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1 Escola Secundária de Francisco Franco Matemática B Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em Exames (2006) 1. Suponha que, com o objectivo de angariar fundos, o presidente de uma instituição de solidariedade social lhe propõe que invente um jogo de dados, cujos lucros revertam a favor da instituição. Neste jogo, a realizar-se na sede da instituição, deverão participar dois jogadores, apostando cada um deles uma determinada quantia por jogada. O prémio de cada jogada será a soma das duas quantias. Em cada jogada, é lançado um par de dados, numerados de um a seis, e registada a soma dos números saídos. O jogo deverá obedecer ainda às seguintes restrições:» o jogo terá de ser justo, isto é, os dois jogadores deverão ter igual probabilidade de ganhar;» para que o jogo seja mais emotivo, deverão ocorrer situações em que ninguém ganha, transitando o valor do prémio para a jogada seguinte;» uma vez que a instituição terá de ganhar dinheiro, deverá ocorrer uma situação (embora com probabilidade mais pequena do que a probabilidade de cada um dos jogadores ganhar) em que o prémio reverta a favor da instituição. Numa curta composição, com cerca de dez linhas, apresente uma proposta de um jogo que obedeça a tais condições. Deverá fundamentar a sua proposta indicando, na forma de percentagem, a probabilidade de, em cada jogada:» cada um dos jogadores ganhar;» a instituição ganhar. Sugestão: comece por elaborar uma tabela onde figurem todas as somas possíveis (no lançamento de dois dados). (Exemplos Gave) 2. Numa festa de aldeia, foi montado um palco para a realização de um espectáculo. Em frente deste, colocou-se uma plateia, com um total de 465 cadeiras, dispostas em filas. Em cada fila, as cadeiras foram encostadas umas às outras, sem intervalos entre elas. A plateia tem 15 filas. A organização do espectáculo decidiu distribuir, ao acaso, os 465 bilhetes para os lugares sentados. A Nazaré recebeu um bilhete. Ela sabe que, em cada fila, os dois lugares situados nas extremidades (um em cada ponta) têm má visibilidade para o palco, pelo que gostaria que não lhe calhasse um lugar desses. Qual é a probabilidade de a Nazaré ver satisfeita a sua pretensão? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. (Exame 1ª fase) 3. A empresa de telecomunicações TLV efectuou um estudo estatístico relativo a todos os modelos de telemóveis já vendidos pela empresa. Este estudo revelou que o número n, em milhares, de unidades vendidas, depende do preço p (em euros) de cada telemóvel, de acordo com o seguinte diagrama de dispersão. a) Admita que a empresa possui um ficheiro com os nomes de todos os clientes e, para cada um deles, o preço do telemóvel adquirido (cada cliente adquiriu apenas um telemóvel). Para assinalar o seu aniversário, a TLV resolveu sortear uma viagem entre os seus clientes. Qual é a probabilidade de a viagem sair a um cliente que tenha comprado um telemóvel por um preço inferior a 180 euros? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. b) Recorrendo à sua calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre as variáveis p e n. Apresente o valor pedido arredondado às centésimas. Explique como procedeu, reproduzindo na sua folha de prova as listas que introduziu na calculadora. Tendo em conta o diagrama de dispersão apresentado na figura acima, interprete o valor obtido. c) A TLV vai lançar um novo modelo de telemóvel. Com base no estudo efectuado, bem como noutros indicadores, esta empresa prevê, relativamente ao modelo que vai ser lançado, que a relação entre n (número, em milhares, de telemóveis que serão vendidos) e p (preço de cada telemóvel do novo modelo) estará de acordo com a expressão n = 0,03p + 10 Seja q a quantia (em euros) que a empresa prevê vir a receber pela venda dos telemóveis do novo modelo. Escreva uma expressão que dê a quantia q, em função do preço p de cada telemóvel. Apresente essa expressão na forma de um polinómio reduzido. (Exame 1ª fase) 4. Num certo concelho do nosso país, uma empresa de informática vai facultar um estágio, durante as férias do Verão, aos alunos do 11.º ano, das escolas desse concelho, que tenham obtido classificação final superior a 15 valores, quer a Matemática, quer a Informática. As classificações finais nas disciplinas de Matemática e de Informática obtidas pelos 50 alunos desse concelho que satisfaziam as condições requeridas foram tratadas estatisticamente. Desse tratamento resultaram os gráficos apresentados a seguir. a) Depois de ter calculado, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações, a Ângela comentou: «As médias das classificações a Matemática e a Informática são iguais, mas o mesmo não se passa com os desvios padrão». Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 1

