Matemática A RESOLUÇÃO GRUPO I 0,5 = = = Teste Intermédio de Matemática A. Versão 1. Teste Intermédio. Versão 1

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1 Teste Intermédio de Matemática Versão 1 Teste Intermédio Matemática Versão 1 Duração do Teste: 90 minutos º no de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de março RESOLUÇÃO GRUPO I 1. Resposta (C) Sendo e B dois acontecimentos incompatíveis, tem-se 0 2. Resposta (B) Tem-se P^ ; PB ^ h P ^ > 6h 0,5 PB ^ h P^6< X < 7h 0,5 01, 04, Portanto, 04, P^ ; PB ^ h 0, ,4 0, Resposta () f^u h f^ u h f^eh 0 n Só se tem f^eh 0 na opção (). n TI de Matemática Resolução Versão 1 Página 1/ 6

2 4. Resposta (B) função g é contínua no ponto 0 se e só se g e2 ^ h 1 2 " 0 " 0 " e2 1 2 Seja 2. Como " 0, tem-se " 0 ssim, 2 e2 1 2 e " 0 " 0 Portanto, g^0h tem de ser igual a 2, pelo que a 2 g ^ h g ^ h g^0h " 0 " 0 - ln^1 h g ln ^1 h ^ h cb m b b 1 " 0 " 0 " 0 " 0 Portanto b 1 tem de ser igual a 2, pelo que b ssim, a 2 e b 5. Resposta (D) Quando 0, o ponto P coincide com o ponto O, pelo que f^0 h O. Quando tende para, a reta P tende a coincidir com a reta B, pelo que a intersecção da reta P com o quadrado tende a coincidir com o segmento de reta [B] ssim, f^h B O f ^0h " Como f ^0h! 0 (pois O! 0) e como f^h f ^0 " h, a opção correta é a opção (D). GRUPO II 1.1. Eistem 10! maneiras diferentes de sentar os 10 rapazes na fila da frente. delegada e a subdelegada podem ocupar as etremidades da fila de trás de 2 maneiras diferentes. Para cada uma destas maneiras, as restantes 12 raparigas podem dispor-se de 12! maneiras diferentes. Portanto, o número de maneiras diferentes de dispor as raparigas, de modo que a delegada fique numa das etremidades e a subdelegada na outra etremidade, é 2 12! Então, os 24 jovens podem dispor-se de 10! 12! 2 maneiras diferentes. TI de Matemática Resolução Versão 1 Página 2/ 6

3 1.2. variável aleatória X pode tomar o valor 0 (se a comissão for constituída só por rapazes), o valor 1 se a comissão for constituída por uma rapariga e um rapaz) e o valor 2 (se a comissão for constituída só por raparigas). Tem-se então que: 10C 0h h C 92 24C C 2h 2 C Tem-se, portanto, a seguinte tabela de distribuição de probabilidades da variável X i i h Em R, apenas os números positivos têm logaritmo. Portanto, para que a epressão 2 log $ 4 log^ 8h tenha significado, em R, é necessário que > 0 eque 8 > 0 > 0/ 8> 0 > 8, 6 No 8, 6, tem-se: 2 log $ 4 log ^ 8h log $ 2 log ^ 8h log $ log 9 log ^8h log $ log ^9 72h $ $ 72 # 9 Portanto, o conjunto dos números reais que verificam a condição dada 9@ (@ 8, 8, 9@ 2.2. Tem-se: f^61000h f log log ^ h ^ h ^ h log log ^ h ^ h 1000 log^6h 1000 log^4h 1000`log^6h log^4hj 1000 log 6 ` 1000 log^ j h TI de Matemática Resolução Versão 1 Página / 6

4 2.. g () f() log 2 função g é contínua em R, pelo que é contínua em Tem-se: g^1h 1 2 log ^1h g^h 2 log ^h Portanto, g^1h< 5< g^h Logo, o teorema de Bolzano permite garantir que 7 1, 6 : g^ch 5.1. Comecemos por determinar o número de frangos infetados no instante em que o vírus foi detetado. f ( 0) # 25 Determinemos, agora, ao fim de quantos dias o número de frangos infetados foi dez vezes maior do que 8, ou seja, 80 f() , , # 80 15, 1 01, 2 25, 01, 01, , 01, , 1 01, 4 40 Portanto, tinham passado 40 dias desde o instante em que o vírus foi detetado..2. Comecemos por determinar o número de frangos infetados trinta dias após o vírus ter sido detetado. f ^0h , 0 ssim, trinta dias após o vírus ter sido detetado, eistiam no aviário 50 frangos infetados e 450 frangos não infetados, ou seja, havia um total de 500 frangos. Sejam e B os acontecimentos: : «o frango escolhido estar infetado» B: «o teste dar negativo» Pretendemos calcular P^ ; Sabemos que PB ^ ; h 0,96 e P^B ; h 0,9 Por outro lado, como ao fim de 0 dias após o vírus ter sido detetado eistem 50 frangos infetados, tem-se P^h 50 0,1 e P^h 1 0,1 0,9 500 Tem-se: P^h P^B ; h 0,1 0,96 0,096 P^h P^B ; h 0, 9 0,9 0, 81 B 0,81 B 0,096 0,1 0,9 1 TI de Matemática Resolução Versão 1 Página 4/ 6

5 Continuando a preencher as células da tabela necessárias à resolução do problema, vem Portanto, B 0,004 0,81 0,814 B 0,096 0,1 0, , P^ ;. PB ^ h 0814, 0, 995 Em vez de considerarmos probabilidades, poderíamos elaborar uma tabela com base no número de frangos, tendo-se, então, B 450 0,9 B 50 0, Continuando a preencher as células necessárias à resolução do problema, vem B B E, portanto, P^ ; , 995 PB ^ h TI de Matemática Resolução Versão 1 Página 5/ 6

6 4. Tem-se: f() k e k e ^ h ^ h " " " " k e ^ h k ` j e " " Seja. Como ", tem-se " Então, k c k k " e m e " e o e " e o k 1 k 1 k 0 k e " Portanto, a reta de equação k é assíntota horizontal do gráfico de f, quando " Tem-se: f() 2 ln 2 ln 2 ln ` j " " " " " reta de equação 2 é assíntota horizontal do gráfico de f, quando " Portanto, para que as duas assíntotas sejam coincidentes, k tem de ser igual a 2 TI de Matemática Resolução Versão 1 Página 6/ 6