1.2 Grau de um vértice
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- Therezinha Quintanilha Alencastre
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1 1.2 Grau de um vértice Seja G um grafo. Para um vértice v de V G, sua vizinhança N G (v) (ou N(v)) é definida por N(v) = {u V G vu E G }.. p.1/19
2 1.2 Grau de um vértice Seja G um grafo. Para um vértice v de V G, sua vizinhança N G (v) (ou N(v)) é definida por N(v) = {u V G vu E G }. O grau d G (v) (ou d(v)) do vértice v em G é o número de vértices adjacentes a v, isto é, d(v) = N(v).. p.1/19
3 PSfrag replacements 1.2 Grau de um vértice u e 1 v e 3 e 2 e 4 x e 5 w. p.2/19
4 PSfrag replacements 1.2 Grau de um vértice u e 1 v e 3 e 2 e 4 x e 5 p = 4, q = 5 w. p.2/19
5 PSfrag replacements 1.2 Grau de um vértice u e 1 v e 3 e 2 e 4 x e 5 p = 4, q = 5 w N(v) = {u, w}, d(v) = 2.. p.2/19
6 1.2 Grau de um vértice Se e = uv é uma aresta de um grafo G então dizemos que e e u são incidentes, assim como e e v. Se e e f são arestas distintas e que são incidentes no mesmo vértice, então e e f são arestas adjacentes.. p.3/19
7 PSfrag replacements 1.2 Grau de um vértice u e 1 v e 3 e 2 e 4 x e 5 w. p.4/19
8 PSfrag replacements 1.2 Grau de um vértice u e 1 v e 3 e 2 e 4 x e 5 w u e e 1 são incidentes, mas w w e 1 não são.. p.4/19
9 PSfrag replacements 1.2 Grau de um vértice u e 1 v e 3 e 2 e 4 x e 5 w u e e 1 são incidentes, mas w w e 1 não são. e 1 e e 2 são arestas adjacentes, enquanto e 1 e e 5 não são.. p.4/19
10 1.2 Grau de um vértice O grau de um vértice v em um grafo G também pode ser visto como a quantidade de arestas incidentes em v.. p.5/19
11 1.2 Grau de um vértice O grau de um vértice v em um grafo G também pode ser visto como a quantidade de arestas incidentes em v. Se G tem ordem p e v é um vértice de G, então 0 d(v) p 1.. p.5/19
12 1.2 Grau de um vértice O grau de um vértice v em um grafo G também pode ser visto como a quantidade de arestas incidentes em v. Se G tem ordem p e v é um vértice de G, então 0 d(v) p 1. Um vértice de grau 0 é chamado vértice isolado.. p.5/19
13 1.2 Grau de um vértice Um vértice é par ou ímpar se seu grau é par ou ímpar.. p.6/19
14 eplacements 1.2 Grau de um vértice Um vértice é par ou ímpar se seu grau é par ou ímpar. v 1 v 2 v 5 d(v 1 ) = 2 d(v 2 ) = 1 d(v 3 ) = 3 d(v 4 ) = 2 d(v 5 ) = 0 v 4 v 3. p.6/19
15 eplacements 1.2 Grau de um vértice Um vértice é par ou ímpar se seu grau é par ou ímpar. v 1 v 2 v 5 d(v 1 ) = 2 d(v 2 ) = 1 d(v 3 ) = 3 d(v 4 ) = 2 d(v 5 ) = 0 v 4 Observe que v 3 5 i=1 d(v i ) = 8.. p.6/19
16 1.2 Grau de um vértice Teorema 1.2 (Primeiro Teorema da Teoria dos Grafos) Seja G um grafo de ordem p e tamanho q, com V G = {v 1,... v p }. Então, p i=1 d(v i ) = 2q.. p.7/19
17 1.2 Grau de um vértice Teorema 1.2 (Primeiro Teorema da Teoria dos Grafos) Seja G um grafo de ordem p e tamanho q, com V G = {v 1,... v p }. Então, p i=1 d(v i ) = 2q. Corolário 1.3 Todo grafo contém um número par de vértices ímpares.. p.7/19
18 1.2 Grau de um vértice Um grafo G é r-regular, ou regular de grau r, se todo vértice de G tem grau r.. p.8/19
19 1.2 Grau de um vértice Um grafo G é r-regular, ou regular de grau r, se todo vértice de G tem grau r. Um grafo é dito regular se é r-regular para algum inteiro não negativo r.. p.8/19
20 1.2 Grau de um vértice Um grafo G é r-regular, ou regular de grau r, se todo vértice de G tem grau r. Um grafo é dito regular se é r-regular para algum inteiro não negativo r. lacements G 1 G 2. p.8/19
21 1.2 Grau de um vértice Se G é um grafo r-regular de ordem p, então é claro que 0 r p 1.. p.9/19
22 1.2 Grau de um vértice Se G é um grafo r-regular de ordem p, então é claro que 0 r p 1. Entretanto, se 0 r p 1, não necessariamente existe um grafo r-regular de ordem p.. p.9/19