2 a 1 ) Conclua que a Ângela tem razão na sua afirmação, calculando, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações. a 2 ) O Pedro, que estava a tratar os dados em conjunto com a Ângela, comentou: «Quando me disseste que as médias eram iguais, eu, observando os gráficos, concluí logo que os desvios padrão eram diferentes». Tendo em conta que o desvio padrão mede a variabilidade dos dados relativamente à média, explique como poderá o Pedro ter chegado àquela conclusão. b) Sabe-se que, dos alunos que obtiveram 20 a Informática, metade obteve também 20 a Matemática. A empresa vai sortear um prémio entre os alunos que obtiveram classificação igual ou superior a 19, na disciplina de Matemática. Qual é a probabilidade de o prémio sair a um aluno que obteve 20 nas duas disciplinas? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. (Exame 2ª fase) 5. A Ana e a Fátima têm de ler, para a disciplina de Português, um livro com 255 páginas numeradas, da página 1 (primeira página do livro) à página 255 (última página do livro). Escolhida, ao acaso, uma das 255 páginas numeradas do mesmo livro, qual é a probabilidade de o número dessa página ter, pelo menos, dois algarismos e começar por 2? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. (Exame 2ª fase) Exercícios saídos em Exames (2007) 6. Dispõe-se de dois dados perfeitos, um tetraedro e um cubo, com faces numeradas de 1 a 4 e de 1 a 6, respectivamente. Considere a experiência aleatória que consiste em lançar, simultaneamente, os dois dados e registar a soma do número da face que fica voltada para baixo, no caso do tetraedro, com o número da face que fica voltada para cima, no caso do cubo. a) Construa o modelo de probabilidades associado à experiência aleatória considerada. Apresente as probabilidades na forma de fracção. Nota: Construir um modelo de probabilidades consiste em construir uma tabela, associando aos resultados da experiência aleatória a respectiva probabilidade. b) Com base na experiência aleatória descrita, a Ana e o João decidem fazer um jogo. A Ana lança o tetraedro e o João lança o cubo. A Ana sugere que as regras do jogo consistam no seguinte: ganha o João se a soma dos números saídos for ímpar; ganha a Ana se a soma dos números saídos for par. Porém, o João diz que as regras não são justas, afirmando que a Ana tem vantagem, uma vez que existem mais somas pares do que ímpares. Num pequeno texto, comente o argumento do João, referindo se ele tem, ou não, razão. Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta: uma análise do argumento do João, referindo o número de somas pares e o número de somas ímpares; o valor da probabilidade de «sair soma par»; o valor da probabilidade de «sair soma ímpar»; conclusão final, referindo se o João tem, ou não, razão. (Nacional 1ª fase) 7. A evolução da massa salarial de um conjunto de trabalhadores é, por vezes, explicável através de modelos matemáticos. Numa dada empresa, fez-se um estudo comparativo da evolução dos vencimentos (em euros) de dois trabalhadores, A e B, entre 1998 e Relativamente ao trabalhador A, o valor do vencimento mensal em cada ano, no período compreendido entre 1998 e 2006, é apresentado na tabela seguinte e reproduzido num diagrama de dispersão. Utilizando a sua calculadora, indique um valor aproximado do coeficiente de correlação linear entre as variáveis descritas na tabela (anos/salário) referente ao trabalhador A. Apresente o resultado com duas casas decimais. Interprete esse valor, tendo em conta o diagrama de dispersão correspondente. (Nacional 2ª fase) 8. À entrada para o recinto do jogo [de um campo de futebol de um dado clube], cada espectador, sócio ou não sócio, recebeu um cartão numerado para se habilitar a um sorteio. Estavam presentes 6825 espectadores, dos quais 40% eram não sócios. Foram sorteados, simultaneamente, dois números. Qual a probabilidade de ambos os contemplados serem sócios? Apresente o resultado final com aproximação às centésimas. (Nacional 2ª fase) Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 2

