FICHA FORMATIVA 10º ANO

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1 FICHA FORMATIVA 10º ANO NOME: Nº: TURMA: ANO LETIVO: / DATA: / / CONDIÇÕES E RADICAIS 1 Considera as condições p( x) : x 0 e q( x) : x 1 0 Responde às seguintes questões, apresentando, para cada uma, justificação para a tua resposta 11 A condição px ( ) é universal em? 1 A condição qx ( ) é possível em? Considera a condição x x Indica um conjunto no qual esta condição seja: 1 universal; impossível Escreve em linguagem simbólica, usando quantificadores, as proposições seguintes: 1 Há pelo menos um número natural entre 0,1 e 1,1 Todos os números naturais são positivos Existe pelo menos um número inteiro no intervalo 1, Todos os números naturais são divisíveis por 1 Considera as condições p( x) : x e q( x) : x 1 Indica o valor lógico da proposição x, p( x) q( x) Justifica a tua resposta Mostra, apresentando um contraexemplo, que a proposição x, q( x) p( x) é falsa 1

2 Considera os conjuntos: : 18 B x : x 9 C x : x 16 A x x x Determina sob a forma de intervalo ou união de intervalos: 1 A B A B B C A\ C 6 A C 6 No universo U, 1, 0, 1,,,, considera os conjuntos: A x : x 0 B x : x 0 C x : x 1 Determina em extensão: 61 A 6 B 6 C 6 C 6 A\ C 66 B C 67 B C \ A 7 Mostra, por dupla indicação, que: x x x x, 8 Demonstra, por contrarrecíproco, que se um número natural n não é divisível por então não é divisível por 10 9 Considera em \{0}, a proposição: 1 1 x, x 0 x 91 Indica o valor lógico da proposição Justifica a tua resposta 9 Escreve, em linguagem simbólica e sem usar o sinal de negação, a negação da proposição dada

3 10 Simplifica as expressões seguintes: : Racionaliza o denominador das seguintes frações: Simplifica as expressões seguintes, racionalizando o denominador: 11 a, para a \ 0 1 a a, para a 0 \ 1 9a, para a \ 0 1 Considera o hexágono regular [ ABCDEF ], com unidades de lado Determina a medida da área do triângulo [ ACD ] Apresenta o resultado na forma a b, com ab, FIM

4 CONDIÇÕES E RADICAIS PROPOSTA DE RESOLUÇÃO 1 11 A condição px ( ) não é universal, pois não se verifica para x 0 1 A condição qx ( ) é impossível em Com efeito, em, a condição apenas é verificada para 1 x, mas 1 1 A condição A condição x x x é universal para todos os números de 1 0, x é impossível no universo dos números negativos 1 x :0,1 x 1,1 x : x 0 x : x 1, x x, 1 1 À condição x À condição corresponde o conjunto, x x x O conjunto,, contém o conjunto corresponde o conjunto,,,, pelo que a proposição é verdadeira Por exemplo, x 6 verifica a condição qx ( ) mas não verifica a condição px ( ) Sendo a proposição p( 6) falsa e a proposição q( 6) verdadeira, q( 6) p( 6) é falsa Assim, a proposição x, q( x) p( x) é falsa 1,18, 18,,9 9,,18,9,9,9 16,,18 \ 16,,16 6,18 16,,18 16, 16,18

5 6 61 A 1,,, 6 B, 1 6 C 1,1 6 U \ C{, 1,0,1,,,}\{ 1,1} {,0,,,} 6 A\ C 1,,, \ 1,1,, 66 B C 67 B C A \, 1 1,1 \ 1,,, 1 \ 1,,, {,0,1,,,}\ 1,,, {,0}, 1 {,0,,,} { } 7 Comecemos por mostrar que x, x x x : x x x x x x x x x x x x x x Mostremos agora que x, x x x : x x x (basta considerar x x ) Conclui-se, portanto, que x, x x x 8 O contrarrecíproco da proposição dada é n, n é divisível por 10 n Vejamos que é verdadeira é divisível por Seja n um número natural divisível por 10 Então, n pode ser escrito na forma n 10m m, ou seja, n m Concluímos que n é divisível por, pois é da forma n k k m e k com, com Sendo verdadeira a proposição n, n é divisível por 10 n é divisível por, também é verdadeira a proposição n, n não é divisível por n não é divisível por A proposição é verdadeira, pois tem-se: x 0 0 x 0 x x x ~ x, x 0 x : ~ x 0 x x x : x ~ 0 x : x 0 x x

6 : 1:

7 a a 6 a 6 a a a a a, para a \ 0 a a a a a a a a a a a a a, para a \ 0 1 a a a a 9a a a a a a, para a \ 0 1 Se inscrevermos o hexágono numa circunferência, verificamos que o ângulo ACD está inscrito numa semicircunferência e, portanto, é reto Sabemos, também, que o hexágono está decomposto em seis triângulos equiláteros geometricamente iguais, e, portanto, AD Então, pelo teorema de Pitágoras: AC AD CD AC AC 1 AC 1 AC0 Finalmente, A AC CD [ ACD] cm Outro processo: Observa: cm A área do triângulo [ ACD ] é igual à área do quadrilátero [ GBCD] porque, sendo I o ponto de interseção de AC com BG, os triângulos [ AIG] e [ BIC ] são geometricamente iguais (o que se justifica pelo critério LLL, por exemplo) Por sua vez, [ GBCD ] decompõe-se nos triângulos equiláteros [ GBC] e [ GCD ], geometricamente iguais e, portanto, com a mesma área Altura, a, do triângulo [ GBC ]: Área de [ ACD ]: A a 1 a cm cm a0 7