Teoria dos Grafos Coloração. Profª. Alessandra Martins Coelho

Transcrição

1 Teoria dos Grafos Coloração Profª. Alessandra Martins Coelho junho/2014

2 Quantas cores para colorir o mapa do Brasil, sem que estados adjacentes possuam a mesma cor?

3 Coloração de Grafos Colorir vértices de forma que vértices adjacentes possuam cores diferentes Relacionar a coloração de vértices com a coloração de mapa

4 Coloração de vértices Se G é um grafo simples, então uma coloração para G é uma atribuição de cores para cada vértice de forma que vértices adjacentes tenham diferentes cores Dizemos que G é k-colorível se podemos atribuir uma das k cores para colorir G O número cromático de um grafo G é o menor número de cores que é necessário para colorir G. Seja c o número cromático de G, escrevemos crom(g)=c

5 Coloração de vértices Qual o número cromático dos grafos abaixo?

6 Coloração de vértices Qual o número cromático dos grafos abaixo? crom(g) = 4 crom(g) = 5

7 Qual o número cromático do grafo abaixo? w u v r x s o t y q z p

8 w p u v x s t y z q r o w u v r x s o t y q z p

9 Do ponto de vista matemático, o subconjunto de vértices com uma mesma cor é considerado uma partição de vértices. w p u v x s t y z q r o V a = {v,z,x,r,u} V b = {w,y,q,p,o} V c ={s,t}

10 Desenhar o grafo com cores nos vértices é apenas um forma intuitiva de representar esta partição. V a = {v,z,x,r,u} V b = {w,y,q,p,o} V c ={s,t} w p u v x s t y z q r o

11 Coloração de vértices Se crom(k n ) = n, então existem grafos com número cromático arbitrariamente grande crom(g) = 4 crom(g) = 5

12 Qual a cromaticidade de k 3,3?

13 Qual a cromaticidade dos grafos de roda abaixo? W 6 W 5

14 Grafo Roda - W n um grafo simples com n + 1 vértices que é obtido acrescentado um vértice ao grafo ciclo C n, n 3, e conectando este novo vértice a cada um dos n vértices de C n.

15 Qual a cromaticidade dos grafos de roda abaixo?

16 Pouco se pode dizer sobre o número cromático de um grafo arbitrário Se o grafo tem n vértices, então seu número cromático é <= n Se o grafo contém K r (grafo completo) como subgrafo, então o número cromático >= r

17 Coloração de mapas Problema das 4 cores Surgiu historicamente em conexão com a coloração de mapas. Dado um mapa contendo diversos países, quantas cores são necessárias para colorir todos os países de forma que os países que fazem fronteira entre si possuam cores diferentes?

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19 Cada região do mapa é representada por um vértice. As arestas ligam os vértices que representam regiões que fazem fronteira entre si.

20 Aplicações da Coloração Quando uma aplicação é modelada como um problema de coloração de vértices, os vértices em cada classe de cores representam indivíduos ou itens que não competem ou conflitam entre si: Atribuição de frequências de rádio Separação de produtos explosivos Agendamento de cursos na universidade Alocação de registros para programação

21 Atribuição de frequências de rádio Os vértices representam os transmissores das estações de rádio Duas estações são adjacentes quando suas áreas de transmissão se sobrepõem, o que resultaria em interferência se elas usassem a mesma frequência Cada cor contém estações que podem receber a mesma frequência crom(g) é o número mínimo de frequência

22 Separação de produtos explosivos Os vértices representam produtos químicos necessários em algum processo de produção Existe uma aresta ligando cada par de produtos que podem explodir, se combinados O número cromático representa o número mínimo de compartimentos para guardar estes produtos químicos em segurança

23 Agendamento de cursos na universidade Os vértices representam os cursos de uma universidade Dois cursos são adjacentes se um aluno se matricula para ambos os cursos O número cromático representa o número mínimo de horários necessários para acomodar os cursos

24 Coloração Harmoniosa Quando cada par de cores aparece no máximo em um par de vértices adjacentes no grafo G.

25 Coloração Completa Para quaisquer duas cores da p-coloração existem dois vértices vizinhos coloridos com tais cores no grafo G.

26 Exercícios Desenvolva um algoritmo para a solução do problema de coloração em vértices. Qual a cromaticidade de C n? Qual a cromaticidade do Grafo de Petersen? Qual a cromaticidade de k 3,3? Apresente uma coloração harmoniosa exata para o grafo abaixo:

27 Exercícios Apresente uma coloração completa para os grafos abaixo:

28 Exercícios Sabe-se que João, Antônio e Pedro torcem cada um para um time de futebol diferente, que pode ser Palmeiras, Internacional e Grêmio. Sabe-se que João é médico. Pedro não visita nem recebe visita de torcedor do grêmio. João Atende Pedro e Antônio quando eles ficam doentes. Antônio usa qualquer roupa, desde que não seja vermelha. Pedro não gosta de verde

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