Exercícios de exames e provas oficiais

Transcrição

1 mata2 Eercícios de eames e provas oficiais. Uma caia tem seis bolas distinguíveis apenas pela cor: duas azuis e quatro pretas. Considere a eperiência aleatória que consiste em retirar dessa caia, simultaneamente e ao acaso, três bolas. Seja X a variável aleatória «número de bolas azuis que eistem no conjunto das três bolas retiradas». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fração. Eame 63, 2ª fase, Uma caia tem nove bolas distinguíveis apenas pela cor: seis pretas, duas brancas e uma amarela. Considere a eperiência aleatória que consiste em retirar dessa caia uma bola de cada vez, ao acaso e sem reposição, até ser retirada uma bola preta. Seja X a variável aleatória «número de bolas retiradas dessa caia». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fração. Eame 63, ª fase, A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é a seguinte. Sabe-se que: a e b designam números reais positivos; o valor médio da variável X é igual a 2,2 Qual é o valor de a? (A) 0, (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4 Teste Intermédio, Uma variável aleatória X tem distribuição normal. Sabe-se que P X 40 é inferior a P X 30 Qual dos números seguintes pode ser o valor médio da variável aleatória X? (A) 32 (B) 3 (C) 38 (D) 4 Teste Intermédio, / 8

2 mata2. Numa caia, estão cinco bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de a. Considere a eperiência aleatória que consiste em retirar ao acaso e em simultâneo três bolas da caia e observar os seus números. Sejam X e Y as variáveis aleatórias seguintes. X: «o número de bolas retiradas com número ímpar»; Y: «soma dos números das bolas retiradas». Construa a tabela de distribuição de probabilidade da variável aleatória X. Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível. Teste Intermédio, O João tem uma coleção de dados, uns com a forma de um cubo (dados cúbicos) e os outros com a forma de um octaedro (dados octaédricos). Os dados cúbicos são equilibrados e têm as faces numeradas de a 6. O João lança oito vezes um dos dados cúbicos. Qual é a probabilidade de a face com o número sair pelo menos duas vezes? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Teste Intermédio, As classificações obtidas pelos alunos de uma escola num teste de Português seguem, aproimadamente, uma distribuição normal, de valor médio, valores. Vai ser escolhido, ao acaso, um desses testes. Considere os acontecimentos seguintes. I: «a classificação do teste é superior a 2 valores» J: «a classificação do teste é superior a 6, valores» K: «a classificação do teste é inferior a 9 valores» Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) P J PK PI (B) PK PI P J (C) PI PK P J (D) PK P J PI Eame 63, Época Especial, / 8

3 mata2 8. Num saco estão doze bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de a O João retira três bolas do saco, ao acaso, de uma só vez. Seja X a variável aleatória «número de bolas retiradas com um número múltiplo de». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fração Considere agora o saco com a sua constituição inicial. O João retira, ao acaso, uma bola do saco, regista o número da bola retirada e repõe essa bola no saco. Em seguida, retira, ao acaso, uma segunda bola do saco, regista o número da bola retirada e repõe essa bola no saco, e assim sucessivamente, até registar uma série de 8 números. Considere a afirmação seguinte: «A probabilidade de o João registar eatamente números que sejam múltiplos de 3 é 3 2 dada por C Elabore uma composição na qual:, aplicando o modelo binomial.» apresente um raciocínio que justifique a veracidade da afirmação; refira as condições de aplicabilidade do modelo binomial. Eame 63, Época Especial, Numa conferência de imprensa, estiveram presentes 20 jornalistas. Considere a eperiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, um dos 20 jornalistas presentes nessa conferência de imprensa. Seja X a variável aleatória «número de jornalistas do seo feminino escolhidos». A tabela de distribuição de probabilidades da variável X é a seguinte. Considere agora a eperiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, dois dos 20 jornalistas presentes nessa conferência de imprensa. Seja Y a variável aleatória «número de jornalistas do seo feminino escolhidos». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável Y. Apresente as probabilidades na forma de fração. Eame 63, 2ª fase, / 8

4 mata2 0. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. Sabe-se que: a e b são números reais; P X P X 2 Qual é o valor médio da variável aleatória X? (A) 3 2 (B) 7 (C) 7 9 (D) 9 2 Eame 63, ª fase, 203. Considere uma variável aleatória X com distribuição normal de valor médio e desvio padrão. Sabe-se que é um número natural e que P X 23 0, Qual é o valor de? (A) 2 (B) (C) 6 (D) 4 Eame 63, ª fase, Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio e desvio padrão X ~ N,. Sabe-se que: P X 4, 7 0,3 Qual dos números seguintes pode ser o valor de? (A) 0, (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4 Teste Intermédio, / 8