23 1.2 Grau de um vértice Se G é um grafo r-regular de ordem p, então é claro que 0 r p 1. Entretanto, se 0 r p 1, não necessariamente existe um grafo r-regular de ordem p. Por exemplo, não existe um grafo 1-regular de ordem 5 ou um grafo 3-regular de ordem 5.. p.9/19
24 1.2 Grau de um vértice O complemento Ḡ de um grafo G é o grafo com V = V Ḡ G e tal que uv é uma aresta de Ḡ se e somente se uv não é uma aresta de G.. p.10/19
25 1.2 Grau de um vértice O complemento Ḡ de um grafo G é o grafo com V = V Ḡ G e tal que uv é uma aresta de Ḡ se e somente se uv não é uma aresta de G. acements u v u v G Ḡ w x w x. p.10/19
26 1.2 Grau de um vértice O complemento Ḡ de um grafo G é o grafo com V = V Ḡ G e tal que uv é uma aresta de Ḡ se e somente se uv não é uma aresta de G. acements u v u v G Ḡ w x w x Se v é um vértice de grau n em um grafo G de ordem p então o grau de v em Ḡ é p n 1.. p.10/19
27 1.2 Grau de um vértice O complemento Ḡ de um grafo G é o grafo com V = V Ḡ G e tal que uv é uma aresta de Ḡ se e somente se uv não é uma aresta de G. acements u v u v G Ḡ w x w x Se v é um vértice de grau n em um grafo G de ordem p então o grau de v em Ḡ é p n 1. Portanto, Ḡ é regular se e somente se G é regular.. p.10/19
28 1.2 Grau de um vértice Exercícios 1. Prove que todo grafo de ordem p 2 tem pelo menos dois vértices com o mesmo grau.. p.11/19
29 1.2 Grau de um vértice Exercícios 1. Prove que todo grafo de ordem p 2 tem pelo menos dois vértices com o mesmo grau. 2.(a) Construa um grafo r-regular de ordem 8 para cada r, 0 r < 8. (b) Determine o complemento de cada grafo construído no item (a). (c) Prove que Se G é um grafo regular então Ḡ é regular.. p.11/19
30 1.3 Grafos isomorfos Dois diagramas que representam o mesmo grafo podem parecer bem diferentes.. p.12/19
31 1.3 Grafos isomorfos Dois diagramas que representam o mesmo grafo podem parecer bem diferentes. acements G 1 G 2. p.12/19
32 1.3 Grafos isomorfos Dois diagramas que representam o mesmo grafo podem parecer bem diferentes. acements G 1 G 2 Freqüentemente é importante saber se dois grafos G 1 e G 2 são o mesmo grafo. Intuitivamente, se podemos (re)desenhar um deles e obter o outro, então dizemos que são o mesmo grafo.. p.12/19
33 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos G 1 e G 2 são isomorfos se existe uma função φ (um-para-um) de V G1 para V G2 tal que uv E(G 1 ) se e somente se φ(u)φ(v) E(G 2 ). Isto é, φ: V G1 V G2 u φ(v) para todo vértice u V G1 e v V G2, tal que uv E(G 1 ) se e somente se φ(u)φ(v) E(G 2 ).. p.13/19
34 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos G 1 e G 2 são isomorfos se existe uma função φ (um-para-um) de V G1 para V G2 tal que uv E(G 1 ) se e somente se φ(u)φ(v) E(G 2 ). Isto é, φ: V G1 V G2 u φ(v) para todo vértice u V G1 e v V G2, tal que uv E(G 1 ) se e somente se φ(u)φ(v) E(G 2 ). A função φ é chamada um isomorfismo.. p.13/19
35 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos G 1 e G 2 são isomorfos se existe uma função φ (um-para-um) de V G1 para V G2 tal que uv E(G 1 ) se e somente se φ(u)φ(v) E(G 2 ). Isto é, φ: V G1 V G2 u φ(v) para todo vértice u V G1 e v V G2, tal que uv E(G 1 ) se e somente se φ(u)φ(v) E(G 2 ). A função φ é chamada um isomorfismo. Se G 1 e G 2 são isomorfos então escrevemos G 1 = G 2.. p.13/19
36 1.3 Grafos isomorfos u 1 u 2 v 1 G 2 G 1 v 3 v 4 v 5 u 3 u 4 u 5 v 2. p.14/19
37 1.3 Grafos isomorfos u 1 u 2 v 1 G 2 G 1 v 3 v 4 v 5 u 3 u 4 u 5 v 2 Os grafos G 1 e G 2 são isomorfos já que a função φ: V G1 V G2 definida por φ(u i ) = v i, para todo i = 1,..., 5 é um isomorfismo. Dessa forma, o grafo G 2 pode ser redesenhado de modo a obter o grafo G 1 onde v i e substituído por u i para todo i = 1,..., 5.. p.14/19
38 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos G 1 e G 2 são iguais se V G1 = V G2 e E G1 = E G2.. p.15/19
