1 a a. Para a soma dos números saídos ser 0, tem que sair 0 em ambos os dados

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1 Página Preparar o Exame 0 0 Matemática A. O valor médio da variável aleatória X é dado por a a a a 0 a a a. Então, a a Resposta: B. O é um dos resultados possíveis para X,(X = {0,,, }) pelo que a opção não é a correta. alculemos as diferentes probabilidades associadas a X: P(X = 0) = P(X = ) = Para a soma dos números saídos ser 0, tem que sair 0 em ambos os dados Para a soma dos números saídos ser, tem que sair 0 no dado cúbico (quatro possibilidades) e no tetraédrico (uma possibilidade) ou no dado cúbico e 0 no tetraédrico (duas possibilidades em cada) P(X = ) = Para a soma dos números saídos ser, tem que sair 0 no dado cúbico (quatro possibilidades) e no tetraédrico (uma possibilidade) ou em cada dado (duas possibilidades no dado cúbico e uma no tetraédrico) P(X = ) = e no tetraédrico (uma possibilidade) Para a soma dos números saídos ser, tem que sair no dado cúbico (duas possibilidades) Resposta: A. onsidere-se a variável aleatória X: número de habitantes da região estudada infetados com o vírus da gripe num grupo de. Então, X segue uma distribuição binomial de parâmetros n = e p = 0,. Pretende-se determinar P(X=). P(X=) = x 0, x ( 0,) 0, Resposta: B Probabilidades. Distribuição Normal. Distribuição Binomial Página

2 . é a probabilidade de a face nunca sair, Preparar o Exame 0 0 Matemática A é a probabilidade de a face sair uma vez e 0 é a probabilidade de a face sair duas vezes. Então, duas vezes é a probabilidade de a face sair no máximo Então, 0 representa a probabilidade do acontecimento contrário do anterior, ou seja, a probabilidade de a face sair pelo menos vezes. Resposta: B. Dado que estamos perante uma distribuição normal, de valor médio 0, sabe-se que a probabilidade de, escolhido um rapaz ao acaso, a sua altura ser superior a 0 é 0%. Para termos um intervalo nas condições pedidas, o seu extremo inferior tem de ser menor do que 0 e o seu extremo superior maior do que 0 (de forma a que a respetiva probabilidade seja maior do que 0%). A única opção que obedece a esta condição é a opção. Resposta:. Pelo enunciado conclui-se que = 000. omo P(X < 99) = 0,0, também P(X > 00) = 0,0 e, portanto, P(99 < X < 00) = x 0,0 = 0,9. Então, 000 0,0 0,9 0,0 99 = e, portanto, = =,. Se X é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal de valor médio e desvio padrão, então P( < X < + ) 0,9 Resposta: A. Por observação da imagem é imediato que <, pelo que as opções A e não estão corretas. omo a curva a vermelho é a mais achatada, o seu desvio padrão é maior. Assim, < e a opção correta é a B. Resposta: B Probabilidades. Distribuição Normal. Distribuição Binomial Página

3 Preparar o Exame 0 0 Matemática A. omo P(X,) = P(X,), temos que o valor médio de X é,. A curva de Gauss é simétrica em relação à reta de equação x = e =,, =, omo =,, temos que P(X,) = 0,. Dado que P(X,) = 0,, obtemos: P(, X,) = 0, 0, = 0,, que é a opção. 0, 0, Resposta: Página 9. a) x x x = 9. b) + = Repara que o João não pode selecionar discos franceses nem italianos. 9. omo só há um disco italiano, temos que X = {0, } P(X=0) = discos dos não italianos P(X=) = Probabilidade de escolher discos que não são italianos, ou seja, probabilidade de escolher de escolher o único disco italiano e dos não italianos Probabilidade de escolher disco italiano e discos não italianos, ou seja, probabilidade x i 0 P(X = x i ) 0. X = {,, } Pode-se tirar duas fichas com o (soma = ), uma ficha com o e uma com o (soma = ) ou duas fichas com o (soma = ). P(X=) = P(X=) = P(X=) = x i P(X = x i ) O valor mais provável da variável X é o. Probabilidades. Distribuição Normal. Distribuição Binomial Página

4 Preparar o Exame 0 0 Matemática A. X = {0, 0, 0} Repara que como se vai tirar três notas, o maior valor destas não pode ser, pois só existem duas notas de P(X=0) = 0 euros, ou duas de 0 e uma de, ou uma de 0 e duas de P(X=0) = Para que a nota mais valiosa seja uma de 0 euros, ou tiramos três de Para que a nota mais valiosa seja uma de 0 euros, ou tiramos três de 0 euros, ou duas de 0 e uma de ou 0 (existem notas destes valores), ou uma de 0 e duas de ou 0. P(X=0) = duas das restantes. 0 Para que a nota mais valiosa seja uma de 0 euros, basta tirar a única de 0 euros e x i P(X = x i ). asos possíveis: como sabemos que a quantia retirada foi 0 euros, então ou temos três notas de 0 ( maneiras de as escolher) ou temos uma nota de 0 e duas de ( x formas de escolher notas nestas condições). Assim, os casos possíveis são + x ) asos favoráveis: para que as notas sejam iguais, temos de ter três notas de 0 ( maneiras de as escolher) Resposta pedida: 0. onsideremos a variável aleatória Y: número saído quando se roda a roleta uma vez. Então, y = {, 0, 0, 0} e a sua distribuição de probabilidades é y i P(Y = y i ) O valor médio de Y é μ Então, se a roleta vai ser rodada 0 00 vezes, espera-se que a soma seja 00 x = 000. Probabilidades. Distribuição Normal. Distribuição Binomial Página