3 9. O Dino e a Custódia compraram vários discos compactos de categorias diferentes, a saber: Clássica Jazz Pop Dino Custódia Escolhe-se um disco comprado ao acaso. Qual é a probabilidade de esse disco ter sido comprado pelo Dino e não ser de musica Clássica? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. (Escola 2ª fase) Internet: O Hélio contou as várias vezes que o autocarro que utiliza chega atrasado e elaborou um gráfico com os minutos que o autocarro chega atrasado e as respectivas probabilidades: a) Calcule a probabilidade de o autocarro se atrasar mais de dois minutos. b) Justifique que k = 0,1. c) Recorrendo à sua calculadora, determine o valor médio (arredondados às décimas). Explique como procedeu, reproduzindo na sua folha de prova as listas que introduziu na calculadora. Interprete o valor obtido no contexto do problema. (Escola 2ª fase) Exercícios saídos em Exames (2008) 11. O «jogo da moedinha» consiste no seguinte: cada jogador (num conjunto de dois ou mais) esconde zero, uma, duas ou três moedas, numa das suas mãos. Seguidamente, cada um dos jogadores tenta adivinhar o número total de moedas «escondidas». O David e o Pedro jogam com frequência o «jogo da moedinha». Admita que cada um deles escolhe, aleatoriamente e com igual probabilidade, o número de moedas, entre zero e três, que vai esconder na sua mão. a) Seja Y a variável aleatória «número total de moedas escondidas pelo David e pelo Pedro». Construa a tabela de distribuição de probabilidade da variável aleatória Y. Indique se é mais provável que o número total de moedas escondidas pelo David e pelo Pedro seja menor do que dois ou maior do que três. b) Considere X a variável aleatória «número de vezes por semana que os dois amigos se encontram para realizar o referido jogo». Admita que a seguinte tabela corresponde à distribuição de probabilidade da variável X. 12. Admita agora que, no tanque, existem 300 robalos e 200 trutas. a) Vai ser pescado, ao acaso, um peixe do tanque. Admita que cada peixe tem igual probabilidade de ser pescado. Qual é a probabilidade de se pescar um robalo? b) Foram retirados do tanque doze robalos. Os valores dos respectivos comprimentos e pesos são os que constam da seguinte tabela. Recorrendo à calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre as variáveis a e p, arredondado às centésimas. Interprete o valor obtido, tendo em conta a nuvem de pontos que pode visualizar na calculadora. (Nacional 2ª fase) Determine o valor de a e calcule o valor médio da variável aleatória X. (Nacional 1ª fase) Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 3

4 Exercícios saídos em Exames (2009) 13. Numa determinada região, existe um parque natural no qual vivem diferentes espécies de animais, cada uma no seu habitat. Uma empresa pretende instalar uma unidade fabril nessa região, a sul do parque natural, e, para tal, aguarda decisão das entidades responsáveis. Para apoio dessa decisão, foi elaborado um estudo de impacto ambiental. De acordo com esse estudo, prevê-se que o nível de concentração diário de um poluente, em partes por milhão (p.p.m.), originado pelo escoamento de águas residuais, siga uma distribuição normal, N (8, 2), de média μ = 8 e desvio padrão σ = 2. O estudo refere que o nível de concentração desse poluente não deverá exceder o equilíbrio ecológico aceitável de 10 p.p.m. Determine a probabilidade de, num certo dia, o nível de concentração do poluente exceder esse valor. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. 14. No Casino ALEA, em LA PLACE, um dos jogos de sorte preferidos é a «Roleta das Somas». A roleta está dividida em oito sectores iguais, numerados, como mostra o esquema da figura 1. Cada jogador executa duas jogadas. Cada jogada consiste em fazer girar a roleta e, quando esta parar, registar o número indicado. Admita que, em cada jogada, cada sector tem a mesma probabilidade de sair. A pontuação que cada jogador obtém é a soma dos números saídos nas duas jogadas. a) Seja X a variável aleatória «Soma dos números saídos nas duas jogadas». Complete a tabela de distribuição de probabilidades de X, apresentando os valores exactos de probabilidades, na forma de dízima. Para responder, copie a tabela para a sua folha de prova e preencha-a. b) Em cada noite de jogo no casino ALEA, a «Roleta das Somas» é usada dezenas de vezes. Para efeitos de controlo pelas autoridades competentes, os serviços do casino registam o número total de jogadas realizadas em cada noite, especificando quantas vezes sai cada um dos três números diferentes registados nos sectores (1, 2 e 3). Este procedimento é utilizado, principalmente, para se verificar que a roleta não está viciada. Numa certa noite, os serviços do casino registaram 820 jogadas efectuadas com a roleta. Na tabela seguinte, apresentam-se as frequências relativas correspondentes ao número de vezes que cada um dos três números diferentes saiu nas 820 jogadas. Determine a média dos números saídos nas 820 jogadas efectuadas naquela noite. 