemática com uma úica rova de 5 questões. Sabedo-se que Português tem 10 tóicos, Matemática 8 e que qualquer tóico só oderá aarecer o máximo em uma úica questão, assiale o úmero de ossíveis escolhas etre esses tóicos que o examiador terá ara elaborar uma rova com três questões de Português e duas de Matemática. a) 380 b) 80 c) 330 d) 9 e) 18 ) O bufê de saladas de um restaurate areseta alface, tomate, agrião, cebola, eio, beterraba e ceoura. Quatos tios de saladas diferetes odem ser rearados com cico desses igredietes, de modo que todas as saladas coteham alface, tomate e cebola? a) 3 b) c) d) 8 e) 10 5) Numa turma de 10 amigos, um gruo formado or quatro destes será selecioado ara uma excursão. De quatas maeiras o gruo da excursão oderá ser formado sabedo que dois dos dez amigos (são marido e mulher) semre irão? a) 8 b) 115 c) 1 d) 1 e) 15 ) [PU SP] Formados e colocados em ordem crescete todos os úmeros de algarismos obtidos com os algarismos 1, 3, 5 e 7 (sem reetição), que lugar ocua o úmero 5731? a) 10º lugar b) 15º lugar c) 17º lugar d) 18º lugar e) 19º lugar Págia 1 de 13

2 7) seteça 10 a) 1 b) c) 18 d) 70 e) ou 70 é verdadeira se, e somete se,! for igual a: 8) osidere todos os úmeros de três algarismos distitos que odem ser formados com os elemetos do cojuto { 1,, 3,, 5, }. Quatos deles são maiores que 300? a) 30 b) 0 c) 5 d) 0 e) ) [FP-SP] Os valores de x que satisfazem a igualdade 3x 1 x 1 a) 1 e b) 1 e 3 c) 3 e d) e 3 e) e são: Lembre-se que: 10) Duas das ciqueta cadeiras umeradas de uma sala serão ocuadas or dois aluos. O úmero de maeiras distitas ossíveis que estes aluos terão ara escolher duas das ciqueta cadeiras, ara ocuá-las, é: a) 50 b) 15 c) 50 d) 9! e) 50! 11) O valor de M a exressão a) 7 b) 0 c) d) 15 1 e) M 3, é: 1) [UDES / datada] Dado o cojuto = {,, 5, 7}, a quatidade de iteiros ositivos com, o máximo, quatro algarismos, todos distitos, que odem ser formados com seus elemetos é: a) b) 3 c) d) 0 e) 8 Págia de 13

3 13) [FE] Um rofessor de matemática elaborou questões de geometria laa, de geometria esacial e 5 de aálise combiatória ara motar uma rova de recueração, com 10 questões. O úmero de rovas diferetes que ele ode motar com 3 questões de geometria laa, 5 de geometria esacial e de aálise combiatória é: a) 0 b) 1 c) 10 d) 88 e) 0 1) Um cameoato de futebol de salão é disutado or várias equies, jogado etre si, turo e returo. Sabedo-se que foram disutadas 7 artidas, determie o úmero de equies articiates. 15) Determie a soma dos úmeros associados às roosições VERDDEIRS. 01. om a alavra BLD odemos formar 70 aagramas diferetes. 0. Numa circuferêcia são tomados 8 otos distitos. Ligado-se dois quaisquer desses otos, obtém-se uma corda. O úmero total de cordas assim formadas é de osidere o cojuto = {1,, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. O úmero de rodutos de fatores distitos, escolhidos etre os elemetos de, cotedo o fator 5 e sedo ar, é Se x e y são úmeros aturais maiores que 1 e tais que x y x y 5 1 etão o roduto de x e y será 15. 1) [UEPG] om os algarismos (, 3,, 5,, 8) são formados úmeros de 5 algarismos distitos. ssim, é correto afirmar que: 01) odem ser formados 70 úmeros o total 0) 80 dos úmeros formados são ares. 0) o algarismo aarece em aeas 10 dos úmeros formados. 08) 10 dos úmeros formados são múltilos de 5. 1) 0 dos úmeros formados são ímares ) osiderado os úmeros biomiais, o valor de x a igualdade: 5x x 8 a) 1 b) / 3 c) d) ou / 3 e) 1 ou é: Lembre-se que: 18) [UFS / datada] Um gruo formado or raazes e uma sehorita vai visitar uma exosição de arte. Um dos raazes é um erfeito cavalheiro e, ortato, ão assa ela orta da sala de exosições sem que a sehorita já o teha feito. osiderado que a etrada é de uma essoa or vez, etão haverá x ossibilidades diferetes ara a ordem de etrada do gruo. O valor de x é: a) 8 b) 0 c) d) 7 e) 10 Págia 3 de 13