39 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos G 1 e G 2 são iguais se V G1 = V G2 e E G1 = E G2. Grafos que são iguais são certamente isomorfos. Mas o contrário, isto é, grafos isomorfos não são sempre iguais.. p.15/19
40 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos G 1 e G 2 são iguais se V G1 = V G2 e E G1 = E G2. Grafos que são iguais são certamente isomorfos. Mas o contrário, isto é, grafos isomorfos não são sempre iguais. Se dois grafos são isomorfos então têm a mesma ordem, o mesmo tamanho e os mesmos graus de vértices.. p.15/19
41 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos G 1 e G 2 são iguais se V G1 = V G2 e E G1 = E G2. Grafos que são iguais são certamente isomorfos. Mas o contrário, isto é, grafos isomorfos não são sempre iguais. Se dois grafos são isomorfos então têm a mesma ordem, o mesmo tamanho e os mesmos graus de vértices. Essas propriedades, no entanto, não são suficientes.. p.15/19
42 1.3 Grafos isomorfos G 2 v 1 w 1 w 2 w 3 v 3 v 4 v 5 G 3 v 2 w 4 w 5. p.16/19
43 1.3 Grafos isomorfos G 2 v 1 w 1 w 2 w 3 v 3 v 4 v 5 G 3 v 2 w 4 w 5 Os grafos G 2 e G 3 têm ordem 5, tamanho 6 e graus 3, 3, 2, 2, 2, mas G 2 = G 3.. p.16/19
44 1.3 Grafos isomorfos G 2 v 1 w 1 w 2 w 3 v 3 v 4 v 5 G 3 v 2 w 4 w 5 Os grafos G 2 e G 3 têm ordem 5, tamanho 6 e graus 3, 3, 2, 2, 2, mas G 2 = G 3. Uma forma de mostrar que G 2 e G 3 não são isomorfos é mostrar que nenhuma função um-para-um φ de V G2 para V G3 pode ser um isomorfismo.. p.16/19
45 1.3 Grafos isomorfos G 2 v 1 w 1 w 2 w 3 v 3 v 4 v 5 G 3 v 2 w 4 w 5. p.17/19
46 1.3 Grafos isomorfos G 2 v 1 w 1 w 2 w 3 v 3 v 4 v 5 G 3 v 2 w 4 w 5 Para uma tal função φ, devem existir três vértices de G 2 que têm w 1, w 2 e w 3 como seus vértices imagens. Note que esses vértices são adjacentes dois a dois em G 3. Dessa forma, os vértices correspondentes por φ em G 2 devem ter a mesma propriedade. Entretanto, G 2 não tem vértices com essas características e por isso G 2 = G 3.. p.17/19
47 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos são considerados o mesmo grafo se e somente se são isomorfos.. p.18/19
48 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos são considerados o mesmo grafo se e somente se são isomorfos. Existe um único grafo de ordem 1, que chamamos de grafo trivial. Um grafo não trivial tem ordem pelo menos 2.. p.18/19
49 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos são considerados o mesmo grafo se e somente se são isomorfos. Existe um único grafo de ordem 1, que chamamos de grafo trivial. Um grafo não trivial tem ordem pelo menos 2. Existem dois grafos (não isomorfos) de ordem 2 e quatro grafos de ordem 3.. p.18/19
50 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos são considerados o mesmo grafo se e somente se são isomorfos. Existe um único grafo de ordem 1, que chamamos de grafo trivial. Um grafo não trivial tem ordem pelo menos 2. Existem dois grafos (não isomorfos) de ordem 2 e quatro grafos de ordem 3.. p.18/19
51 1.3 Grafos isomorfos Dois grafos são considerados o mesmo grafo se e somente se são isomorfos. Existe um único grafo de ordem 1, que chamamos de grafo trivial. Um grafo não trivial tem ordem pelo menos 2. Existem dois grafos (não isomorfos) de ordem 2 e quatro grafos de ordem 3.. p.18/19
52 1.3 Grafos isomorfos Exercícios 1. Encontre dois grafos não isomorfos 3-regulares de ordem 6 e tamanho 9.. p.19/19
53 1.3 Grafos isomorfos Exercícios 1. Encontre dois grafos não isomorfos 3-regulares de ordem 6 e tamanho Desenhe todos os grafos não isomorfos de ordem 4.. p.19/19
54 1.3 Grafos isomorfos Exercícios 1. Encontre dois grafos não isomorfos 3-regulares de ordem 6 e tamanho Desenhe todos os grafos não isomorfos de ordem Dê um exemplo de um grafo G de ordem 5 tal que G = Ḡ.. p.19/19
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