15. Um baralho de cartas tem quatro naipes: Paus, Espadas, Ouros e Copas. De cada naipe, foram seleccionadas apenas as cartas com os números 3, 4, 5, 6 e 7, obtendo-se, assim, um baralho reduzido, constituído por vinte cartas, sendo cinco de cada naipe. Três amigos, a Ana, a Beatriz e o Carlos, inventaram o jogo seguinte: «Extrai-se, ao acaso, do baralho reduzido, uma carta, regista-se o respectivo número e repõe-se a carta no mesmo baralho. Depois, retira-se, ao acaso, uma segunda carta, da qual também se regista o respectivo número. Antes de se extraírem as cartas, cada jogador efectua, obrigatoriamente, apenas uma das três apostas seguintes, relativamente aos números das duas cartas que vão ser retiradas do baralho reduzido. Aposta A): os números são ambos ímpares. Aposta B): um dos números é ímpar e o outro é par. Aposta C): os números são ambos pares.» No início do jogo, a Ana fez a Aposta A); a Beatriz, a Aposta B); e o Carlos, a Aposta C). a) Verifique que a probabilidade de a Ana ganhar é 0,36. b) Qual dos jogadores tem maior probabilidade de vencer o jogo? Justifique. (especial) Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 4

5 Exercícios saídos em Exames (2010) 16. O Diogo recolheu, através do inquérito que realizou, informação sobre alguns indicadores socioeconómicos de turistas que visitaram Portugal. A partir da informação obtida, concluiu que, no grupo de turistas que responderam ao inquérito, o valor do vencimento mensal individual auferido, em euros, seguia, aproximadamente, a distribuição normal, N(2400, 300), de média μ = 2400 e desvio padrão σ = 300 Admita que se selecciona, ao acaso, um elemento do referido grupo de turistas. Será mais provável que o valor do seu vencimento mensal individual seja superior a 2900 euros ou que seja inferior a 2000 euros? Justifique. Se recorrer à sua calculadora, apresente cada valor obtido arredondado às centésimas. 17. No casino ALEA, em LA PLACE, um dos jogos favoritos é o «Riscar, Pintar e Ganhar». Cada apostador compra um boletim de jogo, tal como o que se representa na Figura 9. Para preencher o boletim e efectuar, assim, a respectiva aposta, cada apostador deve riscar um número da tabela, seleccionando um número de 1 a 5, e pintar o círculo referente a um número da parte inferior do boletim, seleccionando um número múltiplo de 5, de 10 a 25. Depois de feitas as apostas, os funcionários do casino realizam uma experiência aleatória que consiste em dois sorteios: primeiro, sorteiam um número de 1 a 5 e, depois, sorteiam um número múltiplo de 5, de 10 a 25. a) Quantos são os casos em que o produto dos números sorteados é um número par? Justifique. b) Neste jogo, são atribuídos três prémios, de acordo com os seguintes critérios: o primeiro prémio é atribuído aos apostadores que acertem simultaneamente nos dois números; o segundo prémio é atribuído aos apostadores que só acertem no número de 1 a 5; o terceiro prémio é atribuído aos apostadores que só acertem no número múltiplo de 5, de 10 a 25. Considere que, em cada um dos sorteios, os números têm igual probabilidade de serem sorteados. O Albertino, que conhece este jogo, decidiu calcular o valor da probabilidade de um apostador obter o segundo prémio e o valor da probabilidade de obter o terceiro prémio. Chegou à seguinte conclusão: «A probabilidade de um apostador obter o segundo prémio é 1 e a probabilidade de um apostador 5 obter o terceiro prémio é 1 4.» Justifique que nenhum dos valores das probabilidades apresentados pelo Albertino está correcto. Na sua resposta, elabore uma pequena composição, na qual refira os seguintes aspectos: explicação do número de casos possíveis da experiência aleatória; apresentação do valor da probabilidade correspondente ao segundo prémio, com a devida explicação do número de casos favoráveis a este prémio; apresentação do valor da probabilidade correspondente ao terceiro prémio, com a devida explicação do número de casos favoráveis a este prémio. 