4 19) Os úmeros biomiais SOM dos valores de é: a) zero b) 1 c) d) 1 e) 1, 0 1 e, com N, esta ordem, estão em rogressão aritmética. Lembre-se que: 0) [FE] agramas são alavras formadas com as mesmas letras da alavra dada. Tais alavras odem ão ter sigificado a liguagem comum. osidere as afirmações abaixo, com relação ao úmero de aagramas da alavra feliz. (I) 8 começam com vogais. (II) matêm as letras L e i jutas, essa ordem. (III) 18 começam com cosoates e termiam com vogais. alterativa que cotém todas as afirmações corretas é: a) I e III b) I, II e III c) II e III d) I e II e) eas III 1) [FE] Sobre uma reta r se marcam 7 otos e sobre uma outra reta s aralela a r, se marcam otos. O úmero de triâgulos que se ode obter, uido 3 quaisquer desses otos, é: a) 30 b) 15 c) 15 d) 330 e) 1 ) [FE] Um estudate tem 5 láis de cores diferetes. O úmero de maeiras que ele oderá itar, em um maa, os estados da região sul do Brasil (Paraá, Sata ataria e Rio Grade do Sul), cada um com uma cor diferete é: a) 10 b) 0 c) 10 d) 0 e) 30 3) [UDES] Na sala de visitas de uma residêcia o teto foi rebaixado com gesso e foram colocadas 10 lâmadas de cores diferetes. Por medida de ecoomia, são acesas de a 8 dessas lâmadas simultaeamete. O úmero de maeiras que as lâmadas odem ser acesas é: a) 10 b) 330 c) d) 55 e) 375 ) [UDES] Num escritório trabalham 7 mulheres e homes. Determiar de quatos modos odemos formar uma comissão com 5 essoas, fazedo com que: a) em cada comissão figurem exatamete 3 mulheres; b) em cada comissão figurem o máximo 3 mulheres. Págia de 13

