GMA LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi 12 Funções da forma x elevado a α, funções: obtendo gráficos de gráficos [01] Seja f(x) = 1/x n, com n N. Mostre que f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). Mostre também que se n é par, então f é crescente no intervalo (, 0) e que se n é ímpar, então f é decrescente no intervalo (, 0). [02] Sabemos que se a e b são números naturais, então (x a ) b = x a b = (x b ) a para todo x R. Mostre que esta identidade é falsa se a e b são números racionais. [03] Na análise forense de incidentes envolvendo explosivos, muitas vezes é necessário estimar a quantidade de explosivo usada a partir dos danos observados à infraestrutura. Certamente esta não é uma tarefa simples. No entanto, a base de cálculos práticos é a lei de Hopkinson, que afirma que a distância de perturbação do centro de uma explosão é proporcional à raiz cúbica da energia dissipada na explosão. No caso de explosivos químicos, em vez da energia, podemos considerar a massa total dos explosivos. Além disso, como resultado de medidas empíricas (Kinney e Graham, Explosive Shocks in Air, Springer-Verlag, 1985), essa lei pode ser estendida para uma fórmula simples, que dá o diâmetro D da cratera (em metros) que resulta de uma carga explosiva colocada ao nível do solo em função da massa M dos explosivos (em quilogramas de TNT): D = 0.8 M 1/3. Para explosões subterrâneas, uma análise mais complexa é necessária. (a) Calcular o diâmetro aproximado da cratera resultante de uma carga explosiva equivalente a 60 kg de TNT. (b) Determine a massa aproximada de TNT responsável por uma explosão que resulta em uma cratera de 4 m de diâmetro. (c) Qual deve ser o aumento percentual na massa de um explosivo a fim de dobrar o tamanho da cratera resultante? Observação: este exercício foi extraído do livro Essential Mathematics and Statistics for Forensic Science de Craig Adam, publicado pela John Wiley & Sons em [04] Funções da forma f(x) = c x α são muito usadas em Biologia no estudo do tamanho e da forma dos seres vivos. De fato, os biólogos têm um nome especial para funções deste tipo: funções alométricas. Por exemplo, y = x é uma função alométrica que modela o tempo y de incubação (medido em dias) de um ovo em função de sua massa x (medida em gramas). Sabendo que um ovo de um beija-flor tem em média massa igual a 0.2 g, use a fórmula acima (e uma calculadora) para estimar o tempo de incubação deste tipo de ovo. [05] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma calculadora gráfica. 1

2 (a) y = 3 x, (b) y = 3 x, (c) y = x 3, (d) y = 3 x. [06] Suponha dado o gráfico de uma função f. Escreva equações para os gráficos obtidos a partir do gráfico de f da forma descrita nos itens abaixo. (a) Desloque 3 unidades para cima. (b) Desloque 3 unidades para baixo. (c) Desloque 3 unidades para direita. (d) Desloque 3 unidades para esquerda. (e) Faça uma reflexão em torno do eixo x. (f) Faça uma reflexão em torno do eixo y. (g) Estique verticalmente por um fator de 3. (h) Encolha verticalmente por um fator de 3. [07] O gráfico de y = f(x) é dado na figura a seguir. Associe cada equação com seu gráfico e dê razões para suas escolhas. (a) y = f(x 4), (b) y = f(x) + 3, (c) y = f(x)/3, (d) y = f(x + 4), (e) y = 2 f(x + 6). [08] O gráfico de uma função f é dado a seguir. Use-o para fazer o gráfico das funções dos itens abaixo. 2

3 (a) y = f(2 x), (b) y = f(x/2), (c) y = f( x), (d) y = f( x). [09] Faça um esboço do gráfico de y = h(x) = x 3 a partir do gráfico da função y = f(x) = 1/x usando alongamentos, compressões, translações e reflexões. Em cada etapa, especifique qual transformação você empregou e faça um esboço do gráfico da função intermediária correspondente, indicando explicitamente as interseções com os eixos coordenados, caso existam. [10] Faça um esboço do gráfico de y = h(x) = 3 x 2 a partir do gráfico da função y = f(x) = x usando alongamentos, compressões, translações e reflexões. Em cada etapa, especifique qual transformação você empregou e faça um esboço do gráfico da função intermediária correspondente, indicando explicitamente as interseções com os eixos coordenados, caso existam. 3