18. O Duarte verificou que, actualmente, em Portugal, no Ensino Superior Público, apenas é possível obter a licenciatura em Astronomia no Curso de Astronomia, leccionado na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, e encontrou alguns dados estatísticos de candidaturas a esse Curso, relativos a anos anteriores. Nesses registos, constatou que, nos últimos dois anos, relativamente à percentagem, arredondada às décimas, de candidatos admitidos no Curso de Astronomia dessa Universidade, se verificou o seguinte: em 2008, foram admitidos 21,1% dos candidatos ao Curso; em 2009, foram admitidos 18,2% dos candidatos ao Curso. a) Determine o número de candidatos ao Curso de Astronomia, no ano de 2009, sabendo que, nesse ano, foram admitidos 32 dos candidatos ao Curso. b) No ano de 2008, foram admitidos 31 candidatos, de ambos os sexos, no Curso de Astronomia. Admita que, desses 31 candidatos, se escolheram, ao acaso, sucessivamente, dois deles para a entrega de prémios numa gala da Universidade: um candidato para entregar o primeiro prémio e um outro candidato para entregar o segundo prémio. Seja X a variável aleatória: «Número de candidatos do sexo masculino escolhidos para entregar os dois prémios». Na tabela seguinte, encontra-se representada a distribuição de probabilidades da variável aleatória X b 1 ) Indique o valor de a e determine o valor de b b 2 ) Determine o número de candidatos do sexo masculino que foram admitidos no Curso de Astronomia, no ano de (especial) Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 5

6 Exercícios saídos em Exames (2011) 19. Um dos jogos mais populares da feira anual de Vila Nova de Malmequeres é a Roda da Fortuna. Neste jogo, cada jogada consiste em girar, aleatoriamente, uma roda que está dividida em três sectores circulares com áreas diferentes e numerados de acordo com o esquema da Figura 1. Para jogar, uma pessoa tem, previamente, de se inscrever, de indicar o número de jogadas que pretende realizar e de efectuar o respectivo pagamento. Sempre que a roda é posta a girar, quando esta pára, o ponteiro indica um sector. O prémio a receber em cada jogada corresponde ao valor, em euros, registado no sector indicado pelo ponteiro, no instante em que a roda pára. Seja X a variável aleatória «número registado no sector indicado pelo ponteiro no instante em que a roda pára, numa jogada». A tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é onde a representa um número real. a) Mostre que a = 0,13 b) Na Roda da Fortuna, um jogador terá lucro apenas se o valor total que receber em prémios nas jogadas que realizar for superior ao valor total pago pela inscrição efectuada. O Ivo inscreveu-se para realizar duas jogadas e pagou 4 euros por essa inscrição. Mostre que a probabilidade de o Ivo obter lucro, com a realização das duas jogadas, é 0, O professor Alfredo lecciona a disciplina de Matemática B na Escola Secundária Boavista. Numa das suas aulas, propôs duas tarefas aos alunos, no âmbito do tópico «Distribuição de Probabilidades». a) Para a primeira tarefa, o professor mostrou aos alunos um dado cúbico, equilibrado, cuja planificação se representa na Figura 7. No quadro, o professor apresentou uma tabela incompleta, que se reproduz a seguir, referente à distribuição de probabilidades da variável aleatória Y, que representa o «produto dos números saídos em dois lançamentos do dado cúbico». O professor Alfredo pediu aos alunos que completassem a tabela. Apresente a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória Y com os valores das probabilidades na forma de fracção. b) Para a segunda tarefa, o professor Alfredo considerou a variável aleatória X, «altura, em centímetros, de um aluno da Escola Secundária Boavista, escolhido ao acaso». A variável aleatória X segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio 170 centímetros. Na Figura 8, está representada a curva de Gauss referente à variável aleatória X Posteriormente, o professor registou no quadro as afirmações que se seguem e pediu aos alunos que classificassem cada uma delas como verdadeira ou como falsa. III) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, é mais provável a sua altura ser inferior a 1,60 metros do que ser superior a 1,80 metros. III) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,60 metros e 1,70 metros ou de ser superior a 1,80 metros é maior do que 0,5 III) Se, escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura ser superior a 1,84 metros for cerca de 2,275%, então pode concluir-se que o valor, arredondado às unidades, do desvio padrão da variável aleatória X é 7 centímetros. O Diogo, um dos alunos da turma, classificou as afirmações I) e II) como falsas e a afirmação III) como verdadeira. Elabore uma pequena composição, na qual justifique que o Diogo classificou correctamente as afirmações I), II) e III), explicitando para cada caso uma razão que fundamente essa classificação. 