ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA 1) (PUC) A soma das raízes da equação (x + 1)! = x 2 + x é (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 2) (UFRGS) Um painel é formado por dois conjuntos de sete lâmpadas cada um, dispostos como na figura 1 abaixo. Cada conjunto de lâmpadas pode ser aceso independentemente do outro, bem como as lâmpadas de um mesmo conjunto podem ser acesas independentemente umas das outras, formando ou não números. Estando todas as lâmpadas apagadas, acendem-se, ao acaso e simultaneamente, cinco lâmpadas no primeiro conjunto e quatro lâmpadas no segundo conjunto. A probabilidade de que apareça no painel o número 24, como na figura 2, é 1 (a) (b) (c) (d) (e). 200 Figura 1 Figura 2 3) O número de diagonais de um polígono regular de 8 lados é (a) 16 (b) 20 (c) 28 (d) 48 (e) 56 1

2 4) Uma casa tem quatro peças dispostas como na figura. Quer-se pintar cada peça de uma única cor. Dispõe-se de cinco cores diferentes de tinta. O número de modos diferentes de se pintar todas as peças da casa, de forma que peças com alguma parede um comum não possuam a mesma cor é (a) 120 (b) 180 (c) 200, (d) 210 (e) 220 Banheiro Sala Quarto Cozinha Amarelo Azul Verde Branco Cinza 5) (PUC) Colocando em ordem crescente todos os inteiros de cinco algarismos distintos obtidos com 1, 2, 5, 6 e 8, a posição do inteiro é (a) 74ª (b) 76ª (c) 78ª (d) 85ª (e) 96ª 6) (UM) A quantidade de números diferentes formados de cinco algarismos ímpares e distintos, nos quais os dois menores estão sempre juntos, é (a) 48 (b) 72 (c) 120 (d) 24 (e) 60 7) (UFRGS) Um professor organizou uma lista com 4 questões de Geometria e 6 de Álgebra, da qual indicou um conjunto diferente de 7 questões para cada um de seus alunos resolver. O número de alunos que recebeu todas as questões de Geometria para resolver é, no máximo, de (a) 15 (b) 20 (c) 35 (d) 42 (e) 120 8) (UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de (a) 25% (b) 30% (c) 33% (d) 50% (e) 60% 2

3 9) (UFRGS) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é (a) 120 (b) 320 (c) 500 (d) 600 (e) ) (UFRGS) Inteiramente ao acaso, 14 alunos dividiram-se em 3 grupos de estudos. O primeiro para estudar Matemática, o segundo, Física, e o terceiro, Química. Se em cada um dos grupos, há pelo menos 4 alunos, a probabilidade de haver exatamente 5 alunos no grupo que estuda Matemática é de (a) 1/3 (b) 2/3 (c) 3/4 (d) 5/6 (e) 1 11) Em um grupo de 20 pessoas todas gostam de rock ou de samba, 10 gostam de rock e 12 gostam de samba. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade percentual desta pessoa gostar de rock e de samba? (a) 5 % (b) 10 % (c) 15 % (d) 20 % (e) 25 % 12) Em uma turma há 6 alunas e 4 alunos. Serão escolhidas 4 pessoas para formar um grupo de pesquisa. A probabilidade de o grupo ser formado por dois alunos e duas alunas é (a) 2/5 (b) 3/5 (c) 5/7 (d) 4/7 (e) 3/7 13) (CESGRANRIO) A probabilidade de um inteiro n, com 1 n 999, ser um múltiplo de 9, é (a) 1/909 (b) 1/10 (c) 2/9 (d) 1/3 (e) 1/9 3

4 14) (PUC/SP) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis. Alguém, querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se alguém que escolhe 5 dezenas tem probabilidade x de ganhar, então quem escolhe 7 dezenas tem que probabilidade de ganhar? (a) 7x (b) 14x (c) 21x (d) 28x (e) 35x 15) (UFRGS) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é (a) 1440 (b) 2880 (c) 3125 (d) 3888 (e) ) (UFRGS) Uma pessoa tem em sua carteira oito notas de R$ 1,00, cinco notas de R$ R$ 2,00 e uma nota de R$ 5,00. Se ela retirar ao acaso três notas da carteira, a probabilidade de que as três notas retiradas sejam de R$ 1,00 está entre (a) 15% e 16% (b) 16% e 17% (c) 17% e 18% (d) 18% e 19% (e) 19% e 20%. 17) Pede-se para uma pessoa dizer dois números de 1 a 5, podendo ser iguais. A alternativa que contém o valor mais próximo da probabilidade do primeiro número dito ser menor do que o segundo é (a) 25% (b) 30% (c) 35% (d) 40% (e) 50% 4