5 5) (UDES) Dados cico (5) otos de tal forma que ão existe a ossibilidade de três (3) otos estarem alihados. Determiar quatas retas são ossíveis de se formar com estes otos. Se icluirmos a ossibilidade de existirem três (3) otos alihados, determiar quatas retas são ossíveis de se formar com estes otos. ) (UDES) Um cameoato de futebol é disutado or 8 equies, de acordo com o seguite esquema: Formam-se gruos de 7 equies. Em cada gruo, as equies jogam etre si, uma só vez. Os cameões de cada gruo jogam etre si, uma só vez, surgido daí o cameão. Determie o úmero de jogos disutados. 7) (UFS) Possuo camisas (uma é vermelha) e 5 calças (uma é reta). O úmero de gruos de camisas e 3 calças que oderei formar, se em cada gruo quero que aareça a camisa vermelha e a calça reta, é: 8) (UFS) Numa circuferêcia são tomados 8 otos distitos. Ligado-se dois quaisquer desses otos, obtém-se uma corda. O úmero total de cordas assim formadas é: 9) (UFPR) om base os estudos de álise ombiatória e Biômio de Newto, é correto afirmar que: 01. (!)! = 0. Se 5 K, etão 5 10K 0. Se x 3 5 e y 3 5, etão (x + y) = soma dos coeficietes uméricos do desevolvimeto de (x + y) 7 é igual a ) (UFS) Marque a(s) roosição(ões) ORRET(S). 01. equação x, = x = 1 ão ossui solução. 0. om a alavra JU odemos formar aagramas. 0. Seja um subcojuto do lao com 0 otos. Se ão existirem três otos colieares em, etão existem 110 triâgulos (distitos) cujos vértices são otos de. 08. O o termo é o termo médio do desevolvimeto do biômio 8 m 5b. 10 m 31) (FE) Num gruo de 10 essoas, 8 são brasileiros e estrageiros. O úmero de gruos de essoas que odemos formar, com um estrageiro em cada um deles, é: a) 8 b) 10 c) 10 d) 70 e) 11 3) (UEPG-PR) om uma letra R, uma letra e um certo úmero de letras M, odemos formar 0 ermutações. O úmero de letras M é: a) b) 1 c) d) 3 e) 10 Págia 5 de 13

6 33) (UFS) Determie a soma dos úmeros associados à(s) roosição(ões) VERDDEIR(S). 01. Simlificado 3 5 obtemos. 0. Podemos formar 70 aagramas com ou sem sigificado com as letras da alavra ESOL. 0. Numa sala estão 5 rofessores e aluos. O úmero de gruos que odemos formar, tedo rofessores e 3 aluos, é x 08. Se x 10 x 0, etão x é igual a O termo ideedete de x o desevolvimeto de (3x ) é 1. 3) (UDES) O úmero de aagramas de quatro letras, começado com a letra G, que ode ser formado com a alavra PORTUGL é: a) 70 b) 1.80 c) 10 d) 0.30 e) 35 35) (IT-SP) osidere 1 otos distitos disostos o lao, 5 dos quais estão sobre uma mesma reta. Qualquer outra reta do lao cotém, o máximo, destes otos. Quatos triâgulos odemos formar com os vértices estes otos. a) 10 b) 315 c) 10 d) 15 e) 51 3) (UFS) Quatos úmeros diferetes obteremos, ermutado os algarismos do úmero 33.3? 37) (FE) quatidade de úmeros que odemos formar com os algarismos, 5,, 7 sem reeti-los, maiores que 5000 é: a) 0 b) 1 c) 18 d) 8 e) 7 38) (UFS) Disomos de cimeto, 3 tios de areia e tios de brita. Determie a quatidade de tios diferetes de cocreto que oderia ser feita, aarecedo os três elemetos a formação. 39) (ESGRNRIO-RJ) Um briquedo comum em arques de diversões é o "bicho-da-seda", que cosiste em um carro com cico bacos ara duas essoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma trajetória circular. Suoha que haja cico adultos, cada um deles acomahado de uma criaça, e que, em cada baco do carro, devam acomodar-se uma criaça e o seu resosável. De quatos modos odem as dez essoas ocuar os cico bacos? a) 1.00 b) 3.80 c) 1.80 d) 0 e) 10 0) Qual o cojuto solução da equação.! 0? Págia de 13