21. Todos os alunos de uma turma do 11.º ano do Curso de Artes Visuais frequentam as disciplinas de Geometria Descritiva A e de Matemática B. Na tabela seguinte, estão registadas as classificações, numa escala de 0 a 20 valores, obtidas pelos alunos dessa turma na disciplina de Matemática B, no final do 1.º período. Pretende-se seleccionar, aleatoriamente, dois alunos para responderem a dois inquéritos distintos. Um aluno responderá apenas a um inquérito, e o outro aluno responderá apenas ao outro inquérito. Determine a probabilidade de serem seleccionados dois alunos, de modo que a média das respectivas classificações na disciplina de Matemática B, no final do 1.º período, seja exactamente 10 valores. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades. (especial) Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 6

7 Exercícios saídos em Exames (2012) 22. Uma das atividades da festa consistia em, após o lançamento de um dado cúbico equilibrado, colocar uma bola numa caixa ou retirar uma bola dessa caixa. Em cada uma das faces do dado está desenhado um triângulo ou um quadrado, como ilustra a planificação do dado representada na Figura 3. Para realizar esta atividade, uma criança lança uma única vez o referido dado. Se na face que ficar voltada para cima estiver representado um triângulo, a criança coloca uma bola na caixa. Se na face que ficar voltada para cima estiver representado um quadrado, a criança retira uma bola da caixa. Antes do lançamento do dado, a caixa contém duas bolas. Considere a variável aleatória X: «número de bolas que ficam na caixa após a criança ter realizado a atividade». Determine o valor médio da variável aleatória X. Apresente o resultado arredondado às décimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, duas casas decimais. 23. No âmbito de um trabalho para a disciplina de Matemática B, um grupo de alunos realizou, junto das turmas do ensino básico da sua escola, uma sondagem, com o objetivo de estudar alguns dos hábitos dos alunos daquele nível de ensino. Para o efeito, elaborou-se um inquérito que foi aplicado a uma amostra constituída por 200 alunos. a) Duas das questões incluídas no inquérito foram: questão A: «Costumas ir à praia?» questão B: «Costumas ir ao cinema?» Todos os alunos inquiridos responderam ou «Sim» ou «Não» a cada uma destas questões, e verificou-se que: 150 alunos responderam «Sim» à questão A; 140 alunos responderam «Sim» à questão B; 20 alunos responderam «Não» às duas questões. Foi selecionado, ao acaso, um aluno de entre os que responderam «Sim» à questão A. Determine a probabilidade de esse aluno ter respondido «Sim» à questão B. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades. b) Na Figura 5, está representada graficamente a função F, função cumulativa cuja variável independente, x, representa a idade, em anos, expressa em números inteiros, aquando da aplicação do inquérito, dos 200 alunos que constituíram a amostra da sondagem. Admita que, dois anos após a aplicação do inquérito, todos os alunos inquiridos continua-vam na mesma escola. Determine o desvio padrão das idades que, dois anos após a aplicação do inquérito, teriam os 200 alunos que constituíram a amostra da sondagem. Apresente o resultado final arredondado às centésimas. 24. Na noite em que se realizou a peça de teatro, cada uma das pessoas que assistiram à peça ocupou um dos lugares da plateia e apenas 10 lugares ficaram livres. Admita que a altura, em metros, das pessoas que assistiram à peça de teatro seguia uma distribuição normal de valor médio 1,68 e de desvio padrão 0,08. a) Estime o número de pessoas que assistiram à peça de teatro cuja altura era superior a 1,76 metros. b) Escolhendo, ao acaso, uma das pessoas que assistiram à peça de teatro, a probabilidade, arredondada às centésimas, de a sua altura estar compreendida entre 1,56 metros e 1,80 metros é 0,87. Qual é a probabilidade, arredondada às décimas, de, escolhida, ao acaso, uma das pessoas que assistiram à peça de teatro, a sua altura ser inferior a 1,80 metros? Justifique a sua resposta apenas com base nas propriedades da curva de Gauss. Em cálculos intermédios, não efetue arredondamentos. (especial) Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 7