5 mata2 3. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. Sabe-se que: a e b são números reais; o valor médio da variável aleatória X é 3 24 Qual é o valor de b? (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) Eame 63, 2ª fase, A empresa AP comercializa pacotes de açúcar. Seja Y a variável aleatória «massa, em gramas, de um pacote de açúcar comercializado pela empresa AP». A variável aleatória Y segue uma distribuição normal de valor médio 6, gramas e desvio padrão 0,4 gramas. Um pacote de açúcar encontra-se em condições de ser comercializado se a sua massa estiver compreendida entre,7 gramas e 7,3 gramas. Determine o valor aproimado da probabilidade de, em 0 desses pacotes de açúcar, eatamente oito estarem em condições de serem comercializados. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproimação às milésimas. Eame 63, 2ª fase, 202. Num saco estão cinco bolas, indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente: -2, -, 0, e 2. Etraem-se, ao acaso e em simultâneo, quatro bolas do saco. Seja X a variável aleatória «produto dos números inscritos nas bolas etraídas». A tabela de distribuição de probabilidades da variável X é a seguinte. Elabore uma composição na qual: Eplique os valores da variável X Justifique cada uma das probabilidades Eame 63, ª fase, 202 / 8

6 mata2 6. Uma caia, que designaremos por caia, tem uma bola branca e duas bolas pretas. Considere a eperiência que consiste em tirar, ao acaso, uma bola da caia, observar a sua cor e voltar a colocar a bola na caia. Efetua-se esta eperiência cinco vezes. Qual é a probabilidade de sair bola preta pelo menos quatro vezes? Teste Intermédio, Uma turma de 2º ano é constituída por 4 raparigas e 0 rapazes. Vão ser escolhidos aleatoriamente dois jovens desta turma, para constituírem uma comissão que participará num congresso. Seja X o número de raparigas que integram a comissão. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível. Teste Intermédio, A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. Sabe-se que: a e b são números reais; P X 3P X Qual é o valor de b? (A) 0 (B) 4 (C) 7 30 (D) Eame 63, 2ª fase, Seja a um número real positivo e seja X uma variável aleatória com distribuição Normal N 0,. Qual das igualdades seguintes é verdadeira? (A) P X a P X a 0 (B) P X a P X a (C) P X a P X a (D) P X a P X a Eame 63, 2ª fase, 20 6 / 8

7 mata2 20. Uma companhia aérea vende bilhetes a baio custo eclusivamente para viagens cujos destinos sejam Berlim ou Paris. Nove jovens decidem ir a Berlim e escolhem essa companhia aérea. Cada jovem paga o bilhete com cartão multibanco, ou não, independentemente da forma de pagamento utiliada pelos outros jovens. Considere que a probabilidade de um jovem utilizar cartão multibanco, para pagar o seu bilhete, é igual a 0,6. Determine a probabilidade de eatamente 6 desses jovens utilizarem cartão multibanco para pagarem o seu bilhete. Apresente o resultado com arredondamento às centésimas. Eame 63, ª fase, Para um certo número real a, a tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. Qual é o valor de a? (A) 3 (B) 4 (C) (D) 6 Teste Intermédio, A Filipa pratica atletismo. O tempo X, em segundos, que a Filipa demora a correr os 400 metros é uma variável aleatória bem modelada por uma distribuição normal de valor médio 80. Sabe-se que P X , 4 Para um certo valor de a, tem-se P X a 0, Qual é o valor de a? (A) 78 (B) 82 (C) 84 (D) 88 Teste Intermédio, / 8

8 mata2 23. Um dado equilibrado, com as faces numeradas de a 6, é lançado quinze vezes. Indique qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a (A) A face 4 sai pelo menos uma vez (B) A face 4 sai pelo menos duas vezes (C) A face 4 sai no máimo uma vez (D) A face 4 sai no máimo duas vezes 4 C Teste Intermédio, Uma caia contém quatro bolas brancas e quatro bolas pretas. Considere a eperiência seguinte. «Tira-se, ao acaso, uma bola da caia. Se a bola for branca, repõe-se na caia; se a bola for preta, deia-se ficar fora da caia. Em seguida, tira-se, também ao acaso, uma segunda bola da caia, e procede-se do mesmo modo: se a bola for branca, repõe-se na caia; se a bola for preta, deia-se ficar fora da caia.» Seja X o número de bolas que, no final da eperiência, estão fora da caia. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X. Apresente as probabilidades na forma de fração. Teste Intermédio, As figuras abaio representam, respetivamente, as planificações de dois dados cúbicos equilibrados, A e B. Dado A Lançam-se, simultaneamente, os dois dados. Dado B Seja X a variável «soma dos números saídos nas faces voltadas para cima, em cada um dos dados». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fração. Eame 63, 2ª fase, / 8