7 1) (UERJ) Numa cidade, os úmeros telefôicos ão odem começar or zero e têm oito algarismos, dos quais os quatros rimeiros costituem o refixo. osidere que os quatro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o refixo da farmácia Vivavida é formado elos dígitos,, 5 e, ão reetidos e ão ecessariamete esta ordem. O úmero máximo de tetativas a serem feitas ara idetificar o úmero telefôico comleto dessa farmácia equivale a: a) b) c) d) 10 e) 18 ) (UFS) Uma essoa ossui 5 camisas de cores diferetes etre si e 3 calças também de cores diferetes etre si. Sabedo-se que existem 3 camisas de mesma cor que as 3 calças, determie o úmero de trajes comletos (calça e camisa) com que essa essoa oderá vestir, ode somete aareçam calças e camisas de cores diferetes. 3) (FE) quatidade de úmeros comreedidos etre 3000 e 000 que odemos formar com os algarismos 1, 3, 5,, 7 e 8, sem reeti-los é: a) 30 b) 0 c) 1 d) 0 e) 90 ) (UFPR) Numa certa rede bacária, cada um dos clietes ossui um cartão magético e uma seha formada or seis dígitos. Para aumetar a seguraça e evitar que os clietes utilizem datas de aiversário como seha, o baco ão ermite o cadastro de sehas as quais os dois dígitos cetrais corresodam aos doze meses do ao, ou seja, sehas em que os dois dígitos cetrais sejam 01, 0,, 1 ão odem ser cadastradas. Quatas sehas diferetes odem ser comostas dessa forma? a) 10 1 b) c) d) 10 1 e) SENH: dígitos cetrais 5) (UFS) alcule o úmero de aagramas da alavra LR em que as letras R aarecem jutas e esta ordem. ) (UFS) ssiale o cartão-resosta a soma dos úmeros associados à(s) roosição(ões) ORRET(S). 01. solução da equação (x 3)! (x )! 8(x 1)! é 0 (zero). 0. solução da equação x, 3. x, é. 0. Um time de futebol de salão é formado or 5 jogadores. Disodo de 8 jogadores, odemos formar times de futebol de salão. 08. O úmero de aagramas que odemos formar com as letras da alavra BRSIL, que começam com B e termiam com L, é. 1. No desevolvimeto do biômio (x 1), o termo ideedete de x é 1. 7) om base os estudos dos fatoriais, determie o valor de ara: a) ( 1)! = 1 ( 1)!! b) 7 ( 1)! Págia 7 de 13

8 8) (UFSM-RS) Para ter acesso a uma sala reservada, cada usuário recebe um cartão de idetificação com listras coloridas, de modo que qualquer cartão deve diferir de todos os outros ela atureza das cores ou ela ordem das mesmas as listras. Oerado com 5 cores distitas e observado que listras vizihas ão teham a mesma cor, quatos usuários odem ser idetificados? a) 10 b) 0 c) 10 d) 30 e) 5 9) (UFPR) O maa ao lado rereseta as regiões em que está dividido o Brasil. ada região do maa deve ser colorida de modo que regiões com uma froteira comum teham cores distitas (or exemlo, as regiões Sul e Sudeste devem ter cores diferetes, equato as regiões Sul e Nordeste odem ter a mesma cor). Tedo como base essa codição, é correto afirmar: 01. Três cores diferetes são suficietes ara colorir o maa. 0. Estado disoíveis cico cores, existem 53 modos diferetes de colorir o maa se, em cada um desses modos, forem alicadas as 5 cores. 0. Estado disoíveis cico cores, e colorido-se as regiões Nordeste e Sul com a mesma cor, existem somete 33 modos diferetes de colorir o maa. 08. Estado disoíveis cico cores, e colorido-se as regiões Nordeste e Sul com a mesma cor, assim como as regiões Norte e Sudeste, existem 53 modos diferetes de colorir o maa. 50) (FTE-SP / datada) Sedo N tal que: O valor de é: a) = b) = 5 c) = d) = 3 e).r.a ) (MK-SP) Para N* a) 10 b) 0 c) (0!) (10!) d) 30 e) 0!/10!, se 0 10, etão é igual a: k 5) (FE) Sabe-se que 110 e 55. O valor de (.k ) é: a) b) 11 c) 0 d) 05 e) 10 k 53) (FE) De quatas maeiras bolihas vermelhas e 3 bolihas verdes odem ser colocadas efileiradas um reciiete com argila? a) 35 b) 7! c) 1 d) 0 e) 1 Págia 8 de 13