8 Exercícios saídos em Exames (2013) 25. Francis Galton foi um matemático inglês que, entre outras investigações, se dedicou ao estudo da distribuição normal. Galton é o autor de uma experiência, considerada clássica em Estatística, que se realiza num dispositivo que designou por Quincunx. Esse dispositivo é uma placa plana com pregos fixos, todos iguais, uniformemente espaçados e alinhados. A primeira linha tem 1 prego, a segunda linha tem 2 pregos, e assim sucessivamente, até à enésima linha, que tem n pregos. Na base da placa, existem n + 1 cavidades, numeradas de 1 a n + 1, da esquerda para a direita, todas com a mesma largura e separadas umas das outras. A Figura 1 ilustra uma Quincunx com sete linhas. A experiência consiste no seguinte: deixam-se cair bolas do centro da parte superior da placa; cada uma dessas bolas desce sempre em contacto com a placa; em cada linha, a bola toca apenas num dos pregos dessa linha e desce, aleatoriamente, pelo espaço situado imediatamente à esquerda ou pelo espaço situado imediatamente à direita desse prego, tocando no prego da linha seguinte imediatamente abaixo desse espaço, e assim sucessivamente, acabando por se depositar numa das cavidades da base. a) Admita que, numa Quincunx com apenas duas linhas, como a que se representa na Figura 2, se deixa cair uma bola do centro da parte superior da placa. Considere que a probabilidade de a bola descer pelo espaço situado imediatamente à esquerda de cada prego é igual à probabilidade de a bola descer pelo espaço situado imediatamente à direita do mesmo prego. Qual é a probabilidade de a bola acabar por se depositar na cavidade central? Justifique a sua resposta. b) Na experiência descrita, quando a quantidade de bolas e a quantidade de linhas da Quincunx são suficientemente elevadas, o número da cavidade em que uma bola acaba por se depositar pode ser modelado por uma distribuição normal. Considere que a experiência se vai realizar numa Quincunx com 151 linhas, deixando-se cair 5000 bolas do centro da parte superior da placa. Seja X a variável aleatória «número da cavidade em que uma bola acaba por se depositar». Admita que X pode ser modelada por uma distribuição normal N (76,5 ; 6,1). Assim, por exemplo, P(4,5 < X < 5,5) dá, aproximadamente, a probabilidade de uma bola acabar por se depositar na cavidade 5. Determine, de acordo com o modelo apresentado, quantas bolas, aproximadamente, acabarão por se depositar entre a cavidade 60, inclusive, e a cavidade 83, inclusive. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, quatro casas decimais. 26. Uma escola secundária está a reorganizar a ludoteca. A chave que abre a porta da ludoteca está num porta-chaves, juntamente com outras duas chaves que não abrem essa porta. Um professor tem esse porta-chaves e quer abrir a porta da ludoteca, mas não sabe qual das três chaves deve usar. Na primeira tentativa para abrir a porta, escolhe, ao acaso, uma das três chaves; se esta chave não for a que abre a porta, coloca-a de parte e, numa segunda tentativa, escolhe, ao acaso, uma das outras chaves; se esta chave também não abrir a porta, coloca-a de parte e, finalmente, usa a terceira chave para abrir a porta. a) Na primeira tentativa, o professor não escolheu a chave que abria a porta da ludoteca. Qual é a probabilidade de abrir a porta à segunda tentativa? Justifique a sua resposta. b) Seja X a variável aleatória «número de chaves usadas pelo professor até abrir a porta». Determine o desvio padrão da variável aleatória X. Apresente o resultado arredondado às décimas. Na sua resposta, deve apresentar a tabela de distribuição da variável aleatória X Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos. 27. O telefone é um dos meios de comunicação mais utilizados na atualidade. Entre outras funções, permite realizar chamadas e enviar mensagens escritas. Uma operadora de telecomunicações publicitou novos tarifários para telemóveis. Num dos tarifários dessa operadora, destinado a utilizadores individuais, a realização de uma chamada com uma duração inferior ou igual a 3 minutos tem um custo de 30 cêntimos, e a realização de uma chamada com uma duração superior a 3 minutos tem um custo de 1 euro. Admita que a duração, em segundos, de uma chamada efetuada por um cliente que aderiu a esse tarifário é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal, de valor médio 140 segundos e desvio padrão 20 segundos. Escolhe-se, ao acaso, uma chamada efetuada por esse cliente. Determine a probabilidade de o custo dessa chamada ser igual a 1 euro. Apresente o resultado arredondado às milésimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, quatro casas decimais. (especial) Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 8