9 mata2 26. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. Qual das igualdades seguintes é verdadeira, considerando os valores da tabela? (A) P X 0 P X (B) P X 0 P X 2 (C) P X 0 P X 3 (D) P X 2 P X 3 Eame 63, ª fase, Considere uma variável aleatória X, cuja distribuição de probabilidade é dada pela tabela seguinte. Qual é o valor de k? (A) (B) 2 (C) 3 (D) 4 Eame 63, ª fase, Um variável aleatória X tem distribuição normal. Sabe-se que P X 0 é inferior a P X 40 Qual dos seguintes pode ser o valor médio da variáel aleatória X? (A) 42 (B) 4 (C) 48 (D) Teste Intermédio, / 8

10 mata2 29. A estatística revela que o basquetebolista Zé Mão Quente falha 0% dos lances livres que eecuta. Num treino, o Zé Mão Quente vai eecutar uma série de oito lances livres. Indique qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a 0,9 C 0,9 0, (A) O Zé Mão Quente concretiza pelo menos seis lances livres. (B) O Zé Mão Quente concretiza pelo menos sete lances livres. (C) O Zé Mão Quente concretiza no máimo seis lances livres. (D) O Zé Mão Quente concretiza no máimo sete lances livres. Teste Intermédio, Lança-se um dado não equilibrado, com as faces numeradas de a 6. Seja X a variável aleatória «número saído no lançamento efetuado». Admita que, para certos números reais a e b, a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é 30.. Determine a e b, sabendo que o valor médio da variável aleatória X é 3, Em relação ao lançamento deste dado não equilibrado, sejam C e D os acontecimentos: C: «Sair um número ímpar» D: «Sair um número maior do que 4» Averigue se os acontecimentos C e D são independentes. Teste Intermédio, Efetua-se um único lançamento de um dado tetraédrico, com as faces numeradas de a 4. Considere-se que o «número que sai» é o número que está na face que fica voltada para baio. O dado não é equilibrado, pelo que os quatro números não têm a mesma probabilidade de sair. Sejam A e B os acontecimentos seguintes: A: «sair número ímpar»; B: «sair número maior do que 2». Sabe-se que: P A B 0,4 P A P A 0 / 8

11 mata2 P A B 0,8 Seja X a variável aleatória «número saído no lançamento efetuado». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X. Nota: apresente todas as justificações e todos os cálculos que efetuar na determinação dos valores da probabilidades. Teste Intermédio, A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é (a e b designam números reais) O valor médio desta variável aleatória é,4. Qual é o valor de a? (A) 0, (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0, Teste Intermédio, O diâmetro, em milímetros, dos parafusos produzidos por uma certa máquina é uma variável aleatória X com distribuição normal, de valor médio 9. Qualquer parafuso produzido por essa máquina passa por um controle de qualidade. Ao passar por esse controle, o parafuso é aprovado se o seu diâmetro estiver compreendido entre 8,7 e 9,3 milímetros. Caso contrário, é rejeitado. Sabe-se que 99,73% dos parafusos são aprovados. Qual é o desvio padrão da variável aleatória X? (A) 0, (B) 0,3 (C) 0,6 (D) 0,9 Teste Intermédio, Na figura está representado um dado equilibrado, bem como a respetiva planificação. Conforme se pode observar na figura, eistem três números em cada face. Lança-se este dado uma só vez e observam-se os números da face que fica voltada para cima. Diz-se então que saíram esses três números Seja X a variável aleatória «produto dos três números saídos». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X. Apresente as probabilidades na forma de fração. / 8

12 mata Seja R o acontecimento «os números saídos são todos iguais». Seja S o acontecimento «a soma dos números saídos é igual a 3». Os acontecimentos R e S são independentes? Justifique. Teste Intermédio, Ao disputar um torneio de tipo ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabese que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é 0,8. Qual é a probabilidade de o João acertar sempre o alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar? (A) 0,006 (B) 0,0064 (C) 0,089 (D) 0,4096 Eame 63, 2ª fase, Numa caia temos três fichas com o número e quatro com o número 2, indistinguíveis ao tato. Retiram-se, ao acaso e de uma só vez, duas fichas. Seja X a variável aleatória: «a soma dos números inscritos nas duas fichas». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Indique, justificando, o valor mais provável da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível. Eame 63, 2ª fase, Admita que a variável peso, epressa em gramas, das maçãs de um pomar é bem modelada N 60;, em que 60 é o valos médio e é o desvio padrão da por uma distribuição normal distribuição. Retira-se, ao acaso, uma dessas maçãs. Considere os acontecimentos: A: «o peso da maçã retirada é superior a 66 gramas» B: «o peso da maçã retirada é inferior a 48 gramas» Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) P A PB (B) P A PB (C) PB P A (D) P A PB Eame 63, ª fase, / 8