5 18) (UFRGS) Sendo A um ponto fixo de um círculo de raio r e escolhendo-se ao acaso um ponto B sobre o círculo, a probabilidade da corda AB ter comprimento maior que r está entre (a) 25% e 30% (b) 35% e 40% (c) 45% e 50% (d) 55% e 60% (e) 65% e 70% 19) (UFRGS) Considere dois dados, cada um deles com seis faces numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja 5 é (a) 1/15 (b) 2/21 (c) 1/12 (d) 1/11 (e) 1/9 20) (FFFMCPA/2006) Resultados de uma pesquisa, em âmbito nacional, indicam que, no Brasil de hoje, 40% de todos os homens e 50% de todas as mulheres viverão até os 80 anos de idade. A probabilidade de que os quatro avós de uma pessoa permaneçam vivos até os 80 anos é de (a) 0,4 %. (b) 1,8 %. (c) 4 %. (d) 9 %. (e) 18 %. 21) (FFFCMPA/2007) Um técnico de um laboratório dispõe de nove substâncias que podem reagir entre si formando novas substâncias. Para obter essas novas substâncias pretende colocar duas substâncias no primeiro frasco, três substâncias no segundo frasco e quatro substâncias no terceiro frasco. De quantas maneiras distintas ele pode fazer essa distribuição? (a) 5040 (b) 1260 (c) 2520 (d) 252 (e) 72 22) (UFRGS) Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é (a) 1/2 (b) 1/3 (c) 1/4 (d) 1/6 (e) 1/8 5

6 23) (UFRGS) Na figura, A e B são vértices do quadrado inscrito no círculo. Se um ponto E do círculo, diferente de todos os vértices do quadrado, é tomado ao acaso, a probabilidade de que A, B e E sejam vértices de um triângulo obtusângulo é A B (a) 1/4 (b) 1/3 (c) 1/2 (d) 2/3 (e) 3/4 24) (FFFCMPA/2006) Em um grupo no qual o número de homens é a quarta parte do número de mulheres, a probabilidade de um homem estar infectado por determinado vírus é de 0,05 e a de uma mulher estar infectada pelo mesmo vírus e de 0,10. Retirando-se do grupo, ao acaso, uma pessoa infectada por este vírus, a probabilidade de ela ser mulher é de (a) 0,075 (b) 0,2 (c) 40% (d) 7/9 (e) 8/9 25) (UFRGS) Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números distintos de 1 a 10, duas fichas são distribuídas ao jogador, que ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números consecutivos. A probabilidade de ganhar o prêmio neste jogo é de (a) 14% (b) 16% (c) 20% (d) 25% (e) 33% 26) (UFRGS) Uma caixa contém bolas azuis, brancas e amarelas, indistinguíveis a não se pela cor. Na caixa existem 20 bolas brancas e 18 bolas azuis. Retirando-se ao acaso uma bola da caixa, a probabilidade de ela ser amarela é 1/3. Então, o número de bolas amarelas é (a) 18 (b) 19 (c) 20 (d) 21 (e) 22 6

7 27) (UFGRS/2006) Dois dados perfeitos numerados de 1 a 6 são jogados simultaneamente. Multiplicam-se os números sorteados. A probabilidade de que o produto seja par é (a) 25%. (b) 33%. (c) 50%. (d) 66%. (e) 75%. 28) Determinar a soma de todos os n onde. (a) n! (b) n + 1 (c) 1 (d) 0 (e) 1 29) (UFGRS) Na figura abaixo está representado um octaedro regular. Escolhendo-se ao acaso dois vértices de um octaedro regular, a probabilidade de que esses vértices sejam extremos de uma das diagonais do octaedro é (a) 0,2. (b) 0,3. (c) 0,4. (d) 0,5. (e) 0,6. 30) figura abaixo pode ser colorida de diferentes maneiras, usando-se pelo menos duas de quatro cores disponíveis. Sabendo-se que duas faixas consecutivas não podem ter cores iguais, o número de modos de colorir a figura é (a) 12 (b) 24 (c) 48 (d) 72 (e) 108 7