4 Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las! [02] De fato: sejam a = 2, b = 1/2 e x = 1. Temos que (x a ) b = (( 1) 2 ) 1 2 = 1 1/2 = 1 e x a b = ( 1) = ( 1) 1 = 1, enquanto que (x b ) a = (( 1) 1/2 ) 2 não está definido, pois a função x x 1/2 está definida para x 0 e 1 é menor do que 0. [03] (a) Aproximadamente 3.1 m. (b) 125 kg. (c) 800%. [04] Pelo modelo, o tempo de incubação de um ovo de um beija-flor é igual a (0.2) dias. [05] (a) G, (b) f, (c) F, (d) g. [06] (a) y = f(x) + 3, (b) y = f(x) 3, (c) y = f(x 3), (d) y = f(x + 3), (e) y = f(x), (f) y = f( x), ](g) y = 3 f(x), (h) y = f(x)/3. [07] (a) 3, (b) 1, (c) 4, (d) 5, (e) 2. [08] Os gráficos são apresentados na Figura 1. (a) (b) (c) (d) Figura 1: Resposta do Exercício [08]. [09] Seja y = f(x) = 1/x, cujo gráfico é apresentado na Figura 2. Etapa 1. y = g 1 (x) = f( x ) = 1/ x : para x > 0, o gráfico de g 1 coincide com o gráfico de f e, para x < 0, o gráfico de g 1 é a reflexão do gráfico de f com relação ao eixo y (Figura 3). Etapa 2. y = g 2 (x) = g 1 (x 3) = 1/ x 3 : o gráfico de g 2 é obtido fazendo-se uma translação horizontal de 3 unidades para a direita do gráfico de g 1 (Figura 4). 4

5 Etapa 3. y = g 3 (x) = 2 g 2 (x) = 2/ x 3 : o gráfico de g 3 é obtido fazendo-se um alongamento vertical de fator 2 do gráfico de g 2 (Figura 5). Etapa 4. y = g 4 (x) = 2 + g 3 (x) = 2 + 2/ x 2 : o gráfico de g 4 é obtido fazendo-se uma translação vertical de 2 unidades para baixo do gráfico de g 3 (Figura 6). Etapa 5. y = h(x) = g 4 (x) = 2 + 2/ x 2 : para os valores de x onde g 4 (x) 0, o gráfico de h coincide com o gráfico de g 4 e, para valores de x onde g 4 < 0, o gráfico de h é a reflexão do gráfico de g 4 com relação ao eixo x (Figura 7). Figura 2: Gráfico de f(x) = 1/x. Figura 3: Gráfico de y = g 1 (x) = f( x ) = 1/ x. 5

6 Figura 4: Gráfico de y = g 2 (x) = g 1 (x 3) = 1/ x 3. Figura 5: Gráfico de y = g 3 (x) = 2 g 2 (x) = 2/ x 3. 6

7 Figura 6: Gráfico de y = g 4 (x) = 2 + g 3 (x) = 2 + 2/ x 3. Figura 7: Gráfico de y = h(x) = g 4 (x) = 2 + 2/ x 3. 7

8 [10] Seja y = f(x) = x, cujo gráfico é apresentado na Figura 8. Etapa 1. y = g 1 (x) = f( x) = x: o gráfico de g 1 é obtido fazendo-se uma reflexão com relação ao eixo y do gráfico de f (Figura 9). Etapa 2. y = g 2 (x) = g 1 (x) 2 = x 2: o gráfico de g 2 é obtido fazendo-se uma translação vertical 2 unidades para baixo do gráfico de g 1 (Figura 10). Etapa 3. y = g 3 (x) = g 2 (x) = x 2 : o gráfico de g 3 é obtido fazendo-se um reflexão com relação ao eixo x dos pontos do gráfico de g 2 com ordenada negativa (Figura 11). Etapa 4. y = h(x) = 3 g 3 (x) = 3 x 2 : o gráfico de h é obtido fazendo-se um alongamento vertical de fator 2 do gráfico de g 3 (Figura 12). Figura 8: Gráfico de f(x) = x. 8

9 Figura 9: Gráfico de y = g 1 (x) = f( x) = x. Figura 10: Gráfico de y = g 2 (x) = g 1 (x) 2 = x 2. 9

10 Figura 11: Gráfico de y = g 3 (x) = g 2 (x) = x 2. Figura 12: Gráfico de y = h(x) = 3 g 3 (x) = 3 x 2. Texto composto em L A TEX2e, HJB, 18/03/