13 mata2 38. Lança-se cinco vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de a 6. Seja p a probabilidade de, nos cinco lançamentos, sair face 6 eatamente duas vezes. Qual é o valor de p arredondado às centésimas? (A) 0,2 (B) 0,6 (C) 0,23 (D) 0,27 Teste Intermédio, A curva de Gauss representada na figura está associada a ma variável aleatória X, com distribuição Normal. Tal como a figura sugere, a curva é simétrica relativamente à reta de equação 2 Para uma certo valor de a, tem-se que P X a % Qual dos seguintes pode ser o valor de a? (A) (B), (C) 2 (D) 2, Teste Intermédio, O Jorge tem seis moedas no bolso. Ele retira, simultaneamente e ao acaso, duas dessas seis moedas. Seja X a quantia, em cêntimos, correspondente às duas moedas retiradas. Sabe-se que a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é Quais poderiam ser as seis moedas que o Jorge tinham inicialmente no bolso? (A) (B) 3 / 8

14 mata2 (C) (D) Teste Intermédio, Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades: (a e b designam números reais positivos) Sabe-se que o valor médio da variável aleatória X é 2,4 Qual é o valor de a? (A) 3 (B) 2, (C) 2 (D), Teste Intermédio, Admita que a variável altura, em centímetros, dos rapazes de 3 anos de um certo país, é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 40. Escolhido, ao acaso, um rapaz de 3 anos desse país, sabe-se que a probabilidade de a sua altura pertencer a um determinado intervalo [a, b] é igual a 60%. Quais dos seguintes podem ser os valores de a e de b? (A) a 40 e b 70 (B) a 20 e b 40 (C) a 30 e b 0 (D) a 0 e b 80 Teste Intermédio, Um saco contém dez bolas. Quatro bolas estão numeradas com o número, cinco com o número 2 e uma com o número 3. Etrai-se, ao acaso, uma bola do saco. Seja X o número da bola etraída. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na forma de dízima. Teste Intermédio, / 8

15 mata2 44. Na figura está representado um dado equilibrado, bem como a respetiva planificação. Lança-se este dado duas vezes. Seja X a variável aleatória: soma dos números saídos nos dois lançamentos. Indique o valor de k tal que P X k (A) (B) 2 (C) 3 (D) 4 9 Teste Intermédio, A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é (a designa um número real) Qual é o valor médio desta variável aleatória? (A), (B),2 (C),3 (D),4 Eame 63, 2ª fase, 2006 / 8

16 mata2 46. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades: Indique o valor de a. (A) 200 C 99 (B) 200 C (C) C 99 (D) 2006 C 00 Eame 63, ª fase, O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de a 6, e vai adicionar os números saídos. De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próima? (A) (B) 2000 (C) (D) Teste Intermédio, Admita que a variável peso, em quilogramas, das raparigas de anos, de uma certa escola, é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 40. Sabe-se ainda que, nessa escola, 20% das raparigas de anos pesam mais de 4 kg. Escolhida, ao acaso, uma rapariga de anos dessa escola, qual é a probabilidade de o seu peso estar compreendido entre 3 kg e 40 kg? (A) 0,2 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,3 Teste Intermédio, Uma caia, que designamos por caia, contém duas bolas pretas e três bolas verdes. Uma segunda caia, que designamos por caia 2, contém duas bolas pretas e uma bola verde. Considere a seguinte eperiência: retirar, ao acaso, uma bola de cada caia. Seja X a variável aleatória «número de bolas verdes que eistem no conjunto das duas bolas retiradas». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na forma de fração irredutível. Teste Intermédio, Bom trabalho!! 6 / 8

17 mata2 Principais soluções. 2. i 0 2 P X i 3 i P X i 3. (B) 4. (A) i 0 2 P X i 6. 0,4 7. (A) i 0 2 P X i i 0 2 P X i 0. (D). (C) 2. (D) 3. (C) 4. 0, i 0 2 P X i 8. (D) 9. (B) 20. 0,2 2. (D) 22. (C) 23. (B) i 0 2 P X i i P X i (B) 27. (B) 28. (A) 29. (C) a 0, ; b 0, Não são independentes i P X i 0, 0,2 0,4 0,3 32. (A) 33. (A) i 0 8 P X i Não são independentes 3. (D) 6 7 / 8

18 mata2 36. i P X i 7 3 é o valor mais provável 37. (C) 38. (B) 39. (D) 40. (D) 4. (C) 42. (C) i 2 3 P X i 0,4 0, 0, 44. (B) 4. (A) 46. (B) 47. (B) 48. (C) 49. i 0 2 P X i / 8