8 Resolução 1) (x + 1)! = x 2 + x (x + 1)!=(x+1)x! e x 2 +x=x(x+1) Substituindo, temos: (x+1)x!=x(x+1). Dividindo por x+1, temos: x!=x. Um número só é igual ao seu fatorial se for 1 ou 2. Logo, a soma é 3. 2) Figura 1 Figura 2 No primeiro conjunto, devem ser acesas 5 dentre 7 lâmpadas. O número de maneiras de se escolher 5 dentre 7 lâmpadas para ascender é o mesmo número de maneiras de se escolher 2 dentre 7 lâmpadas para não ascender, ou seja, 2 76 C ! No segundo conjunto, devem ser acesas 4 dentre 7 lâmpadas. O número de maneiras de se escolher 4 dentre 7 lâmpadas para ascender é o mesmo número de maneiras de se escolher 3 dentre 7 lâmpadas para não ascender, ou seja, C ! Como os conjuntos de lâmpadas são independentes, o número de maneiras que podem ser acesas 5 no primeiro conjunto e 4 no segundo é 2135=735. Destes, apenas há uma possibilidade de aparecer o número 24. Logo a probabilidade é de 1 chance em 735, ou seja, 1/735. 3) Cada 2 vértices escolhidos determinam um segmento. O número de segmentos que 2 87 ligam vértices é C Mas nem todos estes segmentos são diagonais. Os 8 2! lados não são. Logo, o número de diagonais é 28-8=20. 8

9 4) Vamos começar pelo banheiro: O banheiro pode ser pintado de 5 cores. O quarto pode ser pintado de 4 cores, pois a cor usada no banheiro não pode ser repetida. Banheiro Sala Quarto Cozinha A sala pode ser pintada de 3 cores, pois as usadas no banheiro e no quarto não podem ser repetidas. A cozinha pode ser pintada de 3 cores, pois as cores usadas na sala e no quarto não podem ser repetidas. Total: Amarelo Azul Verde Branco Cinza 5) Todos os números que iniciam por 1, 2 ou 5 vêm antes de Vamos vem quantos iniciam por 1: Fixamos 1 na primeira posição e permutamos os 4 demais: 4!=24 números. A mesma quantidade inicia por 2 e a mesma quantidade inicia por 5. Logo, já temos =72 números antes de O 73 é O 74 é O 75 é O 76 é Desta forma, ocupa a posição 76. 6) Candidatos: 1, 3, 5, 7, 9 Vagas: Se 1 e 3 devem ficar juntos, vamos considerar as bolinhas: Cada permutação destas 4 bolinhas irá gerar um número onde 1 e 3 estão juntos. Há 4!=24 possibilidades. Há outras 24 possibilidades para as bolinhas Total: 24+24=48. 9

10 7) Candidatos: G1, G2, G3, G4, A1, A2, A3, A4, A5, A6 Vagas: G1 G2 G3 G4 Recebendo todas as questões de geometria, sobram apenas 3 vagas para 6 questões Escolhas de 3 dentre 6: C ! 8) Total de possibilidades que pode ocorrer: Candidatos: H1, H2, M1, M2, M3, M4 Vagas: Escolhas de 3 dentre 6: C ! Total de possibilidades que serve ao problema: Há duas maneiras de se escolher um homem: ou H1, ou H Para as mulheres, devemos escolher duas dentre quatro: C ! Total: 26= Probabilidade: 60% ) Locomotiva V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 Na primeira posição há 5 possibilidades, pois só o restaurante não pode. Na segunda posição há 5 possibilidades, pois apenas quem ocupa a primeira posição não pode. Na terceira posição há 4 possibilidades, pois quem ocupa as duas primeiras posições não podem. Na quarta posição há 3 possibilidades, pois quem ocupa as três primeiras posições não podem. Na quinta posição há 2 possibilidades, pois quem ocupa as quatro primeiras posições não podem. Na sesta posição há 1 possibilidade, pois quem ocupa as cinco primeiras posições não podem. Total: =600 10) Possibilidades 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª Grupo de Matemática Grupo de Física: Grupo de Química: Das 6 possibilidades, em apenas 2 há exatamente 5 alunos no grupo de Matemática. Logo, a probabilidade de isto ocorrer é de 2 em 6, ou seja, 1/3, 10