9 5) (UDES) Uma miiva de 9 lugares distribuídos em três fileiras de três lugares, icluido o asseto do motorista, deve trasortar 9 essoas. Dessas 9 essoas, 3 odem dirigir a miiva; uma é criaça e deverá obrigatoriamete ocuar o asseto róximo à jaela direita, a última fila de assetos; outra é o guia de excursão que, obrigatoriamete, deverá ocuar o asseto róximo à jaela direita, a rimeira fileira. Determie o úmero resultate das diferetes maeiras que essas essoas odem ocuar os assetos da miiva. 55) (UDES) Uma idústria de alimetos roduz izzas cogeladas e disõe de 10 sabores diferetes e de tios de massas. Quatas izzas com 3 sabores distitos odemos comor, se estabelecermos como critério a obrigatoriedade de que o sabor mais cosumido faça arte de todas as comosições? 5) (UDES) soma dos valores de m e, que são soluções do sistema m, m,1,, 1 11, é: 57) (UEG) Desde 1990, as lacas dos veículos o Brasil têm três letras e quatro algarismos. s letras idicam o estado em que o veículo foi emlacado ela rimeira vez. Goiás tiha as seguites séries de combiações: série iicial KV-0001 e série fial KF-9999; or exemlo, a laca KEW-13 é de Goiás e a laca KGY-987 ão. Recetemete, foram liberadas as seguites ovas séries de combiações ara Goiás: série iicial NF-0001 e série fial NGZ SUPERINTERESSNTE. São Paulo, maio 00, [datado]. Determie o úmero de veículos que odem ser emlacados em Goiás utilizado aeas as ovas séries de combiações recém-liberadas. 58) Detre oito aluos de uma faculdade, deve ser formada uma equie comosta or quatro aluos que reresetará a faculdade uma cometição acadêmica iteracioal. selmo, Bruo e arlos são algus desses oito aluos. Se selmo ão se relacioa bem com Bruo em com arlos, de quatas maeiras a equie ode ser formada de modo que todos os comoetes se relacioem bem? a) 70 b) 5 c) 31 d) 5 e) 59) Um salão é comosto or 7 ortas distitas que odem ser abertas de forma ideedete. Pelo meos duas ortas devem ser abertas simultaeamete ara um eveto. De quatas maeiras isso ode ser feito? a) 5 00 b) 10 c) 1 d) e) 50 0) (UFRJ) Uma estate da biblioteca tem 1 livros: 11 exemlares do livro ombiatória é fácil e 5 exemlares de ombiatória ão é difícil. osidere que os livros com mesmo título sejam idistiguíveis. Determie de quatas maeiras odemos disor os 1 livros a estate de modo que dois exemlares de ombiatória ão é difícil uca esteja jutos. Págia 9 de 13

10 1) (UNIENP PR) osidere uma via urbaa de tráfego em que os veículos deslocam-se de modo que, a cada bifurcação, distribuem-se igualmete em cada uma das duas oções de camiho, ou seja, metade segue ela direita e metade ela esquerda. Via Pricial B D E Saídas Pode-se calcular o úmero de veículos que assam or uma determiada bifurcação or meio do triâgulo de Pascal, ois os úmeros do triâgulo são roorcioais às quatidades de veículos que assam em cada bifurcação. Observe o triâgulo de Pascal, reresetado até a liha 5: Suodo que um grade úmero de veículos asse ela via ricial e siga até as saídas, B,, D e E. Desta forma, o úmero que mais se aroxima da razão etre a quatidade de veículos que chegam às saídas D e é: a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 3 e) 5 ) (FE) O coeficiete de a) b) 1 c) d) e) 1 1 x o desevolvimeto de 1 x x é: Págia 10 de 13