5 Preparar o Exame 0 0 Matemática A. Dado que a probabilidade de sair um número negativo é igual à probabilidade de sair um número positivo, temos que a + a = b + a + b. Sabe-se, também, que a soma das probabilidades é. Então, a + a + a + b + b + a + b =. Assim, a a b a b temos de resolver o sistema. Obtemos a = e b =. a a a b b a b onsideremos agora a variável aleatória Z. Então, Z = {0,,, } e z i 0 P(Z = z i ) μ 0. Tendo em conta as condições do enunciado, devemos resolver o seguinte sistema: a a c 0 a a b b a c,. Obtemos a = 0,, b = 0, e c = 0,0 a a b b a c. Tendo em conta os números presentes nas faces do dado, a variável aleatória considerada não pode ser X nem X. Se estivéssemos a considerar o quadrado do número saído no segundo lançamento, o não poderia ser um dos casos possíveis. Se estivéssemos a considerar a soma dos números saídos, o teria de ser um dos casos possíveis. Tanto X como X tomam os valores, 0 e. alculemos P(X = ) e P(X = ) P(X = ) = P(X = ) = dado e no segundo. 9 Para o produto ser ou sai no primeiro dado e no segundo, ou no primeiro Assim, a variável aleatória cuja distribuição de probabilidades é a apresentada só pode ser a X, opção D.. onsideremos a variável aleatória Y: número de vezes que, em dez lançamentos, sai ou 0. Probabilidades. Distribuição Normal. Distribuição Binomial Página

6 Probabilidades. Distribuição Normal. Distribuição Binomial Página Preparar o Exame 0 0 Matemática A Então Y segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 0 e p =. Pretende-se calcular P(Y ) = P(Y = 0) + P(Y = ) + P(Y = ) + P(Y = ) Assim, 0,0 ) P(Y Para que a Maria tenha valores no exame tem de ter respostas certas. Em cada questão, a Maria tem de probabilidade de responder corretamente. onsideremos a variável aleatória X: número de questões, das dez, que a Maria responde corretamente. Então, X segue uma distribuição binomial de parâmetros n = 0 e p = e pretende-se calcular P(X = ). P(X = ) = 0,% 0. Seja a a probabilidade de saída da face (que é igual à probabilidade de saída de cada uma das outras faces, exceto a da face ). A probabilidade de saída da face é a. Então, a + a = a = Seja Z a variável aleatória Z: número de vezes que sai a face quando o dado é lançado seis vezes). Z segue uma distribuição binomial de parâmetros n = e p = e pretende-se calcular P(Z = ). P(Z = ) = 0,0. Seja X a variável aleatória X: número de vezes que sai a face quando o dado é lançado seis vezes). X segue uma distribuição binomial de parâmetros n = e p = e pretende-se calcular P(X >). P(X ) = P(X < ) = P(X = 0) P(X = ) = 0, 0 0

7 Preparar o Exame 0 0 Matemática A. a) onsideremos a variável aleatória X: diâmetro, em milímetros, de uma determinada peça de automóveis. Pelo enunciado X segue uma distribuição normal de parâmetros µ= 0 e = 0,. Assim, 0, = µ + e sabe-se que então P(9, < X < 0,) 0,99. Observa a figura. 99,% - 99, P(X > 0,) = 0,% 9, 0 0,. b) Pretende-se calcular P(9, < X < 9,). Façamos um esquema desta situação: 99, P(9, < X < 0) = 9,% Repara no esquema de. a) 9, 9, 0,% 9,9% 9, P(9, < X < 0) =,% Repara que 9, = µ e que P( < X < + ) 0,9 Então, P(9, < X < 9,) = 9,%,% =,%. c) Pretende-se calcular P(9,9 < X < 0,).,% 9,%, P(9,9 < X < 0) =,% Repara que 9,9 = µ e que P( < X < + ) 0, Pelo esquema de. a) sabemos que P(0 < X < 0,) 99, = 9,% Então, P(9,9 < X < 0,) = 9,% +,% = %. d) Pretende-se calcular P(X < 0,)., P(0 < X < 0,) =,% Repara que 0, = µ + e que P( < X < + ) 0, 0% &, % P(X < 0) = 0% Observa que µ = 0 Então, P(X < 0,) = 0% +,% =,% Probabilidades. Distribuição Normal. Distribuição Binomial Página

8 Preparar o Exame 0 0 Matemática A. a) Para que a peça seja rejeitada, o seu diâmetro não pode estar compreendido entre 9, mm e 0, mm. Assim, pretende-se calcular P(9, < X < 0,). P(9, < X < 0,) = 9,% Repara que 9, = µ e que P( < X < + ) 0,9 Logo, a probabilidade pedida é 00% 9,% =,%. b) A probabilidade de a peça ser aprovada é P(9, < X < 0,) = 9,%. Assim, em 00 peças existem 00 x 0,9 que se espera que venham a ser aprovadas.. Pelo enunciado, temos que P(0 < X < a) %. omo 0 é o valor médio e 0, o desvio, padrão da variável aleatória X, sabemos que P(X < 0 + 0,) =,%. Assim, podemos concluir que a = +, ou seja, a = 0, mm.. omo P(X ) = P(X ), temos que o valor médio de X é. A curva de Gauss é simétrica em relação à reta de equação x = e = =. O valor da área pretendida é P(X ) = 0,0 = 0,9. Dado que X segue uma distribuição normal, temos que P(X ) = 0,. omo P(X ) = 0,0, então P( X ) = 0, 0,0 = 0, = %. Probabilidades. Distribuição Normal. Distribuição Binomial Página