11 11) 20 gostam de rock ou de samba. 10 gostam de rock. 12 gostam de samba. Na união dos conjuntos há 20 elementos. No conjunto dos que gostam de roque há 10. Logo, há 20-10=10 que gostam só de samba Rock Samba 10 Na união dos conjuntos há 20 elementos. No conjunto dos que gostam de samba há 12. Logo, há 20-12=8 que gostam só de roque Rock Samba 12 Temos a situação: Rock Samba Logo, na interseção, há 2. Assim, a quantidade de pessoas que gosta de roque e samba é 2 em um total de %

12 12) Total de possibilidades que pode ocorrer: Candidatos: H1, H2, H3, H4, M1, M2, M3, M4, M5, M6. Vagas: Escolhas de 4 dentre 10 pessoas: C ! Total de possibilidades que serve ao problema: 2 43 Escolha de 2 dentre 4 homens: C Escolha de 2 dentre 6 mulheres: C Para cada uma das 6 escolhas de homens há 15 escolhas de mulheres. Total: 615= Probabilidade: ) 1 Modo: Vamos ver quantos múltiplos de 9 há em {1, 2, 3,..., 999}, ou seja, em {9, 18, 27,..., 999} Nesta PA de razão 9, número de espaços razão 990 número de espaços 110. Logo, há 111 termos. 9 As chances de sortear um múltiplo de 9 em {1, 2, 3,..., 999} é de 111 em 999, ou seja, de uma em 9. 14) Um resultado do jogo da loto é o sorteio de cinco dezenas. Quem joga apenas cinco dezenas, só 1 resultado serve: Jogo: d1 d2 d3 d4 d5 não pode errar nenhuma. Quem joga sete dezenas, pode errar 2: Jogo: d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 pode errar duas. De quantas formas pode-se errar duas dentre sete? 2 76 É o número de maneiras que se pode escolher 2 dentre 7 dezenas: C Assim, quem joga 7 dezenas concorre com 21 resultados. Com 5 dezenas, servindo apenas 1 resultado, a probabilidade de acertar é x. Com 7 dezenas, servindo 21 resultados, a probabilidade é multiplicada por 21, ou seja, será 21x. 6 C Assim, temos que 54 0, %. 6 C

13 15) L 1 E 1 L 2 E 2 L 3 E 3 L 4 E 4 L = = 24316= ) Total de retiradas possíveis: Cada 3 dentre as 14 notas que se escolhe é uma retirada possível: C Total de retiradas que servem: Cada 3 dentre as 8 notas de 1 que se escolhe é uma retirada que serve: C ! Probabilidade: 0, ,38% ) Vamos organizar em uma matriz todas as possíveis possibilidades dos números serem ditos. Em cada linha está o primeiro número dito e em cada coluna o segundo N S S S S 2 N N S S S 3 N N N S S 4 N N N N S 5 N N N N N N significa que o evento em questão não ocorre e S que ocorre. Em um total de 25 eventos, há 10 S. Assim, a probabilidade é de 10 em 25, ou seja, de 40%. 13

14 18) Só se o ponto B pertencer ao arco superior XY, então o comprimento da corda AB será menor do que o raio. X r A r r B Y O Como os triângulos AXO e AOY são equiláteros, o ângulo em A mede 120. Para 120 em um total de 360, o comprimento da corda não será maior do que o raio. 120º 1 é a probabilidade de não ocorrer. 360º 3 Logo, a probabilidade de ocorrer é 2 0, 66 %, que está entre 65% e 70%. 3 19) a) Total de possibilidades que PODE ocorrer: 36 Candidatos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Vagas: 6 6 = 36 b) Total de possibilidades que SERVEM ao problema: 4 Para a soma dar 5, só há as possibilidades: 1 dado: 1 2 dado: 4 1 dado: 2 2 dado: 3 1 dado: 4 2 dado: 1 1 dado: P 2 dado: ) Os 4 avós de uma pessoa são 2 homens e 2 mulheres. Assim, a probabilidade dos 4 viverem até os 80 anos é de 50%50%40%40% = % 14