11 3) [FE] O 3º termo do desevolvimeto de a) 15x b) 15x c) 375x d) 750x e) 18x 3 (x 5) é: ) [UDES] O sexto termo do biômio a) b) c) d) e) 70 x y x y 7 70 x y x y x y 3 x y 3 10 é: 5) [UDES / datada] O termo ideedete de x, o desevolvimeto biomial a) 1 b) 0 c) 15 d) 1 e) 15 1 x x é: ) [UFS] O coeficiete umérico do termo em x, o desevolvimeto do biômio 1 x 10 x, é: 7) alcule a soma dos coeficietes do desevolvimeto do biômio ( 3 y 3 x ). 8) No desevolvimeto do biômio 1 x, qual o valor absoluto do coeficiete umérico de seu termo médio? 9) [UFS] O termo ideedete de x, o desevolvimeto de 3 x x, é: 70) (UNIENP PR) No desevolvimeto do biômio de Newto a) é o quarto termo. b) é o quito termo. c) é o sexto termo. d) é o último termo. e) ão existe. 3 1 x, o termo ideedete de x : x Págia 11 de 13

12 71) Sobre o desevolvimeto do biômio x x, cosidere as seguites afirmações: I. soma dos coeficietes é igual a zero. II. O coeficiete do termo ideedete de x o desevolvimeto é igual a 0. III. Possui termos. ssiale a úica alterativa correta: a) Somete II é verdadeira. b) Todas são falsas. c) Somete I é falsa. d) Somete III é falsa. e) Somete II e III são falsas. 7) (UNIENP PR) osidere o desevolvimeto do biômio a x x 9, obtido em otêcias decrescetes de x. Se o termo ideedete de x ossui coeficiete igual a 7, com a real e ideedete de x, a soma dos coeficietes de tal desevolvimeto é: a) 1 b) 51 c) 1 d) 0 e) 51 73) (UB DF) O coeficiete de a) 0 b) 7 9 c) k0 d) 7 e) 18 9 k 9 x o desevolvimeto biomial de 9 ( x 1) x é: 7) (UFPR) O termo ideedete de x o desevolvimeto do biômio a) segudo termo b) terceiro termo c) quarto termo d) quito termo e) sexto termo xy é o 5 x 75) (IT) Determie o coeficiete de x o desevolvimeto de ( 1 x x ) 9. 7) (UDES) O desevolvimeto da exressão de a b. ( 7 3 1) toma forma a b 3 ; etão calcule o valor umérico 77) (UDES) Sedo a 1 e b, calcule o valor umérico da exressão 5 b a. Págia 1 de 13

13 FORMULÁRIO: álise ombiatória:!!( )!! P! ( )! P,,...!!.!... Biômio de Newto: ( x a) 0. a. x T. a. 1 x Olá Estudates de Matemática do Módulo 3: Este material tem or objetivo comlemetar e aerfeiçoar o rocesso de aredizagem de algumas das Bases Tecológicas abordadas em sala de aula. São elas: Fatorial, PF, Permutação, rrajo, ombiação e Biômio de Newto. Escolha aleatoriamete VÁRIOS exercícios ara resolver, ou etão escolha aqueles que mais lhe atraem. Bom estudo! Foco, Força e Fé! Um grade abraço do Prof. Tomio! RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS 01) 0) 03) 0) 05) 0) D 07) B 08) E 09) B 10) 11) 1) 13) 1) 17 15) 1 1) 7 17) 18) B 19) B 0) 1) E ) B 3) E a) 55 b) 105 5) 10 e 8 ) 90 7) 0 8) 8 9) 1 30) 0 31) E 3) D 33) 7 3) 35) 3) 0 37) 38) 1 39) 0) S = { } 1) B ) 1 3) D ) E 5) ) 7 7a) { 1, } 7b) { 7 } 8) D 9) 11 50) D 51) D 5) 53) 5) 10 55) 7 5) 08 57) ) D 59) B 0) 79 1) ) 3) ) B 5) E ) 5 7) 8) 0 9) 3 70) E 71) B 7) 73) 7) 75) 1 7) 57 77) Págia 13 de 13