9 Exercícios saídos em Exames (2014) 28. Na tabela seguinte, apresentam-se os valores da altitude, em metros, de alguns locais de Portugal onde estão situadas estações meteorológicas. Apresentam-se também os valores, em graus Celsius (ºC), das médias anuais das temperaturas máximas, registadas nessas estações, no período e no período Numa escola, o professor de Matemática B propôs aos alunos das turmas I e J, do curso de Artes Visuais, a elaboração de trabalhos subordinados ao tema «Matemática e Arte». a) Os alunos do curso de Artes Visuais distribuem-se por turmas e por género de acordo com a tabela seguinte. Escolhido, ao acaso, um destes alunos, a probabilidade de ser rapaz é 6. Determine o valor de a 13 b) Considere as seguintes variáveis aleatórias: X: «tempo gasto, em minutos, por um aluno da turma I, na elaboração do respetivo trabalho» Y: «tempo gasto, em minutos, por um aluno da turma J, na elaboração do respetivo trabalho» As variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições normais, ambas de valor médio 220 minutos. Admita que: P(200< X <240) 0,6827 e P(200<Y <240) 0,9545 Qual das variáveis aleatórias X e Y tem menor desvio padrão? Justifique a sua resposta. Das estações meteorológicas que constam da tabela, considere aquelas cujas médias anuais das temperaturas máximas são, nos dois períodos indicados, ambas iguais ou superiores a 20,0 ºC. Escolhe-se, ao acaso, uma dessas estações meteorológicas. Determine a probabilidade de a média anual das temperaturas máximas registadas nessa estação ter subido, pelo menos, 0,5 ºC, do período para o período Apresente o resultado em percentagem. Na sua resposta, deverá apresentar os casos possíveis e os casos favoráveis. Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 9

10 Exercícios saídos em Exames (2015) 30. Numa aula de preparação para o exame de Matemática B, o professor propôs aos alunos atividades destinadas à revisão de diversos conteúdos. Numa das atividades, o professor apresentou os conjuntos I, II, III e IV, cada um com quatro polígonos, alguns dos quais sombreados. Esses conjuntos estão representados na Figura Em Portugal, durante o inverno, é frequente verificar-se a ocorrência de intempéries, com elevados valores de precipitação, que afetam de modo significativo as culturas agrícolas. Uma das estações meteorológicas em que se registam os valores mais elevados de precipitação total anual em Portugal é a de Viana do Castelo. Ao ler o diário que escreveu ao longo de um determinado ano dos seus tempos de juventude, a Edite encontrou, na página relativa a um dos primeiros quinze dias do mês de dezembro desse ano, passados em Viana do Castelo, a seguinte frase: Esta manhã, o vento parou de soprar, mas está a chover. Sabe-se que, nos primeiros quinze dias desse mês de dezembro, não choveu em Viana do Castelo apenas em cinco dias. O estado do tempo em Viana do Castelo, nesse período, está ilustrado na Figura 9. De seguida, o professor apresentou o seguinte problema: «Estou a pensar num destes quatro conjuntos. Se eu escolher, ao acaso, um polígono do conjunto em que estou a pensar, verifica-se que: é tão provável escolher um quadrado como um triângulo; o acontecimento o polígono escolhido está sombreado não é o acontecimento certo; a probabilidade de escolher um quadrado, de entre os Qual é a probabilidade de ter chovido no dia seguinte ao dia em que foi escrita a frase encontrada pela Edite? Na sua resposta, identifique os dias do mês que correspondem aos casos possíveis e os dias do mês que correspondem aos casos favoráveis. polígonos sombreados, é 1 2 Qual é o conjunto em que estou a pensar?» Um dos alunos respondeu, corretamente, que o professor estava a pensar no conjunto II. Numa pequena composição, apresente, para cada um dos conjuntos I, III e IV, a razão pela qual o professor não poderia estar a pensar nesse conjunto. Na sua resposta, não se refira ao conjunto II. Soluções: 2. 29/ /19; -0,97; q=-30p p 4. Mat(18 e 1,2), Inf(18 e 1,6); 7/ % 6. Não tem razão 7. 0, , / ,7; 0,1; 2,8 11. P(X<2) = 3/16; P(X>3) = 6/16; 0,3 e 2, /5; 0, % 14. 0,25/0,25/0,3125/0,125/0,0625; 1,7 15. Beatriz 16. menos de ; 1 e 14/31; ; 0; 1;1/3; 11/36; 13/ % 22. 2, %; 1, ; 0,9 25. ½; ,5; 0, , % ; Y 31. 3/5 O professor: RobertOliveira Modelos de Probabilidades - Exercícios saídos em exames (Mat B) - pág. 10