15 21) No 1 deve-se escolher 2 dentre 9: C ! No 2 deve-se escolher 3 dentre as 7 que sobraram: C ! 6 No 3 deve-se escolher 4 dentre as 4 que sobraram: 1 só possibilidade. Total: = ) Total de possibilidades possíveis: Candidatos: H, M Vagas: = 8 Total de possibilidades de serem do mesmo sexo: 2 (HHH ou MMM). Probabilidade: ) E 4 E 1 E 3 A B Os triângulos AE 1 B, AE 2 B, AE 3 B têm um ângulo obtuso. O triângulo AE 4 B não tem ângulo obtuso. Dos 4 arcos de círculo congruentes determinados pelos vértices do quadrado, apenas 1 é formado por pontos E tais que AEB não é obtusângulo. Logo, a probabilidade de que o triângulo AEB seja obtusângulo é 3 em 4, ou seja, 3/4. E 2 15

16 24) Vamos supor em 100 pessoas, haja 20 homens e 80 mulheres. Neste caso, o número de homens é a quarta parte do número de mulheres. A probabilidade de um homem estar infectado é 0,05 = 5/100. Logo, há 5% de 20 homens infectados, ou seja, apenas 1. A probabilidade de uma mulher estar infectada é 0,10 = 10/100. Logo, há 10% de 80 mulheres infectadas, ou seja, 8. Há, portanto, 9 pessoas infectadas, sendo 8 mulheres. Retirando-se do grupo, ao acaso, uma pessoa infectada por este vírus, a probabilidade de ela ser mulher é de 8 em 9, ou seja, 8/9. 25) a) Total das possibilidades que podem ocorrer. Há possibilidades de serem escolhidas 2 dentre 10 fichas. b) Total das possibilidades para se ganhas o jogo. Se ganha o jogo se forem recebidas cartas com os números: 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4, 4 e 5, 5 e 6, 6 e 7, 7 e 8, 8 e 9, 9 e 10, totalizando 9 possibilidades. Logo, a probabilidade de se ganhar o jogo é de 9 em 45, ou seja, 1 em 5, o que equivale a 20%. 26) 20 brancas, 18 azuis e n amarelas Probabilidade de retirar amarela:.. 3n = 38 + n 2n = 38 n =

17 27) Vamos construir uma tabela de todos os produtos possíveis: I P I P I P 2 P P P P P P 3 I P I P I P 4 P P P P P P 5 I P I P I P 6 P P P P P P Dos 36 produtos, 27 são pares: = 75% 28) (n+1)n = 2 n 2 + n 2 = 0 n =1 e n =-2 Contudo, substituindo n por -2, temos: Fatoriais de inteiros negativos não são definidos. Logo, o único valor para n possível é 1. Assim, a soma de todos os valores possíveis é 1. 29) (UFGRS) Na figura abaixo está representado um octaedro regular. Regra do jogo: escolher 2 vértices extremos de uma mesma diagonal. Probabilidade de continuar no jogo na primeira escolha: 6/6=1. Escolhido um vértice, dos 5 que restaram há somente 1 possibilidades de escolha para ganhar o jogo. Probabilidade de ganhar o jogo na segunda escolha: 1/5. Resposta: 1 1/5 = 1/5= 0,2. 17

18 30) Há 4 maneiras de iniciar colorindo o primeiro quadrado: cores A, B, C ou D. Vamos supor que se escolha a cor A. A B A Agora há 3 maneiras de colorir o segundo quadrado: cores B, C ou D. Vamos supor que se escolha a cor B. B Agora há 3 maneiras de colorir o segundo quadrado: cores A, C ou D. Vamos supor que se escolha a cor A. Agora há 3 maneiras de colorir o segundo quadrado: cores B, C ou D. vamos supor que se escolha a cor B. Resposta: =

19 RESPOSTAS 1) D 2) A 3) B 4) B 5) B 6) A 7) B 8) E 9) D 10) A 11) B 12) E 13) E 14) C 15) D 16) A 17) D 18) E 19) E 20) C 21) B 22) C 23) E 24) E 25) C 26) B 27) E 28) E 29) A 30) E 19